Ενεργός Διατοµή (Cross section) σ = # αλληλεπδράσεων / µ. Χρ. / σωµάτιο στόχου προσπίπτουσα ροή σ, µπορεί να θεωρηθεί ως η ενεργός επιφάνεια του στόχου, δηλ. το άθροισµα των ενεργών επιφανειών των σωµατίων του στόχου, όπου γίνονται αλληλεπιδράσεις Εν γένει δεν εξαρτάται από τις γεωµετρικές διαστάσεις του στόχου ή των δοµικών Μονάδων του στόχου, πλήν εξαιρέσεων (π.χ. απορρόφηση νετρονίων) όπου σ Ροή = # προσπιπτόντων/ µον. επιφάνειας/µον. Χρ. είναι η προβολή της επιφάνειας του πυρήνα dσ dω e e p Διαφορική Ενεργός Διατοµή # σκεδαζόµενων e στο dω /µ. Χρ./σωµατιο στόχου = Προσπίπτουσα ροή θ Δεν µας ενδιαφέρουν τα άλλα σωµάτια... Άρα ολοκλήρωσε για όλα τα άλλα σωµάτια Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 1
Παράδειγµα ένα σωµάτιο, τύπου a, µε ταχύτητα, v a, διαπερνά εγκάρσια κυλινδρική περιοχή, επιφάνειας A, που περιέχει n b σωµάτια ανά µ. Όγκου, τύπου b και ταχύτητας v b Σε χρόνο dt το σωµάτιο a περνά από περιοχή που περιέχει σωµάτια τύπου b! A! v a! v b! A! σ H πιθανότητα αλληλεπίδρασης σχετίζεται µε την ενεργή επιφάνεια που καταλαµβάνουν σωµάτια, τύπου b! Πιθανότητα Αλληλεπίδρασης = Ρυθµός ανά προσπίπτον σωµάριο a = σε όγκο V, ο συνολικός ρυθµός αλληλεπίδρασης = n b v σ = Ρυθµός Αλληλεπίδρασης = Ροή x Αριθµό στόχων x ενεργό διατοµή Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 2
Υπολογισµός Ενεργούς Διατοµής Θεωρείστε την ακόλουθη σκέδαση Fermi s Golden Rule: 3! 1! 2! 4! όπου το στοιχείο πίνακα για κανονικοποίηση 1 σωµάτιο /µον. Όγκου και Γ fi = Ρυθµος 1+2 3+ 4 = R 1+2 3+ 4 ( = n V 2 )n 1 ( v 1 + v 2 )σ = n 1 ( v 1 + v 2 ) Ογκο V V n 2σ ροη Για ένα προσπίπτον και ένα σωµατιο στόχου Γ fi = ( v 1 + v 2 )σ Όροι που δεν είναι L. I. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 3
Για να χρησιµοποιήσου L.I. κυµατοσυναρτήσεις, κανονικοποιούµε σε σωµατίδια ανά µον. όγκου Ορίζουµε το L.I. Matrix element Τώρα το ολοκλήρωµα είναι γραµµένο σε L.I. µορφή Η ποσότητα µπορεί να γραφεί υπό µορφή βαθµωτών όρων και συνεπώς είναι L. I. (the Lorentz Inv. Flux) (Άσκηση) Παράδειγµα για Lorentz Invariant Flux: Centre-of-Mass Frame Ακίνητος στόχος (σωµάτιο 2) Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 4
Lorentz Invariant Flux Κεντρική σύγκρουση: a! b! Ακολουθείστε το υπολογιστικό «τέχνασµα» και Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 5
Το ολοκλήρωµα είναι L.I. ποσότητα Δείξαµε ότι η ροή µπορεί να γραφεί ως L.I. ποσότητα συνεπώς η ενεργός διατοµή είναι L.I. ποσότητα Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016
2 2 Σκέδαση στο C.o.M. Ας εφαρµόσουµε την Lorentz Invariant έκφραση για την ενεργό διατοµή αλληλεπίδρασης σε απλή περίπτωση σκέδασης. Ας µελετήσουµε την 2 2 σκέδαση στο C.o.M. Έχουµε δείξει πως ισχύσει σε κάθε σύστηµα αναφοράς ότι 1! 2! 4! 3! στο C.o.M ισχύει: ( ) = Ε 1 Ε 2 p * Ε 1 Ε 2 v 1 + v 2 + p * Ε 1 = p *Ε 2 + p * Ε 2 Ε 2 ( ) = p *( Ε 2 + Ε 2 ) = p * s Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 7
2 2 Σκέδαση στο C.o.M. 3! 1! 2! 4! i! 1! θ Το ολοκλήρωµα είναι το ίδιο µε εκείνο που υπολογίσαµε για τον ρυθµό διάσπασης αλλά το m i έχει αντικατασταθεί από το 2! Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 8
Σε περίπτωση ελαστικής σκέδασης 1! e e 3! µ + µ + Δεν είναι πάντα βολικό να υπολογίζουµε την ενεργό διατοµή στο C.o.M.. Επί παραδείγµατι, η διαφορική ενεργός διατοµή γράφεται στο CoM ως: 2! 4! Όπου η γωνίες στο αναφέρονται αποκλειστικά στο CoM Ας υπολογίσουµε µία L.I. έκφραση για την διαφορική ενεργό διατοµή Υπενθυµίζουµε την µεταβλητή Mandelstam t δηλαδή το τετράγωνο της µεταφερόµενης τετραορµής e e L.I. ως βαθµωτό γινόµενο Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 9
Θα εκφράσουµε το όπου µε όρους του Lorentz Invariant Στο C.o.M. : x! 3! 1! θ* 2! z! 2 4! διαφορίζοντας αντικαθιστώντας συνεπώς Τελικά, ολοκληρώνοντας ως προς (θεωρώντας πως το είναι ανεξάρτητο του ) καταλήγουµε ότι: Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 10
Lorentz Invariant διαφορική ενεργός διατοµή Σε αυτή την έκφραση όλες οι ποσότητες είναι Lorentz Invariant και συνεπώς, εφαρµόζεται σε κάθε σύστηµα αναφοράς. Προσέξτε ότι το είναι σταθερή ποσότητα που καθορίζεται από την διατήρηση ορµής και ενέργειας Παράδειγµα: Η διαφορική ενεργός διατοµή στο σύστηµα εργαστηρίου, για σκέδαση όπου η µάζα του προσπίπτοντος σωµατίου είναι πολύ µικρότερη του σωµατίου στόχου E 1! m 2! π.χ. σκέδαση ηλεκτρονίου σε ακίνητο πρωτόνιο Στο όριο m 2 >> m 1 Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 11
2 2 Σκέδαση στο Σύστηµα Εργαστηρίου Ας θεωρήσουµε ένα πείραµα σταθερού στόχου (σκέδαση ηλεκτρονίου σε πρωτόνιο) Ας υποθέσουµε ότι η σκέδαση γίνεται σε υψηλές ενέργειες ώστε να µπορούµε σε καλή προσέγγιση να θεωρήσουµε ότι: 1! 2! θ 3! π.χ. 1! e e 3! 4! X! X 2!! 4! Θέλουµε να εκφράσουµε την διαφορική ενεργό διατοµή συναρτήσει της γωνίας σκέδασης του e, στο σύστηµα εργαστηρίου συνεπώς Ολοκληρώσαµε ως προς Τα υπόλοιπα είναι άλγεβρα. Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 12
1! 2! θ 3! 4! συνεπώς (*) Αλλά από την διατήρηση (E,p) και... (**) Γιατί η εκφραση για το t στην (**) δεν εµπεριέχει όρους µε τη γωνία θ ;;; Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις για t Σηµειώστε ότι το Ε 1 είναι «δεδοµένο» του προβλήµατος, άρα το Ε 3 εξαρτάται µόνο από το cosθ Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 13
ας υπολογίσουµε τώρα διότι dσ/dt είναι L.I. και δείξαµε ότι στο CoM : Επιπλέον, θεωρήσαµε πως m 1 = 0 και p 2 = 0 συνεπώς : τελικά στο όριο Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 14
Αντικαθιστώντας το Ε 3, καταλήγουµε: Γενική έκφραση για 2 2 σκέδαση στο Lab. Frame Οι υπολογισµοί για την περίπτωση όπου το m 1 δεν µπορεί να αγνοηθεί (βλπ Παράρτηµα) καταλήγουν στην γενική έκφραση : Όπου η γωνία θ είναι η µόνη ανεξάρτητη παράµετρος. Το Ε 1 αποτελεί αρχική συνθήκη, ενώ το εκφράζεται συναρτήσει του από τη σχέση διατήρησης: Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 15
Συµπεράσµατα (Ι) Εκφράσαµε τον Fermi Golden Rule σε L.I. µορφή και καταλήξαµε σε υπολογισµό της ενεργού διατοµής συναρτήσει του Lorentz Invariant Matrix Element (όπου οι κυµατοσυναρτήσεις είναι κανονικοποιηµένες ως 2E σωµατια/όγκο) Ενεργός διατοµή σκέδασης στο C.o.M. L.I. Διαφορική ενεργός διατοµή (ισχύει για όλα τα συστήµατα αναφοράς): Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 16
Συµπεράσµατα (ΙΙ) Διαφορική ενεργός διατοµή στο lab. frame (m 1 =0) Διαφορική ενεργός διατοµή στο lab. frame (m 1 0) with Η θεµελιώδης φυσική της αλληλεπίδρασης βρίσκεται στο matrix element Οι εκφράσεις στις οποίες καταλήξαµε αποτελούν βάση για όλους τους επόµενους υπολογισµούς που θα επιχειρήσουµε Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 17
Παράρτηµα: γενική έκφραση 2 2 σκέδασης σε lab frame 1! 2! θ 3! 4! Η αναλλοίωτη ποσότητα t: Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 18
συνεπώς Για το de 3 /d(cosq), διαφορίζουµε το (1) εξισώνουµε και διαφορίζουµε ως προς cosθ Χρησιµοποιούµε την (1) (2) Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 19
αλλά Και µε την (2) καταλήγουµε Σπύρος Ευστ. Τζαµαρίας 2016 20