Το πρόβλημα των Εξισωτών Τριγώνου: πλήρης μελέτη για κάθε είδος τριγώνου

Το πρόβλημα των Εξισωτών Τριγώνου: πλήρης μελέτη για κάθε είδος τριγώνου Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Γιώργος Ρίζος Καθηγητής Μαθηματικών στο 7 ο Γυμνάσιο Κέρκυρας rizosgeo@sch.gr Περίληψη Στο άρθρο αυτό παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα στα οποία καταλήξαμε διερευνώντας το πρόβλημα των εξισωτών τριγώνου: των ευθειών δηλαδή που χωρίζουν ένα τρίγωνο σε δύο περιοχές που έχουν ίσα εμβαδά και ίσες περιμέτρους. Η διερεύνηση αυτή συμπεριέλαβε όλα τα είδη τριγώνων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, και, για καθεμιά περίπτωση, δίνουμε απαντήσεις σε ερωτήματα σχετικά με την ύπαρξη και το πλήθος των εξισωτών, αλλά και το πρόβλημα της κατασκευής τους. Να σημειώσουμε, δε, ότι τα ερωτήματα αυτά, στη γενική τους μορφή, τέθηκαν προς διερεύνηση το 997 από τον καθηγητή George Berzsenyi, σε άρθρο του στο Quantum []. Στην βιβλιογραφία τού άρθρου μας συμπεριλάβαμε ένα σύνολο ερευνητικών εργασιών στις οποίες εντοπίσαμε απαντήσεις σε ερωτήματα που αναφέρονται σε εξισωτές τυχαίων τριγώνων (εργασίες [], [], [4] και [5]). Η απόδειξή μας είναι νέα και βασίζεται σε αλγεβρικούς υπολογισμούς για την εύρεση των σημείων στα οποία ένας εξισωτής τέμνει τις πλευρές ενός τριγώνου, χωρίς τη χρήση της ιδιότητας του πως διέρχεται από το έγκεντρο του τριγώνου. Επιπλέον, περιγράφουμε στο τέλος του άρθρου, υπό μορφή παραρτήματος, την κατασκευή των εξισωτών τριγώνου οι οποίοι τέμνουν δύο πλευρές του σε εσωτερικά τους σημεία. /9

Τέλος, κρίνουμε σκόπιμο να σημειώσουμε ότι τα μαθηματικά επιχειρήματα που χρησιμοποιήσαμε για τη συστηματική διερεύνηση του προβλήματος των εξισωτών τριγώνου βασίζονται σε γνώσεις Άλγεβρας και Ευκλείδειας Γεωμετρίας που διδάσκονται στις δύο πρώτες τάξεις του ελληνικού Γενικού Λυκείου, ενώ η μεθοδολογική προσέγγιση των ερευνητικών ερωτημάτων έγινε στο πλαίσιο της επαγωγικής συλλογιστικής. Abstract In this article we present our results on the triangle equalizer problem. A triangle equalizer is a straight line dividing both the area and the perimeter of the triangle in equal parts. Our investigation regards all kinds of triangles in Euclidean Geometry, and in each case we answer the question of existence and number of equalizers as well as the question of their construction. Let us note that Professor George Berzsenyi put these questions in a 997 article in Quantum []. In the bibliography section we include articles concerning questions about triangle equalizers (articles [], [], [4] and [5]). Our proof is a new one and is based on algebraic calculations for finding the position of the points of an equalizer on the sides of a triangle, without use of its property of passing through the triangle s incenter. Moreover as an appendix we describe the construction of the equalizers that intersect the sides in interior points. Finally, we consider it important to note that our mathematical arguments are based on knowledge of Algebra and Euclidian Geometry taught in the first two grades of the Greek High School, whereas the line of argument was inductive. /9

Το πρόβλημα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιοριστούν, αν υπάρχουν, ευθείες που χωρίζουν την επιφάνεια του τριγώνου σε δύο σχήματα ισεμβαδικά και ισοπεριμετρικά. Διερεύνηση Περίπτωση η Έστω ότι υπάρχει τέτοια ευθεία (την οποία θα λέμε εξισωτή), που διέρχεται από μία κορυφή του τριγώνου ΑΒΓ, έστω την Α. Τέμνει την απέναντι πλευρά στο Δ, χωρίζοντάς το σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ. Οπότε το Δ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, (σχήμα ). Πρέπει και ΑΒ + ΒΔ + ΑΔ = ΑΓ + ΓΔ + ΑΔ ΑΒ = ΑΓ Άρα η κατασκευή του εξισωτή, σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατή μόνον όταν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Τότε ο εξισωτής είναι ο άξονας συμμετρίας του τριγώνου. Περίπτωση η Έστω ότι ο εξισωτής τέμνει δύο πλευρές του τριγώνου σε εσωτερικά τους σημεία, π.χ. τις ΑΒ, ΑΓ στα Κ, Λ αντίστοιχα, (σχήμα ). Έστω ΑΒ = γ, ΑΓ = β, ΒΓ = α. Θα υπάρχουν κ, λ, με 0 < κ < γ και 0 < λ < β, ώστε ΑΚ = κ, ΑΛ = λ. Eίναι ΑΚ + ΚΛ + ΑΛ = ΚΒ + ΒΓ + ΓΛ + ΚΛ α + β + γ κ+λ= ( γ κ ) + ( β λ ) +α κ + λ = Είναι ακόμα /9

( ΑΚΛ) ( ΑΒΓ) ΑΚΛ = ΚΒΓΛ = Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΚΛ έχουν τη γωνία Α κοινή, οπότε ( ΑΚΛ) κ λ β γ = = κ λ = ΑΒΓ β γ Τα κ, λ είναι ρίζες της εξίσωσης x α + β + γ x+β γ =0, (Ε) με β γ <α<β+γ και α, β, γ > 0 Η (Ε) έχει διακρίνουσα Δ = ( α+β+γ) 8β γ Αναγκαία, αλλά όχι και ικανή συνθήκη, για να υπάρχει εξισωτής είναι η ύπαρξη ριζών. Πρέπει, λοιπόν, Δ 0 ( α+β+γ) 8β γ α +β+γ+ Δ α+β+γ Δ Αν είναι Δ 0, τότε έστω x =,x = 4 4 οι ρίζες της (Ε). Αν υποθέσουμε ότι το Κ είναι μεταξύ των Α, Μ (Μ μέσο της ΑΒ) ή το Κ ταυτίζεται με το Μ, τότε για οποιαδήποτε θέση του Λ στην πλευρά ΑΓ, (σχήμα ), θα έχουμε ( ΑΚΛ ) < ( ΑΚΓ) ( ΑΜΓ ) = ( ΑΒΓ ) που είναι άτοπο. Ομοίως και για το Λ. Επομένως γ β < κ<γ, <λ<β Θέλουμε, λοιπόν, η εξίσωση (Ε) να έχει μία πραγματική ρίζα στο διάστημα, β και μία στο, γ β γ. 4/9

Μελετάμε ξεχωριστά τις περιπτώσεις το τρίγωνο να είναι ισόπλευρο, ισοσκελές ή σκαληνό. Ισόπλευρο τρίγωνο Μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, τότε δεν μπορεί να έχει εξισωτή που να τέμνει τις δύο πλευρές του σε εσωτερικά τους σημεία. Πράγματι, με α = β = γ, η εξίσωση (Ε) γράφεται x α x +α = 0, α > 0, α και έχει λύσεις x =α ή x =, οι ο- α ποίες δεν ανήκουν στο διάστημα, α. Οι λύσεις αυτές μας οδηγούν στους άξονες συμμετρίας του ισοπλεύρου τριγώνου, (σχήμα 4). Ισοσκελές τρίγωνο Αν είναι ισοσκελές με β = γ, (σχήμα 5), η ε- ξίσωση (Ε) γράφεται x x 0,, 0 α+ β +β = α β>, και έχει διακρίνουσα Δ= α+ β 8β Για να έχει λύση πρέπει Δ 0 α+ β 8β 0 α - β και λόγω της τριγωνικής ανισότητας πρέπει α < β Άρα ( -) β α <β 5/9

Αν ισχύει ο παραπάνω περιορισμός, τότε η εξίσωση (Ε) έχει ρίζες τις x = α+ β+ Δ, x = α+ β Δ 4 4 β οι οποίες πρέπει να περιέχονται στο διάστημα, β. β β α+ β+ Δ < x <β < <β β<α+ β+ Δ< 4β 4 0 <α+ Δ 0<α+ Δ < β και α+ Δ< β Η πρώτη ανισότητα 0 < α+ Δ ισχύει. Η δεύτερη ανισότητα α + Δ < β γράφεται Δ < β α, οπότε Επίσης Δ < β α α+ β 8β < β α 4 4 8 4 4 8α β< 8β α < β α + β + α β β < β +α α β β β α+ β Δ < x <β < <β β<α+ β Δ< 4β 4 0 <α Δ 0<α Δ < β και α Δ < β Η πρώτη ανισότητα 0 < α Δγράφεται Δ <α, οπότε Δ <α α+ β 8β <α α + 4β + 4α β 8β <α 4α β< 4β α < β Ενώ δεύτερη, α Δ< β, γράφεται α β< Δ, που ισχύει προφανώς, καθώς α β < 0. 6/9

Οπότε υπάρχει ένας εξισωτής (και ο συμμετρικός του) που τέμνει τις ίσες πλευρές του β = γ, αν και μόνο αν ισχύει ( ) β α < β ΣΧΟΛΙΟ Παρατηρούμε ότι στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ = α και ίσες πλευρές ΑΒ = ΑΓ = β, (σχήμα 5α), είναι Α α ημ = β Η συνθήκη ύπαρξης εξισωτή, που τέμνει τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ, είναι που γράφεται δηλαδή ( ) β α<β α Α < ημ, β ( ) 60 τοξημ Α ή 48 56 Α 60 Αν είναι ισοσκελές με α = β, (σχήμα 6), η εξίσωση (Ε) γράφεται x ( α+γ) x +α γ = 0, α, γ > 0, και έχει διακρίνουσα Δ= ( α+γ) 8αγ= ( α γ) 0 γ Τότε, x =α,x=. Η λύση x =α δεν β ανήκει στο διάστημα, β. Η λύση αυτή μας οδηγεί στον άξονα συμμετρίας του ισοσκελούς τριγώνου. Το ίδιο συμβαίνει αν α = γ. 7/9

Σκαληνό τρίγωνο Έστω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι σκαληνό με β > γ > α, (σχήμα 7). Ο εξισωτής μπορεί να τέμνει τις πλευρές β, γ ή τις β, α ή τις γ, α. Στην πρώτη περίπτωση η εξίσωση, της οποία οι λύσεις μπορεί να είναι τα μήκη των ΑΚ και ΑΛ, είναι x α + β + γ x+β γ =0, (Ε ) με α+ γ > β > γ > α > 0 (λόγω της τριγωνικής ανισότητας) Η (Ε ) έχει διακρίνουσα Δ = α+β+γ 8 β γ Στη δεύτερη περίπτωση η εξίσωση, της οποία οι λύσεις μπορεί να είναι τα μήκη των ΓΚ και ΓΛ, είναι x α + β + γ x+αβ=0, (Ε ) με α+ γ > β > γ > α > 0 Η (Ε ) έχει διακρίνουσα Δ = α+β+γ 8 α β Στην τρίτη περίπτωση η εξίσωση, της οποία οι λύσεις μπορεί να είναι τα μήκη των ΒΚ, ΒΛ είναι x α + β + γ x+α γ =0, (Ε ) με α+ γ > β > γ > α > 0 Η (Ε ) έχει διακρίνουσα Δ = α+β+γ 8 α γ 8/9

Αποδεικνύουμε ότι μία τουλάχιστον από τις εξισώσεις Ε, Ε, Ε έχει λύσεις Θα αποδείξουμε, αρχικά, ότι σε κάθε περίπτωση, τουλάχιστον μία από τις Ε, Ε, Ε έχει λύσεις. Δ < 0 Πράγματι, έστω ότι είναι ταυτόχρονα Δ < 0 Δ < 0 Τότε α+β+γ α+β+γ α +β+γ < α β α+β+γ < β γ+α β+α γ < 8β γ 8 8 < 8 α γ Η τελευταία ανισότητα γράφεται ισοδύναμα α + β + γ α β α γ β γ< 0 α β + α γ + β γ +α +β +γ < 0 που είναι αδύνατη, άρα μία τουλάχιστον από τις Δ, Δ, Δ δεν είναι αρνητική. Είναι β γ>α β>α γ Ας υποθέσουμε ότι Δ < 0. ( α +β+γ ) < 8β γ Δ < 0 ( α+β+γ ) < 8α γ και ( α +β+γ ) < 8 α β Δ < και Δ < ( 0 0) που είναι αδύνατο, άρα Δ 0 σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ > α. 9/9

Εξετάζουμε αν υπάρχουν εξισωτές που να τέμνουν σε εσωτερικά τους σημεία τις πλευρές α και γ Όπως είδαμε είναι πάντα Δ 0. Αυτή η συνθήκη είναι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή. Ελέγχουμε την περίπτωση ο εξισωτής να τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις α, γ. γ α < x <γ και < x <α Τότε πρέπει ή α γ < x <α και < x <γ Ελέγχουμε αν ισχύει η πρώτη συνθήκη. Είναι γ γ α+β+γ+ Δ < x <γ < <γ γ<α+β+γ+ Δ < 4γ 4 γ<α+β+ Δ γ<α+β+ Δ < γ και α+β+ Δ < γ Η πρώτη ανισότητα γ<α+β+ Δ ισχύει, λόγω τριγωνικής ανισότητας. Η δεύτερη ανισότητα α +β+ Δ < γ γράφεται Δ < γ α β Ισχύει οπότε γ >α γ>α+γ>β και γ > α + β γ>α Δ < γ α β α+β+γ 8α γ< γ α β α +β +γ + α β+ β γ 6α γ< < 9γ +α +β 6α γ 6β γ+ α β 8β γ< 8 γ β < γ, που είναι αδύνατη. 0/9

Ελέγχουμε αν ισχύει η δεύτερη συνθήκη. Είναι γ γ α+β+γ Δ < x <γ < <γ γ<α+β+γ Δ < 4γ 4 γ<α+β Δ γ<α+β Δ < γ και α+β Δ < γ Η πρώτη ανισότητα γ<α+β Δ γράφεται Δ <α+β γ 8 α +β +γ + α β+ β γ 6α γ< Δ <α+β γ α+β+γ α γ< α+β γ < α +β +γ α γ β γ+ α β 4β γ< 4α γ β < α, που είναιαδύνατη. Οπότε ο εξισωτής αποκλείεται να τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις πλευρές α και γ. Αποδεικνύουμε ότι μία τουλάχιστον από τις εξισώσεις Ε, Ε έχει λύσεις Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι σε κάθε περίπτωση, τουλάχιστον μία από τις Ε, Ε έχει λύσεις. Δ < 0 Πράγματι, έστω ότι ταυτόχρονα είναι Δ < 0 α+β+γ < 8β γ Τότε α+β+γ < 8 β γ+α β ( α+β+γ ) < 8 α β Η τελευταία ανισότητα γράφεται α + β + γ 4α β+ 4α γ 4β γ< 0 β α γ < 0 που είναι αδύνατη, άρα μία τουλάχιστον από τις Δ, Δ δεν είναι αρνητική. /9

Είναι Δ 0 α+β+γ 8β γ > 8α β Δ > 0 Επίσης αν Δ < 0 τότεδ 0, όπως είδαμε παραπάνω. Άρα η Ε έχει πάντα λύσεις. Εξετάζουμε αν υπάρχουν εξισωτές που τέμνουν σε εσωτερικά τους σημεία τις πλευρές α και β Ελέγχουμε την περίπτωση ο εξισωτής να τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις α, β. Όπως είδαμε είναι πάντα Δ 0. Αυτή η συνθήκη είναι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή. β α < x <β και < x <α Πρέπει επιπλέον να είναι και ή α β < x <α και < x <β Ελέγχουμε αν ισχύει η πρώτη συνθήκη: Είναι β β α+β+γ+ Δ < x <β < <β β<α+β+γ+ Δ < 4β 4 β <α+γ+ Δ β<α+γ+ Δ < β και α +γ+ Δ < β Η πρώτη ανισότητα β<α+γ+ Δ ισχύει, αφού α + γ > β. Η δεύτερη ανισότητα α + γ + Δ < β γράφεται Δ < β α γ Ισχύει β>α και β>α+γ β>α+γ β>γ /9

Οπότε α +β +γ + α γ+ β γ 6α β< 8 8,. Δ < β α γ α+β+γ 8α β< β α γ β γ< β γ < β που ισχύει 9 6 6 < β +α +γ α β β γ+ α γ α Ομοίως, από την ανισότητα < x <α διαδοχικά παίρνουμε: α α α+β+γ Δ < x <α < <α α<α+β+γ Δ < 4α 4 α<β+γ Δ α<β+γ Δ < α και β+γ Δ < α Η πρώτη ανισότητα α<β+γ Δ γράφεται Δ <β+γ α, οπότε Δ <β+γ α α+β+γ 8α β< β+γ α α +β +γ + α γ+ β γ 6α β< < α +β +γ α β α γ+ β γ 4 α γ< 4α β γ < β, πουισχύει. Η δεύτερη ανισότητα β +γ Δ < α γράφεται β +γ α< Δ Αν β+γ< α, τότε προφανώς ισχύει. Αν β+γ> α, τότε β+γ α< Δ ( β+γ α ) < ( α+β+γ) 8α β β +γ + 9α + β γ 6α β 6α γ< < α +β +γ + β γ+ α γ 6α β 8α < 8 α γ α < γ, πουισχύει. /9

Μελετώντας, κατόπιν, με τον ίδιο τρόπο τη συνθήκη α β < x <α και < x <β καταλήγουμε στην ανισότητα α > γ, που είναι α- δύνατη. Άρα δεν υπάρχει άλλος εξισωτής που να τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις α και β με ΓΛ < ΓΚ (ώστε το τμήμα ΓΛ να είναι στην πλευρά β), (σχήμα 8). Οπότε, σε κάθε τρίγωνο με β > γ > α υπάρχει εξισωτής που τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις πλευρές α και β. Και μάλιστα είναι ΓΛ ΓΚ, έτσι, ώστε το τμήμα ΓΛ να ανήκει στην πλευρά β. Εξετάζουμε αν υπάρχουν εξισωτές που τέμνουν σε εσωτερικά τους σημεία τις πλευρές β και γ Ελέγχουμε την περίπτωση ο εξισωτής να τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις πλευρές β και γ. Έστω ότι σε τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ > α είναι Δ 0. Αυτή η συνθήκη είναι αναγκαία, αλλά όχι και ικανή. Πρέπει επιπλέον να είναι και Ελέγχουμε αν ισχύει η πρώτη συνθήκη: Είναι β γ < x <β και < x <γ ή γ β < x <γ και < x <β β β α+β+γ+ Δ < x <β < <β β<α+β+γ+ Δ < 4β 4 4/9

β <α+γ+ Δ β<α+γ+ Δ < β και α +γ+ Δ < β Η πρώτη ανισότητα β<α+γ+ Δ ισχύει, αφού α + γ > β Η δεύτερη ανισότητα α +γ+ Δ < β γράφεται Δ < β α γ β>α Ισχύει και β>α+γ β>α+γ β>γ οπότε Δ < β α γ ( α+β+γ) 8β γ< ( β α γ) α +β +γ + α β+ α γ 6β γ < 9β +α +γ 6α β 6β γ+ α γ 8α β< 8 β α < β, πουισχύει. Ελέγχουμε αν ισχύει η δεύτερη συνθήκη. Είναι: γ γ α+β+γ Δ < x <γ < <γ γ<α+β+γ Δ < 4γ 4 γ<α+β Δ γ<α+β Δ < γ και α +β Δ < γ Η πρώτη ανισότητα γ<α+β Δ γράφεται Δ <α+β γ. 8 6 α +β +γ + α β+ α γ β γ< Δ <α+β γ α+β+γ β γ< α+β γ < α +β +γ α γ β γ+ α β 4 α γ< 4 β γ α < β, που ισχύει. 5/9

Μελετώντας, κατόπιν, με τον ίδιο τρόπο τη συνθήκη γ β < x <γ και < x <β καταλήγουμε στις ανισότητες γ > α και β > α, οι οποίες ισχύουν. Άρα υπάρχουν εξισωτές που τέμνουν τις β και γ με ΑΛ ΑΚ ή ΑΛ ΑΚ (ώστε το τμήμα ΑΛ να είναι στην πλευρά β), (σχήμα 9). Οπότε, σε κάθε τρίγωνο με α + β + γ β > γ > α και 8β γ υπάρχουν ένας ή δύο εξισωτές που τέμνουν τις πλευρές β και γ. Συγκεκριμένα, υπάρχει μόνο ένας εξισωτής αν και μόνο αν είναι Δ = 0, δηλαδή όταν ΑΚ = ΑΛ. Συμπεράσματα Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο οι άξονες συμμετρίας του είναι εξισωτές του. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο Ο άξονας συμμετρίας του είναι εξισωτής του. Υπάρχει ένας εξισωτής (και ο συμμετρικός του) που τέμνει τις ίσες πλευρές του β = γ, αν και μόνο αν ισχύει ( ) β α<β Δεν υπάρχει εξισωτής που να τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις α, β, όπου α η βάση του ισοσκελούς τριγώνου. Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ > α Δεν υπάρχει εξισωτής που να τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις α, γ. Υπάρχει πάντα ένας εξισωτής που τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία τις α, β. Υπάρχουν δύο εξισωτές που τέμνουν τις β, γ σε εσωτερικά τους σημεία, αν και μόνο αν ισχύει (α + β + γ) 8β γ 6/9

Εφόσον τα μήκη των τμημάτων κ, λ είναι ρίζες δευτεροβάθμιας εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές, τα τμήματα αυτά είναι κατασκευάσιμα σε κάθε περίπτωση, οπότε και οι εξισωτές οποιουδήποτε τριγώνου μπορούν να κατασκευαστούν. Πίνακας εξισωτών τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ. Είδος τριγώνου Άξονας Συμμετρίας Τέμνει τις α, β Εξισωτές Τέμνει τις α, γ Τέμνει τις β, γ Ισόπλευρο 0 0 0 Ισοσκελές (α β = γ) 0 0 Σκαληνό (β > γ > α) 0 0 (*) αν ( ) β α<β αν (α + β + γ) = 8β γ ή αν (α + β + γ) > 8β γ (*) Οι δύο εξισωτές που τέμνουν τις ίσες πλευρές ισοσκελούς τριγώνου είναι συμμετρικοί μεταξύ τους. Σύνολο ή (*) ή ή Βιβλιογραφία [] George Berzsenyi, The equalizer of a triangle, a clever line that does double duty, Quantum 7 (March-April 997), p. 5. [] Dimitrios Kodokostas, Triangle Equalizers, Math. Magazine vol. 8 (00), p. 4-46. [] R. Honsberger, Mathematical Delights, MAA, 004, p. 7-74 [4] S. Kung, Proof without words: A line through the Incenter of a triangle, Mathematics Magazine 75, No, 00, 4, http://mathcentral.uregina.ca/mp/previous0/aprsol.php [5] A. Todd, Bisecting a triangle, Pi Mu Epsilon Journal, Vol., No, 999, p. -7, [6] Dan Shved (Cutting triangle in two by a line through a point) http://www.cut-the-knot.org/curriculum/geometry/geogebra/halved Area.shtml 7/9

[7] Ιωάννης Σφήκας, Εξισωτής Ορθογωνίου Τριγώνου, Περιοδικό «Ευκλείδης Γ'», Τεύχος 76, σελ. 0 5, Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Αθήνα, Ιανουάριος-Ιούνιος 0. Σχόλιο Από τη θέση αυτή εκφράζουμε τις προσήκουσες ευχαριστίες προς τους κριτές του άρθρου για τις υποδείξεις τους με στόχο την πληρέστερη οργάνωσή του. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Κατασκευή των εξισωτών τριγώνου Η κατασκευή των εξισωτών που είναι άξονες συμμετρίας ισοσκελούς και ισοπλεύρου τριγώνου είναι τετριμμένη. Για να κατασκευάσουμε τους εξισωτές τριγώνου που τέμνουν δύο πλευρές του σε εσωτερικά τους σημεία, προσδιορίζουμε τις θέσεις των σημείων Κ και Λ, υπολογίζοντας τα μήκη των τμημάτων κ, λ τα οποία είναι ρίζες των εξισώσεων Ε, Ε, Ε, Ε αντίστοιχα. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = ΒΓ, ΑΒ = ΑΓ = β, (σχήμα 0), όταν ( ) β α<β, υπάρχουν εξισωτές του ΑΒΓ που τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ στα Κ, Λ αντίστοιχα με α+ β ΑΚ = Δ, ΑΛ = α+ β± Δ 4 4, όπου Δ = α+ β 8β 8/9

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = ΒΓ, β = ΑΓ, γ = ΑΒ, με β γ <α<β+γ και β > γ > α > 0, αν είναι Δ = α+β+γ 8α β 0, τότε ο εξισωτής τέμνει τις α, β στα Κ, Λ αντίστοιχα (σχήμα α) με α+β+γ Δ α+β+γ+ Δ ΓΚ =, ΓΛ = 4 4 αν είναι Δ = α+β+γ 8β γ = 0, τότε ο εξισωτής τέμνει τις β, γ στα Κ, Λ αντίστοιχα α +β+γ (σχήμα β) με ΑΚ = ΑΛ = 4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Σ' αυτήν την περίπτωση, παρατηρούμε ότι ο εξισωτής είναι κάθετος στη διχοτόμο της Α στο έγκεντρο Ι του τριγώνου. αν είναι Δ = α+β+γ 8β γ > 0, τότε οι εξισωτές τέμνουν τις β, γ στα Κ, Λ αντίστοιχα (σχήμα γ), με α+β+γ Δ α+β+γ± Δ ΑΚ =, ΑΛ = 4 4. Γεωμετρική απόδειξη της σημαντικής αυτής πρότασης παρουσιάζεται στο [] της βιβλιογραφίας. 9/9