ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω μου τήν στέγην, ἤγουν μηδείς ἄδικος παρεισερχέσθω τῇδε. Δίκαιον γάρ καί ἰσότης ἔστι ἡ εωμετρία ΠΛΑΤΩΝΑΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, ραφείο 0 Στρόβολος 00 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ. 780 Φαξ: 79 Email: cms@cms.org.cy Ιστοσελίδα: www.cms.org.cy Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ ISBNset 996-9068-0-X ISBN 996-9068-5-0 Επιμέλεια έκδοσης: Ανδρέας Φιλίππου ρηγόρης Μακρίδης

Εισαγωγή Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία έχει θέσει ως πρωταρχικό στόχο της την αναβάθμιση της μαθηματικής Παιδείας στην Κύπρο. Μια από τις δραστηριότητες που σχεδιάστηκε για το σκοπό αυτό είναι η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα. ια πρώτη φορά διοργανώθηκε τον Ιανουάριο του 000 στα πλαίσια του Πρώτου Μεσογειακού Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας ως μέρος των εορτών για το έτος των Μαθηματικών όπως είχε ανακηρυχθεί από την ΟΥΝΕΣΚΟ. Η νέα αυτή Ολυμπιάδα επιτρέπει σε μαθητές από τη Δ' τάξη Δημοτικού έως τη ' τάξη Λυκείου να διαγωνισθούν την ίδια μέρα παγκύπρια. Ο σκοπός της Κυπριακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας είναι να ανακαλύψει και να ενθαρρύνει μαθητές της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με ανώτερο μαθηματικό ταλέντο, μαθητές που κατέχουν μαθηματική δημιουργικότητα και εφευρετικότητα, καθώς και ικανότητα στη χρήση των μαθηματικών. Η διατύπωση των προβλημάτων που προτείνονται για τις ολυμπιάδες διαφέρει κατά πολύ από τη στερεότυπη μορφή που δίνονται συνήθως. Η αναζήτηση απάντησης και απόδειξης απαιτούν όχι μόνο σχολικές γνώσεις αλλά πολύ περισσότερο κοινή λογική σκέψη, επινοητικότητα, ικανότητα στο συλλογισμό και την "μετάφραση" των ασυνήθιστων συνθηκών σε κατάλληλη μαθηματική γλώσσα. Σε πολλά προβλήματα ενώ τα δεδομένα και οι συνθήκες είναι πλήρως κατανοητά, παρουσιάζεται αδυναμία στο να βρούμε τον σωστό δρόμο για τον συλλογισμό ο οποίος θα μας δώσει τη λύση του προβλήματος, παρότι η λύση είναι μόνον λίγες γραμμές. Η "ανακάλυψη" ακριβώς αυτού του δρόμου συνιστά τη χαρά της μαθηματικής δημιουργίας. Τα δοκίμια είναι τύπου πολλαπλής επιλογής και βραβεύεται περίπου έξι τοις εκατό των διαγωνιζομένων με χρυσά, αργυρά και χάλκινα μετάλλια σε αναλογία ::. Η παρούσα έκδοση εκδίδεται ως βοήθημα για τους μαθητές που σκοπεύουν να συμμετάσχουν σε μελλοντικές οργανώσεις της Κυπριακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας. Η έκδοση περιέχει τα δοκίμια των έξι πρώτων Κυπριακών Μαθηματικών Ολυμπιάδων Α, Β, Λυκείου. Ευχαριστίες πρέπει να δοθούν σε όλους τους εκπαιδευτικούς που βοήθησαν να γίνει αυτή η ιδέα πραγματικότητα αλλά ιδιαίτερα τα μέλη της επιτροπής Ολυμπιάδων που αφιλοκερδώς εργάστηκαν και θα εργάζονται πάρα πολλές ώρες από τον ελεύθερο χρόνο τους για την οργάνωση των Ολυμπιάδων. Δρ. ρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Διοικητικού Συμβουλίου ΚΥ.Μ.Ε ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

6 ΚΥ.Μ.Ε.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Ιανουάριος 000 ΧΡΟΝΟΣ: 50 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσκηση. Η παράσταση ισούται με: (Α) (Β) 5 () 8 5 (Δ) 5 (Ε) 7 Άσκηση. Δύο από τους παράγοντες της συνάρτησης f ( x) = x + ax+ β είναι οι χ+ και χ+. Τα α και β ισούνται με: (Α) α=-7, β=6 (Β) α=-7, β=-6 () α=, β=- (Δ) α=-9, β=8 (Ε) α=7, β=6 Άσκηση. α β Υ δ 8 ε ξ η Στη πιο πάνω διάταξη καθένα από τα γράμματα αντιπροσωπεύει ένα ψηφίο και το άθροισμα οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών ψηφίων είναι ίσο με 8. Το η παριστάνει το ψηφίο: (Α) (Β) () 5 (Δ) 7 (Ε) 8 Άσκηση. Η σωστή διάταξη των αριθμών α= 55 β=, γ=5 είναι (Α) α<β<γ (Β) α<γ<β () β<γ<α (Δ) β<α<γ (Ε) γ<β<α Άσκηση 5. Στο σχήμα, το ΑΒΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 6 cm. To χ ισούται με: (A) 8 cm (Β) 8, cm () 0 cm (Δ) 6 cm (E) cm ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Άσκηση 6. Το πλήθος των διαγωνίων ενός οκταγώνου είναι (Α) 8 (Β) () 6 (Δ) 0 (Ε) 8 Άσκηση 7. Το εμβαδά του τριγώνου που περικλείεται από τις ευθείες (ε ): ψ = χ+, (ε ): ψ = χ + και του άξονα των χ ισούται με: (Α) (Β) 6 () 7,5 (Δ) 6 (Ε) x Άσκηση 8. Οι τιμές του χ που επαληθεύουν την ανίσωση > x είναι: (Α) χ<6 (Β)χ<0ήχ> ()<χ<6 (Δ)χ<ήχ>6 ( Ε )<χ <6 Άσκηση 9. Ποσό 6 μοιράζεται σε τρία άτομα ανάλογα προς τους αριθμούς : :. Το μικρότερο ποσό θα είναι: (Α) 0,5 (Β) () 6 (Δ) 6,50 (Ε) Άσκηση 0. Ποιου αριθμού τα των 5 είναι 0; (Α) 6 (Β) 00 () (Δ) 80 (Ε) 5 Άσκηση. Οι α, β, γ, και δ είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί με α > β > γ > δ. Αν το πηλίκο της διαίρεσης a β είναι γ και το υπόλοιπο δ, τότε η διαίρεση a γ έχει: (Α) πηλίκο γ, υπόλοιπο δ γ (Β) πηλίκο β, υπόλοιπο δ γ () πηλίκο δ, υπόλοιπο γ (Δ) πηλίκο β, υπόλοιπο γ (Ε) πηλίκο β, υπόλοιπο δ Άσκηση. Αν το χ αυξηθεί κατά 60% και το ψ ελαττωθεί κατά 0%, τότε το χψ θα (Α) ελαττωθεί κατά 0% (Β) ελαττωθεί κατά % () αυξηθεί κατά % (Δ) αυξηθεί κατά 0% (Ε) αυξηθεί κατά 0% Άσκηση. Ορίζουμε ότι χ = χ και χ ψ = χ-ψ. Η τιμή του 7 είναι: (Α) (Β) 6 () (Δ) (Ε) 96 Άσκηση. Το σύνολο των παραλληλογράμμων που υπάρχουν στο σχήμα είναι: 8 ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) 6 (Β) 7 () (Δ) 8 (Ε) Άσκηση 5. Το εμβαδά του κυκλικού τμήματος που φαίνεται στο σχήμα είναι: π R (Α) (Β) π R () π R (Δ) π R (Ε) π R Άσκηση 6. Έμπορος αγόρασε χ κιλά μήλα και πλήρωσε α. Αν τα πώλησε προς β σεντς το κιλό, το ποσοστιαίο κέρδος του ήταν: (Α) a x β x (Β) xβ 00 a () xβ 00a a (Δ) x β a x (Ε) 00 xβ a 00a Άσκηση 7. Ο τροχός του σχήματος κάνει 00 στροφές το λεπτό. Το σημείο Α σε δευτερόλεπτο θα κάνει στροφή. A K (Α) 5 (Β) 8 () 7 (Δ) 080 (Ε) 800 Άσκηση 8. Ένα βιβλίο με ν σελίδες έχει πάχος β cm περιλαμβανομένων των εξώφυλλων, τα οποία έχουν πάχος γ cm το καθένα. Άλλο βιβλίο με ν σελίδες και παρόμοια εξώφυλλα θα έχει πάχος: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) β (Β) (β-γ) () β-γ (Δ) (β-γ) (Ε) β+γ Άσκηση 9. Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο με Μ =90, ΔΕ//Β και ΒΔ=ΒΜ. Η γωνιά ΜΔΕ ισούται με: (Α) 5 (Β) 60 () 6,5 (Δ) 67,5 (Ε) 90 Άσκηση 0. Αν a = β β + γ, τότε β = (Α) a γ + a (Β) a γ a γ () + a (Δ) aγ a (Ε) a γ a Άσκηση. Μείγμα 80 g, νερού και γλυκερίνης περιέχει 0% γλυκερίνη. Αν προσθέσω 0 g νερού στο μείγμα, τότε το ποσοστό της γλυκερίνης στο μείγμα θα γίνει: (Α) 0% (Β) % () 5% (Δ) 0% (Ε) 5% Άσκηση. Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται α άνδρες και γ γυναίκες. Ο μέσος μισθός των ανδρών είναι χ και των γυναικών y. Ο μέσος μισθός όλων των εργαζομένων, ανδρών και γυναικών, είναι: (Α) x + y (Β) x y + a γ () x y + a γ (Δ) ax + γ y a + γ (Ε) ax + γ y x + y Άσκηση. Αν f ( x) a = όπου a 0, τότε x f f = x (Α) α (Β) α () χ (Δ) x (Ε) a x Άσκηση. Τα μέσα των χορδών του κύκλου (Κ, ΚΑ) που είναι κάθετες προς τη χορδή ΑΒ βρίσκονται πάνω: 0 ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) στη χορδή ΑΒ (Β) στη διάμετρο που είναι κάθετη στην ΑΒ () στη διάμετρο που είναι παράλληλη προς την ΑΒ (Δ) σε τόξο κύκλου που έχει κέντρο το μέσο Μ της ΑΒ (Ε) σε τόξο κύκλου που έχει κέντρο το μέσο Ν του τόξου ΑΒ Άσκηση 5. Έχω μπάλες από τις οποίες οι ζυγίζουν το ίδιο, ενώ η μια είναι ελαφρότερη από τις άλλες. Αν διαθέτω ζυγαριά με δύο πλάστιγγες, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός ζυγισμάτων που χρειάζομαι να κάμω για να βρω στα σίγουρα την ελαφρότερη μπάλα: (Α) (Β) () (Δ) 7 (Ε) Άσκηση 6. Αν το ν είναι ακέραιος θετικός αριθμός, τότε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 99 ν + 9 είναι πάντοτε: (Α) 0 (Β) () 8 (Δ) ένας από τους αριθμούς,, 5, 7, ή 9 (Ε) ένας από τους αριθμούς 0,,, 6 ή 8 Άσκηση 7. Σε μια φωλιά υπάρχει ένα είδος εντόμων για τα οποία είναι γνωστό ότι κάθε μεσημέρι διπλασιάζονται σε αριθμό ενώ κατά τη διάρκεια της νύκτας πεθαίνουν έντομα. Αν τη Δευτέρα το πρωί υπάρχουν έντομα στη φωλιά, πόσα έντομα θα υπάρχουν το επόμενο Σάββατο το πρωί; (Α) 5 (Β) 9 () 5 (Δ) 5 (Ε) 55 Άσκηση 8. Στο διπλανό σχήμα το τεταρτοκύκλιο χωρίζεται σε δύο μέρη από το ημικύκλιο που έχει διάμετρο την ακτίνα του τεταρτοκυκλίου. Ο λόγος των εμβαδών των E δυο μέρων ισούται με: E ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου (Α) (Β) () (Δ) (Ε) Άσκηση 9. Αν α<0 και β<0, ποια από τις πιο κάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Άσκηση 0. Η παράσταση Π= α β γ ισούται με: ΚΥ.Μ.Ε.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ:60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσκηση. Εάν ο αριθμός β είναι θετικός και α = β, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λάθος: α β > 0 Β. α + β = 0. αβ < 0 Δ. 0 α β = Ε. + α = β 0 Άσκηση. Εάν το σημείο (, ) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία ( χ,) και (,ψ ), τότε το χ+ψ ισούται με: 5 Β. 6. 7 Δ. 7 Β. 0 Άσκηση. Εάν α β = αβ, τότε η παράσταση α ( β γ ) ισούται με: αβγ Β. α βγ. βγ α Δ. αβ γ Ε. 9αβγ Άσκηση. Η λύση της ανίσωσης χ χ + >, είναι: χ + χ< ή χ> Β. χ<- ή χ>-. <χ< Δ. <χ<- Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα Άσκηση 5. Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης ( χ χ )( χ ) ισούται με: + 8 5 = 0 9 Β. 9. 0 Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα χ Άσκηση 6. Εάν f ( χ ) = 9 τότε η παράσταση f ( χ ) f ( χ ) + ισούται με: 9 Β. f ( χ ). f ( x ) Δ. 8 f ( χ ) Ε. 9 f ( χ ) χ ψ ισούται με: Άσκηση 7. Η παράσταση ( ) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ χψ χ ψ Β. χ + ψ. χ ψ Δ. ψ χ χψ Ε. χ ψ Άσκηση 8. Το πλήθος των ακεραίων λύσεων της ανίσωσης ν 7ν + 6 0 είναι: A. 0 B.. 5 Δ. 6 Ε. περισσότερες από 7 Άσκηση 9. Δίνεται η εξίσωση x x + μ = 0, όπου μ είναι θετικός ακέραιος. Αν οι ρίζες της εξίσωσης ρ, ρ είναι θετικοί και διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, τότε η τιμή της παράστασης ( ) Κ= ρ+ ρ + ρ ρ ισούται με: 6 Β. 96. 0 Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσκηση 0. Ο αριθμός ( 8) είναι ίσος με: Β. +. Δ. Ε. Άσκηση. Η κλίση μιας ευθείας είναι μη μηδενική και ισούται με την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον y-άξονα Αν η ευθεία τέμνει τον x-άξονα στο α, τότε το α ισούται με: Β.. Δ. Ε. 5 χ Άσκηση. Εάν f ( χ + ) =, τότε η συνάρτηση f ( ) x ισούται με: 5 χ Β. χ. χ + 5 χ Δ. χ 6 Ε. Τίποτα από τα προηγούμενα. Άσκηση. Το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης χ συνχ + = 0 είναι: { } Β.. { } Δ. { } Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα Άσκηση. Αν για να αγοράσουμε 5 ταχινόπιτες πρέπει να δώσουμε τόσες λίρες όσες ταχινόπιτες αγοράζουμε με μία λίρα,τότε η μία ταχινόπιτα στοιχίζει: 5 σεντς Β. 5 σεντς. 0 σεντς Δ. 0 σεντς Ε. 0 σεντς Άσκηση 5. Δίνεται ένα κυρτό εικοσάγωνο Α... Α0.Ο αριθμός των διαγώνιων που ενώνουν τις κορυφές με άρτιους δείκτες (π.χ. Α Α, ) ισούται με: 5 Β. 0. 65 Δ. 0 Ε. 0 ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Άσκηση 6. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο με ΑΕ =ΕΖ=ΖΒ= και ΑΗ = ΗΘ = ΘΔ = χ. Aν ΒΗ ΔΕ = ΘΖ, το μήκος του ΑΔ ισούται με: Β. 7. 7 7 Δ. Ε. Άσκηση 7. Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 6 cm. Το μήκος της μιας διάστασης του ισούται με χ cm. Η γραφική παράσταση του εμβαδού Ε, του ορθογωνίου, συναρτήσει του χ είναι: Ε Ε Ε Ε Ε χ χ χ χ Β.. Δ. Ε. χ Άσκηση 8. Εάν το κέντρο του κύκλου με διάμετρο είναι κορυφή ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου όπως φαίνεται στο σχήμα και το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής είναι του εμβαδού του τριγώνου τότε η κάθετη πλευρά του τριγώνου ισούται με: Β. 6π. π Δ. 6π Ε. π Άσκηση 9. Ο μικρότερος θετικός ακέραιος κ (κ>0) έτσι ώστε η παράσταση κ + + κ + + + κ + να είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού ισούται με: ( ) ( ) ( ) 9 Β.. Δ. Ε. 9 Άσκηση 0. Δίνεται συνάρτηση f : χ, χ {} 0. Η παράσταση χ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ ( ( ( ))) f f f χ ισούται με: 6 Β. 8. Δ. 8² Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα Άσκηση. Στο σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα Β εφάπτεται του κύκλου ακτίνας με κέντρο την αρχή Ο ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Εάν το ευθύγραμμο τμήμα Ο τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ρ, τότε το μήκος του τμήματος Ρ ισούται με: Ο Β.. Δ. Ε. χ = χω Άσκηση. Δίνεται το σύστημα ψ = ψω Η θετική τιμή του ψ η οποία χ + ψ = επαληθεύει τις εξισώσεις ισούται με: 0 Β. 0. 0 Δ. 0 Ε. 6 0 Άσκηση. Έστω f συνάρτηση που ορίζεται για μ, ν έτσι ώστε: () i f ( μ ), ( ) ( ) ii f =, ( iii) f ( μν) = f ( μ) f ( ν) ( iv) f ( μ ) f ( ν ) Η τιμή του f() ισούται με: > όταν μ > ν Β.. Δ. 6 Ε. 6 Άσκηση. Οι πλευρές των τριών τετραγώνων ΑΒΔ, ΑΕΖΗ και ΑΘΙΚ στο διπλανό σχήμα, είναι ακέραιοι αριθμοί και το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι. Αν ΒΕ=ΘΕ, το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΘΙΚ είναι: 6 ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Α Δ Η Κ Β Ε Θ Ζ Ι 5 Β. 56. 89 Δ. 00 Ε. 96 Άσκηση 5. ( ) Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο = 90 και ο κύκλος με κέντρο Ο είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο. Αν ΚΛ διάμετρος, ΚΛ // ΑΒ, ΚΜ ΑΒκαι ΛΝ ΑΒ, η γωνία ΜΝ ισούται με: Μ Ν 0 Β. 60. 50 Δ. 5 Ε. 5 Άσκηση 6. Η ευθεία c χ = τέμνει το τρίγωνο με κορυφές ( 0,0 ), (,) ( 9,) και και το χωρίζει σε δύο μέρη. Εάν το εμβαδόν των δύο περιοχών στις οποίες χωρίζεται το αρχικό τριγώνου είναι ίσο, τότε η τιμή c ισούται με: Ψ (,) χ=c (9,) (0,0) X 5 Β.. 7 Δ. Ε. 0 Άσκηση 7. Σε ένα διαγωνισμό Μαθηματικών πήραν μέρος 000 μαθητές. Το δοκίμιο περιείχε προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα απαντήθηκε σωστά από 900 ακριβώς μαθητές, το δεύτερο από 800, το τρίτο από 700 και το τέταρτο από 600. Κανένας από τους διαγωνιζόμενους δεν απάντησε σωστά και στα τέσσερα προβλήματα. Οι μαθητές που έλυσαν το τρίτο και το τέταρτο πρόβλημα πήραν μετάλλιο. Ο αριθμός των μαθητών που πήραν μετάλλιο ισούται με: 700 Β. 500. 00 Δ. 650 Ε. 00 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Άσκηση 8. Δίνονται δύο ακολουθίες : αν = + ν και βν ν = + όπου ν=,,, Έστω μ ο μικρότερος αριθμός έτσι ώστε αμ < βμ και ο κ είναι ο μεγαλύτερος αριθμός έτσι ώστε α > β +. Η τιμή του μ + κ ισούται με: κ 5 Β. 0. Δ. Ε. 8 κ Άσκηση 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f 0, f, f,..., f ν με f 0( x) = και x f ( x) = + f ( x) για κάθε k =0,,,..,ν-.Το f (00) είναι: 000 k k 0 Β. 999. 998 Δ. 00 Ε. -000 Άσκηση 0. Το συνολικό άθροισμα των ψηφίων των αριθμών 00 00 και 5 είναι: 999 Β. 00. 00 Δ. 600 Ε. 00 8 ΚΥ.Μ.Ε.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσσκκηησσηη.. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ=Α=6 και Β=5. Αν Δ σημείο της πλευράς Β τέτοιο ώστε ΒΔ =, το μήκος του ΑΔ είναι: 5 Β.. Δ. Ε. 5 Άσσκκηησσηη.. Η παραβολή με εξίσωση ψ = αχ + βχ + γ έχει κορυφή το σημείο (,) και περνά από το σημείο (,0). Το γινόμενο αβγ ισούται: 60 Β. 60. 8 Δ. 8 Ε. Κανένα από προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Εάν χ χ χ χ = ψ ψ ψ ψ α τότε το α ισούται: 8 Β.. Δ. 8 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Ο μεγάλος μαθηματικός De Morgan έζησε κατά τον 9 ο αιώνα μ.χ. Στον τελευταίο χρόνο της ζωής του είπε: «ήμουν χ χρονών το έτος χ²». Το έτος γέννησης του De Morgan ήταν: 806 Β. 8. 89 Δ. 85 Ε. 85 Άσσκκηησσηη 55.. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι ευθείες (ε ): ψ = χ + και (ε ): ψ = χ +. Το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Β. 9. Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. Άσσκκηησσηη 66.. Στο τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ = 6, 0 BAM = 0, ΑΜ διάμεσος, ΑΜ = 8. Το εμβαδόν του τριγώνου ( AM Δ ) ισούται: Α Β Μ Β. 7. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Ο αριθμός + είναι ρίζα της συνάρτησης: χ + 0χ + Β. χ 0χ +. χ χ + Δ. χ 0χ + 6 Ε. χ 0χ + 0 Άσσκκηησσηη 88.. Το σημείο Ρ ανήκει στην ευθεία ψ = 5χ +. Το σημείο Σ έχει συντεταγμένες (, ). Αν Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΡΣ, τότε το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία. 5 7 ψ = χ Β. ψ = 5χ +. 7 ψ = χ 5 5 Δ. 5 ψ = χ + Ε. ψ = 5χ 7 Άσσκκηησσηη 99.. Στο διπλανό κύκλο τα τόξα A και ΒΔ έχουν μέτρα A = 70, ΒΔ = 0. Αν οι χορδές ΑΒ και Δ τέμνονται στο σημείο Ρ η γωνία ΡΒ ισούται: Α Ρ Δ Β 90 Β. 5. 0 Δ. 50 Ε. 75 Άσσκκηησσηη 00.. Στο διπλανό σχήμα ΑΒΔ είναι τετράγωνο και ΒΕΖ κυκλικός τομέας μέσα στο ορθογώνιο ΑΗΖΔ. Εάν ΑΔ = Ε, ο λόγος των ευθυγράμμων τμημάτων ΔΖ και ΑΔ ισούται: 0 ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Α Β Η Δ Ε Ζ Β. + 5. + 0 Δ. + 7 Ε. Άσσκκηησσηη.. Στο διπλανό σχήμα ΑΒ, ΔΕ είναι διάμετροι στον κύκλο με κέντρο, Ζ μέσο του τόξου ΑΔ, ΕΖ χορδή του κύκλου που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Η. Αν 0 ΒΕ = 60 η γωνία Α H Ζ ισούται: Ε Α Η Β Ζ Δ 5 Β. 0. 5 Δ. 5 Ε. Αδύνατο να υπολογιστεί Άσσκκηησσηη.. Ένας ακέραιος αριθμός α διαιρούμενος με το 6 δίνει υπόλοιπο 5, ενώ διαιρούμενος με το 7 δίνει υπόλοιπο. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το είναι: 9 Β. 0. 8 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Αν οι αριθμοί μ,ν είναι περιττοί με μ > ν > τότε για την εξίσωση χ + μχ + ν = 0 τι ισχύει από τα παρακάτω: Η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγωνο. Β. Η εξίσωση έχει ρίζες άρρητες.. Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Δ. Το άθροισμα των ριζών είναι περιττός αριθμός. Ε. Το γινόμενο των ριζών είναι πρώτος αριθμός. Άσσκκηησσηη.. Δύο γεωργοί θέλουν να μοιράσουν ένα δοχείο με 0 λίτρα λάδι, έχοντας μόνο βοηθητικά άδεια δοχεία των 5 lt και lt, ώστε ο πρώτος να πάρει 9 lt και ο δεύτερος lt. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός των δοκιμών για να το πετύχουν αυτό: 6 Β. 5. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 55.. Αν για τη συνάρτηση ψ f ( χ ) =, χ ισχύουν οι συνθήκες: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ (α) για κάθε, (β) f ( ) = χ χ με χ χ f ( χ ) f ( χ ) και Τότε η λύση της ανίσωσης f ( χ ) + f είναι: ( χ ) χ = Β. χ =. χ = 0 Δ. χ = Ε. χ = Άσσκκηησσηη 66.. Στο διπλανό σχήμα, ΑΒΔ είναι τετράγωνο, πλευράς. Εάν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ και ΔΡ Μ, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΡ ισούται: Δ Ρ Α Μ Β 5 Β. 5 5. Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 77. χ χ ισούται:. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f ( χ ) = + 6 Β. 0. Δ. 5 Ε. 8 Άσσκκηησσηη 88.. Εάν f ( χ ) f ( f ( α )) = α, και f ( α ) χ =. Το πλήθος των τιμών του α για τις οποίες ισχύει χ + α ισούται: 0 Β.. Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 99.. Εάν α =, α =, αν = για ν, χ, χ 0 χ α αν Το α 00 ισούται με: χ Β. χ. χ Δ. χ χ Ε. χ Άσσκκηησσηη 00.. Δίνονται τρία τετράγωνα με διαστάσεις όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους ισούται: ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Β. 9. 5 Δ. 5 Ε. 5 Άσσκκηησσηη.. Σε ένα τραπέζιο ΑΒΔ (ΑΒ//Δ) με ΑΒ>Δ, το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των ΑΒ και Δ ισούται με το μισό της διαφοράς των βάσεων του και περνά από το σημείο τομής Ε των προεκτάσεων των μη παράλληλων πλευρών του τραπεζίου. Η γωνία AEB ισούται: 0 Β. 90. 0 Δ. 0 Ε. 60 Άσσκκηησσηη.. Εάν (χ,ψ) είναι λύση του συστήματος : του ψ ισούται: χ ψ = χ + ψ 7 χ + ψ = χ ψ τότε η τιμή 5 Β.. Δ. 9 Ε. 5 Άσσκκηησσηη.. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες (δ) και (ε) είναι παράλληλες, οι τρεις κύκλοι εφάπτονται ανά δύο, η ευθεία (δ) εφάπτεται στους κύκλους με κέντρα Κ, Κ και η ευθεία (ε) εφάπτεται στους κύκλους με κέντρα Κ, Κ. Αν ο κύκλος με κέντρο Κ έχει ακτίνα 9 και ο κύκλος με κέντρο Κ έχει ακτίνα η ακτίνα του κύκλου με κέντρο Κ ισούται: K (δ) K K (ε) 0, Β.. 8 Δ. Ε. 7 Άσσκκηησσηη.. Εάν χ χ χ = + +, τότε το 8 χ είναι ίσο με: + χ + χ Δ. 7+ χ + χ Β. + χ + χ Ε. + 0χ + χ. + 6χ + 7χ Άσσκκηησσηη 55.. Έστω 00 χ =. Το πλήθος των θετικών ακέραιων αριθμών που ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ υπάρχουν ανάμεσα στους 00 Β. χ + χ + και 00 +. χ χ 00 Δ. + + ισούται: 00 + Ε. 00 Άσσκκηησσηη 66.. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α=0) και Β=. Τα σημεία Σ και Ρ ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα Β έτσι ώστε ΒΣ:ΣΡ:Ρ=::. Τα μέσα των ΑΒ και Α είναι το Ε και Ζ αντίστοιχα. Φέρνουμε τις καθέτους από τα σημεία Ε και Ρ πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΣΖ που το τέμνουν στα Μ και Ν αντίστοιχα. Το μήκος του τμήματος ΜΝ ισούται: 9 Β. 0. Δ. Ε. 5 Άσσκκηησσηη 77.. Οι τρεις κύκλοι ακτίνας R εφάπτονται, και τα κέντρα ανήκουν στην ευθεία ΟΔ. Η ευθεία Ο εφάπτεται του (Μ, R) και τέμνει τον κύκλο (Κ, R) στο σημείο Ο. Το μήκος της χορδής ΑΒ ισούται: Ο Β Α Κ Λ Μ Δ ( + 5 ) R Β. R 6. R 8 Δ. R 65 5 Ε. 8 R 5 Άσσκκηησσηη 88.. Ο κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα εφάπτεται του θετικού ημιάξονα των τετμημένων και του θετικού ημιάξονα των τεταγμένων όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύκλος με κέντρο Β έχει ακτίνα και εφάπτεται του θετικού ημιάξονα Χ και του κύκλου με κέντρο Η ευθεία (ε) εφάπτεται και των δύο κύκλων. Η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας (ε) με τον άξονα ΨΨ ισούται: (ε) A B O Δ + 6 Β. 0 +. 8 Δ. 0 + Ε. 9+ Άσσκκηησσηη 99.. ια την συνάρτηση ψ f ( χ ) = ισχύει ότι για κάθε χ > 0, ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ f χ = χ + χ χ, τότε το f ισούται: 5 Άσσκκηησσηη 00. με: Β. 9. Δ. 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 5 6. Το ψηφίο των μονάδων του γινομένου ( 5 )( 5 )( 5 ) + + + ισούται 0 Β.. Δ. 5 Ε. 6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου Άσσκκηησσηη.. Η τιμή της παράστασης 5 + + 5 + 5 + 5 5 είναι: 5 Β. 5 5. 5 Δ. 0 5 Ε. 0 5 Άσσκκηησσηη.. Στο σύνολο των ακεραίων ορίζουμε την πράξη ( ): α β = α β. Η τιμή του ( ) είναι: 5 Β.6. 7 Δ. 0 Ε. ο. Αν στο διπλανό σχήμα ΑΒ είναι ορθογώνιο τρίγωνο ( Β = 90 ) ο ( Α = 0 ), ΑΒ=6, ΒΔ Α και ΔΕ Β το μήκος του ΔΕ είναι: Άσσκκηησσηη. με Α Δ B Ε 8 Β.. Δ. Ε. κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη. άξονα των x σε:. Η γραφική παράσταση της ( ) ( ) y = x 5x + x x + τέμνει τον 7 σημεία Β.5 σημεία. σημεία Δ.0 σημεία Ε. σημεία Άσσκκηησσηη 55.. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = f (x) με τύπο είναι: f ( x) = (,] Β. (,). (, 0) ( 0,) Δ. (, 0) ( 0,] Ε.[,+ ). Η απόσταση της κορυφής της παραβολής = ( x ) + Άσσκκηησσηη 66. αρχή των αξόνων είναι: 6 x x y από την ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Α Β.. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Στο διπλανό σχήμα Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, Α, Β, ΔΕ, ΔΖ, ΖΕ αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι, το εμβαδόν του τριγώνου ΗΘΙ είναι: Α Δ H Ε Θ Ι Β Ζ 8 Β. 6. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 88.. Σε οικοδομικό συγκρότημα σχήματος κυρτού εξαγώνου οι πλευρές και οι διαγώνιές του είναι δρόμοι. Αν κάθε δρόμος πρέπει να φωτίζεται με μια τουλάχιστον λάμπα τότε για να φωτιστούν όλοι οι δρόμοι, χρειάζονται τουλάχιστον 5 λάμπες Β. 6 λάμπες. 7 λάμπες Δ. 8 λάμπες Ε. 9 λάμπες Άσσκκηησσηη 99. ( + ) ( ). Η παράσταση ισούται: Β.. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 00.. Στο παρακάτω σχήμα ΑΒ=Β=Δ=ΔΕ. Α Β Δ Ε Αν n το πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων που δημιουργούνται από τα σημεία Α,Β,,Δ,Ε τότε ο πληθικός αριθμός του συνόλου Μ των μέσων των πιο πάνω ευθυγράμμων τμημάτων είναι: 0 Β.5. Δ. 7 Ε. 8 Άσσκκηησσηη.. Αν η κορυφή της παραβολής y = x + 6x + μ άξονα των x, η τιμή του μ είναι: βρίσκεται πάνω στον Β. 9.-9 Δ. 0 Ε. 6 Άσσκκηησσηη.. Αν για την συνάρτηση f (x) y = ισχύει ( f ( x) ) x 5 = για κάθε x R 8 ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου τότε το ( ( f ( x) )) 65 f ισούται με: 65 5 6 x Β. x. x Άσσκκηησσηη.. Aν φ ο 0 είναι: Δ. 65 x Ε. ( x ) 65 = η τιμή της παράστασης Τ= ( ημφ + συνφ) ημφσυνφ Β.. Δ. 0 Ε. Άσσκκηησσηη.. Ο μεγαλύτερος από τους πιο κάτω αριθμούς είναι: 50 0 Β. 00 6. 00 Δ. 50 Ε. Άσσκκηησσηη 55.. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ=8.Με κέντρα τα Α, Β και ακτίνα γράφουμε τα τόξα Ο και ΔΟ. Με κέντρα τα, Δ και ακτίνα γράφουμε τα τόξα ΑΟ και ΒΟ. Ο λόγος του εμβαδού του σκιασμένου μέρους προς το εμβαδόν του ημικυκλίου είναι: 50 Δ A O B Β.. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 66.. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων η ευθεία ε : y = x τέμνει τους άξονες xx ' και yy ' στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και η ευθεία ε : y = x + κ ( κ > 0) τέμνει τον άξονα yy' στο. Η κάθετη στον άξονα xx ' στο Α τέμνει την ε στο Δ. Αν το εμβαδόν του ΑΒΔ είναι, η τιμή του κ είναι: Β.. 5 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Η τιμή της παράστασης + + +... + 5 6 7 είναι: 6 Β.. 9 Δ. 9 Ε. 7 Άσσκκηησσηη 88.. Αν Τ = 000 + 00 και Κ = 00 + 00 ισχύει: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Τ>Κ Β. Τ<Κ. Τ=Κ Δ. Τ= Κ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 99.. Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α η γωνία Β=0 και Β=8.Το σκιασμένο χωρίο που είναι η διαφορά των κυκλικών τομέων ΑΔ και 7π ΖΗ είναι.το μήκος του ΑΖ είναι: 6 B Δ Η Α Ζ Α 7 Β.. 7 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 00.. Το πάτωμα ενός δωματίου είναι τετράγωνο και καλύπτεται πλήρως με ν τετραγωνικά πλακίδια. Αν το πλήθος των πλακιδίων κατά μήκος των διαγωνίων είναι, τότε το ν ισούται: 00 Β.7. Δ. 8 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + x + 5 = 0,τότε η τιμή της ρ + 5ρ + 7 ρ + 5ρ + 7 παράστασης Μ = + είναι: ρ + 7ρ + 5 ρ + 7ρ + 5 0 7 Β. 5. 7 0 Δ. 7 Ε. 5 0 Άσσκκηησσηη.. Στον αριθμό 00 αβ το β είναι το ψηφίο των μονάδων και το α το ψηφίο των εκατοντάδων. Το πλήθος των δυνατών τιμών των ζευγών ( α, β ) είναι: 7 Β. 5. Δ. Ε. 0 Άσσκκηησσηη.. Η τιμή του κλάσματος + + 5 +... + 999 00+ 00 + 005 +... + 999 είναι: 0 ΚΥ.Μ.Ε.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Β.. 0 Δ. 9 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Στο σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΒΔ είναι ισόπλευρα με πλευρές ΑΒ=, Β=5. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΕΔ είναι: Δ Ε A B 5 5 Β.. 9 Δ. 8 5 Ε. Άσσκκηησσηη 55.. Στο σχήμα ΟΑ = Ο = 8. Το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι: A Β O 8π Β.6π.π- Δ. 8π- Ε. π+ Άσσκκηησσηη 66.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και ΒΕ, ΔΖ διχοτόμοι των γωνιών Β και Δ αντίστοιχα και Β=. Αν ΒΕΔΖ είναι ρόμβος το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΔ είναι: Α Ζ Β Δ Ε Β. +. Δ. + Ε. + ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' Λυκείου Άσσκκηησσηη 77.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔΕΘΙΚ είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο διαστάσεων ΑΒ=8, Β=6 και ΑΕ=5. Αν Μ, Ν, Ι και Κ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,Β, ΘΗ και ΕΘ αντίστοιχα,η περίμετρος του τετραπλεύρου ΜΝΙΚ είναι: Α Μ Β Ε Κ Δ Ζ Ν 0 ( + ) Β. 0 ( ) Θ Ι Η +. 0 Δ.5 + 5 Ε. 0 + Άσσκκηησσηη 88. Ο,α, ΟΕ ακτίνα του και ΣΕ εφαπτόμενο τμήμα.. Αν η ΣΑΒ είναι τέμνουσα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και ΣΕ =β η θετική. Δίνεται κύκλος ( ) ρίζα της εξίσωσης x + ax x = 0 όπου a β R +, είναι το ευθύγραμμο τμήμα ; Β Ο α Ε β Σ ΣΟ Β. ΣΒ. ΣΑ Δ. ΑΒ Ε. ΣΕ. Η συνάρτηση [ ] Άσσκκηησσηη 99. f ( x) = x λέγεται «ακέραιο μέρος» και ορίζεται ως εξής: x R f ( x) = [] x είναι ο μέγιστος ακέραιος αριθμός ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του x. [π.χ Αν 5 x < 6 τότε f ( x) = [ x] =5].Αν f ( x) = x + [] x + με x [ 0,),το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της f τις ευθείες x=0, x= και τον άξονα των x είναι: 9 Β. 9. 5 Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 00. εξίσωσης + = x y. Το πλήθος των ζευγών ( y) είναι: x, των θετικών ακέραιων λύσεων της Β.. 5 Δ. Ε. ΚΥ.Μ.Ε.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου ΆΆσσκκηησσηη... Αν (χ+y)(x-y)+(x-y)² +(x+y)² = 6 το χ ισούται: 6 Β. 6. Δ. 5 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα ΆΆσσκκηησσηη... Το ΑΒΔ είναι τετράγωνο πλευράς α.αν Α(, ) τότε η κλίση της Α είναι: Β.. Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. ΆΆσσκκηησσηη... Στο σχήμα είναι ΑΒ=Α, ΔΒ=Δ, ΒΑ = 50. ΒΔ = 00.Το μέτρο της γωνίας ΑΒΔ είναι: 0 Β. 5. 50 Δ.,5 Ε. 0 ΆΆσσκκηησσηη... Αν x+y = και χ + y = 5 τότε η τιμή της παράστασης χ + y είναι: 6 Β. 57. Δ. Ε. 50 ΆΆσσκκηησσηη 55... Άδειο κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης γεμίζει νερό με σταθερή ροή. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Η σχέση του ύψους h με τον όγκο V του νερού περιγράφεται από τον τύπο V = π h+ 5 Β. V = π h. V π h = Δ. V π = Ε. V = π h ΆΆσσκκηησσηη 66... Η παραβολή y = αx +βχ + γ περνά από τα σημεία (0,6), (-,) και (,-). Η τιμή του α+β+γ είναι: 5 Β. 5 5. - 5 Δ. 5 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα ΆΆσσκκηησσηη 77... Αν α και β είναι ρίζες της εξίσωσης x +5x + 8 = 0 τότε η εξίσωση με ρίζες a, β είναι: Χ - 9 Χ + 6 = 0 ΆΆσσκκηησσηη 88. είναι: Β. x -9x-6 = 0. 6Χ +9Χ + = 0.. Δίνεται η συνάρτηση / με τύπο f ( x) = Δ. 6Χ -9Χ + = 0 Ε. 6x -9x+6 = 0. Το πεδίο ορισμού της x (-,] Β. [-,]. R-{-} Δ. (-,] Ε. (-,) ΆΆσσκκηησσηη 99... Ένα κιβώτιο περιέχει πράσινες,6 λευκές και 0 κόκκινες σημαίες που χρησιμοποιήθηκαν για τον στολισμό ενός κτηρίου κατά τον εορτασμό του καρναβαλιού στην Λεμεσό.Οι σημαίες απομακρύνονταν τυχαία από το κιβώτιο και κρεμιόντουσαν.ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός σημαιών που πρέπει να κρεμαστούν για να είναι βέβαιο ότι τουλάχιστον δύο σημαίες από κάθε χρώμα έχουν κρεμαστεί. 6 Β. 0. Δ. Ε. 8 ΆΆσσκκηησσηη 00... Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο ( Α = 90 ) με ΑΒ=Α= χ και Μ και Ν τα μέσα των πλευρών Α και ΑΒ αντίστοιχα. Το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου είναι: x ΆΆσσκκηησσηη. Β. x. x Δ. x 6 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα... Αν f ( x ) = 8x + f ( 0) + 6 και και f ( 0) > 0 το ( ) f ισούται -68 Β. -. -6 Δ. 8 Ε. -6 ΚΥ.Μ.Ε.

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΆσσκκηησσηη... Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο ισχύει BO = Δ.(Ο μέσο της Δ) Τότε ΒΑΔ- ΑΒΔ είναι: 60 Β. 0. 00 Δ. 90 Ε. 05 ΆΆσσκκηησσηη... Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο ( Α = 90 ), Β=0. Αν Δ η διχοτόμος της ΑΒ τότε ο λόγος ΔΒ ΔΑ είναι: Β.. Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη... Στο διπλανό σχήμα το πολύγωνο ΑΒΕΔ έχει τις κορυφές του Α, Ε, Δ πάνω σε κύκλο ακτίνας α. Αν ΒΕΔ είναι τετράγωνο πλευράς α και ΑΒ ισόπλευρο τρίγωνο το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι: α πα Β. πα α α. πα Δ. ( ) a π Ε. πα ΆΆσσκκηησσηη 55... νωρίζοντας ότι x = + είναι μία ρίζα της εξίσωσης χ - χ+ = 0 η τιμή της παράστασης x 5 x + 6 x - 6 x : για x = + είναι: A. + Β.. 0 Δ. + Ε. ΆΆσσκκηησσηη 66... Υποθέτουμε ότι Ρ(χ) είναι πολυώνυμο και ισχύει P( x) 7 P( x ) = +. τότε ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ ο βαθμός του πολυωνύμου είναι: 9 Β.. Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη 77... Το άθροισμα όλων των τιμών του χ που ικανοποιεί την εξίσωση x ( ) x x 6 + 6 = είναι: 0 Β. 6. 7 Δ. Ε.-5 ΆΆσσκκηησσηη 88... Στο διπλανό τετράπλευρο έχουμε ΒΑ = ΒΔ, ΒΕ Α, ΒΕ = ΕΔ και AE E=. Αν τα μήκη των διαγωνίων του ΑΒΔ είναι ακέραιοι αριθμοί το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι: Β.. Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα ΆΆσσκκηησσηη 99... Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισόπλευρο πλευράς α.τα τόξα γράφτηκαν με κέντρα τα σημεία Α,Β,. Αν ΑΔ=β τότε το χ είναι: α-β Β. a + β. β-α Δ. α-β Ε. α-β ΆΆσσκκηησσηη 00... Αν ν είναι άρτιος αριθμός και ισχύει α είναι: ν ( ) ( ) ν + x x 5 + 5 + 6 00 + = 00 με α, χ θετικοί ακέραιοι τότε η τιμή του α a 0 Β.. Δ. Ε. 5 x y ΆΆσσκκηησσηη... Αν a =, β = και a y x ( ) x + β = y τότε + είναι: x y 6 ΚΥ.Μ.Ε.

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Β.. Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη... Η τιμή της παράστασης 00 008 7+ είναι: - Β.. 5 Δ. Ε. 9 ΆΆσσκκηησσηη... ια πόσους ακέραιους α ( a 00) κάποιου αριθμού; ο αριθμός α α είναι τετράγωνο 5 Β. 50. 55 Δ. 5 Ε. 5 ΆΆσσκκηησσηη... Στο σπίτι της γιαγιάς υπάρχει ένα καλάθι με μήλα και αχλάδια. Όταν επισκέφτηκαν το σπίτι της γιαγιάς όλα τα εγγόνια της,η γιαγιά τους πρόσφερε όλα τα φρούτα που είχε και κάθε παιδί πήρε το ίδιο πλήθος φρούτων χωρίς να δώσει σημασία τι είδος φρούτων πήρε το καθένα. Αν ο μεγαλύτερος εγγονός πήρε το των μήλων και 8 το των αχλαδιών,τα εγγόνια της γιαγιάς ήταν : 0 7 Β. 8. 9 Δ. 0 Ε. ΆΆσσκκηησσηη 55... Στο διπλανό σχήμα έχουμε ΑΔ=, ΒΔ= και Δ=. Αν η γωνία ΟΑΔ είναι 0 το εμβαδόν του τριγώνου ΟΔΕ είναι: Β.. Δ. Ε. ΆΆσσκκηησσηη 66... Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο τραπέζιο ύψους 0 με παράλληλες πλευρές 8 και. Αν ΒΕ = 90 τότε το χ=αε είναι: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', ' ΛΥΚΕΙΟΥ Β.. Δ. 8 Ε. ΆΆσσκκηησσηη 77... Κάθε μέρα ο Αντώνης φεύγει από την προπόνηση του στο γήπεδο για το σπίτι του την ίδια ώρα με το ποδήλατο του. Αν τρέχει με ταχύτητα 0 Km/h φθάνει στο σπίτι του στις 8 h 0.Av τρέχει με ταχύτητα 0Km/h φτάνει στο σπίτι του στις 9h 5. Με ποια ταχύτητα σε Km/h πρέπει να τρέχει για να φθάσει στο σπίτι του στις 9h; 7 Β. 5. Δ. Ε. 8 ΆΆσσκκηησσηη 88... Από τις παρακάτω διατάξεις η σωστή είναι 0 6 > 5 > Β. 6 0 > > 5. 6 0 > > 5 Δ. 0 6 5 > > Ε. 0 6 5 > > ΆΆσσκκηησσηη 99... Κλειστό γυάλινο κωνικό δοχείο περιέχει ποσότητα νερού. Όταν το δοχείο τοποθετηθεί σε οριζόντιο επίπεδο με την βάση του να βρίσκεται πάνω στο επίπεδο το ύψος του νερού είναι cm.av τοποθετηθεί ανεστραμμένο ώστε η κορυφή του να είναι προς τα κάτω και η βάση του παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο το ύψος του νερού είναι cm.to ύψος του κωνικού δοχείου είναι + 9 6 Β.. 6 Δ. 9 6 Ε. + ΆΆσσκκηησσηη 00... Η παράσταση ( 5 ) ( 5 ) + ισούται: 5 Β. 5. Δ. Ε. 8 ΚΥ.Μ.Ε.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 005 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' LYKEIOY Άσσκκηησσηη.. Αν a 005 005 = + και β 005 005 = τότε η τιμή του α β είναι: Β. 005. Δ. 005 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Πόσα ζευγάρια θετικών ακεραίων (, ) x y ικανοποιούν την εξίσωση 5x+ 5y = 00. κανένα Β. τρία. δυο Δ. τέσσερα Ε. ένα Άσσκκηησσηη.. Αν x τότε η τιμή της παράστασης K ( x ) ( x ) = + είναι: Β. -. 0 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΔ> είναι ύψος και ( ΑΒ ) =, ( Β ) =, 0 = 5. A B Δ To ΑΔ είναι: Α + Β.. Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 55.. Το πλήθος των θετικών ακεραίων αριθμών που είναι μικρότεροι από το 000 και δεν διαιρούνται ούτε με το,ούτε με το 5 είναι: 769 Β. 065. 067 Δ. 069 Ε. 070 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη 66.. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί Ν= αβγδ (σε δεκαδική μορφή) ικανοποιούν όλες τις παρακάτω συνθήκες (α) 000 Ν< 000 (β) είναι πολλαπλάσιοι του και του 5 (γ) β,γ πρώτοι αριθμοί με β γ και β + γ άρτιος αριθμός. 8 Β. 6. 0 Δ. 8 Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Αν y x+ y ω y+ ω = = x 6x y z 7y x+ z με xyzω,,, > 0, 6x y+ z, 7y x z τότε η τιμή του x y είναι: Β.. 7 Δ. Ε. 5 Άσσκκηησσηη 88.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο είναι: f( x) = 0.Το πεδίο ορισμού της x + (,] Β.[ 0, ]. R { } Δ. [, ) (, + ) Ε.(, ) Άσσκκηησσηη 99.. Το κλάσμα + + είναι ίσο με ( 5 ) Β. +. + Δ. Ε. + ( ) Άσσκκηησσηη 00.. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι παραλληλόγραμμο με 0 ΔΖ = 0 και ΑΚ Δ. 0 ΑΔ= 60, A Z B Ε Ποιό από τα παρακάτω είναι σωστό Δ Κ ΕΖ = ΑΚ Β. ΑΒ = ΑΔ. ΕΖ= ΑΔ Δ. ΕΖ= ΑΔ Ε. ΔΕ = ΕΚ 0 ΚΥ.Μ.Ε.

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη.. Αν x + f ( x) f = x x, το f (5) ισούται Β. 005. - Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Οι πλευρές ΑΒ,Β,Α προεκτείνονται κατά και = Β. ΑΑ = Α, ΒΒ = ΑΒ Α Β Β Α Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι,τότε το εμβαδόν του τριγώνου Α Β είναι: Β.. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Η κυρτή επιφάνεια ορθού κώνου είναι.αν η απόσταση του κέντρου της βάσης από μια γενέτειρά του είναι d,τότε ο όγκος του είναι: d Β. d. d Δ. d Ε. d Άσσκκηησσηη.. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα 6 και διάμετρος ΑΒ. Στην ακτίνα 0 ΟΒ παίρνουμε σημείο,ώστε Ο=.Χορδή ΕΖ περνά από το και ΕΒ = 60. Το μήκος του ΕΖ είναι : 0 Β. 6. Δ. Άσσκκηησσηη 55. α, β α β ισχύουν και β = α + 5,τότε η τιμή του γινομένου αβ είναι :. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ( ) Ε. Κανένα από τα προηγούμενα α = β + 5-9 Β. 0. 5 Δ. 7,5 Ε. - ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη 66.. Στο διπλανό σχήμα τα τόξα α, β έχουν άθροισμα 0 0. Δ x A y O β α K B Το x + y ισούται με 0 90 Β. 0 50. 0 00 Δ. 0 0 Ε. 0 0 Άσσκκηησσηη 77.. Σε παραλληλόγραμμο με πλευρές και 7 η διαφορά των διαγώνιων είναι. Τότε το άθροισμα των διαγώνιων του είναι: Β. 6. 8 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 88.. Ένα σωληνάριο περιέχει 5cm οδοντόπαστας. Αν πιέσουμε το σωληνάριο, ώστε να αδειάσει τελείως και η μορφή της οδοντόπαστας που βγαίνει είναι κυλινδρική με κάθετη διατομή διαμέτρου 7mm, τότε το μήκος της οδοντόπαστας είναι (δίνεται π = ): 7 m Β. 0,5m. m Δ. m Ε.,5m Άσσκκηησσηη 99.. Ν είναι ένας πενταψήφιος θετικός ακέραιος. Ένας εξαψήφιος ακέραιος Ρ κατασκευάζεται με την προσθήκη του ψηφίου στο τέλος του Ν και ένας άλλος εξαψήφιος Q κατασκευάζεται με την προσθήκη του ψηφίου στην αρχή του Ν. Αν ο Ρ είναι τριπλάσιος του Q,τότε ο Ν είναι : 587 Β. 857. 867 Δ. 87 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 00.. Το ΑΒΟ είναι τετράγωνο πλευράς και το Δ είναι το μέσον του Ο. Η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι : y Α Β Ο Δ x (ε) ΚΥ.Μ.Ε.

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ x + y = Β. Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ x+ y =. y = x Δ. x + y = Ε. y = x Άσσκκηησσηη.. Δυο κύκλοι (Ο, ρ) και (Κ,ρ) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Από το Α φέρνουμε την ΑΔ και ΚΣ Α, ΟΡ ΑΔ. Δ Ρ Ο Α Σ Κ Β Αν ΚΣ = ΟΡ,ο λόγος των εμβαδών του τετράπλευρου ΟΚΣΡ προς του τριγώνου ΚΔ είναι: Β.. Δ. Ε. Άσσκκηησσηη.. Η Ομόνοια και ο Απόλλωνας είναι μεταξύ των 6 ομάδων που προκρίθηκαν σε ένα ευρωπαϊκό τουρνουά ποδοσφαίρου. Θεωρώντας ότι όλες οι ομάδες είναι εξίσου πιθανόν να νικήσουν σε κάθε αγώνα που παίζουν, πόσο πιθανόν είναι να αγωνιστούν μεταξύ τους οι δυο κυπριακές ομάδες, αν ο τρόπος οργάνωσης του τουρνουά είναι αυτός που φαίνεται στο σχήμα 7 8 Β.. Δ. 8 Ε. 6 Άσσκκηησσηη.. Το γινόμενο των ψηφίων ενός τετραψήφιου αριθμού είναι 90. Πόσοι τέτοιοι αριθμοί υπάρχουν Β. 5. 60 Δ. 0 Ε. 6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη.. Μια στροφή ενός δρόμου πλάτους 5m σε όλο της το μήκος, έχει κατασκευαστεί ως εξής: τα τμήματα ΑΒ, Α Β είναι τόξα ομόκεντρων κύκλων με κέντρο το Κ,ενώ τα τμήματα Β,Β είναι τόξα ομόκεντρων κύκλων με κέντρο το σημείο Λ (σχήμα). B Β Α Α 60 Κ 0 Λ 0 0 Αν ΑΚΒ = 60 και ΒΛ = 0,τότε η διαφορά της εσωτερικής διαδρομής Α Β από την εξωτερική ΑΒ είναι : 5π m Β. Άσσκκηησσηη 55.. Η καμπύλη (κ) έχει εξίσωση ΑΒΟ είναι 6. Η τιμή του c είναι : 5π m. 0 m Δ. m Ε. π m xy = c και το εμβαδόν του ορθογωνίου ± Β.. Δ. 6 Ε. Άσσκκηησσηη 66.. Τρίγωνο ΑΒ έχει κορυφές Α(0,),Β(,0),(x,5) με 0< x <. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 8,τότε το x ισούται : Β.. Δ. Ε. 8 ΚΥ.Μ.Ε.

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, ΛΥΚΕΙΟΥ Άσσκκηησσηη 77.. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και χορδή ΑΒ=α. Αν Α,Β εφαπτόμενα τμήματα, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι : Α B Ο α R Β. 5α R. 0α Δ. R α α Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 88.. Τα τρίγωνα ΑΒ,Α Β είναι ίσα, τα ΜΝΚΑ, ΘΗΖΙ είναι τετράγωνα Ε και Β Η=ΗΖ=Ζ. Αν Ε = α,τότε ο λόγος Ε είναι: B Β Η Μ Ν Ε Θ Ε Ζ A Κ Α Ι Β. 9 8. 8 9 Δ. Ε. Άσσκκηησσηη 99.. Ένας σκιέρ ανεβαίνει με το τελεφερίκ τη χιονοδρομική πίστα με σταθερή ταχύτητα km h και κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα km. Αν η χιονοδρομική πίστα h έχει το ίδιο μήκος με τη διαδρομή που ακολουθεί το τελεφερίκ και αγνοήσουμε το χρόνο παραμονής στην κορυφή της πίστας, τότε η μέση ταχύτητα της συνολικής διαδρομής (άνοδος κάθοδος) σε km h είναι: Β. 8 7. 0 Δ. 7 Ε. 5 7 Άσσκκηησσηη 00.. Η τιμή της παράστασης Κ = + + είναι: Β.. Δ. Ε. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 006 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', ' Λυκείου. Μια γαλακτοβιομηχανία, σε ποσότητα γάλακτος με % λιπαρά προσθέτει ποσότητα γάλακτος με % λιπαρά και παράγει 00 κιλά γάλα με % λιπαρά. Η ποσότητα γάλακτος με % λιπαρά, που προστέθηκε είναι (σε κιλά) 000 Β. 600. 800 Δ. 0 Ε. 80. Αν α β α β α β =, R τότε η τιμή της παράστασης ( ) Κ= + είναι Β. 0. Δ. 9 Ε.. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f ( x) = + x είναι (, + ) Β. [ 0, + ). [, + ) Δ. [,0] f x = αx + 9 x+, α 0. α Ποιο από τα παρακάτω ισχύει για τη γραφική παράσταση της f. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) 8 Ε. R τέμνει τον Β. εφάπτεται στον. εφάπτεται στον Δ. έχει ελάχιστο Ε. έχει μέγιστο άξονα των x άξονα των y άξονα των x σημείο σημείο 7 8 5. Αν α, β είναι ακέραιοι μεγαλύτεροι του και ισχύει α = β, τότε η μικρότερη δυνατή τιμή του α + β είναι 8 Β.. 5 Δ. 56 Ε. 5 6. Η τιμή της παράστασης Κ= 9 + 8 7 + είναι Β.. + Δ. - Ε.

7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα από 5 7. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισόπλευρο και ΑΔ Β, ΔΕ Α, ΕΖ Β. Αν ΕΖ =, η πλευρά του ΑΒ είναι A Ε Β Δ Ζ Β. 8. Δ. Ε. 9 8. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔΕ είναι κανονικό πεντάγωνο και Ζ,Η,Θ,Ι,Κ σημεία τομής των προεκτάσεων των πλευρών του. Αν το εμβαδόν του «αστεροειδούς» ΑΗΒΘΙΔΚΕΖΑ είναι, τότε το εμβαδόν του τετράπλευρου ΑΙΖ είναι Β.. 7 Δ. Ζ 0 Η A Ε B Κ Δ Θ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Ι 9. Αν x = και y = 6, τότε ποιο από τα παρακάτω ισχύει x = y Β. x < y. x = y Δ. x > y Ε. Κανένα από τα 0. Αν x = 5 και 5 y = 56, το γινόμενο xy ισούται με προηγούμενα 7 Β.. Δ. 8 Ε. 6. Οι ευθείες (ε): x y = 0 και (δ): x+ y = y τέμνονται στο σημείο. Αν η ευθεία (δ) τέμνει B τους ημιάξονες Οx και Οy στα σημεία Α και Β (ε) αντίστοιχα, τότε ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου ΟΑ προς το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒ είναι O A χ (δ) Β.. 5 Δ. Ε. 9

7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα από 5 α με α= β α β = α β β με α > β f ( β αα, ) μεα< β. Αν f (, ) f (, ), τότε η τιμή του f ( 8,7) είναι 8 Β. 0. Δ. 5 Ε.. Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 006 0 006 είναι 8006 Β. 0060. 006 Δ. 807. Ένας μικρός κήπος ΑΒΔ, σχήματος ορθογωνίου χωρίζεται σε ένα ορθογώνιο ΑΖΕΔ και ένα τετράγωνο ΖΒΕ, έτσι ώστε τριγώνου ΔΒΕ να είναι ΑΕ = 5m και το εμβαδόν του m. Το εμβαδόν του κήπου A Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Ζ B είναι Δ E m Β. 0m. 6m Δ. m Ε. 0 5 m 5. Η παράσταση: + + + + 7 7 + 0 0+ + ισούται με Β. 6. Αν x, x οι ρίζες της εξίσωσης x. 5 κx+ μ = 0, τότε Δ., x x Ε. είναι ρίζες της εξίσωσης Β.. Δ. Ε. x κ x+ μ = 0 x κ x 0 μ + μ = x μ x 0 κ + μ = μx κx+ = 0 κx μx+ = 0 7. Το τρίγωνο ΑΒ είναι ισόπλευρο πλευράς α και α ΑΔ = ΒΕ =. Το μέτρο της γωνίας ΡΕ είναι Δ Α Ρ Β Ε 0 60 Β. 0 50. 0 0 Δ. 0 5 Ε. 0 70

7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα από 5 8. Η παραβολή του διπλανού σχήματος έχει κορυφή το σημείο Κ(κ,0) και τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο (0,κ). Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΒ είναι 8, τότε η εξίσωση της παραβολής είναι y (0,κ) O(0,0) Κ(κ,0) B A x y = ( x+ ) Β. y = ( x ). y = x + Δ. = + Ε. y = x x+ y x x 9. Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές με ΑΒ = Α = και 0 Α = 5. Αν ΒΔ ύψος του τριγώνου και ο κυκλικός τομέας ΒΛΔΚΒ ανήκει στον κύκλο (Β,ΒΔ), το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας που βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο και έξω από τον κυκλικό τομέα είναι ίσο με Α Λ Δ Β Κ π 6 π Β. 0. ια την ακολουθία f : Αν f () = f ( ) =, τότε το f ( ). 8 π 6 Ν R ισχύει f ( n) = f ( n ) f ( n ), n. n ισούται με Β. -. Δ. Ε. 0. Κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και 70 διαγώνιους. Τότε το ν ισούται με Δ. π 8 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 0 Β. 0. 50 Δ. 60. Το ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν βρίσκονται στις πλευρές ΑΒ, Β, Δ, ΔΑ αντίστοιχα ΑΚ ΒΛ Μ ΔΝ ώστε = = = =. Αν Ε το εμβαδόν ΚΒ Λ ΜΔ ΝΑ του ΚΛΜΝ και Ε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΔ, Ε ο λόγος Ε 5 9 ισούται με Β.. 9 5 Δ. 5 Α Ν Δ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Κ Μ Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Β Λ

7η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Σελίδα 5 από 5. Από μαθητές που επέλεξαν Μαθηματικά, Φυσική, Χημεία, δεν υπάρχει μαθητής που επέλεξε μόνο ένα μάθημα. Αν ο αριθμός των μαθητών που επέλεξαν μόνο Μαθηματικά και Χημεία είναι τετραπλάσιος από τον αριθμό αυτών που επέλεξαν μόνο Μαθηματικά και Φυσική και ο αριθμός των μαθητών που επέλεξαν μόνο Φυσική και Χημεία είναι τριπλάσιος από τον αριθμό αυτών που επέλεξαν και τα μαθήματα, τότε ο αριθμός των μαθητών που επέλεξαν και τα μαθήματα είναι 0 Β. 5. Δ. Ε.. Το πλήθος των διαιρετών του αριθμού 006 είναι Β.. 8 Δ. 5 Ε. 6 5. Με τα μουσικά όργανα κιθάρα, μπουζούκι και βιολί θα σχηματίσουμε μελή ορχήστρα στην οποία θα υπάρχουν τουλάχιστον διαφορετικά όργανα. Το πλήθος τέτοιων ορχηστρών είναι Β. 5. Δ. Ε. 6. Το μέγιστο πλήθος των σημείων τομής τριών διαφορετικών κύκλων και μιας ευθείας είναι 9 Β. 0. Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 7. Στο ανάπτυγμα του x Ο όρος αυτός έχει τιμή + x υπάρχει όρος που δεν περιέχει το x. Β. 6. Δ. 0 Ε. 8. Σε ισοσκελές αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒ ϕ είναι το μέτρο των οξειών γωνιών του και ΑΒ = Α = α. Αν Δ το ίχνος του ύψους από την κορυφή Β του τριγώνου, το Δ είναι ίσο με α συν ϕ + Β. α ( συνϕ ) 9. Δίνεται η συνάρτηση f : Η τιμή του ( ) 7 Β. ( ( )) ( ) f f f είναι. α ( + συν ϕ ) Δ. α ( + συνϕ ) Ε. α ( + ημϕ ) f n με ( ) n+,αν n περιττ ός =. n, αν n άρτιος 8. 8 Δ. 6 Ε. 56 0. Αν x y z 00 75 50 =, =, = 5, τότε ποιο από τα παρακάτω είναι ορθό x < y< z Β. x < z < y. y < z< x Δ. y < x< z Ε. Κανένα από τα προηγούμενα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Οδηγίες προς τους Διαγωνιζόμενους ΧΡΟΝΟΣ : 60 Λεπτά Μα συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στο αντίστοιχο κυκλάκι. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με μονάδες. ια κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται μονάδα. Απάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερα από ένα κυκλάκια θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο καθιστά την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χώρο δίπλα από τις ασκήσεις για βοηθητικές πράξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις είναι τελικές. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7