ΓΓ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 4ο: Ταλαντώσεις - Μηχανικά Κύματα

ΓΓ/Μ4 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος 4ο: Ταλαντώσεις - Μηχανικά Κύματα

ΕΚΔΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσική για την Γ' Τάξη του Γυμνασίου 1. Ταλάντωση - Μεγέθη που χαρακτηρίζουν μια ταλάντωση - Το απλό εκκρεμές σελ. 97. Μηχανικά κύματα - Χαρακτηριστικά μεγέθη του κύματος σελ. 114

Ταλάντωση - Μεγέθη που χαρακτηρίζουν μια ταλάντωση - Το απλό εκκρεμές Τι ονομάζουμε περιοδική κίνηση; Να αναφέρετε μερικά παραδείγματα. Περιοδική ονομάζουμε την κίνηση που επαναλαμβάνεται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα χρονικά διαστήματα. Περιοδική είναι η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο (κάθε 365 μέρες μια πλήρης περιστροφή ), η κίνηση της ράβδου ενός εκκρεμούς ρολογιού (60 παλινδρομήσεις το λεπτό), η κίνηση της βαλβίδας της ρόδας του ποδηλάτου όταν αυτό κινείται με σταθερή ταχύτητα, η κίνηση των δεικτών του ρολογιού κ.τ.λ. Τι ονομάζουμε ταλάντωση; Να αναφέρετε μερικά παραδείγματα. Ταλάντωση ονομάζουμε μια ειδική περίπτωση περιοδικής κίνησης, κατά την οποία ένα σώμα κινείται ανάμεσα σε δύο ακραία σημεία της τροχιάς του π.χ πάνω - κάτω, δεξιά - αριστερά, μπρος - πίσω κ.λ.π.ταλάντωση, είναι η κίνηση της ράβδου ενός εκκρεμούς ρολογιού, η κίνηση μιας κούνιας, αλλά όχι η κίνηση της Γης, ούτε η κίνηση της βαλβίδας γιατί αυτές οι κινήσεις δε γίνονται ανάμεσα σε δύο ακραία σημεία, αλλά η τροχιά τους είναι κλειστή γραμμή (κύκλος). Ασκείται συνισταμένη δύναμη σ' ένα σώμα που ταλαντώνεται; Ποιος ο ρόλος της; Τι ονομάζεται θέση ισορροπίας; Η ταλάντωση ΔΕΝ είναι ομαλή κίνηση, επομένως, για να πραγματοποιηθεί, πρέπει πάνω στο σώμα να ασκείται μη μηδενική δύναμη (Α Νόμος του Νεύτωνα). Η συνισταμένη δύναμη τείνει να επαναφέρει το σώμα σε μια συγκε-

9 8 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα κριμένη θέση η οποία ονομάζεται θέση ισορροπίας και βρίσκεται στο μέσο της τροχιάς. Στη θέση αυτή η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν. Η συνισταμένη δύναμη ονομάζεται δύναμη επαναφοράς, είναι ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας και γίνεται μέγιστη στις ακραίες θέσεις. Τι είναι περίοδος και τι συχνότητα μιας ταλάντωσης; Ποιές είναι οι μονάδες μέτρησής τους; Περίοδος Τ ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται ένα σώμα για να κάνει μια πλήρη ταλάντωση. Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I. είναι το 1 s. π.χ. περίοδος είναι ο χρόνος για να καλύψει το σώμα τη διαδρομή ΑΟΒΟΑ ή ΟΒΟΑΟ ή ΓΟΑΒΓ. Συχνότητα f μιας ταλάντωσης είναι εκείνο το φυσικό μέγεθος που μας πληροφορεί για το πόσες πλήρεις ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα στη μονάδα του χρόνου. Η μονάδα μέτρησης της στο S.I. είναι το 1 Hz (Χερτζ). Π.χ. Συχνότητα f = 5Hz σημαίνει ότι το σώμα κάνει 5 ταλαντώσεις σε 1 s. Το 1Hz είναι ίσο με το 1 s. Δηλαδή 1 Hz. s Η συχνότητα ισούται με το πηλίκο του αριθμού των πλήρων ταλαντώσεων Ν σε ορισμένο χρονικό διάστημα t, προς το διάστημα αυτό: N f () t Προσοχή! Περίοδος είναι ο χρόνος για να ξεκινήσει ένα σώμα από ένα σημείο, να κάνει μια πλήρη παλινδρόμηση και να επιστρέψει στην αρχική του θέση, περνώντας οπωσδήποτε από τις δύο α- κραίες θέσεις. Παρατήρηση! Αν ένα σώμα σε χρόνο t εκτελεί Ν ταλαντώσεις τότε: t T (1) N

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 9 9 Ποια είναι η σχέση της συχνότητας με την περίοδο μιας ταλάντωσης; Η συχνότητα και η περίοδος σε μια ταλάντωση,όπως φαίνεται από τις σχέσεις (1) και (), είναι αντίστροφα μεγέθη. 1 f ή T 1 T f Τι ονομάζουμε πλάτος μιας ταλάντωσης; Πλάτος μιας ταλάντωσης ονομάζουμε τη μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας. Να περιγραφεί ενεργειακά μια ταλάντωση. Παρατήρηση! Η μηχανική ενέργεια ενός σώματος είναι ίση με το άθροισμα της κινητικής (Κ) και της δυναμικής ενέργειας (U) που έχει το σώμα. Δηλαδή Ε ΜΗΧ = U + K Για να ταλαντωθεί ένα σώμα πρέπει να του προσδώσουμε ενέργεια. Μετατοπίζοντας το σώμα από τη θέση ισορροπίας σε μια ακραία θέση, μέσω του έργου της δύναμης μας, του μεταφέρουμε την απαραίτητη ενέργεια για να ταλαντωθεί. Η ενέργεια αποθηκεύεται στο σώμα με τη μορφή δυναμικής ενέργειας (Umax). Η κινητική του ενέργεια σ' αυτό το (ακραίο) σημείο είναι μηδέν, γιατί, η ταχύτητά του είναι μηδέν. Αν δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας (τριβές ή αντιστάσεις του αέρα κ.λ.π), η μηχανική ενέργεια (Ε μηχ = U + K) και το πλάτος της ταλάντωσης, παραμένουν σταθερά σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης. Ξεκινώντας η ταλάντωση, μειώνεται η δυναμική ενέργεια του σώματος (γιατί μειώνεται η απόσταση του από τη θέση ισορροπίας) και αυ-

100 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα ξάνεται η κινητική του ενέργεια (γιατί αυξάνεται η ταχύτητα του). Στη θέση ισορροπίας, η δυναμική του ενέργεια γίνεται μηδέν, και η κινητική του ενέργεια γίνεται μέγιστη (Κmax), δηλαδή όλη η δυναμική, μετατράπηκε σε κινητική (Umax = Κmax ). Μετά τη θέση ισορροπίας, γίνεται η αντίστροφη διαδικασία δηλ. αυξάνεται η δυναμική και μειώνεται η κινητική του ενέργεια. Σε μια τυχαία θέση λόγω διατήρησης της ενέργειας: Ε ΜΗΧ = U + K = U max = K max. Αν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική και το πλάτος μειώνεται. Για να διατηρήσουμε τη μηχανική ενέργεια και το πλάτος σταθερά, πρέπει με κάποιον μηχανισμό να προσφέρουμε διαρκώς ενέργεια στο σώμα. Στις ακραίες θέσεις: Κινητική ενέργεια μηδέν (Κ = 0), δυναμική ενέργεια μέγιστη U, δύναμη επαναφοράς μέγιστη max Στην θέση ισορροπίας: Κινητική ενέργεια μέγιστη K max F max, δυναμική ενέργεια μηδέν (U = 0), δύναμη επαναφοράς μηδέν F 0. Σε τυχαία θέση: το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας είναι ίσο με τη μέγιστη δυναμική ενέργεια η οποία είναι ίση με τη μέγιστη κινητική ενέργεια U K Umax K max

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 101 Τι είναι το απλό εκκρεμές και τι κίνηση κάνει; Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα νήμα μήκους L, στη μία άκρη του οποίου είναι κρεμασμένο ένα μικρό σώμα, ενώ η άλλη άκρη του είναι στερεωμένη σε κάποιο σταθερό σημείο. Όταν το νήμα είναι κατακόρυφο, το σώμα ισορροπεί (θέση ισορροπίας ). Αν μετακινήσουμε το σώμα από την κατακόρυφο, κατά γωνία μικρότερη από 15 ο, τότε αυτό θα αρχίσει να κινείται μεταξύ δύο ακραίων θέσεων. Η κίνηση αυτή του εκκρεμούς είναι ταλάντωση. Παρατήρηση! Η περίοδος ΔΕΝ εξαρτάται από τη μάζα του σώματος. Η περίοδος ΔΕΝ εξαρτάται από τη γω νία εκτροπής (αν αυτή έχει οποιαδήποτε τιμή μικρότερη από 15 ο ) Από τι εξαρτάται η περίοδος της ταλάντωσης ενός απλού εκκρεμούς; Μελετώντας πειραματικά το απλό εκκρεμές, καταλήξαμε στα εξής συμπεράσματα: Η περίοδος είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του μήκους L Η περίοδος είναι αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της επιτάχυνσης της βαρύτητας g. Χρησιμοποιώντας τους νόμους της Φυσικής, αποδεικνύεται ότι η εξίσωση που δίνει την περίοδο του απλού εκκρεμούς είναι: L T π g Πώς επηρεάζεται η περίοδος ενός εκκρεμούς από το γεωγραφικό πλάτος και το υψόμετρο; Να συγκριθεί η περίοδος ενός εκκρεμούς στη Σελήνη σε σχέση με τη Γη. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g αυξάνεται καθώς μετακινούμαστε από τον Ισημερινό (g = 9,78 m/s ) προς τους πόλους (g = 9,83 m/s ). Επομένως, η περίοδος Τ που είναι αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της επιτάχυνσης της βαρύτητας g,μειώνεται από τον Ισημερινό προς τους πόλους. Επίσης, αν μεταφερθούμε από την επιφάνεια της θάλασσας, σε κάποιο ύψος (π.χ. βουνό) η περίοδος ενός εκκρεμούς αυξάνεται,γιατί η επιτάχυνση της βαρύτητας μειώνεται.

10 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα Αν μετρήσουμε την περίοδο ενός εκκρεμούς στη Σελήνη, θα διαπιστώσουμε ότι θα έχει αυξηθεί σημαντικά (περίπου,5 φορές), σε σχέση με τη Γη, επειδή η επιτάχυνση της βαρύτητας στη Σελήνη είναι πολύ μικρότερη από αυτή της γης. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας σ' ένα τόπο με τη βοήθεια ενός εκκρεμούς; Από τη σχέση της περιόδου L T π προκύπτει g g 4π L T. Μετρώντας δηλαδή το μήκος L και την περίοδο Τ ενός εκκρεμούς σ' έναν τόπο, μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας g στο τόπο αυτό. Παρατήρηση! Ένα εκκρεμές ρολόι τοίχου, θα πηγαίνει πίσω: α. στον Ισημερινό σε σχέση με τους Πόλους. β. σ ένα βουνό σε σχέση με την επιφάνεια της θάλασσας. γ. στη Σελήνη σε σχέση με τη Γη Η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας σ' ένα τόπο επηρεάζεται από τοπικά κοιτάσματα μεταλλεύματος ή πετρελαίου στο εσωτερικό της Γης, επειδή η πυκνότητα τους διαφέρει απ' αυτή του περίγυρου. Συνεπώς ακριβείς μετρήσεις του g,που χρησιμοποιούνται στη Γεωφυσική, μπορούν να δώσουν πολύτιμες πληροφορίες για την φύση των κοιτασμάτων που βρίσκονται στο υπέδαφος.

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 103 Ανακεφαλαίωση: 1.Οι ταλαντώσεις είναι περιοδικές κινήσεις μεταξύ ακραίων θέσεων. Κάθε περιοδική κίνηση δεν είναι απαραίτητα ταλάντωση.. Στην ταλάντωση υπάρχει πάντα η θέση ισορροπίας του σώματος και οι ακραίες θέσεις του. Στις ακραίες θέσεις η δύναμη επαναφοράς είναι μέγιστη. 3. Ο χρόνος για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση ένα σώμα καλείται 1 περίοδος και είναι ίση με το αντίστροφο της συχνότητας T f. Η συχνότητα είναι ίση με τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων προς τον N χρόνο που χρειάστηκε για να γίνουν: f t. 4. Στη θέση ισορροπίας μιας ταλάντωσης το σώμα: α. Έχει μέγιστη κινητική ενέργεια. β. Έχει μηδενική δυναμική ενέργεια. γ. Η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν. 5. Στις ακραίες θέσεις μιας ταλάντωσης το σώμα: α. Έχει μηδενική κινητική ενέργεια. β. Έχει μέγιστη δυναμική ενέργεια. γ. Η δύναμη επαναφοράς γίνεται μέγιστη. δ. Η απομάκρυνση γίνεται μέγιστη και καλείται πλάτος ταλάντωσης. 6. Η περίοδος του εκκρεμούς εξαρτάται μόνο από το μήκος L του νήματος και την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας σύμφωνα με τη σχέση L T π g 7. Αυξάνοντας το μήκος του νήματος του εκκρεμούς αυξάνεται η περίοδος, ενώ αν αυξηθεί η επιτάχυνση της βαρύτητας μειώνεται η περίοδος.

104 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα Ερωτήσεις: 31. Ένα σώμα ταλαντώνεται μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Β όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Αν το σώμα διανύει τη διαδρομή ΑΟΒΟ σε χρόνο 3s, ποια η περίοδος της ταλάντωσης; Α. 1,5s B. 3s Γ. 4s Δ. 6s 3. Ένα σώμα ταλαντώνεται μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Β όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Σε ποια από τις παρακάτω διαδρομές το σώμα εκτελεί μια πλήρη ταλάντωση; Α. ΟΑΟ Β. ΖΟΑΟΖ Γ. ΖΑΒΖ Δ. ΒΟΑΟ 33. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: 34. Ένα σώμα εκτελεί ταλαντώσεις μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Β χωρίς τριβές και αντιστάσεις. Να συμπληρώσετε τον πίνακα που ακολουθεί

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 105 35. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: Α. Ένα σώμα που ταλαντώνεται, στη θέση ισορροπίας έχει τη μέγιστη... ενέργεια, ενώ στις ακραίες θέσεις έχει τη μέγιστη... ενέργεια. Β. Το γινόμενο της περιόδου επί την συχνότητα ενός σώματος που ταλαντώνεται είναι ίσο με... Γ. Μονάδα μέτρησης στο S.I της περιόδου είναι το... ενώ της συχνότητας το... Δ. Η ταχύτητα ενός σώματος που ταλαντώνεται είναι... στη θέση ισορροπίας και... στις ακραίες θέσεις. Ε. Ένα εκκρεμές ρολόι στους πόλους πηγαίνει... σε σχέση μ' ένα ίδιο ρολόι που λειτουργεί στον Ισημερινό. ΣΤ. Ένα εκκρεμές κινείται πιο... σ' ένα βουνό απ' ότι στην επιφάνεια της θάλασσας. 36. Aν η περίοδος ενός εκκρεμούς στους πόλους είναι Τ = s, ποια μπορεί να είναι η περίοδός του στον Ισημερινό; Α. s B. 3s Γ. 1s Δ. 0,5s 37. Η συχνότητα της ταλάντωσης ενός εκκρεμούς σ' έναν τόπο είναι f = 5Ηz. Ένα άλλο εκκρεμές ίδιου μήκους, στον ίδιο τόπο έχει κρεμασμένο στο άκρο του σώμα πενταπλάσιας μάζας από το πρώτο. Ποια μπορεί να είναι η συχνότητα του δεύτερου εκκρεμούς; Α. 10Ηz B.,5Hz Γ. 0Ηz Δ. 5Ηz 38. Μετρώντας πειραματικά την περίοδο ενός εκκρεμούς σε δύο τόπους Α και Β, του ίδιου γεωγραφικού πλάτους και του ίδιου υψομέτρου, διαπιστώσαμε ότι Τ Α > Τ Β. Επειδή είχαμε την πληροφορία ότι ένας από τους δύο τόπους, έχει στο υπέδαφός του μαγνητικά πετρώματα,φροντίσαμε το σώμα που είναι προσδεμένο στο άκρο του εκκρεμούς να είναι από σίδηρο. Μπορούμε να πούμε ποιος είναι ο τόπος με τα μαγνητικά πετρώματα;

106 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 39. Με τη βοήθεια ενός εκκρεμούς και ενός αεροστάτου, κάναμε μετρήσεις της συχνότητας ταλάντωσης του εκκρεμούς σε 4 διαφορετικά ύψη: H Α < H Β < Η Γ < Η Δ. Να διατάξετε τις συχνότητες f Α, f Β, f Γ, f Δ που μετρήθηκαν από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη. 40. Ένας αστροναύτης μάζας 75Κgr προετοιμάζεται στο διαστημικό σταθμό της ΝΑSA, για το ταξίδι του στη Σελήνη. Για τη μέτρηση του βάρους του στη Σελήνη, παίρνει μαζί του ένα εκκρεμές, ένα χρονόμετρο και μια μετροταινία. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α. Μήπως ο αστροναύτης είναι ερωτευμένος και από την αφηρημάδα του πήρε λάθος όργανα για τη μέτρηση του βάρους του; β. Θα μπορέσει ο αστροναύτης με τα όργανα που πήρε μαζί του να υπολογίσει το βάρος του;

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 107 Λυμένες ασκήσεις: 17. Ένα σώμα εκτελεί σε χρόνο 10s, 0 πλήρεις ταλαντώσεις. Βρείτε: α. Την περίοδο και τη συχνότητα του εκκρεμούς. β. Τον αριθμό των ταλαντώσεων σε 13s. γ. Το χρόνο που χρειάζεται το εκκρεμές για να εκτελέσει 36 πλήρεις ταλαντώσεις. Λύση α. β. γ. t 10 1 1 Τ T s T 0,5 s οπότε f f f Hz N 0 T 0,5s N f N f t N Hz 13s 6 ταλαντώσεις t N N 36 f t t t 18s t f Hz 18. Ένα σώμα εκτελεί ταλάντωση με συχνότητα f = 0,5Hz. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι x 0 = 0cm, να υπολογιστούν: α. Η περίοδος της ταλάντωσης. β. Η απόσταση που διανύει το σώμα σε χρόνο μιας περιόδου. Λύση 1 1 α. Από την σχέση T έχουμε: T s. f 0,5Hz β. Σε χρόνο μιας περιόδου το σώμα ξεκινάει από τη μία ακραία θέση (Α 1 ), περνάει από τη θέση ισορροπίας (Θ.Ι.), φτάνει στην άλλη ακραία θέση (Α ) και επιστρέφει στην αρχική ακραία θέση περνώντας από τη θέση ισορροπίας. Άρα το σώμα διανύει τη διαδρομή Α 1 - Θ.Ι. - Α - Θ.Ι. - Α 1, δηλαδή κάνει την απόσταση: S x 0 x 0 x 0 x 0 4x 0 4 0cm 80cm

108 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 19. Ένα απλό εκκρεμές εκτελεί ταλαντώσεις με συχνότητα f = Hz σ' έναν τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s. Βρείτε: α. Ποια η περίοδος του εκκρεμούς; β. Ποιο το μήκος του εκκρεμούς; Θεωρείστε ότι Λύση α. π 10. 1 T Τ s Τ s f β. L L T g s 10m /s T π T 4π L L L 0,5m g g 4π 4 10 0. Ένα απλό εκκρεμές μήκους L = 10cm, ταλαντώνεται σ' έναν τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10m/s. Βρείτε: α. την περίοδο ταλάντωσης του εκκρεμούς. β. τη συχνότητα της ταλάντωσης του εκκρεμούς. γ. τον αριθμό των ταλαντώσεων που εκτελεί το εκκρεμές σε χρόνο t = 5s. Λύση L 0,1m α. Τ π T 3,14 Τ 0,68s g 10m/s β. γ. 1 1 f f f 1,6Hz T 0,68s t t 5s Τ N N Ν 8 ταλαντώσεις N T 0,68s

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 109 1. α.ένα απλό εκκρεμές έχει μήκος L = 39mm και ταλαντώνεται σ' έναν τόπο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9,8m/s.Bρείτε την περίοδο του εκκρεμούς. β. Αν το ίδιο εκκρεμές μεταφερθεί σε κάποιο υψόμετρο, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = g/ πόσο πρέπει να μεταβληθεί το μήκος του εκκρεμούς για να συνεχίσει να έχει την ίδια περίοδο; Λύση α. Η περίοδος του εκκρεμούς είναι: L 0,39m T π T 3,14 Τ 1,56s g 9,8m/s β. Επειδή η περίοδος παραμένει η ίδια, θα έχουμε: L L Τ g T π Τ 4π L L 0,196m g g 4 π Άρα η μεταβολή του μήκους του εκκρεμούς πρέπει να είναι: L L L 0,39m 0,196m 0,196m. Ένας αστροναύτης μάζας m = 80Kg,διαθέτει ένα εκκρεμές που το μήκος του είναι 98cm και ένα χρονόμετρο. Με τη βοήθεια των δύο αυτών οργάνων, προσπαθεί να βρει πόσο πιο ελαφρύς θα γίνει,όταν πάει στη Σελήνη. Όταν λοιπόν ο αστροναύτης είναι στη Γη, παρατηρεί ότι το εκκρεμές σε 0sec εκτελεί 10 πλήρεις ταλαντώσεις, ενώ όταν πάει στη Σελήνη, στον ίδιο χρόνο το εκκρεμές εκτελεί τις μισές ταλαντώσεις. Μπορείτε να αντιληφθείτε τον τρόπο σκέψης του αστροναύτη, και να βρείτε πόσο πιο ελαφρύς έγινε στη Σελήνη; Λύση t 0s Η περίοδος του εκκρεμούς στη Γη είναι: TΓ TΓ ΤΓ s N 10

110 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα Επίσης η περίοδος του εκκρεμούς στη Γη είναι: L 4π L 4 10 0,98m Γ Γ Γ Γ gγ TΓ s T π g g g 9,8m/s Το βάρος του αστροναύτη στη Γη είναι: w Γ m g Γ wγ 80 9,8 w Γ 784Ν t 0s Η περίοδος του εκκρεμούς στη Σελήνη είναι: TΣ TΣ ΤΣ 4s N 5 Η περίοδος του εκκρεμούς στη Σελήνη είναι επίσης: L 4π L 4 10 0,98m Σ Σ Σ Σ gσ TΣ 4 s T π g g g,45m/s Το βάρος του αστροναύτη στη Σελήνη θα είναι: w m g w 80kg,45m/s w 196Ν Σ Σ Σ Σ Επομένως ο αστροναύτης στη Σελήνη είναι 784 4 φορές ελαφρύτερος 196 απ' ότι στη Γη.

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 111 Ασκήσεις για λύση: 46. Στη μηχανή ένος αυτοκινήτου το πιστόνι κάνει την παλλιδρομική κίνηση 4000 φορές σε χρόνο t = 1min. Να υπολογιστεί η συχνότητα και η περίοδός του. 47. Ένα σώμα ταλαντώνεται με περίοδο T =,5s. α. Ποιά η συχνότητα της ταλάντωσης; β. Πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα σε χρόνο t min ; 48. Αν το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί ένα σώμα είναι x 0 = 0cm να υπολογιστούν: α. Η απόσταση που διανύει το σώμα σε χρόνο μιας περιόδου Τ. β. Πόσες φορές θα διέλθει από τη θέση ισορροπίας σε χρόνο t 4T. 49. Ένα απλό εκκρεμές εκτελεί 10 πλήρεις ταλαντώσεις σε 0s. Aν το μήκος του εκκρεμούς είναι L 0, 98m, να βρείτε: α. Tην περίοδο ταλάντωσης του εκκρεμούς. β. Tη συχνότητα ταλάντωσης του εκκρεμούς. γ. Tην επιτάχυνση της βαρύτητας στον τόπο όπου ταλαντώνεται το εκκρεμές. 50. Ένα απλό εκκρεμές, έχει μήκος L = 1m και ταλαντώνεται σ' έναν τόπο στην επιφάνεια της θάλασσας, με περίοδο T = s.aν μεταφέρουμε το εκκρεμές σε πολύ μεγάλο ύψος Η και το θέσουμε σε ταλάντωση, παρατηρούμε ότι η περίοδός του, διπλασιάζεται. Πόσες φορές μειώνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. 51. Ένα εκκρεμές ρολόι, μεταφέρεται από την Γη στη Σελήνη. Aν η επιτά- χυνση της βαρύτητας στη Γη είναι g Γ = 10m/s, ενώ στη Σελήνη είναι g Σ = 1,6m/s, υπολογίστε πόσες φορές θα αυξηθεί η περίοδος του ρολογιού στη Σελήνη (Τ Σ ) σε σχέση με την περίοδο στην Γη (Τ Γ ).

11 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 11 Ο Κριτήριο Αξιολόγησης: Ερώτηση 1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). α. Περίοδος ταλάντωσης είναι ο χρόνος για να πάει το σώμα από τη μια ακραία θέση στην άλλη. γ. Η μέγιστη κινητική ενέργεια ενός σώματος σε μια ταλάντωση είναι στη θέση ισορροπίας. Ερώτηση Tι θα συμβεί με τη συχνότητα ταλάντωσης ενός εκκρεμούς στις παρακάτω περιπτώσεις: Α. τετραπλασιάζουμε το μήκος του στον ίδιο τόπο. Β. υποδιπλασιάζουμε τη μάζα που είναι κρεμασμένη στο εκκρεμές. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ερώτηση 3 Τι καλείται περίοδος και τι συχνότητα σε μια ταλάντωση; Ποιά σχέση συνδέει τα μεγέθη; Άσκηση 1 Αν ένα απλό εκκρεμές, στη Γη κάνει 10 πλήρεις ταλαντώσεις και σ' ένα άλλο πλανήτη στον ίδιο χρόνο κάνει τις μισές ταλαντώσεις, βρείτε την επιτάχυνση της βαρύτητας στον πλανήτη αυτόν. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας στη Γη g Γ = 10m/s. Άσκηση Ένα σώμα εκτελεί 0 πλήρεις ταλαντώσεις σε χρόνο min. α. Να υπολογιστεί η συχνότητα της ταλάντωσης. β. Να υπολογιστεί η περίοδος της. γ. Σε πόσο χρόνο θα εκτελέσει 1 πλήρη ταλάντωση;

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 113 Τυπολόγιο Περιοδική: η κίνηση που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Ταλάντωση: λέγεται η περιοδική κίνηση που εκτελείται ανάμεσα σε δύο ακραία σημεία της τροχιάς. Περίοδος (Τ): λέγεται ο χρόνος στον οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση. Μονάδα 1s. Συχνότητα: f ονομάζεται ο αριθμός των ταλαντώσεων (Ν) στη μονάδα του χρόνου (t) N f. Mονάδα (Ηz) ή 1 t s. Σχέση συχνότητας - περιόδου: η συχνότητα είναι ίση με το αντίστροφο της περιόδου 1 f. T Πλάτος: μιας ταλάντωσης είναι η μέγιστη απόσταση από τη θέση ι- σορροπίας. Σε μια ταλάντωση πραγματοποιείται σταδιακά μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα. Απλό εκκρεμμές: αποτελείται από ένα μικρό σώμα κρεμασμένο από νήμα σταθερού μήκους. Η περίοδος (Τ) του απλού εκκρεμούς όταν εκτελεί ταλάντωση μικρού πλάτους, εξαρτάται από το μήκος του νήματος (L) και την επιτάχυνσή της βαρύτητας g. L T π g

114 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα Μηχανικά κύματα - Χαρακτηριστικά μεγέθη του κύματος Τι ονομάζεται μηχανικό κύμα και ποιά είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του; Η διάδοση μιας διαταραχής μέσα σε κάποιο υλικό καλείται μηχανικό κύμα. Κάθε μηχανικό κύμα διαδίδεται σε ένα υλικό μέσο (στερεό, υγρό, αέριο) και μεταφέρει ενέργεια από ένα σημείο του χώρου σε κάποιο άλλο. Προσοχή! Τα κύματα δεν μεταφέρουν ύλη αλλά ενέργεια Μηχανικά κύματα είναι τα ηχητικά, τα σεισμικά, τα κύματα της θάλασσας, τα κύματα που διαδίδονται κατά μήκος ενός σκοινιού. Περιγράψτε τον τρόπο διάδοσης ενός μηχανικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος ενός σκοινιού. Κατά την κίνηση της άκρης Α του σκοινιού πάνω - κάτω ταλαντώνουμε τα πρώτα μόρια του σκοινιού κατά διεύθυνση y y. Κάθε μόριο αλληλεπιδρά με δυνάμεις με το διπλανό μόριο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το αρχικό μόριο να προσφέρει ενέργεια στο αμέσως επόμενο ώστε να ταλαντωθεί κατά τον άξονα y y. Η ενέργεια μεταφέρεται κατά μήκος του άξονα x x με αποτέλεσμα σταδιακά τα μόρια του σχοινιού να αρχίσουν να ταλαντώνονται. Έτσι διαδίδεται η διαταραχή σε όλο το μήκος του σχοινιού. Μια πηγή που ταλαντώνεται συνεχώς μπορεί να παράγει ένα κύμα. Η πηγή προσφέρει συνεχώς ενέργεια στα μόρια του μέσου μέσω των οποίων διαδίδεται η διαταραχή (κύμα).

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 115 Παρατήρηση! Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι εγκάρσια κύματα που διαδίδονται χωρίς τη βοήθεια υλικού μέσου δηλαδή ακόμα και στο κενό. Παραδείγματα ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι το φως, ακτινές, ραδιοφωνικά κύματα. Σε ποιά είδη διακρίνονται τα κύματα ανάλογα με τη διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων του υλικού. Αν η διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων του υλικού είναι κάθετη στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος (διαταραχή) τότε τα κύματα καλούνται εγκάρσια. Για παράδειγμα το κύμα στο σχοινί είναι εγκάρσια. Αν η διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων του υλικού είναι παράλληλη με την διεύθυνση διάδοσης του σώματος τότε τα κύματα καλούνται διαμήκη. Για παράδειγμα στο ελατήριο του σχήματος. Τα μόρια ταλαντώνονται στον άξονα x x και η διαταραχή διαδίδεται κατά τον άξονα x x. υ = λ f Στα εγκάρσια κύματα έχουμε σχηματισμό ορέων (εξογκώματα) και κοιλάδων (βαθουλώματα). Στα διαμήκη κύματα έχουμε σχηματισμό πυκνωμάτων και αραιωμάτων. Εάν είναι άγνωστος το λ: υ λ = T Εάν είναι άγνωστος το f: υ f = λ Ποιά τα χαρακτηριστικά μεγέθη ενός κύματος; Όταν μια πηγή που ταλαντώνεται παράγει ένα κύμα, τότε η περίοδος ταλάντωσης της πηγής ο- νομάζεται και περίοδος του κύματος (Τ). Η απόσταση που διανύει η διαταραχή (κύμα) σε χρόνο μιας περιόδου καλείται μήκος κύματος (λ). Η μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας των μορίων του υλικού που διαδίδεται το σώμα καλείται πλάτος κύματος. Στο παράδειγμα του κύματος του σχοινιού έχουμε: λ: το μήκος κύματος ψ 0 : το πλάτος του κύματος

116 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα Ποιός είναι ο θεμελιώδης νόμος της κυματικής; Το κύμα διαδίδεται σε ένα μέσο με σταθερή ταχύτητα. Άρα ισχύει για την S ταχύτητα του υ. Επειδή σε χρόνο μιας περιόδου Τ διανύει απόσταση ίση t λ 1 με ένα μήκος κύματος S λ έχουμε υ. Όμως η συχνότητα f άρα Τ T υ λ f. Η εξίσωση αυτή είναι θεμελιώδης νόμος κυματικής. Η συχνότητα του κύματος είναι ίση με το αντίστροφο της περιό- 1 δου του κύματος f και είναι ίση με τη συχνότητα ταλάντωσης T της πηγής που παράγει το κύμα. Η ταχύτητα του κύματος εξαρτάται από το υλικό μέσο. Η ταχύτητα του κύματος είναι ανάλογη της συχνότητας (f) και του μήκους κύματος (λ). Παρατήρηση! Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται με μικρότερη ταχύτητα από ότι τα διαμήκη στο ίδιο μέσο. λ υ = Τ Εάν είναι άγνωστος το λ: Ανακεφαλαίωση: 1. Το κύμα μεταφέρει ενέργεια μέσω των μορίων του υλικού και δε μεταφέρει ύλη.. Τα κύματα διακρίνονται σε εγκάρσια (διεύθυνση διάδοσης κύματος κάθετη στη διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων) και σε διαμήκη (διεύθυνση διάδοσης κύματος παράλληλη στη διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων). 3. Κάθε κύμα χαρακτηρίζεται από: α. Μήκος κύματος λ β. Περίοδο Τ γ. Συχνότητα f δ. Πλάτος ταλάντωσης 4. Η περίοδος και η συχνότητα συνδέονται μέσω της σχέσης: 1 T f 5. Κάθε κύμα υπακούει στη θεμελιώδη κυματική εξίσωση: υ λ f λ = υ T Εάν είναι άγνωστος το T: λ Τ = υ

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 117 Ερωτήσεις: 41. Σ' ένα μέσο διαδίδονται ταυτόχρονα εγκάρσια και διαμήκη κύματα. Αν τα εγκάρσια κύματα έχουν ταχύτητα c = 800m/s, η ταχύτητα των διαμηκών κυμάτων μπορεί να είναι: α. 800m β. 400m γ. 600m δ. 1000m 4. Ένα κύμα διαδίδεται ταυτόχρονα σε τρία υλικά : αέρα, νερό, σίδηρο. α. Να διατάξετε τις ταχύτητες c α, c ν, c σ του κύματος στα τρία υλικά, από την μεγαλύτερη προς τη μικρότερη. β. Να διατάξετε τα μήκη κύματος λ α, λ ν, λ σ στα τρία υλικά, από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. γ. Αν το κύμα διανύει την ίδια απόσταση στα τρία υλικά σε χρόνους t α, t ν, t σ αντίστοιχα,να διατάξετε τους χρόνους αυτούς, από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. δ. Αν το κύμα στον ίδιο χρόνο διανύει στα τρία υλικά τις αποστάσεις l α, l ν, l σ αντίστοιχα, να διατάξετε τις αποστάσεις αυτές από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη. ε. Αν Ν α, Ν ν, Ν σ είναι αντίστοιχα ο αριθμοί των μηκών κύματος στο ίδιο πάχος αυτών των υλικών, να διαταχθούν αυτοί οι αριθμοί από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο. 43. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Η ταχύτητα ενός μηχανικού κύματος εξαρτάται από τις... του μέσου διάδοσης β. Τα... κύματα διαδίδονται με μεγαλύτερη ταχύτητα απ' ότι τα... κύματα. γ. Τα... κύματα διαδίδονται μόνο στα... σώματα ενώ τα... κύματα διαδίδονται στα... στα... και στα... δ. Μέσω του κύματος μεταφέρεται... από ένα σημείο του μέσου,στο οποίο διαδίδεται, στο άλλο. Όσο μεγαλύτερο είναι το πλάτος τόσο... είναι η ενέργεια που μεταφέρεται.

118 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα ε. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών πυκνωμάτων ή μεταξύ δυο διαδοχικών... στα... κύματα ονομάζεται... κύματος. στ. Σε χρόνο μιας... το κύμα διαδίδεται σε απόσταση ίση με το... κύματος. ζ. Όταν ένα κύμα περνά από ένα μέσο σ' ένα άλλο αλλάζει η... και το... κύματος, ενώ η... παραμένει σταθερή.

ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 119 Λυμένες ασκήσεις: 3. Ο ραδιοφωνικός σταθμός FM100, εκπέμπει κύματα συχνότητας 100ΜΗz και μήκους κύματος λ =3m. Bρείτε: α. Την ταχύτητα των ραδιοφωνικών κυμάτων β. Το χρόνο που χρειάζεται για να φθάσουν τα κύματα από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη αν η απόσταση των δύο πόλεων είναι 510Κm γ. Σε s πόση απόσταση διανύουν τα κύματα δ. Ποιο το μήκος κύματος των ραδιοφωνικών κυμάτων που εκπέμπει ο σταθμός FM10 Λύση α. β. 6 1 8 c λ f 3m 100 10 3 10 m/s s x 510 10 m x c t t t 0,0017s 8 c 3 10 m / s 3 8 m 8 γ. x c t x 3 10 s 6 10 m 600.000Km s δ. Η ταχύτητα των κυμάτων παραμένει c = 3 10 8 m/s ενώ η συχνότητα θα είναι f = 10ΜΗz. Aρα: 8 m 3 10 c c λ f λ s,94m f 6 1 10 10 s

10 ΦΥΣΙΚΗ: Ταλαντώσεις - Μηχανικά κύματα 1 Ο Κριτήριο Αξιολόγησης: Ερώτηση 1 Ένα κύμα διαδίδεται σ' ένα μέσο με ταχύτητα c = 300m/sec και περίοδο Τ = s.aν η περίοδος, του κύματος διπλασιαστεί. Α. Η συχνότητα θα γίνει: α. 4Ηz β. 0,5Ηz γ. 0,5Hz δ. Ηz B. H ταχύτητα θα γίνει: α. 150m/s β. 300m/s γ. 600m/s δ. 75m/s Γ. Το μήκος κύματος θα γίνει: α. 100m β. 600m γ. 300m δ. 75m Ερώτηση Ένα μηχανικό κύμα διαδίδεται σ' ένα μέσο με ταχύτητα c.ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. α. Η ταχύτητα του κύματος είναι ανάλογη της συχνότητας β. Η ταχύτητα του κύματος είναι σταθερή γ. Η ταχύτητα του κύματος είναι ανάλογη του μήκους κύματος δ. Επειδή η ταχύτητα είναι σταθερή, η συχνότητα και το μήκος κύματος είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό κύμα στέλνεται μέσω ενός δορυφόρου από το Σίδνευ στην Αθήνα. Τα ηλεκτρομαγνητικά αυτά κύματα διαδίδονται με ταχύτητα c = 3 10 8 m/s και συχνότητα f = 30ΜΗz. Aν η απόσταση Σίδνευ-δορυφόρου είναι 1.800Κm και δορυφόρου-αθήνας 5.600Κm, να βρείτε: α. Το μήκος κύματος των τηλεοπτικών κυμάτων β. Το χρόνο για να φθάσει το κύμα μέσω δορυφόρου από το Σίδνευ στην Αθήνα γ. Πόσα μήκη κύματος έχουν διαδοθεί σ όλη αυτή τη διαδρομή