Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 7: Πολυδιάστατη κίνηση Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές Μιχαήλ Δ. Λογοθέτη Δεύτερη Έκδοση Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κατ' αρχήν σε τηλεπικοινωνιακούς μηχανικούς και μηχανικούς Η/Υ. Δεδομένης όμως της διεισδυτικότητας της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως στον γενικότερο επιστημονικό τομέα των μηχανικών, συνιστάται η γνώση του αντικειμένου του βιβλίου αυτού σ' όλους τους Ηλεκτρολόγους/Ηλεκτρονικούς Μηχανικούς και ιδιαιτέρως σε όλους όσους εξειδικεύονται στον τομέα των τηλεπικοινωνιακών δικτύων ή δικτύων υπολογιστών ως διαχειριστές, αναλυτές ή σχεδιαστές. Πρόθεση του συγγραφέα είναι το βιβλίο αυτό να αποτελέσει εγχειρίδιο μελέτης για προπτυχιακούς φοιτητές. Συνιστάται δε ως βασικό υπόβαθρο στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να ακολουθήσουν μεταπτυχιακές σπουδές στους προαναφερθέντες τομείς. Copyright 01 Α. Παπασωτηρίου & ΣΙΑ Ο.Ε. Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης
Σκοποί ενότητας Ορισμός της πολυδιάστατης κίνησης Περιγραφή και ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης Περιγραφή πολιτικών διάθεσης του εύρους ζώνης ενός συστήματος που εξυπηρετεί πολυδιάστατη κίνηση 3
Περιεχόμενα ενότητας Ορισμός πολυδιάστατης κίνησης Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης 4
Ορισμός πολυδιάστατης κίνησης Ως πολυδιάστατη κίνηση (multi dimensional traffic) ορίζονται οι κλήσεις με διαφορετικά χαρακτηριστικά που μοιράζονται με κάποιο τρόπο (πολιτική) το εύρος ζώνης (bandwidth) ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Παράδειγμα πολυδιάστατης κίνησης είναι η μεικτή κίνηση φωνής και δεδομένων (data) με διαφορετική ταχύτητα μετάδοσης που μοιράζονται μια ομάδα καναλιών μετάδοσης. Σε όλα τα μοντέλα πολυδιάστατης κίνησης που θα εξετάσουμε στις επόμενες ενότητες θεωρούμε ότι οι απαιτήσεις των κλήσεων σε εύρος ζώνης ή πόρους του συστήματος μετρώνται σε ακέραιες τιμές. 5
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (1) Έστω πολυδιάστατο σύστημα απωλειών στο οποίο προσφέρονται κλήσεις χαμηλής και υψηλής ταχύτητας. Μία κλήση χαμηλής ταχύτητας απαιτεί ένα μόνον κανάλι μετάδοσης (σχισμή χρόνου, time slot), ενώ μια κλήση υψηλής ταχύτητας απαιτεί m κανάλια. Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα απωλειών στο οποίο κλήσεις χαμηλής και υψηλής ταχύτητας με ρυθμούς άφιξης Poisson λ 1 και λ, και εκθετικό χρόνο εξυπηρέτησης με μέση τιμή μ 1 1 και μ 1, αντιστοίχως, προσφέρονται σε n trunks (κανάλια) (βλ. σχήμα). Μια άφιξη κλήσης χαμηλής ταχύτητας φράσσεται όταν όλα τα trunks είναι κατειλημμένα, ενώ η κλήση υψηλής ταχύτητας φράσσεται όταν υπάρχουν διαθέσιμα λιγότερα από m trunks. Χαμηλής ταχύτητας κλήσεις ( λ 1, μ 1 ) Υ ψηλής ταχύτητας κλήσεις 1 trunk m trunks σύστημα εξυπηρέτησ ης... χω ρητικότ ητα n trunks (κανάλια, γραμ μές, εξυπηρετητές) ( λ,μ ) 6
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης () Έστω P ij η από κοινού πιθανότητα, ότι i κλήσεις χαμηλής ταχύτητας και j κλήσεις υψηλής ταχύτητας βρίσκονται στο σύστημα στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας του. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τον χώρο κατάστασης για ένα μοντέλο κίνησης δύο διαστάσεων. Αριθμός κλήσεων υψηλής ταχύτητας S... 1 0 0 m m... sm=n Αριθμός κλήσεων χαμηλής ταχύτητας 7
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (3) Από το παρακάτω σχήμα προκύπτουν οι εξισώσεις μονίμου καταστάσεως: η (1) από το διάγραμμα (α), η () από το (β) και η (3) από το (γ). (λ 1 +λ +iμ 1 +jμ )P ij = λ 1 P i 1,j + λ P i,j 1 +(i+1)μ 1 P i+1,j +(j+1) μ P i,j+1, 0i+mjn m (1) (λ 1 +iμ 1 +jμ ) P ij = λ 1 P i 1,j + λ P i,j 1 +(i+1) μ 1 P i+1,j, n m<i+mj<n () (iμ 1 +jμ ) P ij = λ 1 P i 1,j + λ P i,j 1, i+mj=n (3) όπου P ij =0 για i, j < 0. (α) i, j+1 i-1, j (β) λ 1 i, j λ 1 iμ 1 λ jμ (i+1)μ 1 i+1,j λ (j+1)μ i-1, j λ 1 i, j λ 1 i+1,j i, j-1 iμ 1 λ jμ (i+1)μ 1 i-1, j λ 1 i, j i, j-1 iμ 1 λ jμ (γ) i, j-1 8
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (4) Συμβολίζοντας τα φορτία κίνησης με α i =λ i /μ i, i=1,, μπορεί να δειχθεί ότι οι (1) ως (3) ικανοποιούνται από την λύση μορφής γινομένου (product form solution): i j α 1 α Pij P (4) 00 i! j! Από την συνθήκη κανονικοποίησης, το P 00 ορίζεται ως: P 00 s n mj j 0 i 0 i 1 i! j j! 1 (4α) όπου s=[n/m], [] αναπαριστά το ακέραιο μέρος. 9
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (5) Από την (4), οι πιθανότητες απωλείας Β 1 και Β για κλήσεις χαμηλής και υψηλής ταχύτητας, αντιστοίχως, υπολογίζονται ως εξής: B 1 s j0 P nmj,j P s 00 j0 α nmj 1 n mj! α j j! (5) B k s1 nmj k i α s1 n α1 P is Pij P00 i0 j0 inmjm1 s! i0 i! j0 inmj mj m1 α i 1 i! α j j! (6) όπου k=n (mod m) δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης n διά m. 10
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (6) Η απόδοση του καναλιού (trunk efficiency occupancy) υπολογίζεται ως εξής: n= (1/n) [α 1 (1 Β 1 ) + α m(1 Β )] = Α(1 Β)/n (7) όπου Α είναι το (ισοδύναμο) συνολικό προσφερόμενο φορτίο και Β η μέση πιθανότητα απωλείας κλήσεως που υπολογίζονται από τους τύπους: Α = α 1 + mα Β = (α 1 Β 1 + mα Β ) / Α (7α) (7β) 11
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (7) Παράδειγμα 1 Έστω σύστημα ISDN που εξυπηρετεί κλήσεις δεδομένων και φωνής με τεχνολογία μεταγωγής κυκλώματος. Υποθέτοντας ότι οι κλήσεις φωνής και δεδομένων φθάνουν τυχαία στο σύστημα με ρυθμούς λ 1 =15 κλήσεις/min και λ =0.1 κλήσεις/min, και μεταδίδονται με ταχύτητες 6.4 kbps και 64 kbps, έχοντας μέσες τιμές χρόνου εξυπηρέτησης μ 1 1 = 0. min και μ 1 = min, αντιστοίχως, τότε: α 1 =150.=3erl, α =0.1=0. erl και m=64.4/6.4=10 Από τις (5) έως (7) έχουμε: Β 1 =0.0076, Β =0.04378, Β=0.01917 1
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (8) Το σχήμα που ακολουθεί δείχνει την επίδραση του λόγου ταχυτήτων m. Η αυξομείωση που παρατηρούμε λέγεται επίδραση κλάσματος καναλιού (fraction channel effect). Απορρέει από το γεγονός ότι η κίνηση μεγάλης ταχύτητας φράσσεται, εκτός εάν είναι διαθέσιμα m κανάλια, ενώ η κίνηση χαμηλής ταχύτητας εξυπηρετείται έστω και με ένα κανάλι διαθέσιμο. 1 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως 0,1 0,01 0,001 B B 1 5 10 15 0 5 Λόγος ταχυτήτων 13
Ανάλυση συστήματος δι διάστατης κίνησης (9) Ένα ακόμα χαρακτηριστικό του σχήματος είναι ότι η πιθανότητα απωλείας κλήσεως είναι μεγαλύτερη για κίνηση υψηλής ταχύτητας απ ό,τι για χαμηλής, άρα o βαθμός εξυπηρέτησης των κλήσεων δεν είναι εξισορροπημένος. Για να εξισορροπήσουμε τον βαθμό εξυπηρέτησης διαφορετικών υπηρεσιών χρησιμοποιούμε την πολιτική δέσμευσης εύρους ζώνης (bandwidth/trunk reservation), η οποία περιγράφεται στην ενότητα 8. 1 Πιθανότητα απωλείας κλήσεως 0,1 0,01 0,001 B B 1 5 1 0 15 0 5 Λόγος ταχυτήτων 14
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (1) Για την ανάπτυξη και ανάλυση του μοντέλου πολυδιάστατης κίνησης και των πολιτικών διάθεσης των πόρων του συστήματος υποθέτουμε ότι: Η χωρητικότητα του συστήματος είναι ίση με C μονάδες εύρους ζώνης. Υπάρχουν Κ οι κατηγορίες κίνησης. Οι κλήσεις που παράγονται από τις Κ κατηγορίες ακολουθούν μια διαδικασία Poisson και φθάνουν στο σύστημα με ρυθμό λ i όπου (i =1,,,Κ). Θεωρούμε ακόμα ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένος. Ο ρυθμός εξυπηρέτησης των κλήσεων της κατηγορίας i είναι μ i. Κάθε κλήση κατηγορίας i απαιτεί b i μονάδες εύρους ζώνης, (i=1,,,k). Αν αυτό το εύρος ζώνης είναι διαθέσιμο κατά την άφιξη μιας κλήσης κατηγορίας i, τότε διατίθεται στην κλήση για διάρκεια ίση με τον χρόνο εξυπηρέτησης της. Διαφορετικά η κλήση φράσσεται και χάνεται. 15
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης () Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η γενική μορφή ενός συστήματος που εξυπηρετεί Κ κατηγορίες κίνησης. 1 st service-class i th service-class λ i,μ i,b i b i C K th service-class 16
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (3) Έστω τώρα n i ο αριθμός των κλήσεων τύπου i στο σύστημα στην κατάσταση ισορροπίας, τότε θεωρούμε το διάνυσμα οριακής κατάστασης n = (n 1, n,,n K ). Το διάνυσμα αυτό εκφράζει την κατάσταση ισορροπίας στην οποία υπάρχουν στο σύστημα n 1 κλήσεις τύπου 1, n κλήσεις τύπου, κ.ο.κ. Συμβολίζουμε επίσης με το διάνυσμα οριακής κατάστασης που εκφράζει την i περίπτωση να αυξηθεί κατά μία κλήση ο αριθμός των κλήσεων τύπου i που βρίσκονται στο σύστημα, δηλαδή: Ομοίως: n n n ( n, n,..., n, n 1, n,..., n ) i 1 i1 i i1 K ( n, n,..., n, n 1, n,..., n ) i 1 i1 i i1 K Ορίζουμε τέλος ως Ω το σύνολο των δυνατών καταστάσεων (το οποίο εξαρτάται από τον τρόπο διάθεσης των πόρων του συστήματος). 17
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (4) Παράδειγμα Θεωρούμε δύο υπηρεσίες, οι κλήσεις των οποίων απαιτούν b 1 =1 και b = μονάδες εύρους ζώνης, αντιστοίχως. Έστω ότι η χωρητικότητα του συστήματος είναι C=8 μονάδες εύρους ζώνης. Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση όπου εφαρμόζεται πολιτική πλήρους διάθεσης (complete sharing policy) των πόρων του συστήματος. Κύριο χαρακτηριστικό των συστημάτων πλήρους διάθεσης είναι ότι μία κλήση που χρειάζεται b μονάδες εύρους ζώνης, φράσσεται αν και μόνο αν λιγότερες από b μονάδες εύρους ζώνης από τις C είναι διαθέσιμες. Το σύνολο Ω για συστήματα πλήρους διάθεσης περιγράφεται από την σχέση: Ω = n:0 nbc, nb nb (8) i i i1 K 18
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (5) Παράδειγμα (συνέχεια) Επομένως, από την (8) έχουμε: 1 1 n b C n 1 n Το σύνολο των δυνατών καταστάσεων παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. n n b 8 4 Κατάσταση (n 1, n ) = (3, ) 3 1 n 1 3 4 5 6 7 8 1 n 1 19
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (6) Παράδειγμα 3 Θεωρούμε τα ίδια δεδομένα με εκείνα του παραδείγματος και εξετάζουμε την περίπτωση της πολιτικής μερικής διάθεσης (partial sharing policy) των πόρων του συστήματος. Έστω λοιπόν ότι στις κλήσεις τύπου 1 το σύστημα αφιερώνει C 1 = μονάδες εύρους ζώνης, ενώ και στις κλήσεις τύπου διατίθενται C = μονάδες εύρους ζώνης. Οι υπόλοιπες C 0 =C C 1 C =4 μονάδες εύρους ζώνης είναι διαθέσιμες τόσο για τις κλήσεις τύπου 1 όσο και για τις κλήσεις τύπου. Το νέο σύνολο Ω δίνεται από την έκφραση: K Ω n : 0 nibi Ci C0, i 1,..., K, 0 nb Ci C i1 0 (9) 0
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (7) Παράδειγμα 3 (συνέχεια) Το σύνολο των δυνατών καταστάσεων που προκύπτει από την (9) παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα: n 3 1 1 3 4 5 6 n n 1 1 1
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (8) Παράδειγμα 3 (συνέχεια) Στην γενική περίπτωση (για οποιοδήποτε αριθμητικό παράδειγμα) έχουμε το παρακάτω σχήμα: n 0 b C C b C n 1 1 b C 1 0 1 b C C n 1
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (9) Γενικό σχόλιο επί των παραδειγμάτων, 3 Παρατηρώντας τα σχήματα των παραδειγμάτων, 3 διαπιστώνεται η ακόλουθη ιδιότητα: Οι προβολές από οποιοδήποτε σημείο του συνόλου Ω προς τους άξονες n 1, n περιλαμβάνουν σημεία τα οποία ανήκουν και αυτά στο σύνολο Ω. Τα σχήματα αυτά τα οποία χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα αυτή λέγεται ότι έχουν κυρτότητα συντεταγμένων (coordinate convexity), ενώ τα σύνολα Ω ονομάζονται σύνολα κυρτών συντεταγμένων. Η ονομασία αυτή χαρακτηρίζει και τον τρόπο διάθεσης των πόρων του συστήματος. Κατ επέκταση χρησιμοποιούμε και το όρο πολιτικές κυρτών συντεταγμένων (coordinate convex policies). Κύρια χαρακτηριστικά της πολιτικής των κυρτών συντεταγμένων είναι τα εξής: Οι πιθανότητες μονίμου κατάστασης έχουν μορφή γινομένου. Σε ένα σύστημα που ακολουθεί μια «πολιτική» κυρτών συντεταγμένων και χαρακτηρίζεται από ένα αντίστοιχο σύνολο Ω, μια κλήση γίνεται δεκτή όταν η νέα κατάσταση που θα προκύψει ανήκει επίσης στο σύνολο Ω. 3
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (10) Παράδειγμα 4 Θεωρούμε ένα σύστημα όπου η διάθεση των πόρων του συστήματος γίνεται υπό τον περιορισμό: n b n b i i i1 i1 Ο περιορισμός αυτός εμποδίζει τις κλήσεις τύπου i να καταλαμβάνουν περισσότερες μονάδες εύρους ζώνης από τις κλήσεις τύπου i+1. Το σύνολο Ω εκφράζεται από την σχέση: n:0nbc, nb n b, i1,..., K1 i i i1 i1 (10) 4
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (11) Παράδειγμα 4 (συνέχεια) Αν b 1 = 1, b =, C = 8, θα πρέπει: n n 1 1 n n 8 Το σύνολο των δυνατών καταστάσεων που πληροί τους περιορισμούς φαίνεται γραφικά στο ακόλουθο σχήμα: n 4 3 1 1 3 4 n 1 5
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (1) Παράδειγμα 4 (συνέχεια) Στην γενική περίπτωση (για οποιοδήποτε αριθμητικό παράδειγμα) έχουμε το παρακάτω σχήμα: n C b C b 1 n 1 6
Πολιτικές διάθεσης των πόρων συστήματος πολυδιάστατης κίνησης (13) Γενικό σχόλιο επί του παραδείγματος 4 Παρατηρώντας τα σχήματα του παραδείγματος 4 βλέπουμε ότι υπάρχουν σημεία του συνόλου Ω από τα οποία οι προβολές προς τους άξονες n 1, n δεν περιλαμβάνουν πάντοτε σημεία τα οποία ανήκουν και αυτά στο σύνολο Ω. Στην περίπτωση αυτή η αντίστοιχη πολιτική διάθεσης των πόρων του συστήματος χαρακτηρίζεται ως πολιτική μη κυρτών συντεταγμένων (non coordinate convex policies). Κύριο χαρακτηριστικό των πολιτικών μη κυρτών συντεταγμένων είναι ότι η αποχώρηση των κλήσεων από το σύστημα, ενδέχεται να μην είναι δυνατή. 7
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 9
Σημειώματα 30
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.00. 31
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Μιχαήλ Λογοθέτης. «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης. Πολυδιάστατη κίνηση». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ee77/ 3
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 33
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 34
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση του ακόλουθου έργου: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες/Πίνακες [1] Μιχαήλ Λογοθέτης, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, η έκδοση, Παπασωτηρίου, 01 35