Topologik Taxinìmhsh Dunamik n Susthm twn StaÔroc AnastasÐou Didaktorikh Diatribh Panepisthmio Patrwn Sqolh Jetikwn Episthmwn Tmhma Majhmatikwn Patra 2012
H Trimelhc Sumbouleutikh Epitroph SpÔroc N. Pneumatikìc, Kajhght c (Epiblèpwn) T soc MpoÔnthc, Kajhght c Iw nnhc Mp kac, Kajhght c, Tm ma Fusik c, Panepist mio Patr n
Afier netai sth mhtèra mou, Panagi ta kai thn aderf mou, 'Anna.
flmajhmatik eðnai h tèqnh toô na dðneic to Ðdio ìnoma se diaforetik pr gmata.fl Henri Poincaré 27 AprilÐou 1854-17 IoulÐou 1912
EuqaristÐec H suggraf thc paroôsac diatrib c up rxe mia dianohtik apìlaush gia mèna kai ofeðlw èna meg lo euqarist stouc anjr pouc pou sunetèlesan se autì. O Kajhght c T soc MpoÔnthc tan pou me môhse sta Dunamik Sust mata. Apì ta proptuqiak mou akìma qrìnia kat fere na mou emfus sei ton enjousiasmì tou gia ton kl do autìn twn Majhmatik n, kai sôntoma me apogeðwse wc ta str mata thc domik c eust jeiac apeikonðsewn me peiro pl joc omoklinik n shmeðwn. K pwc ètsi xekðnhsa tic pt seic, kai o lioc fainìtan na eðnai tìso kont. To (omologoumènwc dôskolo) èrgo thc epanafor c mou se stèreo èdafoc anèlabe o Kajhght c SpÔroc Pneumatikìc. Ex' aitðac tou kat laba pwc prèpei na diab zeic b zontac eikìnec pðsw apì lèxeic, kai ìti prèpei na gr feic b zontac lèxeic p nw se eikìnec. ElpÐzw na mhn ta kat fera polô sqhma. Se autì to tèleio dialektikì sq ma, to enorqhstrwmèno apì dôo maèstrouc, katèsth dunat h olokl rwsh aut c thc diatrib c. Touc euqarist kai touc dôo jerm. Ton Kajhght tou Tm matoc Fusik c tou PanepisthmÐou mac, k.iw nnh Mp ka, euqarist epðshc diìti p ntote èbriske ton qrìno, ìpote tou to zhtoôsa, gia na mou exhg sei to otid pote mou dhmiourgoôse aporða. Den ja mporoôsa bebaðwc na lhsmon sw ton Kajhght k. BasÐlh PapagewrgÐou. EÐte mprost apì ènan pðnaka, eðte pðsw apì èna grafeðo, prospajoôse na apant sei stic erwt seic mou tic èqousec sqèsh me ta Majhmatik, en eðte sto kt rio tou MajhmatikoÔ Tm matoc, eðte èxw apì autì, prospajoôse na apant sei se ìla ta lla. O EpÐkouroc Kajhght c k. Andrèac Arbanitoge rgoc èdeixe gia th diatrib mou toðdio endiafèronpoueðqe deðxei kai gia thn ergasða tou metaptuqiakoô tðtlou spoud n mou (oi shmei seic tou p nw sta grapt mou arkoôn gia na peðsoun ton kajèna ep' autoô). Ton euqarist epðshc jerm kai gia th bo jeia kai enj rrunsh pou prosèfere ston Gi nnh Qrusikì kai se mèna, ìtan prospajoôsame na entopðsoume merikèc metrikèc Einstein. O Kajhght c k. Nikìlaoc Alik koc, tou MajhmatikoÔ Tm matoc tou PanepisthmÐou Ajhn n, eðqe thn eugen kalosônh na me kalèsei gia mia o- milða sthn Aj na. To endiafèron tou gia ta jèmata pou me apasqìlhsan, i
kai ta sqìli tou gia aut pou ègraya, leitoôrghsan wc anazwogonhtikìc par gontac gia mèna. Ton Kajhght tou FusikoÔ Tm matoc tou PanepisthmÐou Ajhn n, k. Emmanou l Flwr to, euqarist gia thn antapìkris tou stic an gkec thc u- post rixhc aut c thc diatrib c. H sumbol kai summetoq tou se mia tètoia diadikasða prosfèrei st rigma kai kour gio se k poion pou epiqeireð ta pr ta tou (èstw kai mikr ) b mata. 'Apeirec tan oi forèc pou qrei sthke na xenuqt sw (mða-dôo forèc kai lìgw diab smatoc) kai ja jum mai p nta touc fðlouc kai sunodoipìrouc k.k. Dhm trio Nomikì, Jeìdwro KouloÔka, Elènh QristodoulÐdh, Grhgìrh Prots nh, 'Akh Matz rh, Nikìlao KallÐniko, Swt rh KwnstantÐnou-RÐzo, Gi rgo PapamÐko, Gi rgo Kanellìpoulo, KwnstantÐno KourlioÔro kai Gi nnh Qrusikì, ìloi touc ( dh en tw ma) Did ktorec, ant xioi tou (ìpoiou, metaxô mac t ra) tðtlou touc. To (jrulikì plèon) Ergast rio Mh Grammik n Susthm twn kai Efarmosmènhc An lushc (aðjousa 148) up rxe m rturac i- storik n stigm n... Tèloc, ja jela na euqarist sw th mhtèra mou, Panagi ta AnastasÐou, qwrðc thn opoða, eðnai bèbaio, de ja moun ed. StaÔroc AnastasÐou P tra, 2012
Perieqìmena Prìlogoc 1 1 Topologik Taxinìmhsh stic Qamhlèc Diast seic 5 1.1 TopologÐa sunarthsiak n q rwn................ 5 1.2 Poiotik qarakthristik dianusmatik n pedðwn......... 7 1.3 Topologik isodunamða dianusmatik n pedðwn.......... 9 1.4 Taxinìmhsh dianusmatik n pedðwn tou kôklou.......... 11 1.5 Topologik taxinìmhsh stic dôo diast seic........... 12 1.6 'Alla apotelèsmata topologik c taxinìmhshc.......... 13 1.7 Oi duskolðec stic perissìterec diast seic............ 15 2 Taxinìmhsh Par xenwn Elkust n me th Sumbol thc JewrÐac Kìmbwn 17 2.1 QaotikoÐ elkustèc......................... 17 2.2 Kìmboi kai tamplètec....................... 19 2.3 Htamplèta tou par xenou elkust tou Lü........... 23 2.4 Taxinìmhsh mèsw kìmbwn: proter mata kai meionekt mata.... 30 3 'Ena Krit rio IsodunamÐac Dianusmatik n PedÐwn 33 3.1 Olik aposônjesh dianusmatik n pedðwn............ 33 3.2 IsodunamÐa dia mèsou aposônjeshc................ 35 3.3 Dianusmatik pedða pou diathroôn analloðwtec tic sfaðrec... 37 3.4 H oikogèneia tou Lorenz kai merik lla dianusmatik pedða.. 40 4 Dianusmatik PedÐa tou R 3 Amet blhta apì thn Om da SummetrÐac D 2 45 4.1 To dianusmatikì pedðo D 2 kai htopik tou melèth....... 45 4.2 Olik fasik portrèta...................... 49 4.3 To trðto tetarthmìrio tou q rou twn paramètrwn....... 51 4.3.1 Eteroklinikèc petaloôdec................. 51 4.3.2 EteroklinikoÐ kôkloi kai q oc kat Shil nikov..... 53 iii
4.3.3 Troqièc omoklinikèc sta mh tetrimèna shmeða isorropðac 55 4.3.4 Exèlixh twn apeikonðsewn Poincaré........... 57 4.3.5 Olikèc diaklad seic tou par xenou elkust...... 60 4.4 H sumperifor sto peiro.................... 63 5 EpÐlogoc 67 5.1 SÔnoyh thc diatrib c....................... 67 5.2 Sqèdia epð q rtou......................... 68 5.2.1 EpÐ thc taxinìmhshc dianusmatik n pedðwn kai amfidiaforomorfism n...................... 69 5.2.2 PedÐa pou diathroôn tic sfaðrec............. 69 5.2.3 Taxinìmhsh se emfullwmènec pollaplìthtec...... 69 5.2.4 Olikèc diaklad seic summetrik n susthm twn..... 70 5.2.5 Metrikèc Einstein se summetrikèc pollaplìthtec.... 70
Prìlogoc To prìblhma thc taxinìmhshc upeisèrqetai se ìlouc sqedìn touc kl douc twn Majhmatik n kai, se genikèc grammèc, diatup netai wc ex c: dojèntoc enìc sunìlou majhmatik n antikeimènwn (pollaplot twn, om dwn Lie, diaforik n morf n k.t.l.) zhtoômeno apoteleð o diaqwrismìc tou se kl seic isodunamðac. To epìmeno b ma met thn taxinìmhsh eðnai na proqwr sei kaneðc sthn poiotik melèth, epilègontac ènan antiprìswpo apì k je tètoia kl sh kai perigr fontac ta poiotik qarakthristik tou. Sth majhmatik jewrða dunamik n susthm twn, to prìblhma thc taxinìmhshc èrqetai na topojet sei se stèreo plaðsio o Poincaré, o opoðoc, sto didaktorikì tou akìma, anèptuxe mða mèjodo me thn opoða upolìgize tic aploôsterec morfèc pou mporeð na l bei èna dianusmatikì pedðo, se k poio sôsthma suntetagmènwn, qwrðc bl bh thc poiotik c tou sumperifor c. Oi morfèc autèc onom sthkan kanonikèc, odeendiaferìmenoc gia mia analutik perigraf thc jewrðac aut c mporeð na sumbouleuteð to [28]. JumÐzoume ìti wc dunamikì sôsthma orðzetai h dr sh miac om dac ( h- miom dac) G epð miac pollaplìthtac M. Ta shmeða thc M prosdiorðzoun tic katast seic enìc sust matoc en aut thc G antistoiqoôn sthn qronik metablht. Stic sunhjèsterec peript seic, G =(Z, +), opìte mil me kai gia dunamik sust mata diakritoô qrìnou, G =(R, +), opìte anaferìmaste se dunamik sust mata suneqoôc qrìnou. An h dr sh thc om dac eðnai diaforðsimh, se k je sôsthma suneqoôc qrìnou antistoiqeð kai èna dianusmatikì pedðo (bl. Kef laio 1). Gr gora ègine antilhptì ìti h poiotik sumperifor enìc dunamikoô sust matoc diathreðtai ìqi mìno apì th dr sh amfidiaforomorfism n (pou apoteloôn, sthn ousða, allagèc suntetagmènwn), all kai apì th dr sh omoiomorfism n (mìno pou oi omoiomorfismoð, steroômenoi diaforik n, droun stic roèc twn dianusmatik n pedðwn kai ìqi sta pedða aut kaj' aut ). OdhgoÔmaste ètsi ston orismì thc topologik c isodunamðac: dôo dianusmatik pedða orismèna epð thc diaforik c pollaplìthtac M onom zontai topologik c isodônama an up rqei omoiomorfismìc thc M pou apeikonðzei tic fasikèc kampôlec tou pr tou stic fasikèc kampôlec tou deôterou, diathr ntac 1
2 Prìlogoc ton prosanatolismì touc. ApodeiknÔetai eôkola ìti h sqèsh aut apoteleð mia kal c orismènh sqèsh isodunamðac epð tou q rou twn dianusmatik n pedðwn twn orismènwn epð thc M kai zhtoômeno eðnai h perigraf twn antðstoiqwn kl sewn isodunamðac. To prìblhma thc topologik c taxinìmhshc kai thc poiotik c melèthc dunamik n susthm twn eðnai lumèno ìtan h di stash thc M eðnai mikrìterh Ðsh tou dôo, all paramènei anoiqtì gia megalôterec diast seic. H paroôsa diatrib filodoxeð na apotelèsei mia sumbol sth melèth twn problhm twn aut n stic diast seic tic megalôterec, Ðsec, tou trða. Sunoptik, to perieqìmeno thc diatrib c, èqei wc akoloôjwc: To Kef laio 1 leitourgeð wc eisagwg sto prìblhma thc topologik c taxinìmhshc. Xekin ntac apì thn perigraf twn topologik n idiot twn tou q rou twn dunamik n susthm twn, dðnontai ta basik poiotik qarakthristik aut n. Parousi zetai h ènnoia thc topologik c isodunamðac kai apodeiknôetai ìti diathreð ìla ta poiotik qarakthristik enìc sust matoc suneqoôc diakritoô qrìnou, en apl paradeðgmata epiqeiroôn na katast soun safeðc touc orismoôc autoôc. DÐnetai h epðlush tou probl matoc thc topologik c taxinìmhshc, sthn perðptwsh pou h di stash tou q rou twn f sewn den xepern to dôo, perigr fontac ta apotelèsmata pou dhmosieôthkan, epð tou jèmatoc autoô,kat tic dekaetðec 1960-1970. Kaj' ìson gnwrðzoume, apotelèsmata topologik c taxinìmhshc se megalôterec diast seic eðnai polô periorismèna, kai èqoun epiteuqjeð mìno se peript seic pou h sumperifor enìc sust matoc eðnai apl (tôpou Morse Smale). Ta apotelèsmata aut, kaj c kai h perigraf twn lìgwn pou dusqeraðnoun thn taxinìmhsh susthm twn di stashc n, n 3, katalamb noun to teleutaðo mèroc tou pr tou kefalaðou. To prìblhma thc taxinìmhshc stic megalôterec ( Ðsec) twn tri n diast sewn periplèketai lìgw thc Ôparxhc dunamik c sumperifor c (peplegmènec periodikèc troqièc, par xenoi elkustèc ktl) pou, gia kajar topologikoôc lìgouc, den ufðstatai stic mikrìterec diast seic. HpolÔplokh aut sumperifor dustuq c den mporeð na agnohjeð, kaj c emfanðzetai polô suqn, akìma kai se apl (mh grammik ) sust mata diaforik n exis sewn, exis sewn diafor n, poluwnumik c morf c. Gia th melèth thc èqoun anaptuqjeð arketèc mèjodoi, analutikèc kai arijmhtikèc. Sto Kef laio 2perigr fetai mða teqnik pou èqei apodeiqjeð arket prìsforh sth melèth thc topologik c dom c par xenwn elkust n. H teqnik aut sthrðzetai sth JewrÐa Kìmbwn, oi basikèc ènnoiec thc opoðac parousi zontai sthn arq tou kefalaðou. Sth sunèqeia, h mèjodoc aut efarmìzetai sth melèth tou dunamikoô sust matoc tou Lü, enìc trisdi statou dunamikoô sust matoc suneqoôc qrìnou, to opoðo parousi zei emfaneðc omoiìthtec me autì tou Lorenz. 'Opwc mporèsame na deðxoume sth dhmosðeush [72], gia me-
Prìlogoc 3 rikèc timèc twn paramètrwn, h dom twn par xenwn elkust n pou emfanðzoun ta dôo aut sust mata eðnai panomoiìtuph. AfoÔ parousiastoôn ta apotelèsmata aut suzht me, sthn teleutaða par grafo tou Ðdiou kefalaðou, ta pleonekt mata kai ta meionekt mata aut c thc mejìdou. Apì ta shmantikìtera meionekt mata thc mejìdou aut c eðnai to ìti den mporeð na egguhjeð thn olik isodunamða dôo dianusmatik n pedðwn, kaj c epðshc kai to ìti h isqô thc periorðzetai sta 3 di stata dianusmatik pedða. Sto Kef laio 3 eis getai mða mèjodoc apallagmènh apì tic adunamðec autèc. H teqnik pou proteðnoume perièqetai sto [75] kai basðzetai sthn aposônjesh enìc suneq c diaforðsimou dianusmatikoô pedðou se dôo (prosjetikèc) sunist sec. AfoÔ perigr youme th mèjodo aposônjeshc, deðqnoume ìti h taxinìmhsh twn sunistws n isodunameð (all dustuq c ìqi p nta) me thn taxinìmhsh tou arqikoô dianusmatikoô pedðou. H efarmog thc teqnik c aut c mac epètreye na apodeðxoume thn isodunamða, gia arketèc timèc twn paramètrwn touc, tri n dunamik n susthm twn (tou klasikoô sust matoc tou Lorenz me ta sust mata twn Lü kai Chen), gia ta opoða polloð ereunhtèc eðqan parathr sei ìti parousi zoun pl joc omoiot twn sthn poiotik touc sumperifor. ApedeÐqjh akìma h mh isodunamða enìc llou, pio prìsfatou dunamikoô sust matoc, me ta prohgoômena, en antijèsei me prohgoômenec parathr seic. Ta apotelèsmata aut perigr fontai epðshc sto Kef laio 3. To Kef laio 4asqoleÐtai me thn poiotik an lush enìc 3 di statou dunamikoô sust matoc pou, ìpwc eðnai eôkolo na apodeiqjeð, den eðnai isodônamo me aut pou parousi sthkan sto Kef laio 3 (oôte me kanèna apì ta dh gnwst, toul qiston mèqri th suggraf thc diatrib c aut c). Sugkekrimèna, o q roc twn paramètrwn tou sust matoc autoô diaqwrðzetai se tm mata, an loga me tic allagèc sth dunamik sumperifor tou sust matoc, kai stic peript seic apl c sumperifor c dðnetai to pl rec portrèto tou q rou twn f sewn. 'Epeita perigr fontai (orismènec apì tic) olikèc diaklad seic pou odhgoôn sthn emf nish omoklinik n kai eteroklinik n troqi n, en ta krit ria tou Shil nikov qrhsimopoioôntai gia thn apìdeixh Ôparxhc qaotik c dunamik c. To fainìmeno twn olik n diaklad sewn tou Ðdiou tou par xenou elkust exhgeðtai apì tic summetrikèc idiìthtec tou sust matoc. Prob llontac to sôsthma sto legìmeno flq ro troqi nfl prokôptei èna 3 di stato dunamikì sôsthma pou flperièqeifl ìlh thn plhroforða pou apaiteðtai gia thn anakataskeu, k nontac qr sh twn stoiqeðwn thc om dac summetrðac, twn diafìrwn tôpwn elkust n pou parathroôme. H melèth aut perièqetai sto [76]. To teleutaðo kef laio perièqei ta sumper smata kai exet zei pijanèc e- farmogèc kai epekt seic twn ìswn anaptôxame sthn paroôsa diatrib. Sugkentrwtik, ta apotelèsmata pou parousi zontai sthn diatrib aut apoteloôn to antikeðmeno twn parak tw ergasi n:
4 Prìlogoc On the topology of the Lü attractor and related systems, Anastassiou S, Bountis T, Petalas Y, J.Phys. A:Math. Theor., 41, 485101, 2008. Classification of dynamical systems based on a decomposition of their vector fields Anastassiou S, Pnevmatikos S, Bountis T, submitted 2012. Quadratic vector fields on R 3 invariant under the D 2 symmetry group Anastassiou S, Bountis T, Pnevmatikos S, submitted 2012. Kat th di rkeia thc suggraf c thc paroôsac diatrib c dhmosieôthke, se sunergasða me ton Did ktora tou Tm matìc mac k. Iw nnh Qrusikì, h ergasða The Ricci flow approach to homogeneous Einstein metrics on flag manifolds, Anastassiou S, Xrhysikos I, J.Geom.Phy., 61, 1187-1600, 2011. Dedomènou ìti to perieqìmeno thc ergasðac aut c (èkdhlo ek tou tðtlou thc) den perilamb netai stouc skopoôc thc diatrib c, den ja parousiasteð ston parìnta tìmo.
Kef laio 1 Topologik Taxinìmhsh stic Qamhlèc Diast seic 1.1 TopologÐa sunarthsiak n q rwn Sto lexilìgio twn Dunamik n Susthm twn oi lèxeic flgenoshmìthtafl (genericity) kai fleust jeiafl (stability) katèqoun perðopth jèsh, kaj c h melèth twn idiot twn ekeðnwn pou isqôoun flsth genik perðptwshfl kai anjðstantai sthn epirro flmikr n diataraq nfl apoteleð ènan apì touc basikoôc stìqouc (bl. [46], [11]). Fr seic ìmwc ìpwc flsth genik perðptwshfl kai flmikr diataraq fl èqoun nìhma mìno èpeita apì thn eisagwg miac topologðac ston q ro twn upì melèth dunamik n susthm twn. H topologða pou protim tai, lìgw twn kal n idiot twn thc, eðnai aut tou Whitney, sthn perigraf thc opoðac eðnai a- fierwmènh aut h par grafoc (gia perissìterec leptomèreiec bl. [16], [32], [2]). Orismìc 1.1. 'Estw M, N leðec pollaplìthtec kai p M. Upojètoume ìti f,g : M N eðnai leðec apeikonðseic, me f(p) =g(p) =q. H f emfanðzei epaf pr thc t xhc me thn g sto p an oi apeikonðseic d p f,d p g : T p M T q N tautðzontai. H f parousi zei epaf k t xhc me thn g sto p an h df : TM TN parousi zei (k 1) t xhc epaf me thn dg : TM TN,se k je shmeðo tou T p M (sumbolik c f k g sto p). Wc J k (M,N) p,q ja sumbolðzoume to sônolo twn kl sewn isodunamðac apeikonðsewn f : M N, f(p) =q, wc proc th sqèsh isodunamðac k. 5
6 Κεφάλαιο 1 : Τοπολογική Ταξινόμηση στις Χαμηλές Διαστάσεις Ac eðnai J k (M,N) = (p,q) M N J k (M,N) p,q. 'EnastoiqeÐotou J k (M,N) onom zetai k rðyh apì thn M sthn N. Ac shmeiwjeð ìti dojeðshc leðac apeikìnishc f : M N ep getai mða, kanonik c orismènh, apeikìnish j k f : M J k (M,N), h onomazìmenh k rðyh thc f, h opoða se k je shmeðo thc M prosart thn kl sh isodunamðac (wc proc th sqèsh k ) thc f sto shmeðo autì. EÐnai eôkolo na apodeiqjeð ([16]) ìti, jewr ntac topikoôc q rtec twn M, N, epikentrwmènouc sta p, q antistoðqwc, h k rðyh miac apeikìnishc tautðzetai me to an ptugma Taylor k t xhc thc apeikìnishc aut c sto p. H eisagwg thc ènnoiac thc rðyhc k t xhc ìmwc eðnai aparaðthth (metaxô llwn) gia ènan enopoihmèno orismì thc C k topologðac tou Whitney, anex rthto twn eidikìterwn topologik n idiot twn twn pollaplot twn M, N (p.q. thc sump geiac). Orismìc 1.2. Ac eðnai M, N leðec pollaplìthtec. Wc C (M,N) ja sumbolðzetai to sônolo twn apeirodiaforðsimwn apeikonðsewn apì thn M sthn N. Ac eðnai k ènac mh arnhtikìc akèraioc kai U èna uposônolo tou J k (M,N). Wc Λ(U) ja sumbolðzetai to sônolo {f C (M,N)/j k f(m) U}. Hoikogèneia twnsunìlwn {Λ(U)},ìpou U anoiqtì uposônolo tou J k (M,N), apoteleð b sh thc onomazìmenhc C k topologðac tou Whitney tou C (M,N). An W k eðnai to sônolo twn anoiqt n uposunìlwn tou C (M,N) sthn C k topologða tou Whitney,tìtehC topologða tou Whitney tou C (M,N) orðzetai wc h topologða ekeðnh, b sh thc opoðac apoteleð h W = k=0 W k. Efodiasmèno me thn C topologða tou Whitney, to sônolo C (M,N) kajðstatai q roc tou Baire ([16]). Orismìc 1.3. 'Estw F ènac topologikìc q roc. 'Ena uposônolo A tou F onom zetai leimmatikì (residual) an apoteleð thn arijm simh tom anoiqt n kai pukn n uposunìlwn tou F, en o F ja onom zetai q roc tou Baire an k je leimmatikì uposônolo autoô eðnai puknì. MporoÔme t ra na onom zoume mia idiìthta apeikonðsewn apì thn M sthn N genìshmh an alhjeôei gia èna leimmatikì uposônolo tou C (M,N), en wc mikr diataraq thc f C (M,N) jewroôme k je g C (M,N) pou an kei se mia geitoni thc f, wc proc thn C topologða tou Whitney.
1.2 Ποιοτικά χαρακτηριστικά διανυσματικών πεδίων 7 1.2 Poiotik qarakthristik dianusmatik n pedðwn 'Estw M mia diaforik pollaplìthta kai X èna C r, r 1, dianusmatikì pedðo orismèno ep' aut c. SÔmfwna me to Je rhma Ôparxhc kai monadikìthtac lôsewn diaforik n exis sewn ([15]) to X ep gei mða ro {X t } t T R epð thc M. Orismìc 1.4. Wc C r, r 1, ro epð thc M onom zoume mia oikogèneia C r apeikonðsewn X t : M M,t T R, exart menh kat trìpo C r apì thn par metro t, pou ikanopoieð tic parak tw idiìthtec: X 0 Id : M M, h tautotik apeikìnish, X t+s = X t X s, t, s T me t + s T, H ro aut ja lème ìti antistoiqeð sto dianusmatikì pedðo X thc M an epiplèon d dt Xt (q) t=t0 = X(X t 0 (q)), q M kai t 0 T. Wc X r (M) ja sumbolðzoume ton q ro twn C r,r 1, dianusmatik n pedðwn pou orðzontai epð thc M, efodiasmèno me thn C r topologða tou Whitney. O q roc autìc diajètei dom protôpou (module) epð tou daktulðou C r (M,R). H analutik eôresh thc ro c enìc dianusmatikoô pedðou eðnai, sth genik perðptwsh, adônath. H perigraf twn poiotik n qarakthristik n thc ro c apoteleð epomènwc ton basikì stìqo thc jewrðac twn Dunamik n Susthm twn. Ta kôria poiotik qarakthristik miac ro c (kaj c epðshc kai tou antðstoiqou dianusmatikoô pedðou aut c) sunoyðzontai ston akìloujo: Orismìc 1.5. Ac eðnai X X r (M) me antðstoiqh ro thn X t. Troqi tou X ja onom zoume k je sônolo thc morf c O(q) ={X t (q)/t R}, ìpou q M. IdiomorfÐa tou Q onom zoume k je shmeiak troqi tou, en periodik k je sumpag kai mh shmeiak troqi autoô. To sônolo twn idiomorfi n kai twn periodik n troqi n tou X onom zetai krðsimo sônolo autoô kai ja sumbolðzetai wc C(X). To p M onom zetai mh periplan meno (gia to dianusmatikì pedðo X) an T > 0 kai k je geitoni U tou p up rqei t>ttètoio ste X t (U) U. To sônolo twn mh periplan menwn shmeðwn tou X ja sumbolðzetai wc Ω(X).
8 Κεφάλαιο 1 : Τοπολογική Ταξινόμηση στις Χαμηλές Διαστάσεις An q M tìte orðzoume wc w oriakì sônolo tou q (sumbolik c ω(q))to sônolo twn shmeðwn p M gia ta opoða up rqei akoloujða t n + tètoia ste X tn (q) p, en a oriakì sônolo (α(q)) onom zoume to sônolo twn p M gia ta opoða up rqei akoloujða t n tètoia ste X tn (q) p. Profan c ω(q) α(q) Ω(X), q M. Thn perigraf twn qarakthristik n twn parap nw sunìlwn akoloujeð h melèth tou trìpou me ton opoðo oi upìloipec troqièc proseggðzoun ta sônola aut. Pio sugkekrimèna: Orismìc 1.6. Ac eðnai M mia diaforik pollaplìthta kai X èna dianusmatikì pedðo ep' aut c. 'Ena uposônolo Λ thc M onom zetai amet blhto apì to X an X t (Λ) = Λ, t R (ta ω(q), α(q), Ω(X) eðnai profan c amet blhta). 'Ena sumpagèc kaiamet blhto sônolo Λ onom zetai memonwmèno an diajètei geitoni U tètoia ste Λ= t R X t (U) = t R X t (U), en onom - zetai metabatikì (transitive) an Λ=ω(q) gia k poio q Λ. Elktikì ja onom zetai ìtan t 0 X t (U) =Λgia k poia geitoni U autoô. Elkust c gia to X ja onom zetai k je metabatikì kai elktikì sônolo autoô. Sthn idanik perðptwsh, ja jèlame, dojèntoc enìc dianusmatikoô pedðou, na eðmaste se jèsh na perigr youme ta oriak sônola ìlwn twn troqi n tou. Lème tìte ìti h poiotik sumperifor tou sust matoc eðnai pl rwc gnwst. Par deigma 1.1. Ac jewr soume to dianusmatikì pedðo X = xz x yz y +(x2 + y 2 ) z tou R 3. To pedðo autì ef ptetai thc sfaðrac S 2 kèntrou 0 R 3 (afoô X(f) = 0, ìpou f(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 ) kai epomènwc orðzei èna dianusmatikì pedðo ep' aut c. Oi idiomorfðec tou pedðou autoô eðnai o bìreioc kai o nìtioc pìloc p N,p S en, gia p S 2 \{p N,p S } eðnai α(p) =p S kai ω(p) =p N. Sthn pr xh ìmwc, h perigraf aut apodeiknôetai arket dôskolh (an ìqi adônath). Stic dôo diast seic plhroforðec gia th dom twn oriak n sunìlwn dðnei to je rhma Poincaré Bendixson ([27]). Je rhma 1.2. (Poincaré Bendixson) Ac eðnai X X r (S 2 ), r 1, me peperasmèno arijmì idiomorfi n. An p S 2 tìte to ω(p) eðnai eðte mða idiomorfða, eðte mia periodik troqi, eðte apoteleðtai apì idiomorfðec p 1,.., p n kai kanonikèc troqièc γ ètsi ste an γ ω(p) tìte α(γ) =p i kai ω(γ) =p j.
1.3 Τοπολογική ισοδυναμία διανυσματικών πεδίων 9 Stic megalôterec diast seic ìmwc to prìblhma thc poiotik c perigraf c twn qarakthristik n enìc dianusmatikoô pedðou paramènei anoiqtì, en to kôrio zhtoômeno eðnai h taxinìmhsh twn dunamik n susthm twn pou sthrðzetai sta qarakthristik aut. 1.3 Topologik isodunamða dianusmatik n pedðwn Ac eðnai X X r (M). To X diamerðzei thn M se troqièc, opìte anakôptei to er thma pìte dôo dianusmatik pedða ep goun, poiotik c, thn Ðdia diamèrish. DÔo dianusmatik pedða ep goun thn Ðdia diamèrish thc M se troqièc an up rqei omoiomorfismìc thc M pou metafèrei tic troqièc tou pr tou dianusmatikoô pedðou stic troqièc tou deôterou, diathr ntac ton prosanatolismì touc. Sthn perðptwsh aut ta dianusmatik pedða onom zontai topologik c isodônama (topologically equivalent). An epiplèon, o omoiomorfismìc diathreð kai thn parametrikopoðhsh twn troqi n ston qrìno tìte orðzetai ètsi h (isqurìterh) sqèsh thc topologik c suzeuximìthtac (topological conjugacy). Pio sugkekrimèna: Orismìc 1.7. Dojèntwn dôo dianusmatik n pedðwn X, Y X r (M) ja lème ìti to X eðnai topologik c isodônamo tou Y an up rqei omoiomorfismìc h : M M tètoioc, ste p M kai ε >0 na up rqei δ>0 tètoio, pou gia t (0,δ) na up rqei èna s (0,ε) ste na ikanopoieðtai h sqèsh h(x t (p)) = Y s (h(p)). To X ja onom zetai topologik c suzeôximo tou Y an h(x t (p)) = Y t (h(p)), p M kai t R. Th diafor metaxô twn dôo aut n sqèsewn diafwtðzei to epìmeno par - deigma. Par deigma 1.3. JewroÔme sto epðpedo ta dianusmatik pedða: X = ay x + ax y kai Y = by x + bx y. 'Olec oi troqièc touc eðnai periodikèc, periìdou 2π/a, 2π/b antistoðqwc, ektìc apì thn arq twn axìnwn, pou apoteleð idiomorfða kai gia ta dôo sust mata. An a 2 b 2 tìte tadôoaut dunamik sust mata den eðnai topologik c suzeôxima, en profan c h tautotik apeikìnish tou epipèdou ta kajist isodônama a, b R. EÐnai eôkolo na apodeiqteð ìti tìso h topologik isodunamða, ìso kai h topologik suzeuximìthta, apoteloôn kal c orismènec sqèseic isodunamðac
10 Κεφάλαιο 1 : Τοπολογική Ταξινόμηση στις Χαμηλές Διαστάσεις epð tou X r (M) kai epomènwc diaqwrðzoun ton q ro autìn se kl seic isodunamðac. H epìmenh prìtash, h apìdeixh thc opoðac eðnai profan c, bebai nei ìti ta basik poiotik stoiqeða thc dunamik c dôo isodônamwn dianusmatik n pedðwn eðnai ta Ðdia. Prìtash 1.4. Ac upojèsoume ìti ta X, Y X r (M) an koun sthn Ðdia kl sh isodunamðac, wc proc k poia apì tic parap nw sqèseic. Ac eðnai epðshc h : M M o omoiomorfismìc pou ta kajist isodônama. Tìte: To shmeðo p M apoteleð idiomorfða tou X an, kai mìno an, to h(p) apoteleð idiomorfða tou Y. Htroqi tou X pou dièrqetai apì to p M eðnai periodik an, kai mìno an, h troqi tou Y pou dièrqetai apì to h(p) eðnai periodik. H eikìna, mèsw tou h, tou ω-oriakoô sunìlou thc troqi c tou X pou dièrqetai apì to p M eðnai to ω-oriakì sônolo thc troqi c tou Y pou dièrqetai apì to h(p) (kai omoðwc gia ta α-oriak sônola). O arijmìc twn idiomorfi n kai o arijmìc twn periodik n troqi n enìc dianusmatikoô pedðou epomènwc apoteloôn tic dôo plèon shmantikèc analloðwtèc tou pedðou. Shmei noume pwc me ton ìro analloðwth ennooôme ed k je posìthta (arijmhtik, algebrik, topologik...) pou diathreð stajer thn tim thc se k je kl sh isodunamðac. Par deigma 1.5. To dianusmatikì pedðo X = x +y den eðnai isodônamo x y tou Y = y + x, kaj c to pr to den diajètei periodikèc troqièc, en to x y deôtero diajètei peirec. Par deigma 1.6. To dianusmatikì pedðo X = x + y x y tou Y =(x + y) +( x + y) eðnai isodônamo kaj c kai ta dôo diajètoun monadik kai x x olik c apwstik idiomorfða sthn arq twn axìnwn. Sthn perðptwsh m lista aut, pou h analutik èkfrash twn oloklhrwtik n kampul n twn dôo dianusmatik n pedðwn eðnai eôkolo na brejeð, eðnai dunatìn nakataskeuasteð epakrib c o omoiomorfismìc pou kajist isodônama (akìma kaisuzeôxima) ta dôoaut pedða. Ektìc apì aplèc peript seic (ìpwc autèc twn parap nw paradeigm twn) h isodunamða ( h mh isodunamða) dôo dianusmatik n pedðwn eðnai dôskolo na apodeiqjeð. Sthn perðptwsh pou h di stash thc M eðnai mikrìterh tou trða mia arket ikanopoihtik ap nthsh èqei dojeð kai se aut n strèfoume t ra thn prosoq mac.
1.4 Ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων του κύκλου 11 1.4 Taxinìmhsh dianusmatik n pedðwn tou kôklou H monadik monodi stath, sunektik, sumpag c kai qwrðc sônoro pollaplìthta eðnai o kôkloc S 1. H taxinìmhsh twn dianusmatik n pedðwn tou kôklou, sth genik perðptwsh, eðnai arket apl kai dðnetai ed, akolouj ntac to pneôma tou [27]. H aujentik apìdeixh, ìpwc dhmosieôthke apì ton AG Mayer to 1939, mporeð na brejeð sto [1]. An X 0 eðnai k poio apì ta dôo monadiaða dianusmatik pedða tou kôklou, tìte k je X X r (S 1 ) mporeð na grafeð, kat trìpo monadikì, wc X(p) =f(p)x 0 (p), p S 1, ìpou f : S 1 R, kl shc C r. Oi idiomorfðec tou X antistoiqoôn, profan c, sta shmeða mhdenismoô thc sun rthshc f. EÐnai ìmwc gnwstì ìti gia k je sumpagèc uposônolo K tou kôklou up rqei mia diaforðsimh sun rthsh f tètoia ste f 1 (0) = K ([20]). Kaj c h sqèsh thc topologik c isodunamðac diathreð, ìpwc eðdame, tic idiomorfðec, eðnai fanerì ìti up rqoun toul qiston tìsec kl seic isodunamðac dianusmatik n pedðwn tou kôklou ìsec eðnai oi kl - seic isodunamðac sumpag n uposunìlwn autoô (ìpou dôo sônola jewroôntai isodônama an eðnai omoiìmorfa), gegonìc pou kajist adônath thn pl rh taxinìmhsh ìlwn twn dianusmatik n pedðwn tou S 1. Anagkazìmaste epomènwc na periorðsoume th melèth mac se ekeðna ta pedða tou kôklou pou diajètoun mìno uperbolikèc idiomorfðec. H idiomorfða p tou X X r (S 1 ) onom zetai uperbolik an f (p) 0, ìpou X = fx 0. Mia uperbolik idiomorfða onom zetai apwstik an h par gwgoc thc f ekeð eðnai jetik kai elktik sthn perðptwsh ìpou h par gwgoc eðnai arnhtik. Ac eðnai G to sônolo ekeðnwn twn dianusmatik n pedðwn tou kôklou pou diajètoun mìno uperbolikèc idiomorfðec. L mma 1.7. To G eðnai anoiqtì kai puknì uposônolo tou X r (S 1 ). Apìdeixh. 'Ena dianusmatikì pedðo tou kôklou pou an kei sto G diajètei profan c peperasmèno arijmì idiomorfi n. An X X r (S 1 ) me X = fx 0 orðzoume thn apeikìnish f : S 1 S 1 R wc ex c: f(p) =(p, f(p)). To X an kei sto G an, kai mìno an, h apeikìnish f eðnai egk rsia tou S 1 0. To je rhma egkarsiìthtac tou René Thom([32]) bebai nei ìti to sônolo twn apeikonðsewn f : S 1 S 1 R pou eðnai egk rsiec tou S 1 {0} apoteloôn anoiqtì kai puknì uposônolo tou C r (S 1, S 1 R), efodiasmènou me thn C r topologða tou Whitney, gegonìc pou oloklhr nei thn apìdeixh. H taxinìmhsh twn stoiqeðwn tou G dðnetai sthn epìmenh:
12 Κεφάλαιο 1 : Τοπολογική Ταξινόμηση στις Χαμηλές Διαστάσεις Prìtash 1.8. Ta X, Y G eðnai topologik c isodônama an, kai mìno an, diajètoun ton Ðdio arijmì idiomorfi n. Apìdeixh. An X G me X = fx 0 tìte to gr fhma thc f bebai nei ìti oi elktikèc kai oi apwstikèc idiomorfðec tou X enall ssontai (kai bèbaia, to sônolì touc eðnai rtio to pl joc). An to X den diajètei idiomorfðec, tìte eðte f > 0 eðte f < 0 p S 1. Sthn pr th perðptwsh h tautotik apeikìnish tou kôklou kajist topologik c isodônamo to X me to X 0, en sth deôterh ènac opoiosd pote omoiomorfismìc tou kôklou pou antistrèfei ton prosanatolismì epitugq nei to Ðdio apotèlesma. An ta X, Y X r (S 1 ) eðnai isodônama, diajètoun profan c ton Ðdioarijmì idiomorfi n kai antistrìfwc. Up rqoun sunep c peperasmènec to pl joc kl seic isodunamðac dianusmatik n pedðwn tou kôklou (an perioristoôme se aut pou an koun sto G), kai h mình analloðwt touc eðnai o arijmìc twn shmeðwn isorropðac touc. EÐnai loipìn dunatìn na diakrðnoume eôkola pìte dôo dianusmatik pedða tou G eðnai topologik c isodônama metaxô touc. An loga apotelèsmata isqôoun kai sthn perðptwsh thc pragmatik c eujeðac (mìno pou to pl joc twn idiomorfi n enìc pedðou tou R den eðnai p nta peperasmèno, akìma kai an perioristoôme se aut pou ìlec oi idiomorfðec touc eðnai uperbolikèc). 1.5 Topologik taxinìmhsh stic dôo diast seic To prìblhma thc taxinìmhshc dianusmatik n pedðwn tou epipèdou eðnai arket pio dôskolo. O Lawrence Friedman Markus, majht c tou Garrett Birkhoff, sto didaktorikì tou me tðtlo A Topological Analysis of Differential Equations in the Large (Harvard University, 1952), melèthse to prìblhma autì, th lôsh tou opoðou dhmosðeuse dôo qrìnia argìtera (bl. [3]). Ta apotelèsmata thc melèthc aut c ja perigr youme t ra. Orismìc 1.8. Ac eðnai ϕ : R R 2 R 2 mða ro tou epipèdou. Ja onom zoume ektetamèno diaqwristikì skeletì (extended separatrix sceleton) thc ro c aut c to sônolo twn troqi n thc pou eðnai: eðte shmeða isorropðac, eðte periodikèc troqièc pou den diajètoun geitoni h opoða na perièqei mìno periodikèc troqièc,
1.6 Άλλα αποτελέσματα τοπολογικήςταξινόμησης 13 troqièc omoiìmorfec thc pragmatik c eujeðac, dierqìmenec apì k poio p R 2 kai oi opoðec den diajètoun geitoni N tètoia ste i) Gia ìla ta q N, α(q) =α(p) kai ω(q) =ω(p) ii) To sônoro N thc N apoteleðtai apì ta α(p), ω(p) kai dôo akìma troqièc, γ(q 1 ),γ(q 2 ) tètoiec ste α(p) = α(q 1 ) = α(q 2 ) kai ω(p) = ω(q 1 )=ω(q 2 ). EÐnai eôkolo na apodeiqteð ìti to sônolo S twn troqi n pou an koun ston ektetamèno diaqwristikì skeletì eðnai kleistì kai paramènei amet blhto apì th ro. An eðnai V mða mègisth sunektik sunist sa tou R 2 \ S tìte to V onom - zetai kanonik perioq. Orismìc 1.9. Pl rhc diaqwristikìc skeletìc (complete separatrix skeleton) thc ro c ϕ : R R 2 R 2 onom zetai o ektetamènoc diaqwristikìc skeletìc thc ro c, mazð me mða troqi apì k je kanonik perioq aut c. Ac eðnai C 1,C 2 oi pl reic diaqwristikoð skeletoð dôo ro n tou epipèdou. Ja onom zontai isodônamoi an up rqei omoiomorfismìc h : C 1 C 2 pou na apeikonðzei troqièc tou enìc se troqièc tou llou, diathr ntac th for tou qrìnou. O pl rhc diaqwristikìc skeletìc miac ro c tou epipèdou kajorðzei pl rwc thn topologik sumperifor thc, ìpwc to epìmeno je rhma bebai nei. Je rhma 1.9. (L Markus,[3]) DÔo suneqeðc roèc tou epipèdou, pou diajètoun mìno apomonwmènec idiomorfðec, eðnai topologik c isodônamec an, kai mìno an, oi pl reic diaqwristikoð skeletoð touc eðnai topologik c isodônamoi. Thn apìdeixh tou jewr matoc autoô o endiaferìmenoc anagn sthc mporeð na anazht sei sthn parapomp [3]. To parap nw apotèlesma den all zei, an antikatast soume to R 2 me mða opoiad pote disdi stath, sunektik kai qwrðc sônoro pollaplìthta, ìpwc apèdeixe, to 1975, o Dean Neumann (bl. [19]), kai ètsi oloklhr netai h topologik taxinìmhsh twn disdi statwn susthm twn. 1.6 'Alla apotelèsmata topologik c taxinìmhshc To prìblhma thc topologik c taxinìmhshc ro n kai amfidiaforomorfism n epð n di statwn pollaplot twn me n 3 eðnai idiaðtera dôskolo. Ta apotelèsmata pou èqoun paraqjeð sthn kateôjunsh aut eðnai periorismèna kai sunoyðzontai sthn paroôsa par grafo.
14 Κεφάλαιο 1 : Τοπολογική Ταξινόμηση στις Χαμηλές Διαστάσεις Oi perissìteroi apì touc orismoôc pou dìjhkan pio p nw gia tic roèc metafèrontai, autoôsioi, sthn perðptwsh twn dunamik n susthm twn diakritoô qrìnou (amfidiaforomorfismoð). Orismìc 1.10. DÔo amfidiaforomorfismoð f, g thc pollaplìthtac M onom zontai topologik c suzeôximoi e n up rqei omoiomorfismìc h thc M tètoioc ste g = h f h 1. Sthn par grafo 1.4 taxinom jhkan ekeðna ta dianusmatik pedða tou kôklou twn opoðwn ìla ta shmeða isorropðac twn opoðwn eðnai uperbolik, kaj c gia ta sust mata aut h melèth aplopoieðtai. Apì thn uperbolikìthta twn shmeðwn isorropðac, sth mða di stash, sun getai h domik eust jeia tou sust matoc. Orismìc 1.11. O amfidiaforomorfismìc f thc pollaplìthtac M onom zetai C r domik c eustaj c an k je amfidiaforomorfismìc pou an kei se mia geitoni tou f (wc proc th C r topologða tou Whitney) eðnai topologik c suzeôximoc tou f. 'Opwc èdeixan oi Anosov kai Smale (bl. [50]) oi amfidiaforomorfismoð, sth di stash n 2, kai oi roèc, sth di stash n 3, endèqetai na parousi soun polôplokh sumperifor (Ôparxh apeðrou pl jouc periodik n troqi n) kai m - lista me trìpo domik c eustaj. Oi domik c eustajeðc amfidiaforomorfismoð ( roèc) pou diajètoun peperasmèno pl joc periodik n troqi n onom zontai Morse Smale. H kôria duskolða sthn taxinìmhsh Morse Smale amfidiaforomorfism n se epif neiec ègkeitai sthn Ôparxh egk rsiwn tom n twn amet blhtwn pollaplot twn twn sagmatik n periodik n shmeðwn kai sthn, wc ek toôtou, Ôparxh eteroklinik n shmeðwn. Orismìc 1.12. To shmeðo x M onom zetai eteroklinikì shmeðo tou amfidiaforomorfismoô Morse Smale f thc pollaplìthtac M an an kei sthn W u (p) W s (q), ìpou p, q M eðnai sagmatik periodik shmeða tou f, p q, kai tètoia ste dimw u (p) =dimw u (q). Akolouj ntac ton Smale ([11]), an ta p, q eðnai periodik shmeða enìc Morse Smale amfidiaforomorfismoô (p q) ja gr foume p q an W s (q) W u (p). Orismìc 1.13. 'Enac Morse Smale amfidiaforomorfismìc onom zetai gradient like an hanisìthta p q sunep getai thn anisìthta dimw s (p) <dimw s (q). Apì ton orismì autìn prokôptei ìti oi gradient like amfidiaforomorfismoð den perièqoun eteroklinik shmeða.
1.7 Οι δυσκολίεςστιςπερισσότερεςδιαστάσεις 15 Oi taxinìmhsh tètoiwn amfidiaforomorfism n, stic dôo diast seic, dðnetai sto [44], en mia pl rhc taxinìmhsh domik c eustaj n amfidiaforomorfism n epifanei n mporeð na brejeð sto [53]. Oi roèc Morse Smale epð trisdi statwn pollaplot twn (diajètousec peperasmèno arijmì eteroklinik n troqi n) taxinom jhkan sto [39]. 'Epeita apì aut ìmwc, el qista nèa apotelèsmata èqoun dhmosieuteð. Ta aðtia pou dusqeraðnoun thn taxinìmhsh stic meg lec diast seic parousi zontai sthn epìmenh par grafo. 1.7 Oi duskolðec stic perissìterec diast - seic H epðlush tou probl matoc thc taxinìmhshc stic mikrèc diast seic (dhlad se monodi statec kai disdi statec pollaplìthtec) katèsth dunat lìgw thc Ôparxhc tou legìmenou diaqwristikoô skeletoô. Ta shmeða isorropðac enìc monodi statou dunamikoô sust matoc diamerðzoun thn pollaplìthta epð thc opoðac orðzetai autì se anoiqt diast mata. OmoÐwc, stic dôo diast seic, o ektetamènoc diaqwristikìc skeletìc diamerðzei to epðpedo se anoiqt kai sunektik qwrða, epð twn opoðwn h sumperifor tou sust matoc eðnai tìso apl pou mða troqi arkeð gia na thn kajorðsei pl rwc. Autìc akrib c o diaqwrismìc thc pollaplìthtac se anoiqt uposônola apoteleð to kleidð gia thn taxinìmhsh twn dunamik n susthm twn stic qamhlèc diast seic. EÐnai ìmwc fanerì ìti stic megalôterec diast seic k ti tètoio den mporeð na sumbeð. Oi oloklhrwtikèc kampôlec enìc dianusmatikoô pedðou miac pollaplìthtac di stashc n, n 3, ìqi mìno den diaqwrðzoun ton q ro autìn se anoiqt qwrða, all dônantai na elðssontai h mða gôrw apì thn llh, dhmiourg ntac ètsi domèc pou stic mikrìterec diast seic den eðnai dunatìn na up rxoun. H Ôparxh twn dom n aut n (peplegmènec omoklinikèc periodikèc troqièc, par xenoi elkustèc k.t.l.) dusqeraðnei thn analutik melèth enìc dunamikoô sust matoc. Prosf twc parousi sthke mða mèjodoc h opoða, daneizìmenh teqnikèc thc JewrÐac Kìmbwn, dðnei mða poiotik perigraf twn perðplokwn aut n dom n. To epìmeno kef laio eðnai afierwmèno sth mèjodo aut.
Kef laio 2 Taxinìmhsh Par xenwn Elkust n me th Sumbol thc JewrÐac Kìmbwn 2.1 QaotikoÐ elkustèc 'Otan èna dunamikì sôsthma eðnai orismèno se q rouc di stashc megalôterhc Ðshc tou trða eðnai dunat h Ôparxh polôplokhc sumperifor c, pou den mporeð na emfanisteð stic mikrìterec diast seic. Autì ofeðletai sto ìti oi troqièc enìc 3 di statou sust matoc mporoôn na perieliqjoôn me meg lh eleujerða, dierqìmenec peirec forèc apì mða mikr perioq tou R 3, en stic dôo diast seic autì ja odhgoôse se temnìmenec troqièc. Oi qaotikoð elkustèc, gia par deigma, apoteloôn anamfisb thta domèc h analutik melèth twn opoðwn eðnai exairetik dôskolh. Orismìc 2.1. 'Estw X èna dianusmatikì pedðo orismèno epð thc diaforik c pollaplìthtac M kai Λ M sumpagèc sônolo amet blhto apì to X. Ja lème ìti sto Λ parousi zetaiqaotik sumperifor an to sônolo twn periodik n troqi ntou X eðnai pantoô puknì sto Λ kai anto Λ perièqei epðshc toul qiston mða pantoô pukn (omal ) troqi. An epiplèon to Λ apoteleð elkust gia to X tìte onom zetai qaotikìc (par xenoc) elkust c. H ènnoia tou q ouc eðnai mesa sundedèmenh me thn Ôparxh autoô tou sunìlou twn (astaj n) periodik n troqi n. H genikeumènh aut ast jeia eðnai ekeðnh pou prokaleð to legìmeno fainìmeno thc fleuaðsjhthc ex rthshc apì arqikèc sunj kec ", kai flfainìmeno thc petaloôdac ". Apì gewmetrik c skopi c oi qaotikoð elkustèc diajètoun fr ktal dom, diakrðnontai dhlad apì thn autoomoiìthta upì allag klðmakac ([49], [52]). O pio gnwstìc, Ðswc, 17
18 Κεφάλαιο 2 : Ταξινόμηση Παράξενων Ελκυστών με τη Συμβολή της Θεωρίας Κόμβων qaotikìc elkust c eðnai autìc tou Lorenz ([8]). To 1963 o metewrolìgoc Edward Norton Lorenz meletoôse èna aplopoihmèno sôsthma perigraf c thc sumperifor c thc g inhc atmìsfairac, to opoðo apoteleðtai apì tic exis seic: ẋ = σ(y x) ẏ = rx y xz (2.1) ż = xy bz ìpou σ, r, b > 0 (o Ðdioc o Lorenz xeq rise arket gr gora tic timèc σ = 10,r= 28,b= 8/3 wc qr zousec idiaitèrac prosoq c). Oloklhr nontac arijmhtik c autì to sôsthma, o Lorenz parat rhse ìti apì opoiad pote arqik sunj kh kai an xekinoôse, oi troqièc katal goun asumptwtik ston par xeno elkust pou blèpoume sto Sq. 2.1. z 45 40 35 30 25 20 15 10 5-20 -15-10 -5 x 0 5 10 15 20-25-20-15 -10-5 0 5 20 25 15 10 y Sq ma 2.1: O qaotikìc elkust c tou Lorenz (σ = 10,r = 28,b = 8/3). Adunat ntac na katano sei bajôtera thn anak luy tou, o Lorenz dhmosðeuse ta apotelèsmat tou se èna rjro pou Ðswc eðnai apì ta plèon anaferìmena rjra tou perasmènou ai na ([8]). Apì to 1963, pou parathr jhke gia pr th for o elkust c tou Lorenz, pèrasan sqedìn eðkosi qrìnia (1979) mèqri na kataskeuastoôn, apì touc J Guckenheimer, R Williams kai (anex rthta) V S Afraimovich, V V Bykov, L P Shil nikov ([24], [23], [31], [26]) gewmetrik montèla ro n me idiìthtec an logec aut n tou sust matoc tou Lorenz. Gia ta gewmetrik aut montèla katèsth dunat h apìdeixh Ôparxhc qaotik c sumperifor c, den up rqe
2.2 Κόμβοι και ταμπλέτες 19 ìmwc kamða eggôhsh gia to an ta montèla aut perigr foun ìntwc th ro tou Lorenz. To 1998 o Warwick Tucker, sto didaktorikì tou me tðtlo The Lorenz attractor exists (University of Uppsala), apèdeixe to akìloujo je rhma, dhmosieumèno sto [57]. Je rhma 2.1. Gia tic timèc twn paramètrwn σ =10,r =28,b =8/3 to sôsthma tou Lorenz diajètei par xeno elkust. An kai autì eðnai èna apì ta el qista apotelèsmata pou bebai noun (analutik c) thn Ôparxh qaotikoô elkust se èna flpragmatikìfl dunamikì sôsthma, adunateð wstìso na perigr yei tic topologikèc idiìthtec tou par xenou autoô elkust. Oi Joan Birman kai Ralf Williams, to 1983 ([29], [30]), anèptuxan mða mèjodo me thn opoða kat feran na perigr youn, poiotik c, th dom tou (gewmetrik c orismènou) elkust tou Lorenz. H mèjodoc aut qrhsimopoi jhke argìtera gia thn an lush kai llwn par xenwn elkust n kai sthrðzetai se ènnoiec thc jewrðac kìmbwn. Oi ènnoiec autèc perigr fontai sthn epìmenh par grafo. 2.2 Kìmboi kai tamplètec Oorismìc thc periodik c troqi c enìc trisdi statou dianusmatikoô pedðou tautðzetai me ton orismì tou kìmbou. An èna sôsthma emfanðzei par xeno elkust, teqnikèc thc jewrðac kìmbwn eðnai dunatìn na qrhsimopoihjoôn gia th melèth thc dom c tou sunìlou twn periodik n troqi n pou perièqontai, kat trìpo pantoô puknì, se autìn. Oi teqnikèc autèc ja perigrafoôn sthn par grafo aut, en perissìterec leptomèreiec kai efarmogèc mporoôn na brejoôn sta [21], [51], [38]. Orismìc 2.2. 'Estw M mða trisdi stath diaforik pollaplìthta kai S 1 o kôkloc. Wc kìmbo (knot) orðzoume mða embôjish (embedding) K : S 1 M, en wc sôndesmo (link) mða peperasmènh, kai diakrit, ènwsh kìmbwn. Par deigma 2.2. 'Enac kìmboc parist netai me th bo jeia miac kanonik c probol c thc eikìnac tou, dhlad miac opoiasd pote probol c tou se èna epðpedo, h opoða na emfanðzei mìno egk rsiec autotomèc. An K : S 1 M eðnai ènac kìmboc tìte, analìgwc me ton prosanatolismì tou S 1, prosdðdoume ènanprosanatolismì kai sthneikìna tou K, upì th morf enìc bèlouc.
20 Κεφάλαιο 2 : Ταξινόμηση Παράξενων Ελκυστών με τη Συμβολή της Θεωρίας Κόμβων O aploôsteroc kìmboc eðnai o mh kìmboc (unknot), o opoðoc orðzetai wc k je embôjish tou kôklou sth M, h eikìna thc opoðac apoteleð to sônoro enìc embujismènou dðskou D 2 M. Oi epìmenoi aploôsteroi kìmboi eðnai o trðfulloc kìmboc (trefoil) kai o kìmboc sq matoc 8 (figure eight), oi opoðoi apeikonðzontai sto Sq ma 2.2. Sq ma 2.2: O mh kìmboc, o trðfulloc kai o kìmboc sq matoc okt. To basikì prìblhma thc jewrðac kìmbwn sunðstatai sthn taxinìmhs touc se kl seic isodunamðac. Orismìc 2.3. 'Estw K, P dôo kìmboi thc trisdi stathc diaforik c pollaplìthtac M. Oi kìmboi autoð onom zontai ambient isotopic an up rqei monoparametrik oikogèneia omoiomorfism n h t : M M,t [0, 1], tètoia ste h 0 Id : M M kai h 1 K = P. Par deigma 2.3. Ac jewr soume th sun jh embôjish enìc tìrou S 1 S 1 ston R 3. Kìmboc tìrou onom zetai opoiosd pote kìmboc pou keðtai epð tou tìrouautoô. Oi kìmboi tìroudiaqwrðzontai an loga me ton arijmì twn pl rwn peristrof n touc gôrw apì ton flishmerinìfl kai ènan flmeshmbrinìfl tou tìrou. O trðfulloc kìmboc eðnai gia par deigma tôpou (2, 3) kaj c elðssetai dôo forèc gôrw apì ton meshmbrinì tou tìrou kai treic forèc gôrw apì opoiond pote ishmerinì tou. Profan c dôo kìmboi tìrou tôpou (m, n) kai (m,n ) eðnai isotopikoð an, kai mìno an, m = m kai n = n. To prìblhma tou diaqwrismoô twn kìmbwn kai twn sundèsmwn se kl seic isodunamðac den èqei epilujeð sth genik perðptwsh. H basik analloðwth enìc sundèsmou eðnai o arijmìc sôndeshc autoô (linking number). Gia ton orismì tou apaiteðtai h pros rthsh enìc pros mou se k je tom pou emfanðzetai sto di gramma enìc kìmbou ( sundèsmou), sômfwna me ton kanìna pou dðnetai sthn Sq ma 2.3. Orismìc 2.4. Dojèntwn dôo kìmbwn K, P o arijmìc sôndeshc aut n lk(k, P) orðzetai wc to hmi jroisma twn pros mwn twn shmeðwn tom c tou K me ton P se mia opoiad pote kanonik probol aut n.
2.2 Κόμβοι και ταμπλέτες 21 O arijmìc sôndeshc perigr fei to p c perielðssetai ènac kìmboc gôrw apì ènan llon. Ac eðnai gia par deigma L ènac sôndesmoc se mia 3 di stath pollaplothta pou apoteleðtai mìno apì dôo kìmbouc, ènac ek twn opoðwn perikleðetai apì mða embujismènh sfaðra thc pollaplìthtac aut c en o lloc den perikleðetai apì th sfaðra aut. O arijmìc sôndes c touc apodeiknôetai eôkola ìti eðnai mhdenikìc, afoô kanènac apì touc dôo autoôc kìmbouc den elðssetai gôrw apì ton llon. Up rqoun ìmwc paradeðgmata sundèsmwn pou, an kai èqoun mhdenikì arijmì sôndeshc, den apoteloôntai apì flmh peplegmènouc fl kìmbouc. To sônolo twn periodik n troqi n enìc par xenou elkust apoteleð profan c ènan sôndesmo, kai h poiotik perigraf tou sundèsmou autoô diafwtðzei thn topologik dom tou Ðdiou tou elkust. H perigraf aut epitugq - netai me th qr sh tamplet n. Orismìc 2.5. 'Estw I to di sthma [0, 1]. StosÔnolo I I jewroôme mða ro pou dðnetai apì metafor sth deôterh sunist sa. Wc q rth mðxhc (joining chart) orðzoume ton phlikìqwro (I I) (I I)/{(x, y) =(x, y) :y 1}, 2 efodiasmèno me thn epagìmenh ro. Wc q rth diaqwrismoô (splitting chart) orðzoume to sônolo I I \{(x, y)/x ( 1, 2 ),y [0, 1 ]}, efodiasmèno me thn 3 3 2 epagìmenh ro. Oi q rtec autoð eðnai sqediasmènoi sthn eikìna 2.4. Tamplèta (template) onom zoume mða sumpag pollaplìthta me sônoro, sthn qartogr fhsh thc opoðac qrhsimopoioôntai mìno q rtec mðxhc kai diaqwrismoô, en oi apeikonðseic met bashc apì ton ènan topikì q rth ston llo sèbontai, kat' apaðthsin, th ro twn qart n aut n. Par deigma 2.4. Ta aploôstera paradeðgmata tamplet n eðnai oi onomazìmenec tôpou Lorenz, oi opoðec diajètoun mìno ènan q rth mðxhc kai ènan diaqwrismoô. TaxinomoÔntai se kathgorðec, an loga me ton arijmì peristrof c k je lwrðdac enìc q rth diaqwrismoô gôrw apì ton eautì thc (bl. Sq. 2.5). Oi tamplètec mporoôn na qrhsimopoihjoôn gia thn perigraf uperbolik n chain recurrent sunìlwn. -1 +1 Sq ma 2.3: Tom me jetikì kai tom me arnhtikì prìshmo.
22 Κεφάλαιο 2 : Ταξινόμηση Παράξενων Ελκυστών με τη Συμβολή της Θεωρίας Κόμβων Orismìc 2.6. 'Ena amet blhto sônolo Λ thc ro c ϕ t thc pollaplìthtac M onom zetai uperbolikì an up rqei aposônjesh T Λ M = E s Λ Ec Λ Eu Λ, kat trìpo suneq kai amet blhto apì th ro, ètsi ste: ìpou C>0, λ>1 stajerèc. Dϕ t (v) Ce λt v, v EΛ s, t >0, Dϕ t (v) Ce λt v, v EΛ u, t >0 kai to dϕt dt t=0 (x) par gei ton EΛ c, x Λ, Orismìc 2.7. An ϕ t mða ro epð thc pollaplìthtac M tìte to p M onom zetai chain recurrent gia thn ϕ t an, ɛ >0 up rqei akoloujða shmeðwn {p = x 1,x 2,.., x n = p} kai pragmatikoð arijmoð {t 1,t 2,.., t n }, tètoioi ste t i > 1, i, kai ϕ t i (x i ) x i+1 <ɛgia ìla ta i. To chain recurrent sônolo thc ro c, R(ϕ t ), eðnai to sônolo ìlwn twn chain recurrent shmeðwn aut c. H sqèsh metaxô twn tamplet n kai tou sundèsmou twn periodik n troqi n enìc par xenou elkust dðnetai mèsw tou akìloujou jewr matoc: Je rhma 2.5. (Birman, Williams [30]) Ac jewr soume mða ro epð miac 3 di stathc pollaplìthtac M. An h ro diajètei uperbolikì chain recurrent sônolo, tìte o sôndesmoc twn periodik n troqi n thc eðnai se amfimonos manth antistoiqða me ton sôndesmo twn periodik n troqi n miac tamplètac T M. Se k je peperasmèno uposônolo twn sundèsmwn aut n, h antistoiqða dðnetai apì mia isotopða. H upìjesh thc uperbolikìthtac tou parap nw jewr matoc den apoteleð meg lo periorismì. Akìma kai ìtan sunodeôetai apì llec apait seic, h uperbolikìthta apoteleð genìshmh idiìthta twn dianusmatik n pedðwn. Sq ma 2.4: Q rthc mðxhc (arister ), ìpou dôo katakìrufec lwrðdec tautðzontai kat m koc eujugr mmou tm matoc. Q rthc diaqwrismoô (dexi ), ìpou mða lwrðda diaqwrðetai se dôo. H ro (pou den emfanðzetai sto sq ma) apoteleðtai apì kampôlec pou ekkinoôn apì to p nw mèroc kai katal goun sto k tw (bl. orismì 2.5).
2.3 Η ταμπλέτα του παράξενου ελκυστή του Lü 23 Orismìc 2.8. An γ eðnai mia uperbolik troqi tou dianusmatikoô pedðou X X r (M), h eustaj c kai h astaj c pollaplìtht thc orðzontai wc ex c: W s (γ) ={x M/ω(x) =γ} kai W u (γ) ={x M/α(x) =γ}. H apìdeixh tou epìmenou jewr matoc mporeð na brejeð sta [6], [7], [12]. Je rhma 2.6. (Kupka Smale) To sônolo twn dianusmatik n pedðwn thc diaforik c pollaplìthtac M, ìla ta krðsima stoiqeða twn opoðwn eðnai uperbolik, kai gia ta opoða, an σ 1,σ 2 eðnai krðsima stoiqeða, oi pollaplìthtec W s (σ 1 ) kai W u (σ 2 ) tèmnontai egk rsia, apoteleð leimmatikì uposônolo tou X r (M). Kaj c to sônolo twn periodik n troqi n enìc par xenou elkust an kei profan c sto chain recurrent sônolo thc antðstoiqhc ro c, kai kaj c, sth genik perðptwsh, to sônolo autì diajètei uperbolik dom, se k je elkust antistoiqðzetai mia tamplèta. Oi periodikèc troqièc pou perièqei h ro thc tamplètac brðskontai se isotopik antistoiqða me tic periodikèc troqièc tou elkust. Epomènwc, h perigraf twn topologik n idiot twn tou sundèsmou twn periodik n troqi n thc tamplètac diafwtðzei th dom tou Ðdiou tou elkust. Gia na eðnai duo elkustèc topologik c isodônamoi ja prèpei kat' an gkhn oi tamplètec touc na eðnai omoiìmorfec. Sthn epìmenh par grafo ja perigrafeð h mèjodoc me thn opoða prosdiorðzetai h tamplèta pou antistoiqeð se k je èna apì mða seir elkust n. 2.3 H tamplèta tou par xenou elkust tou Lü Oi Lü kai Chen kataskeôasan, to 2002 ([60]), èna aplì 3 di stato dianusmatikì pedðo, to onomazìmeno sôsthma tou Lü, pou parousi zei qaotik Sq ma 2.5: Tamplètec tôpou Lorenz: h L(0, 0) arister kai h L(0, 1) dexi. Kai oi dôo diajètoun ènan q rth diaqwrismoô ( nw orizìntio eujôgrammo tm ma) kai ènan q rth mðxhc (k tw orizìntio eujôgrammo tm ma). Oi dôo tamplètec diafèroun ston trìpo pou k je mða apì tic dôo lwrðdec pou prokôptoun met ton q rth diaqwrismoô peristrèfetai gôrw apì ton eautì thc.
24 Κεφάλαιο 2 : Ταξινόμηση Παράξενων Ελκυστών με τη Συμβολή της Θεωρίας Κόμβων sumperifor. Oi exis seic tou sust matoc eðnai oi ex c: ẋ = a(y x) ẏ = xz + cy (2.2) ż = xy bz, ìpou a, b, c eðnai pragmatikèc par metroi. Sto Ðdio rjro oi Lü kai Chen olokl rwsan, arijmhtik c, to sôsthma autì, gia a =36kai b =3, epitrèpontac mìno sthn trðth par metro na metab lletai. Parat rhsan ìti, gia 12.7 <c<17, o elkust c pou emfanðzetai eðnai arket fl ìmoioc fl me ton par - xeno elkust tou Lorenz (bl. prohgoômenh par grafo). O elkust c tou Lü, gia (a, b, c) =(36, 3, 13), parousi zetai sto Sq ma 2.6 (sôgkrine me Sq ma 2.1). To sôsthma (2.2) eðnai summetrikì, kai kaj c h idiìthta aut ja paðxei 25 20 15 z 10 5 0-15 -10-5 x 0 5 10 15-15 -10-5 0 5 10 y 15 20 Sq ma 2.6: O elkust c tou Lü, gia (a, b, c) =(36, 3, 13). kajoristikì rìlo sthn an lush pou akoloujeð, upenjumðzoume ed orismèna basik apotelèsmata sqetik me tic om dec summetrðac (gia perissìterec leptomèreiec bl. [33], [54]). Orismìc 2.9. 'Ena polu numo p K[x 1,x 2,..x n ] (ìpou K tuqaðo s ma) onom zetai amet blhto (invariant) summetrikì wc proc mia anapar stash θ miac sumpagoôc om dac Lie G an p(θ(s)x) = p(x), s G. To sônolo ìlwn twn summetrik n poluwnômwn onom zetai summetrikìc daktôlioc gia thn (anapar stash thc) G, kai sun jwc sumbolðzetai wc K[x] G. Mia poluwnumik apeikìnish f : K n K n onom zetai equivariant an f(θ(s)x) =θ(s)f(x), s G. To sônolì touc apoteleð module epð tou summetrikoô daktulðou. Sthn perðptwsh pou h G eðnai sumpag c om da Lie, o amet blhtoc daktôlioc par getai apì peperasmèna to pl joc omogen amet blhta polu numa ([54]). To sôsthma tou Lü paramènei amet blhto upì th dr sh miac om dac pou par getai apì tic apeikonðseic: