ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Tετάρτη, 6 Μαΐου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ A Στις ημιτελείς προτάσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη ράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά. Α. Σε μια θίνουσα ταλάντωση στην οποία η δύναμη απόσβεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος, με την πάροδο του χρόνου α. η περίοδος μειώνεται. β. η περίοδος είναι σταθερή. γ. το πλάτος διατηρείται σταθερό. δ. η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται σταθερή. Μονάδες 5 Α. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα α. διαδίδονται σε όλα τα υλικά με την ίδια ταχύτητα. β. έχουν στο κενό την ίδια συχνότητα. γ. διαδίδονται στο κενό με την ίδια ταχύτητα. δ. είναι διαμήκη. Μονάδες 5 Α. Μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών στάσιμου κύματος τα σημεία του ελαστικού μέσου α. έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης. β. έχουν την ίδια άση. γ. έχουν την ίδια ταχύτητα ταλάντωσης. δ. είναι ακίνητα. Μονάδες 5 Α4. Διακρότημα δημιουργείται κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων οι οποίες πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι δύο ταλαντώσεις έχουν α. ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες. β. άνισα πλάτη και ίσες συχνότητες. γ. ίσα πλάτη και παραπλήσιες συχνότητες. δ. ίσα πλάτη και συχνότητες εκ των οποίων η μια είναι πολλαπλάσια της άλλης. Μονάδες 5

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Α5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. α. Ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού δεν εξαρτάται από την ταχύτητα του ωτός στο υλικό αυτό. β. Στα άκρα της χορδής μιας κιθάρας δημιουργούνται πάντα κοιλίες στάσιμου κύματος. γ. Το αινόμενο του συντονισμού παρατηρείται μόνο σε εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. δ. Οι ακτίνες Χ έχουν μικρότερες συχνότητες από τις συχνότητες των ραδιοκυμάτων. ε. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. Μονάδες 5. β.. γ.. β. 4. γ. 5. α. Λ β. Λ γ. Σ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ B Β. Στην ελεύθερη επιάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων εκτελούν κατακόρυες ταλαντώσεις με συχνότητα f και δημιουργούν εγκάρσια κύματα ίδιου πλάτους Α. Ένα σημείο Σ της επιάνειας του υγρού ταλαντώνεται εξαιτίας της συμβολής των δύο κυμάτων με πλάτος Α. Αν οι δύο πηγές εκτελέσουν ταλάντωση με συχνότητα f και με το ίδιο πλάτος Α, τότε το σημείο Σ α. θα ταλαντωθεί με πλάτος Α. β. θα ταλαντωθεί με πλάτος 4Α. γ. θα παραμένει ακίνητο. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση (μονάδες ). Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας (μονάδες 6). Μονάδες 8 i) Σωστό είναι το α.

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ii) Αιτιολόγηση: Το πλάτος ταλάντωσης του υλικού σημείου, όταν οι συχνότητες των πηγών είναι f, είναι: π( ) Α Aσυν Α ή π (-) λ λ κπ (), κ ±±,,... Όταν οι συχνότητες είναι f f και επειδή τα κύματα διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο, θα έχουμε υ υ υ λ λ λ () f' f f οπότε το νέο πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης του υλικού σημείου είναι π( ) () π( Α Aσυν A A συν λ λ Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (), έχουμε: ) π( ) A A συν () λ ΑΑ συνκπ ΑΑ Β. Δίσκος μάζας Μ είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο κατακόρυου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, και ισορροπεί (όπως στο σχήμα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο έδαος. Στο δίσκο τοποθετούμε χωρίς αρχική ταχύτητα σώμα μάζας m. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι: m g M g (m+ M) α. β. γ. g k k k Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση (μονάδες ). Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας (μονάδες 6). i) Σωστό είναι το α. ii) Αιτιολόγηση: m k M Μονάδες 8 Θ.Φ.Μ.(Δ) Δl0 Δl Αρχ.Θ.Ι Δl Nέα. Θ.Ι. k (+) (Ο) F ελ() Μ Mg (t0: υ0) m Μ () (Ο ) F ελ() m+μ (m+m)g F ελ 0 m+μ (m+m)g T.Θ. 4

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Στην αρχική θέση ισορροπίας (Ο) και στη νέα θέση ισορροπίας (Ο ), για το δίσκο μάζας M και το συσσωμάτωμα μάζας m+m, ισχύουν αντίστοιχα Μg Αρχ. Θ.Ι. ΣF 0Mg Fελ () 0Μg kδl Δl () k () mg Νέα Θ.Ι. ΣF 0(m+ M)g k(δl + Δl) 0Δl () k Την t0 τοποθετείται το σώμα μάζας m στο δίσκο και αήνεται οπότε υ0. Στην τυχαία θέση (Τ.Θ.) έχουμε: F (m+ M)g F (m+ M)g k(δl + Δl + ) Σ ελ (),() ΣF (m+ M)g k(δl + Δl) k ΣF k Άρα το σύστημα (m+m)-k εκτελεί Α.Α.Τ. με Dk και η θέση () αντιστοιχεί σε μια ακραία θέση (εδώ -A) της ταλάντωσης του συστήματος. Δηλαδή: mg A Δl k m g m g ΕΤΑΛ k Ε k ΤΑΛ k οπότε ΕΤΑΛ DA k(δl ) Β. Δύο σώματα με μάζες m kg και m kg κινούνται χωρίς τριβές στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες υ4 m/s και υ m/s (όπως στο σχήμα) και συγκρούονται πλαστικά. Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος είναι: m υ υ α. 5 J β. 0 J γ. 0 J m Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση (μονάδες ). Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας (μονάδες 7). Μονάδες 9 i) Σωστό είναι το β. ii) Αιτιολόγηση: ος τρόπος Η κρούση είναι πλάγια και πλαστική. Αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα θα κινηθεί προς κάποια κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου V όπως αίνεται στο σχήμα. Θα εαρμόσουμε το Θεώρημα Διατήρησης της Ορμής για το σύστημα των δύο σαιρών σε κάθε έναν από τους δύο κάθετους άξονες. Έτσι, έχουμε m (αρχ.) y Vy υ (τελ.) (αρχ.) m+m υ m y V V 5

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 άξονας : p(αρχ) p(τελ) ή mυ 4 m υ+ 0 (m+ m)v V V m/ sv m + m 5 άξονας y y: py(αρχ) py(τελ) ή mυ m υ + 0 (m+ m)vy Vy Vy m/ svy m + m 5 Επομένως V V + V y V V + V y 64 5 + 6 5 m/ s V m/ s 8 m/ s 5 6 m/ s 5 Οπότε η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση ισούται με Κ συσσ. ος τρόπος Σύμωνα με την ΑΔΟ ισχύει Kτελ (m + m)v Κσυσσ. (+ ) J Κ συσσ.. 0J pτελ p + p p, όμως p p, οπότε pαρχ Eπίσης είναι K συστ p (m (m + m p )V p + p (mυ) + (mυ) 0Κg m/ s + m )V ή V m p + m K συστ p (m + m K ) συστ 0J ΘΕΜΑ Γ Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε5 V μηδενικής εσωτερικής αντίστασης, πυκνωτής χωρητικότητας C8 0 6 F, πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L 0 H. Αρχικά ο διακόπτης Δ είναι κλειστός και ο διακόπτης Δ ανοιχτός. Ε + - C L Γ. Να υπολογίσετε το ορτίο Q του πυκνωτή. Μονάδες 6 Ανοίγουμε το διακόπτη Δ και τη χρονική στιγμή t0 κλείνουμε το διακόπτη Δ. Το κύκλωμα LC αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Γ. Να υπολογίσετε την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Μονάδες 6 6

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Γ. Να γράψετε την εξίσωση σε συνάρτηση με το χρόνο για την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το ηλεκτρικό ορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή. Μονάδες 7 Γ. Για την τελική τιμή Q του ηλεκτρικού ορτίου του πυκνωτή έχουμε Q C () όπουv c V Ε i, πολ V c(ma) αλλά 0 και τελικά i 0, oπότε V V Ε (). c c(ma) Ε + - A + + + - - - B C L Επομένως είναι() Q C E 8 0 () 6 5C Q 4 0 5 C Γ. Για την περίοδο έχουμε T π LC T π 0 8 0 6 s T 8π 0 4 sec A C + + - - B i 0<t<T/4 (+) L (-) Γ. Για να καθορίσουμε τη χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος δουλεύουμε ως εξής π π 5 ω / sω 500/ s, I ωqi,5 0 4 0 AI 0,A 4 Τ 8π 0 q Q ημ(ωt+ ) () i I συν(ωt+ ) () ο Υπολογισμός της αρχικής άσης ο: () t 0: q+ Q Q Q ημο ημο () i 0 0 I συνο συνο 0 0 ο< π π Άρα i I συν(ωt+ ) ή i I ημ(ωt) ή i 0, ημ(500t) (SI) Γ4. Σύμωνα με την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας στην αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση έχουμε: U + U E σταθ. E B ολ q Q 4UE Eολ 4 UB UE C C Q Q 5 4q Q q q± ή q± 0 C 4 5 Άρα το ορτίο του πυκνωτή είναι 0 C. 7 ο ο π V AB V C V L

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΘΕΜΑ Θέλουμε να μετρήσουμε πειραματικά την άγνωστη ροπή αδράνειας δίσκου μάζας m kg και ακτίνας m. Για το σκοπό αυτό αήνουμε τον δίσκο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 0 ξεκινώντας από την ηρεμία. Διαπιστώνουμε ότι ο δίσκος διανύει την απόσταση m σε χρόνο t s. Δ. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Μονάδες 7 Δ. Από την κορυή του κεκλιμένου επιπέδου αήνονται να κυλίσουν ταυτόχρονα δίσκος και δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι I MR και του δακτυλίου ΙΜR ως προς τους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. Να υπολογίσετε ποιο από τα σώματα κινείται με τη μεγαλύτερη επιτάχυνση. Μονάδες 4 Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών, όπως αίνεται και στο σχήμα, με ράβδο αμελητέας μάζας, η οποία δεν εμποδίζει την περιστροή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Δακτύλιος Δίσκος Δ. Να υπολογίσετε το λόγο των κινητικών ενεργειών K/K όπου K η κινητική ενέργεια του δίσκου και Κ η κινητική ενέργεια του δακτυλίου. Μονάδες 6 Δ4. Αν η μάζα κάθε στερεού είναι Μ,4 kg, να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα. Μεταέρετε το σχήμα στο τετράδιό σας και σχεδιάστε τις πιο πάνω δυνάμεις. Μονάδες 8 Δίνεται: g0 m/s, ημ0 0,5. Δ. Αού ο δίσκος κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει, θα ισχύουν οι σχέσεις: θ (), υ ω () και a αγων () Κατά την κύλισή του ο δίσκος δέχεται τις εξής δυνάμεις: i) το βάρος του w mg, ii) την κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο συνιστώσα N της δύναμης επαής και 8

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 iii) την παράλληλη στο κεκλιμέμο επίπεδο συνιστώσα T της δύναμης επαής, δηλαδή τη στατική τριβή. A Τ mgσυν mg Ν (+) y mgηµ Δυναμική μελέτη της μεταορικής κίνησης: Σ F ma mgημ Τ ma Δυναμική μελέτη της περιστροικής κίνησης: () () Ιαγων τt I αγωντ I T (5) Στ Η σχέση (4) σύμωνα με την (5) γίνεται I a mgημ ma mg a ημ Ιa (4) I a m a mg ημ mg ημ (Ι+ m )a a σταθ. (6) Ι+ m Σύμωνα με τη σχέση (6) η μεταορική κίνηση του δίσκου είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη από την ηρεμία (υο0), οπότε ισχύουν οι σχέσεις: υa t (7) και a t (8) Η σχέση (8), για tsec και m, θα δώσει a ή a 4m/ s t Επιστρέοντας στη σχέση (6), έχουμε: mg ημ gημ m I+ m I m ( ) I 0,5Kg m a a 4 Δ. Σύμωνα με τη σχέση (6) και τις εκράσεις των ροπών αδράνειας που δίνονται θα έχουμε MgR ημ a Ι MR MgR ημ Δίσκος: + a a I MR ΜR MgR ημ a MgR ημ Δακτύλιος: Ι + MR a a ΜR I MR gημ gημ (9) (0) 9

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (9) και (0) θα έχουμε: gημ a a 4 > ή a>a () a gημ a Επομένως με μεγαλύτερη επιτάχυνση κινείται ο δίσκος. Δ. Επειδή τα δύο κυλιόμενα στερεά είναι ενωμένα θα έχουν ίσες μετατοπίσεις σε ίσα χρονικά διαστήματα, οπότε και ίσες ταχύτητες αλλά και ίσες επιταχύνσεις. Δηλαδή: Δ Δ Δ, υ υ υ και a a a και ακόμη υ υ Rω Rω ω ω ω, a a Rα Rα α α α Για να υπολογίσουμε το λόγο που ζητείται πρέπει πρώτα να σχηματίσουμε τις εκράσεις των κινητικών ενεργειών Κ και Κ για το δίσκο και το δακτύλιο αντίστοιχα. Δηλαδή: Δίσκος υ Rω K K(μετ) + K(περ) Mυ + ΜR ω K Mυ () 4 Δακτύλιος υ Rω K K(μετ) + K(περ) Mυ + ΜR ω K Mυ () Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων () και () θα έχουμε: K K Mυ 4 Mυ Δ4. Αού η ράβδος είναι αμελητέας μάζας, οι δυνάμεις F, F που ασκούν τα άκρα της στα κέντρα μάζας του δίσκου και του δακτυλίου αντίστοιχα, θα έχουν την ίδια διεύθυνση, κατά μήκος της ράβδου, και αντίθετη ορά. Δηλαδή θα ισχύει: F F F F F F F (4) Οπότε οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα των δύο στερεών (δίσκοςδακτύλιος) αίνονται στο παρακάτω σχήμα. K K 4 Δακτύλιος N α γ T wy w w F F T a N Δίσκος w y wy w 0

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Δίσκος: ΣF Στ Ma (c) Ι α Mgημ F τ T Ι α T Τ Ma Mgημ F T Ma a R MR T Ma R Δακτύλιος: Mg ημ F Ma MaMgημ F Ma (5) ΣF Ma Mgημ+ F T Ma Mgημ+ F T Ma a Στ(c ) Ια τt Ια Τ R MR T Ma R Mg ημ+ F Ma MaMgημ+ F Ma (6) Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (5) και (6) θα έχουμε: Mgημ F Mgημ+ F 4Mgημ 4F Mgημ+ FMgημ 7F 4 Mgημ F FN 7 ΛΟΓΗΣΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα διακρίνονται για τη σαήνεια στη διατύπωσή τους, ενώ ταυτόχρονα καλύπτουν ευρύ άσμα της ύλης. Στο Θέμα Β οι υποψήιοι εξετάστηκαν ουσιαστικά σε μικρές ασκήσεις που απαιτούν από αυτούς κάποια στρατηγική, αλλά και άνεση στις αλγεβρικές διαδικασίες. Το θέμα αυτό, αν και θεωρητικό, δημιουργούσε κάποιες πρώτες προϋποθέσεις για βαθμολογική διάκριση μεταξύ των υποψηίων. Το Θέμα Γ ήταν σαές χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες για τους υποψηίους. Το Θέμα Δ ήταν πρωτότυπο, απαιτούσε ιδιαίτερη προσοχή και δημιουργεί και αυτό προϋποθέσεις για βαθμολογική διάκριση μεταξύ των υποψηίων.