Για τον προσδιορισμό της εξίσωσης του κύματος θα κάνουμε τις παρακάτω παραδοχές :

Μεθοδολογία και ασκήσεις στα αρμονικά μηχανικά κύματα Στην μελέτη ενός κύματος μας ενδιαφέρει να μπορούμε να προσδιορίσουμε πως κινείται κάθε χρονική στιγμή,οποιοδήποτε σημείο του μέσου διάδοσης του κύματος. Για ένα αρμονικό κύμα αυτό μπορεί να γίνει αν προσδιορίσουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών y (x, t) που να μας δίνει κάθε χρονική στιγμή (t) την απομάκρυνση (y) από τη θέση ισορροπίας τους των διαφόρων σημείων του μέσου διάδοσης που απέχουν απόσταση (x) από την πηγή της διαταραχής. Την συνάρτηση αυτή θα την ονομάζουμε εξίσωση κύματος. Γενική μορφή εξίσωσης αρμονικού κύματος Για τον προσδιορισμό της εξίσωσης του κύματος θα κάνουμε τις παρακάτω παραδοχές : 1. Έστω ότι μια πηγή που βρίσκεται σε επαφή με ένα γραμμικό ελαστικό μέσο (π.χ χορδή), εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. 2. Θεωρούμε ένα σύστημα ορθογώνιων αξόνων Οxy, με τον άξονα χ χ να τον ορίζουμε άξονα διάδοσης του κύματος και τον άξονα y y άξονα ταλάντωσης των μορίων της χορδής. 3. Ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων (χ =0) των διαφόρων σημείων της χορδής θεωρούμε τη θέση της πηγής. 4. Αρχή μέτρησης του χρόνου t=0 τη χρονική στιγμή που η πηγή αρχίζει να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της (y = 0 ) με ταχύτητα ταλάντωσης θετική u T >0. Έτσι η πηγή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Η απομάκρυνση y της πηγής από τη θ.ισορ. θα δίνεται τότε από τη σχέση : y = A ημωt. Όπου Α το πλάτος ταλάντωσης της πηγής και ω η γωνιακή συχνότητα. 5. το μέσο διάδοσης το θεωρούμε γραμμικό ελαστικό, οπότε η διαταραχή διαδίδεται χωρίς απώλειες και το πλάτος της ταλάντωσης για όλα τα σημεία του μέσου είναι ίδιο με το αυτό της πηγής 6. Ότι το κύμα διαδίδεται προς τη δεξιά κατεύθυνση της πηγής. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 1

Η διαταραχή αυτή (ταλάντωση) που δημιουργήθηκε στην πηγή αρχίζει να διαδίδεται στο ελαστικό μέσο με σταθερή ταχύτητα u και όλα τα σημεία του μέσου το ένα μετά το άλλο, σε διαφορετικές χρονικές στιγμές θα αρχίσουν να εκτελούν κι αυτά απλή αρμονική ταλάντωση ανάλογη με αυτή της πηγής. Δηλαδή θα εκτελέσουν ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και πλάτους. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι θέσεις και η φορά κίνησης διάφορων σημείων του ελαστικού μέσου σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές καθώς αυτό διαδίδεται. Παρατηρούμε πως κάθε σημείο ακολουθεί στη κίνηση το αμέσως προηγούμενο του. Έτσι, για ένα σημείο του ελαστικού μέσου που απέχει απόσταση x από την πηγή η διαταραχή θα φτάσει στο σημείο αυτό τη χρονική στιγμή x t 1 (2). Εάν λοιπόν η πηγή u ταλαντώνεται για χρόνο t, το σημείο που βρίσκεται στη θέση x, λόγω της καθυστέρησης αυτής θα ταλαντώνεται για μικρότερο χρονικό διάστημα t t 1. Οπότε η απομάκρυνση y του τυχαίου αυτού σημείου από τη θ.ισορ. του κάθε χρονική στιγμή, θα δίνεται από τη σχέση : ή y A 2 ( - ) 2 ( ) T u T T Η εξίσωση y 2 ( ) T ή x αντίστοιχα y 2 (f t ) (3) ονομάζεται εξίσωση κύματος. Η εξίςωςη ενόσ κύματοσ μασ δίνει την απομάκρυνςη y από τη θέςη ιςορροπίασ του κάθε ςημείου του μέςου διάδοςησ που βρίςκεται ςε μια θέςη x κάθε χρονική ςτιγμή t. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 2

Στην περίπτωση που το κύμα διαδίδεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, (αυτό μπορεί να συμβεί αν η θέση της πηγή δεν συμπίπτει με το σημείο στο οποίο ορίσαμε την αρχή μέτρησης της απόσταση) τότε ένα τυχαίο σημείο που βρίσκεται στη θέση x, (δεξιότερα του χ=0) προηγείται χρονικά στην ταλάντωση σε σχέση με το σημείο x = 0 και η εξίσωση του κύματος θα έχει τη μορφή y 2 ( ) (4). T Φρήσιμες πληροφορίες Στη μελέτη ενός κύματος θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας τα παρακάτω : Η συχνότητα ενός κύματος καθορίζεται αποκλειστικά από τη συχνότητα της πηγής του κύματος. Κατά τη διάδοση ενός κύματος, η συχνότητα του παραμένει σταθερή και είναι ανεξάρτητη από το μέσο μέσα στο οποίο διαδίδεται. Αφού στο ίδιο μέσο η ταχύτητα είναι σταθερή μπορούμε από τη σχέση χ=u t να υπολογίσουμε την απόσταση x που έχει διαδοθεί το κύμα σε χρόνο t μέσα στο μέσο διάδοσης με την προϋπόθεση ότι το κύμα δεν έχει αρχική φάση. Η ταχύτητα ενόσ κύματοσ και το μήκοσ κύματοσ παραμένουν σταθερά για όςο το κύμα διαδίδεται ςτο ίδιο μέςο. Αλλάζουν όμωσ, όταν το κύμα αλλάξει μέςο διάδοςησ. Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής υ = λ f είναι ένα βασικό εργαλείο για να υπολογίζουμε άγνωστα στοιχεία του κύματος ανάλογα με τα δεδομένα που έχουμε κάθε φορά. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 3

Σαχύτητα και επιτάχυνσης ταλάντωσης Ανάλογα με την εξίσωση του κύματος οι εξισώσεις που μας δίνουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σημείου του μέσου διάδοσης καθώς εκτελεί την απλή αρμονική ταλάντωση θα δίνονται από τις σχέσεις: u T 2 2 2 ( ) (4) και α 2 ( ) y T T Η σχέση μεταξύ της απομάκρυνσης y ενός σημείου του ελαστικού μέσου διάδοσης με μάζα m και της ταχύτητας ταλάντωσης u T, την ίδια χρονική στιγμή περιγράφεται από την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης (Α.Δ.Ε.Τ.) 1 Dy 2 1 mu T 2 1 2 2 2 2 DA (6) Aν γνωρίζουμε τη θέση x ενός σημείου του μέσου διάδοσης μπορούμε να βρούμε την απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας, τη ταχύτητα της ταλάντωσης και την επιτάχυνση του, μια τυχαία χρονική στιγμή t χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3), (4) και (5) αντίστοιχα. (5) Εύρεση εξίσωση κύματος- στοιχείων κύματος Ο προσδιορισμός της εξίσωσης ενός κύματος, με δεδομένο ότι η εξίσωση στη γενική της μορφή δίνεται από την σχέση y 2 ( ) απαιτεί τον υπολογισμό από τα δεδομένα της T άσκησης των παρακάτω στοιχειών : του πλάτους του κύματος Α, της περίοδο Τ ή της συχνότητα f του κύματος και του μήκους κύματος λ, Αντίστροφα αν μας είναι γνωστή η εξίσωση του αρμονικού κύματος μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε τα παρακάτω στοιχεία του κύματος : το πλάτος Α, την περίοδος T, τη συχνότητα f, το μήκος κύματος λ και την ταχύτητα κύματος u Για να προσδιορίσουμε τα στοιχεία αυτά εργαζόμαστε ως εξής : Φέρνουμε τη δοθείσα εξίσωση του κύματος στην μορφή y 2 ( ) (3) T Συγκρίνουμε τα στοιχεία της διαμορφωμένης εξίσωση με αυτά στην γενική μορφή και εξισώνουμε τους συντελεστές των ομοίων όρων. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 4

Αν ζητάμε τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία ένα σωμάτιο που βρίσκεται στη θέση χ έχει ορισμένη απομάκρυνση y = y 1, τότε εφαρμόζουμε για το ζεύγος τιμών (t 1, y 1) την εξίσωση του αρμονικού κύματος και προχωράμε στην λύση της αντίστοιχης τριγωνομετρικής εξίσωσης. Παραδείγματα 1. Kαηά κήθνο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ δηαδίδεηαη κε ηαρύηεηα u = 10m/s, θαηά ηε ζεηηθή θαηεύζπλζε, αξκνληθό θύκα πνπ παξάγεηαη από κηα πεγή ε νπνία ηαιαληώλεηαη ζύκθωλα κε ηε εμίζωζε y=0,02εκ10πt (S.I.).Nα βξεζνύλ : α. ε εμίζωζε ηνπ θύκαηνο. β. ε απνκάθξπλζε y από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ελόο ζεκείνπ Α ηνπ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε ρ=2 m ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 1 sec. γ. ε πξώηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην ζεκείν Α απέρεη 0,01 m από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ. Λύση Α. Επειδή το πλάτος και η συχνότητα του κύματος είναι ίδια με αυτά της πηγής,από τη εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής έχουμε Α=0,02m και ω=10π rad/s, οπότε f=5 Hz. Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής θα έχουμε λ = u/f= 10/5 = 2m. Έτσι η εξίσωση του κύματος θα είναι : y=0,02ημ2π(5t-x/2) (S.I.) Β. Στη εξίσωση του κύματος θέτουμε όπου x=2 και t=1,οπότε έχουμε : y=0,02ημ2π(5 1-2/2)=0,05ημ2π 4=0 Άρα το σημείο αυτό τη χρονική αυτή στιγμή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του Γ. Στην εξίσωση του κύματος θέτουμε y=0,01 λύνουμε την εξίσωση ως προς t Το κύμα στη θέση χ=2m φθάνει τη στιγμή t=x/u=x/λf=2/10=0,2 sec Αφού t=13/60=0,21 > 0,2 η χρονική αυτή στιγμή είναι δεκτή τιμή 2. Έζηω όηη καο δίλεηαη ε εμίζωζε ελόο θύκαηνο δίλεηαη από ηε ζρέζε y= 0,1εκπ(10t x/8) θαη καο δεηνύληαη ηα ζηνηρεία ηνπ θύκαηνο Λύση Εφαρμόζοντας τα παραπάνω φέρνουμε την εξίσωση του κύματος στη μορφή 10 x y 0,1 2 ( t ) 2 2 8 Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 5

πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με το 2 για εμφανιστεί ο όρος 2π μπροστά από την παρένθεση x,δηλ. y 0,1 2 (5 t ) και τη συγκρίνουμε με την γενική μορφή τής εξίσωσης του κύματος. 16 t 1 x x Οπότε έχουμε 5t, T s και, 16m T 5 16 Άρα προκύπτει τελικά ότι Α = 0,1m, f = 5 Hz, T = 0,2s, λ = 16m και με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής έχουμε ότι υ = 80m/s. Υάση Κύματος Από την εξίσωση του κύματος η παράσταση φ 2 ( ) ονομάζεται φάση του κύματος και T όπως φαίνεται είναι ένα μέγεθος που εξαρτάται από δύο μεταβλητές. a. Από το χρόνο t b. Από την απόσταση x ενός σημείου του μέσου διάδοσης από την πηγή Διαφορά φάσης Δφ δύο διαφορετικών σημείων του μέσου. H διαφορά δύο τιμών της φάσης της ταλάντωσης δύο σημείων του μέσου διάδοσης που βρίσκονται στις θέσεις χ 2 και χ 1 (με χ 2 > χ 1, οπότε φ 1 > φ 2 ) την ίδια χρονική στιγμή t αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση: Διαφορά φάσης Δφ σ ένα σημείο του μέσου δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. H διαφορά δύο τιμών της φάσης της ταλάντωσης ενός τυχαίου σωματιδίου που βρίσκεται στη θέση χ,ανάμεσα σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές t 1 & t 2 (t 2 >t 1) αποδεικνύεται με ανάλογο τρόπο όπως παραπάνω ότι δίνεται από τη σχέση : Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 6

υμφωνία φάσης. Tα σημεία του μέσου που κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα με αυτήν της πηγής λέμε ότι βρίσκονται σε συμφωνία φάσης με την πηγή και απέχουν απόσταση χ, η οποία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ, δηλαδή : χ = κλ με κ = 1,2,3 κλπ. Δύο ςημεία που απέχουν απόςταςη Δx=λ έχουν διαφορά φάςησ 0 ή 2π Αντίθεση φάσης. Τα σημεία του μέσου που κάθε χρονική στιγμή έχουν αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα με αυτήν της πηγής λέμε ότι βρίσκονται σε αντίθεση φάσης με την πηγή και απέχουν απόσταση χ, η οποία είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος λ,δηλαδή: λ x (2k 1) με κ = 1,2,3 κλπ 2 Δύο ςημεία που απέχουν απόςταςη Δx=λ/2 έχουν διαφορά φάςησ π Φρήσιμες πληροφορίες για τη φάση ενός κύματος 1. Στη πηγή αντιστοιχεί η μέγιστη τιμή της φάσης. Αν όπου χ στη φάση θέσουμε το μηδέν που είναι η θέση της πηγής, τότε t έχουμε ( ή 2π ) (μέγιστη τιμή). Συνεπώς όσο πιο μακριά T από την πηγή βρίσκεται ένα σημείο,όσο απομακρυνόμαστε δηλαδή από την πηγή και μεγαλώνει το χ, τόσο πιο μικρή είναι θα είναι η φάση του σημείου αφού από τον παράγοντα αφαιρείται πάντα μια ποσότητα x 2π λ t 2π T 2. Η φάση είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν για σημεία του μέσου στα οποία έχει φτάσει η διαταραχή και ίση με το μηδέν για σημεία στα οποία η διαταραχή δεν έχει φτάσει ακόμη. Μπορούμε, έτσι θα να βρούμε τη θέση ενός σημείου του μέσου αν γνωρίζουμε τη χρονική στιγμή που έφτασε το κύμα στο σημείο αυτό. Μηδενίζουμε τη φάση του κύματος (φ = 0), και λύνουμε ως προς χ. 3. Μετριέται σε rad 4. Την ίδια χρονική στιγμή t τα διάφορα σημεία του μέσου έχουν διαφορετική φάση. Η πηγή ενόσ κύματοσ έχει τη μεγαλύτερη φάςη. Όςο πιο μακριά είμαςτε από την πηγή τόςο πιο μικρή είναι και η φάςη ενόσ ςημείου του μέςου διάδοςησ Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 7

5. υγκρίνοντας τις φάσεις των ταλαντώσεων 2 σωματιδίων του μέσου διάδοσης, που βρίσκονται στην ίδια ευθεία διάδοσης του κύματος σε μια ορισμένη χρονική στιγμή, μπορούμε να βρούμε τη φορά κατά την οποία διαδίδεται το κύμα. Γνωρίζουμε ότι όσο πιο μακριά από την πηγή είμαστε τόσο πιο μικρή γίνεται η φάση δηλαδή το κύμα διαδίδεται από το σημείο που έχει τη μεγαλύτερη φάση προς το σημείο που έχει την μικρότερη. Έτσι αρκεί να ξέρουμε πιο σημείο έχει την μεγαλύτερη φάση για να προσδιορίσουμε τη φορά διάδοσης. Π.χ. αν ξέρουμε ότι φ Β > φ Γ αυτό σημαίνει ότι το συγκεκριμένο κύμα διαδίδεται από το σημείο Β προς το σημείο Γ (προς τα δεξιά ). 6. Αν γνωρίζουμε τη φορά διάδοσης του κύματος,μπορούμε στη συνέχεια εύκολα να βρούμε και τη φορά κίνησης (φορά της ταχύτητας) των διαφόρων σωματιδίων του μέσου, καθώς κάθε σημείο με κάποια καθυστέρηση, κινείται ακριβώς όπως το προηγούμενο του. Κάθε ςημείο του μέςου διάδοςησ με κάποια καθυςτέρηςη, κινείται ακριβώσ όπωσ το προηγούμενο του ακολουθώντασ την πορεία του. Π.χ. στο συγκεκριμένο στιγμιότυπο αφού το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά και το σημείο Α είναι προηγείται του σημείου Β και βρίσκεται πιο «πάνω» από το Β,προκύπτει ότι η φορά κίνησης του Β (φορά της ταχύτητας ταλάντωσης) θα είναι προς τα πάνω ενώ του Γ προς τα κάτω. Περίπτωση αρχικής φάσης Αν τη χρονική στιγμή (t = 0), η πηγή του αρμονικού κύματος ταλαντώνεται με τρόπο τέτοιο ώστε να έχει αρχική φάση φ ο δηλαδή τη στιγμή t=0 το κύμα έχει διαδοθεί πέρα από τη πηγή (χ=0). Η εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής θα είναι η y = Aημ(ωt+φ ο),και η αρχική φάση μεταφέρεται και στην εξίσωση του κύματος και αυτή γίνεται : y 2 t T x Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 8

Γραφικές παραστάσεις φάσης Α. Η εξίσωση της φάσης κύματος φ για ένα σταθερό σημείο του μέσου διάδοσης στη θέση x 1, σε συνάρτηση με το χρόνο t δίνεται από τη σχέση t ( t) 2 ( ό) T Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. Η χρονική στιγμή t 1 είναι η χρονική στιγμή στην οποία έχει φτάσει το κύμα στο σημείο αυτό, που εκείνη τη στιγμή έχει φάση φ=0. Β. Η εξίσωση που δείχνει τη φάση κύματος φ, για τα διάφορα σημεία του μέσου διάδοσης μια δεδομένη χρονική στιγμή t 1, δίνεται από τη σχέση : ( x) 2 ( ό Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραπάνω σχέσης. Το σημείο που βρίσκεται τη θέση x 1 έχει φάση φ=0 και συνεπώς είναι το σημείο μέχρι το x ) λ οποίο έχει φτάσει το κύμα τη χρονική στιγμή t 1. Αν με κάποιο τρόπο μας δίνεται η μια ή και οι δύο από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις, μπορούμε από τις συντεταγμένες των σημείων τομείς που οι δύο καμπύλες τέμνουν τους άξονες, εύκολα να βρούμε στοιχεία του κύματος όπως το μήκος κύματος, η συχνότητα, η περίοδος και η ταχύτητα κύματος. Παραδείγματα 1. Γίλεηαη ε εμίζωζε ηνπ θύκαηνο y=2εκ2π(4t-0,5x) (S.I.) πνπ δηαδίδεηαη ζε νκνγελέο γξακκηθό ειαζηηθό κέζν θαη 2 ζεκεία Α θαη Β πνπ ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή έρνπλ θάζεηο θ Α =14π rad θαη θ Β =13π rad αληίζηνηρα. Α. Να πξνζδηνξηζηεί ε θνξά δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο θαη ε απόζηαζε ηωλ δύν ζεκείωλ Β. λα γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο i. ηεο θάζεο ζε ζπλάξηεζε κε ηε ζέζε ηε ρξνληθή ζηηγκή t= 1sec ii. ηεο θάζεο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν γηα ηε ζέζε ρ= 16m Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 9

Λύζε A. Επειδή θ Α > θ Β Το κύμα θα διαδίδεται από το σημείο Α προς το σημείο Β Από τη σχέση, έχουμε Βi. H εξίσωση της φάσης αυτού του κύματος είναι φ=2π(4t-0,5x). Για να σχεδιάσω την ευθεία που αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση χρειάζομαι 2 σημεία. Τα σημεία αυτά θα είναι η πηγή και το σημείο μέχρι το οποίο έχει φθάσει το κύμα τη στιγμή t= 1sec Τις συντεταγμένες αυτών των σημείων μπορώ να τις βρώ με παρακάτω «πινακάκι» θ ρ 8π 0 0 8 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η ζητούμενη γραφική παράσταση. Βii H εξίσωση της φάσης αυτού του κύματος είναι φ=2π(4t-0,5x). Για να σχεδιάσω τη γραφική αυτή παράσταση χρειάζομαι επίσης 2 σημεία. Τις συντεταγμένες αυτών των σημείων μπορώ να τις βρώ με παρακάτω «πινακάκι» Φ t -16π 0 0 2 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η ζητούμενη γραφική παράσταση. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 10

2. Γίλεηαη ε δηπιαλή γξαθηθή παξάζηαζε πνπ δείρλεη ηε θάζε δηάθνξωλ ζεκείωλ ελόο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ ζην νπνίν δηαδίδεηαη έλα θύκα, ζε κηα ρξνληθή ζηηγκή t 1 =1sec. Ζεηείηαη λα ππνινγίζνπκε ηε πεξίνδν, ην κήθνο θύκαηνο θαη ηε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο Λύζε Από τη γραφική παράσταση φαίνεται ότι τη στιγμή t 1=1s το κύμα έχει φθάσει μέχρι το σημείο που βρίσκεται στη θέση χ=2m και έχει φάση φ=0, και ότι τη ίδια στιγμή η φάση της πηγής είναι 4π. Από τη σχέση της φάσης φ 2 ( ) και για t = 1s, χ=0 και φ=4π) προκύπτει ότι T Άρα και f=2hz ενώ αν στην ίδια σχέση θέσουμε (χ=2 και φ=0 και T=0,5 s,έχουμε Και από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής θα έχουμε u=λ f=1 2=2 m/s 3. Γίλεηαη ε δηπιαλή γξαθηθή παξάζηαζε πνπ δείρλεη πωο κεηαβάιιεηαη ε θάζε ελόο ζεκείνπ γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ ζην νπνίν δηαδίδεηαη έλα θύκα ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. Ζεηείηαη λα ππνινγίζνπκε ηε πεξίνδν, ηε ηαρύηεηα δηάδνζεο θαη ην κήθνο θύκαηνο. Λύση Από τη γραφική παράσταση φαίνεται ότι τη στιγμή t=10s το κύμα έχει φθάσει μέχρι το σημείο που βρίσκεται στη θέση χ=2m, και ότι την ίδια στιγμή η φάση του σημείου αυτού είναι μηδέν. Από τη σχέση της φάσης φ 2 ( ) και για 2 χρονικές στιγμές, t 1=10 με φ 1=0 και T t 2=20 με φ 2=2π προκύπτει ότι : Από τη σχέση x=u t,,έχουμε u=2/10=0,2m/s Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 11

Και από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής θα έχουμε u=λ/τ λ=u T=2 m Γραφική παράσταση κύματος Η γραφική απεικόνιση ενός κύματος είναι μια ιδιαίτερη διαδικασία κυρίως γιατί όπως μάθαμε η εξίσωση του κύματος είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών. Επομένως για να την παραστήσουμε γραφικά στο επίπεδο, θα πρέπει μια από τις δύο μεταβλητές να θεωρηθεί σταθερή. Α. τιγμιότυπο κύματος Αν θεωρήσουμε σταθερό το χρόνο t,(«παγώσουμε» τον χρόνο) τότε η εξίσωση του κύματος θα έχει τη μορφή x y 2 ( ό ) και η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y σε συνάρτηση με τη θέση x των σημείων του μέσου διάδοσης στα οποία έχει φθάσει η διαταραχή, σε μια χρονική στιγμή t 1,ονομάζεται στιγμιότυπο κύματος. Το ςτιγμιότυπο κύματοσ είναι ουςιαςτικά μια «φωτογραφία» του μέςου διάδοςησ μια δεδομένη χρονική ςτιγμή που μασ δείχνει που βρίςκονται τα διάφορα ςημεία του μέςου. ςε ςχέςη με τη θέςη ιςορροπίασ τουσ. Από ένα στιγμιότυπο μπορούμε να πάρουμε πολλές πληροφορίες σχετικά με το κύμα. Πιο συγκεκριμένα μπορούμε να βρούμε: Ποια είναι η απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας του,κάθε σημείου του μέσου τη δεδομένη χρονική στιγμή t=t 1. Μέχρι ποια θέση x έχει φτάσει το κύμα τη στιγμή t=t 1 Το πλάτος Α του κύματος,το μήκος κύματος λ, τη ταχύτητα u από μέσω της σχέσης όπου x 1 η απόσταση έως την οποία έχει διαδοθεί το κύμα τη στιγμή t 1 και την συχνότητα f από τη σχέση f = u/λ. Παράδειγμα Μαο δίλεηαη ην δηπιαλό ζηηγκηόηππν θύκαηνο θαη δεηείηαη λα ππνινγίζνπκε, ην πιάηνο, ην κήθνο θύκαηνο, ηε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο θαη ηε ζπρλόηεηα. Λύζε Από το διάγραμμα άμεσα προκύπτει ότι το πλάτος Α=5cm και το μήκος κύματος λ=3cm. Tη στιγμή t=1s το κύμα φθάνει στη θέση χ=3m, οπότε από τη σχέση. Και από τη σχέση f = u/λ, έχουμε f=3 10-2 /3 10-2 =1 Hz. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 12

Διαδικασία σχεδιασμού στιγμιότυπου κύματος Αν γνωρίζουμε την εξίσωση του κύματος είναι εύκολο να σχεδιάσουμε την εξίσωση ενός αρμονικού κύματος μια δεδομένη χρονική στιγμή. Συνήθως μπορούμε να ακολουθήσουμε 2 μεθόδους σχεδιασμού. Παρακάτω αναφέρονται και οι δύο. Α μέθοδος 1. Επεξεργαζόμαστε την εξίσωση του κύματος για τη δεδομένη χρονική στιγμή t = t 1 και την φέρνουμε στην πιο απλή μαθηματική της μορφή π.χ. y=4ημ10x. 2. Βρίσκουμε τη θέση χ 1 στην οποία έχει φτάσει το κύμα μέσα στο ελαστικό μέσο τη χρονική στιγμή t 1 μηδενίζοντας τη φάση του κύματος και λύνοντας ως προς χ. 3. Βρίσκουμε τον αριθμό των μηκών κύματος λ αντιστοιχούν στην απόσταση χ 1, δηλαδή βρίσκουμε το λόγο χ 1/λ και στη συνέχεια σχεδιάζουμε σε βαθμολογημένο σύστημα αξόνων y-x το στιγμιότυπο κύματος σύμφωνα με τη μορφή της εξίσωσης που καταλήξαμε στο βήμα (1) π.χ. αρνητικό ημίτονο ξεκινώντας από τη θέση χ = 0 και καταλήγοντας στη θέση x = x 1. Β μέθοδος (πρακτική) 1. Βρίσκουμε τη θέση χ 1 στην οποία έχει φτάσει το κύμα μέσα στο ελαστικό μέσο τη χρονική στιγμή t 1 μηδενίζοντας τη φάση του κύματος και λύνοντας ως προς χ. 2. Βρίσκουμε σε πόσα μήκη κύματος λ αντιστοιχεί η απόσταση χ 1, δηλαδή βρίσκουμε το λόγο χ 1/λ στη συνέχεια χωρίζουμε τον άξονα χ στα αντίστοιχα μήκη κύματος και από το σημείο χ 1 ολοκληρώνουμε το στιγμιότυπο κύματος ξεκινώντας από τη θέση x = x 1 με φορά προς τα πάνω να σχεδιάζουμε τα αντίστοιχα μήκη κύματος. 3. Θυμίζουμε ότι ένα μήκος έχει τη μορφή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. το παραπάνω σχήμα φαίνονται 4 στιγμιότυπα που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές (Σ/4, Σ/2, 3Σ/4,Σα) Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 13

Παράδειγμα Γίλεηαη ε εμίζωζε ηνπ θύκαηνο y=2εκ2π( t / 4-0,5 x) (S.I.) λα ζρεδηαζηνύλ ηα ζηηγκηόηππα ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t 1 =5 sec θαη t 2 =8 sec Λύζε Για τη στιγμή t 1 =5 sec θα ακολουθήσουμε την Α μέθοδο. Θέτω στην παραπάνω εξίσωση όπου t=5 και έχω : y=2ημ2π(5/4-x/2)=2ημ(10π/4-x/2)=2ημ(2π+π/2-x/2)=2ημ(π/2-x/2) Άρα y=2συν(x/2). Καταλήξαμε ότι η συνάρτηση αυτή έχει τη μορφή συνιμητόνου. Στη συνέχεια μηδενίζοντας τη φάση θα βρώ μέχρι ποιο σημείο έχει φθάσει το κύμα τη στιγμή αυτή. Αν θέσω στη φάση φ=0 προκύπτει ότι χ=2,5m. Μια απόσταση που αντιστοιχεί σε 1 και 1/4 μήκος κύματος αφού από τη εξίσωση ξέρω ότι λ=2m. Δηλαδή χ=λ+λ/4. Παρακάτω φαίνεται το στιγμιότυπο. Για τη στιγμή t 1 =8 sec θα ακολουθήσουμε την B μέθοδο. Μηδενίζω τη φάση και βρίσκω μέχρι ποιο σημείο έχει φθάσει το κύμα τη στιγμή αυτή. Αν θέσω στη φάση φ=0 προκύπτει ότι χ=4m. Από το λόγο βρίσκω ότι χ = 2λ και το ζητούμενο στιγμιότυπο είναι το παρακάτω: Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 14

B. Σαλάντωση ενός σημείου του μέσου Αν τώρα θεωρήσουμε σταθερή τη θέση χ, (ασχοληθούμε μόνο με ένα σημείο του μέσου διάδοσης ) τότε η εξίσωση του t κύματος θα έχει τη μορφή y 2 ( ό) και η T γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y σε συνάρτηση με το χρόνο t, ενός σημείου του μέσου διάδοσης που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, μας δίνει την απομάκρυνση με το χρόνο του σημείου αυτού από τη θέση ισορροπίας του. Από αυτή τη γραφική παράσταση μπορούμε να προσδιορίσουμε στοιχεία του κύματος, όπως η περίοδος Τ, το πλάτος Α και την ταχύτητα u από τη χρονική στιγμή t 1 που το κύμα φθάνει στο σημείο αυτό. Παράδειγμα Μαο δίλεηαη ε δηπιαλή γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ηαιάληωζεο πνπ εθηειεί έλα ζεκείν ελόο γξακκηθνύ νκνγελνύο ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε ρ= 2 m Να βξεζεί ε εμίζωζε ηνπ θύκαηνο θαη ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ Λύζε Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το πλάτος Α του κύματος είναι Α=0,2m. H περίοδος Τ=4 sec. Το κύμα φθάνει στη θέση χ= m τη στιγμή t=4sec, οπότε u=x/t=2/4=0,5m/s To μήκος κύματος θα είναι λ=ut=0,5 4=2m Έτσι η εξίσωση του κύματος θα είναι y=0,2ημ2π(t/4-x/2) ( S.I.) Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 15

Ε Ρ Ω Σ Η Ε Ι & Α Κ Η Ε Ι Σ Α Κ Τ Μ Α Σ Α 1. Αν η περίοδος ενός αρμονικού κύματος που διαδίδεται σ ένα ελαστικό μέσο διπλασιαστεί, τότε: α. διπλασιάζεται η συχνότητα του κύματος. β. διπλασιάζεται η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. γ. υποδιπλασιάζεται το πλάτος του κύματος. δ. διπλασιάζεται το μήκος κύματος του κύματος. 2. Το μήκος κύματος ενός αρμονικού κύματος το οποίο διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου α. είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οποία έχουν διαφορά φάσης π (rad). β. είναι ίσο με τον αριθμό των ταλαντώσεων που εκτελεί ένα μόριο του ελαστικού μέσου σε χρόνο 1 s. γ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο Τ/2, όπου Τ η περίοδος του κύματος. δ. είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου. 3. Η συχνότητα ταλάντωσης κάθε σημείου ενός ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται αρμονικό κύμα είναι: α. ίδια με αυτήν της πηγής β. μικρότερη από αυτήν της πηγής. γ. μεγαλύτερη από αυτήν της πηγής δ. ίση με μηδέν. 4. Δύο ηχητικά κύματα Α και Β διαδίδονται στο ίδιο μέσο και έχουν συχνότητες f A=200Hz και f B=400Hz αντίστοιχα. Για τα μήκη κύματος λ Α και λ Β αυτών ισχύει : α. λ Α=2λ Β β. λ Β=2λ Α γ. λ Β=λ Α α. λ Β=4λ Α 5. Σε ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα. α. Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται από τη συχνότητα και το μήκος κύματος. β. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει το μήκος κύματος. γ. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει η συχνότητα. δ. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει η ταχύτητά του. 6. Ηχητικό κύμα συχνότητας 300 Hz διαδίδεται με ταχύτητα 300 m/s στον αέρα. Αν τριπλασιάσουμε την συχνότητα η ταχύτητα διάδοσής του γίνεται: α. 300 m/s β. 600 m/s γ. 900 m/s δ. 100 m/s. πx 7. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι y 2 (50 t - ) (τo t σε s, το χ σε m και το y σε 2 cm). α. Το μήκος κύματος του κύματος είναι 2 m. β. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου είναι 1 m/s. γ. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 100 m/s. δ. Το πλάτος του κύματος μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο, με συχνότητα 25 Ηz. 8. Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x x είναι y = 5ημ(4t 2x) (S.I.). Επομένως η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου που βρίσκεται στη θέση x = π m, τη χρονική στιγμή t = π s, είναι: α. 2 m/s. β. 0. γ. 20 m/s. δ. 1 m/s. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 16

9. Kατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, το οποίο εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα χ χ, διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση x y 4 (10 t - ) (χ,y σε cm, t σε s). 10 Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί ; α. Το κύμα διαδίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα χ χ β. Το πλάτος του κύματος είναι 4cm και η περίοδος του 0,2s γ. Το μήκος κύματος είναι 20cm και η ταχύτητα 1 m/s δ. Η ταχύτητα της ταλάντωσης του σημείου του ελαστικού μέσου με συντεταγμένη χ = 20cm, τη χρονική στιγμή t = 2,5s είναι υ ταλ = 40π cm/s 10. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός τρέχοντος αρμονικού κύματος. α. Τι ονομάζεται στιγμιότυπο ενός κύματος και ποια η συνάρτηση που απεικονιζει; β. Να βρείτε σε ποιο από τα σημεία Κ, Γ τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι ομόρροπα και σε ποιο είναι αντίρροπα. γ. Να κατατάξετε τα σημεία Α, Β, Γ, Κ, Λ και Μ σύμφωνα με τη φάση τους (αρχίζοντας από το σημείο με τη μικρότερη φάση). Να δικαιολογήστε την απάντησή σας. δ. Να βρείτε δύο σημεία που ταλαντώνονται σε φάση και δύο με αντίθετη φάση. Να γράψετε για κάθε ζεύγος σημείων την απόσταση μεταξύ τους σε σχέση με το μήκος κύματος. 11. Ένα κύμα διαδίδεται σ ένα ελαστικό μέσο και σε χρόνο 10 sec διαδίδεται σε απόσταση χ=1000m.αν η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών μέγιστων προς την ίδια κατεύθυνση είναι 2 μέτρα, να βρεθεί η συχνότητα της πηγής. 12. Μια πηγή παράγει ένα αρμονικό κύμα και σε χρόνο t =10s εκτελεί 2 ταλαντώσεις. Αν η απόσταση που διανύει σε μια περίοδο είναι 10m, να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει το κύμα σε χρόνο t =20s. 13. Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής. Ένα υλικό σημείο της χορδής,για να πάει από τη θέση της μέγιστης θετικής απομάκρυνσης στη θέση μέγιστης αρνητικής απομάκρυνσης χρειάζεται χρόνο Δt =0,2 sec. Αν το μήκος κύματος είναι λ=2m, να βρείτε : α. τη συχνότητα του κύματος β. τη ταχύτητα του κύματος γ. το χρονικό διάστημα στο οποίο η κυματική εικόνα επαναλαμβάνεται δ. την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών υλικών σημείων της χορδής που απέχουν το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται με αντίθετες φορές. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 17

14. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου διαδίδεται,κατά τη θετική κατεύθυνση, αρμονικό κύμα που παράγεται από πηγή που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα χ χ τη χρονική στιγμή t = 0 με y=0 και u ταλ >0. Η συχνότητα του κύματος είναι f = 500Hz, η ταχύτητα u = 1000m/s και το πλάτους Α = 5cm. Nα βρεθούν : α. Το μήκος κύματος β. Η περίοδος ταλάντωσης ενός μορίου του ελαστικού μέσου γ. H εξίσωση του κύματος 15. Πηγή παραγωγής αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στην αρχή Ο (x=0) ομογενούς χορδής μεγάλου μήκους. Τη στιγμή t =0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση ταλάντωσης y = 4 10-2 ημ4πt (S.I.) και το παραγόμενο κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα υ = 50 m/s. α. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος β. Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει να κινείται ένα σημείο Μ του αξονα χ χ που βρίσκεται στη θέση χ = 500m; γ. Τη χρονική στιγμή t = 20s να βρείτε για το σημείο Μ i. Την απομάκρυνση του y από τη θέση ισορροπίας του ii. Την ταχύτητα και την επιτάχυνση του. 16. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x x κατά μήκος μια χορδής. Η πηγή που το δημιουργεί άρχισε να ταλαντώνεται αρμονικά με τον χρόνο χωρίς αρχική φάση τη χρονική στιγμή t=0 και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σωματιδίων της χορδής είναι u max=0,4π m/s. Eνα στιγμιότυπο του κύματος περιγράφεται από την εξίσωση y=2 10-2 ημπ(5-0,4x) Nα υπολογίσετε: Α) την απόσταση μεταξύ δύο κορυφών του κύματος Β) σε ποια χρονική στιγμή αντιστοιχεί το στιγμιότυπο Γ) την ταχύτητα ενός σημείου Μ που απέχει απόσταση x=10m, τη στιγμή t = 3,25 m 17. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά διαδίδεται αρμονικό κύμα πλάτους Α=3cm και συχνότητας f = 20Hz. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στο αριστερό άκρο του μέσου και αρχίζει να ταλαντώνεται κατά τη χρονική στιγμή t=0. Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δύο σωματιδίων Α και Β του μέσου είναι φ Α = 4π/3 rad και φ Β = 11π/6 rad, αντίστοιχα Η απόσταση μεταξύ των δύο σωματιδίων είναι Δχ = 12,5 cm. α. Να εξεταστεί ποιο από τα δύο σωματίδια Α και Β βρίσκεται σε μεγαλύτερη απόσταση από την πηγή του κύματος. β. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ. Να βρεθεί η απομάκρυνση y A του σωματιδίου Α από την θέση ισορροπίας του, όταν το σωματίδιο Β αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση του. 18. Σε ένα σημείο Ο ενός ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κυμάτων, η οποία κατά τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 4ημωt, (το t σε sec, το y σε cm). Κατά μήκος μιας ευθείας διάδοσης του κύματος Οχ και προς τα δεξιά της πηγής Ο βρίσκονται δύο σημεία Α και Β, τα οποία απέχουν από αυτήν αποστάσεις Χ Α = 24 cm και Χ Β = 36 cm, αντίστοιχα Κατά τη χρονική στιγμή t = 0,15 sec το κύμα φθάνει στο σημείο Α και ταυτόχρονα η φάση της πηγής Ο είναι φ = 6π rad. α. Να γραφεί η εξίσωση του αρμονικού κύματος. β. Να γραφεί η εξίσωση της επιτάχυνσης ενός σωματιδίου του μέσου που βρίσκεται στο σημείο Β σε συνάρτηση με το χρόνο. Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 18

Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 19