ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον. Οι οµάδες αυτές είναι: Εργαλεία κατασκευών Εργαλεία µετασχηµατισµών Εργαλεία µετρήσεων και υπολογισµών. Τα σύγχρονα λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας παρέχουν πλέον και δυνατότητες δραστηριοτήτων που συνδέονται µε τις συναρτήσεις και το Καρτεσιανό επίπεδο. Ένας από τους βασικούς στόχους της επιπλέον αυτής δυνατότητας είναι και η επέκταση των καθαρά γεωµετρικών δραστηριοτήτων, οι οποίες συνδέονται µε µετρήσεις, σε δραστηριότητες µε τις οποίες ο χρήστης µπορεί να συσχετίσει τα αποτελέσµατα των µετρήσεων. Εργαλεία κατασκευών 1) άµεσες κατασκευές (κουµπιά) Προτεινόµενη δραστηριότητα: ιαπραγµάτευση µε τους µαθητές αν τα παραπάνω εργαλεία αρκούν για να κατασκευάσουν ένα τρίγωνο, ένα πολύγωνο, µία γωνία. Επιπλέον θα µπορούσαν να αναφέρουν σχήµατα για τα οποία δεν αρκούν τα παραπάνω εργαλεία. 2) Κατασκευές µε βάση προϋπάρχοντα αντικείµενα (Μενού «Κατασκευή») Αν διαθέτουµε στην επιφάνεια εργασίας γεωµετρικά αντικείµενα τότε µπορούµε να δηµιουργήσουµε νέες κατασκευές. Οι κατασκευές αυτές διακρίνονται σε: Κατασκευές ειδικών σηµείων α) Κατασκευή σηµείου πάνω σε ένα γεωµετρικό αντικείµενο. β) Κατασκευή µέσου σε ευθύγραµµο τµήµα. γ) Κατασκευή σηµείου τοµής δύο γεωµετρικών αντικειµένων. Κατασκευές ειδικών ευθειών ή τµηµάτων. α) Ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει δύο σηµεία. β) Ηµιευθεία που ορίζεται από δύο δεδοµένα σηµεία. γ) Ευθεία που ορίζεται από δύο δεδοµένα σηµεία. δ) Ευθεία παράλληλη από δοσµένο σηµείο σε δοσµένη ευθεία. ε) Ευθεία κάθετη από δοσµένο σηµείο σε δοσµένη ευθεία. στ) ιχοτόµος δοσµένης γωνίας. Κατασκευές ειδικών κύκλων ή κυκλικών τµηµάτων.
α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα. Το σηµείο είναι το κέντρο και το τµήµα η ακτίνα. γ) Τόξο πάνω σε κύκλο. Εδώ θα πρέπει να υπάρχει στο χώρο εργασίας ένας κύκλος και δύο σηµεία πάνω σε αυτόν. δ) Τόξο από τρία σηµεία. Κατασκευές εσωτερικών κλειστών γεωµετρικών σχηµάτων. Όταν έχουµε ένα πολύγωνο επιλέγουµε τις κορυφές και στην συνέχεια από µενού κατασκευή το «εσωτερικού». Σηµείωση: η κατασκευή γεωµετρικού τόπου δεν ενδείκνυται ως αντικείµενο διερεύνησης σε εισαγωγή στο λογισµικό. Προτεινόµενη δραστηριότητα: Επιλέγουµε ένα εργαλείο και ζητάµε απλές κατασκευές µε το συγκεκριµένο εργαλείο. Παράδειγµα φύλλου εργασίας. 1) Να δώσετε τον ορισµό της εφαπτοµένης κύκλου σε ένα σηµείο του. 2) Να περιγράψετε σε συγκεκριµένα βήµατα την κατασκευή της εφαπτοµένης σε κύκλο καθώς και τα γεωµετρικά εργαλεία που θα χρησιµοποιήσετε. 3) Ποια εργαλεία κατασκευών του λογισµικού θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε; 4) Να κατασκευάσετε µε τα κατάλληλα εργαλεία λογισµικού έναν κύκλο και την εφαπτοµένη σε ένα σηµείο του. 5) Να διαπραγµατευτείτε πως µπορούµε να κατασκευάσουµε πάνω σε µία ευθεία έναν εφαπτόµενο κύκλο µε τα ίδια εργαλεία του λογισµικού.
Μέρος Β ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Οι βασικοί µετασχηµατισµοί που διαθέτουν τα περισσότερα λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας είναι ισοµετρίες και οµοιοθεσία. Μιλώντας για µετασχηµατισµούς που διατηρούν τα µέτρα των τµηµάτων εννοούµε την µεταφορά, την στροφή και την ανάκλαση. Ισοµετρίες 3) Μεταφορά (κατά διάνυσµα) Η µεταφορά ενός γεωµετρικού αντικειµένου πραγµατοποιείται µε 3 τρόπους. α) Μεταφορά µε πολικές παραµέτρους. Αυτό σηµαίνει ότι από το παράθυρο καθορισµού του τρόπου µεταφοράς επιλέγουµε «πολικό», την απόσταση µεταφοράς και την γωνία µεταφοράς. Αν για παράδειγµα η γωνία είναι 90 0 τότε το αντικείµενο µεταφέρεται κατακόρυφα προς τα άνω, ενώ -90 0 κατακόρυφα προς τα κάτω. Το αντικείµενο µεταφέρεται παράλληλα. β) Μεταφορά κατά ορθογώνιο διάνυσµα. Αυτό σηµαίνει ότι από το παράθυρο καθορισµού του τρόπου µεταφοράς επιλέγουµε «ορθογώνιο» και τις δύο συντεταγµένες του διανύσµατος µεταφοράς, την οριζόντια και την κατακόρυφη. γ) Μεταφορά κατά ένα προεπιλεγµένο διάνυσµα. Εδώ χρειάζεται αρχικά να δηµιουργηθεί ένα διάνυσµα κατασκευάζοντας δύο σηµεία και επιλέγοντας από το µενού µετασχηµατισµός «Επιλογή διανύσµατος». Τότε τα σηµεία αυτά µετατρέπονται σε άκρα διανύσµατος (µε την σειρά που τα έχουµε επιλέξει)
Στην συνέχεια, και έχοντας πάντα επιλεγµένο το αντικείµενο που θα µεταφέρουµε, επιλέγουµε από το µενού «Μετασχηµατισµός» την µεταφορά κατά «επιλεγµένο». Προτεινόµενη δραστηριότητα: Να κατασκευαστεί παραλληλόγραµµο από 3 δοσµένα µη συνευθειακά σηµεία. 4) Στροφή Για να περιστρέψουµε ένα γεωµετρικό αντικείµενο θα πρέπει πρώτα να καθορίσουµε: α) Το κέντρο περιστροφής κάνοντας διπλό κλικ πάνω σε ένα σηµείο της επιλογής µας. β) Την γωνία περιστροφής η οποία µπορεί να καθοριστεί µε έναν αριθµό της δικής µας επιλογής στο παράθυρο «περιστροφή» επιλέγοντας «Σταθερή γωνία». Μπορεί όµως να καθοριστεί αν κατασκευάσουµε µία µεταβλητή γωνία, την µετρήσουµε και όταν ανοίξουµε το παράθυρο διαλόγου της περιστροφής να κάνουµε κλικ πάνω στην µέτρηση η οποία θα θεωρηθεί ως γωνία περιστροφής. Προτεινόµενη δραστηριότητα: Να κατασκευαστεί τετράγωνο δοσµένης πλευράς ή ένα οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο. 5) Ανάκλαση. Πρόκειται για συµµετρία ως προς άξονα και εποµένως είναι αναγκαίο να καθοριστεί ο άξονας ανάκλασης µε διπλό κλικ πάνω του. Στην συνέχεια επιλέγουµε ένα αντικείµενο που έχουµε κατασκευάσει και από το µενού «Μετασχηµατισµός επιλέγουµε ανάκλαση. Προτεινόµενη δραστηριότητα: Να κατασκευαστούν τα συµµετρικά διαφόρων σχηµάτων ως προς άξονα και στην συνέχεια να γίνει διερεύνηση της συµπεριφοράς των συµµετρικών όταν µεταβάλλεται η θέση του άξονα.
Οµοιοθεσία Η οµοιοθεσία ως µετασχηµατισµός υλοποιείται µέσα από την επιλογή «Αυξοµείωση» του µενού των µετασχηµατισµών. Η επιλογή αυτή όµως προϋποθέτει την ύπαρξη ενός καθαρού αριθµού ο οποίος θα χρησιµοποιηθεί ως συντελεστής αυξοµείωσης. Επιπλέον θα πρέπει να καθοριστεί και το κέντρο (µε διπλό κλικ) ως προς το οποίο θα πραγµατοποιηθεί η αυξοµείωση. Με επιλεγµένο το αντικείµενο που θα µετασχηµατιστεί από το µενού Μετασχηµατισµός επιλέγουµε αυξοµείωση και εµφανίζεται ένα παράθυρο καθορισµού του συντελεστή. Στην παραπάνω εικόνα είναι προφανές ότι ο λόγος είναι ½ και εποµένως έχουµε σµίκρυνση. Προτεινόµενες δραστηριότητες: Οι µαθητές µπορούν να δηµιουργήσουν µε την βοήθεια της αυξοµείωσης µία διαδικασία εύρεσης του συµµετρικού ενός σχήµατος ως προς σηµείο (κεντρική συµµετρία). Ο διδάσκων, ιδιαίτερα στην Γ Γυµνασίου, µπορεί να υποστηρίξει την διδασκαλία της οµοιοθεσίας και της οµοιότητας µε κατάλληλες οδηγίες προς τους µαθητές ώστε να δηµιουργούν οµοιόθετα ως προς χαρακτηριστικά σηµεία ενός πολυγώνου ως προς µία κρυφή του ή το κέντρο του (αν πρόκειται για παραλληλόγραµµο).