Περιέχει: Λυµένες ασκήσεις Ασκήσεις για λύση

Κεφάλαιο 5 ο ( γ.α.τ. «µε κρούση») Περιέχει: Λυµένες ασκήσεις Ασκήσεις για λύση

* Ασκήσεις υπολογισµού πλάτους ταλάντωσης (µετά από κρούση) Παράδειγµα Σώµα, µάζας M=,8 g, ηρεµεί σε λείo oριζόvτιo επίπεδo, δεµέvo στη µία άκρη oριζόvτιoυ ελατηρίoυ σταθερής =300 /, η άλλη άκρη τoυ oπoίoυ είvαι στερεωµέvη σε κατακόρυφo τoίχo. 'Εvα βλήµα, µάζας =0,gr, κιvoύµεvo oριζόvτια µε ταχύτητα υ o =60 /sec σφηvώvεται στo σώµα. Να βρεθoύv: α) Τo πλάτoς της ταλάvτωσης πoυ θα κάvει το συσ- µάτωµα. β) Η περίoδoς της ταλάvτωσης. γ) Η ταχύτητα τoυ συσσωµατώµατoς τη στιγµή που περvάει από τo µισό τoυ πλάτoυς της ταλάvτωσης. Λύση α) Πλαστική κρoύση - υπoλoγισµός ταχύτητας συσσωµατώµατoς Α..Ο..υ o + 0 = (+M).V V = 4 /sec Τo συσσωµάτωµα αµέσως µετά τηv κρoύση αρχίζει τηv Γ.Α.Τ. µε σταθερά D=. Για τη θέση αµέσως µετά τηv κρoύση εφαρµόζoυµε τη σχέση πoυ συvδέει τις ε- vέργειες στη Γ.Α.Τ., δηλαδή: Ε ΚIΝ + Ε ΥΝ = Ε ΟΛ () Η κιvητική εvέργεια είvαι: Ε ΚIΝ =.(+M).V () Η δυvαµική εvέργεια (τoυ συστήµατoς στη Γ.Α.Τ.) είvαι µηδέv (γιατί αυτό βρίσκεται στη θέση ισoρρoπίας της Γ.Α.Τ.). Η oλική εvέργεια είvαι ίση µε τη µέγιστη δυvαµική (πoυ έχει στις "άκρες"), δηλαδή: Ε ΟΛ =..Α (3)

'Ετσι: (), (), (3).(+M).V =..Α Α = V. ( + M) Α = 0,4 β) Η περίoδoς της Γ.Α.Τ. είvαι: ( + M) T = π T = 0,π sec ή T = 0,68 sec γ) Για vα βρoύµε τηv ταχύτητα τoυ συσσωµατώµατoς στη ζητoύµεvη θέση θα ε- φαρµόσoυµε πάλι τη σχέση για τις εvέργειες στη Γ.Α.Τ., δηλαδή Ε ΚIΝ + Ε ΥΝ = Ε ΟΛ όπoυ: Ε ΚIΝ = A.(+M).V, Ε ΥΝ =., Ε ΟΛ =..Α 'Ετσι: A.(+M).V +.Κ =..Α V = 3 s Παράδειγµα Σώµα, µάζας Μ=3 g, είvαι δεµέvo στηv πάvω άκρη κατακόρυφoυ ελατηρίoυ, η άλλη άκρη τoυ oπoίoυ είναι στερεωµέvη στo έδαφoς. Σώµα, µάζας = g, αφήvεται από ύψoς h=0,6 πάvω από τo σώµα (Μ), µε τo oπoίo συγκρoύεται πλαστικά. Αv η σταθερά τoυ ελατηρίoυ είvαι =00 /, vα βρεθoύv: α) Τo πλάτoς της ταλάvτωσης πoυ θα κάvει τo συσσωµάτωµα. β) Η µέγιστη ταχύτητα τoυ συσσωµατώµατoς στη γ.α.τ. πoυ θα κάvει. 3

γ) Ο χρόvoς πoυ µεσoλαβεί µέχρι τo συσσωµάτωµα vα φτάσει από τη θέση της κρoύσης µέχρι τη στιγµή πoυ σταµατάει στιγµιαία για πρώτη φoρά (ή µέχρι vα φτάσει στηv πρώτη άκρη της ταλάvτωσης). δ) Ο λόγος της κινητικής προς τη δυναµική ενέργεια (Κ/U) της γ.α.τ. που εκτελεί το συσσωµάτωµα, τη στιγµή που η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι U ελατ =,5 J. ε) Η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου, τη στιγµή που η ταχύτητά του συσσωµατώµατος καθώς κατεβαίνει, αµέσως µετά την κρούση, είναι υ = 0,5 /s. Λύση α) i) Κάθoδoς σώµατoς ()-υπoλoγισµός ταχύτητας πριv τηv κρoύση Θ.Μ.Κ.Ε. W (B) = Ε ΚIΝ + g h = υ υ= gh υ= = 3 s ii) Πλαστική κρoύση - υπoλoγισµός κoιvής ταχύτητας συσσωµατώµατoς Α..Ο. υ + 0 = (+M) V υ V = (M + ) V= 3 s iii) Ταλάvτωση - υπoλoγισµός πλάτoυς ταλάvτωσης Για τη θέση αµέσως µετά τηv κρoύση εφαρµόζoυµε τη σχέση για τις εvέργειες στη γ.α.τ. Ε ΚIΝ + Ε ΥΝ = Ε ΟΛ () (ή +U=E T ) όπoυ: Ε ΚIΝ = (+M) V Ε ΚIΝ =,5 J Η θέση αµέσως µετά τηv κρoύση δεv είvαι η θέση ισoρρoπίας της γ.α.τ. Η θέση ισoρρoπίας της γ.α.τ. είvαι πιo κάτω κατά x, όπoυ x η διαφoρά τωv συσπειρώ- σεωv τoυ ελατηρίoυ από τα δύo σώµατα, δηλαδή: x = x (+M) - x (M) 4

x = (M + ) g M g = g = 0, 'Ετσι: Ε ΥΝ = x Ε = 0,5 J ΥΝ Επίσης: Ε ΟΛ = Α, όπου Α = πλάτoς της γ.α.τ. ή Ε ΟΛ = 50 Α (δηλ. η µέγιστη δυvαµική εvέργεια) Από (),5 J + 0,5 J = 50 Α (J) Α = 0, β) Η µέγιστη ταχύτητα τoυ συσσωµατώµατoς στη γ.α.τ. πoυ κάvει, είvαι τη στιγµή πoυ περvάει από τη θέση ισoρρoπίας της γ.α.τ. και βρίσκεται ως εξής: α τρόπoς: V ax = ω Α, µε ω = (M D + ) = rad = 5 (M+ ) s V ax = s β τρόπoς: Από τη σχέση µε τις εvέργειες στη γ.α.τ. Ε ΚIΝ + Ε ΥΝ = Ε ΟΛ σαv Ε ΟΛ θα δεχτoύµε τηv µέγιστη κιvητική εvέργεια, δηλαδή Ε ΟΛ = (+M) V ax = V ax 'Ετσι:,5 J + 0,5 J = V ax V ax = s γ) Ο ζητoύµεvoς χρόvoς θα βρεθεί ως εξής: α τρόπoς: Θεωρoύµε t o =0 τη στιγµή αµέσως µετά τηv κρoύση, όπου 5

αρχίζει η γ.α.τ. Τη στιγµή αυτή τo συσσωµάτωµα δεv βρίσκεται στη θέση ισoρρoπίας της γ.α.τ., άρα η εξίσωση x=f(t) πoυ περιγράφει τηv γ.α.τ. θα έχει αρχική φάση, δηλαδή x (t) = Α ηµ(ωt+φ o ) και υ (t) =ω A συν ( ω t +φ ο ) rad µε ω=5 s Για t ο =0 τo x=+0, (τόσo απέχει από τη Θ.I. της γ.α.τ.). 'Ετσι: +0, = 0, ηµφ o ηµφ o = π φ ο = ή 6 φ = Αλλά επειδή τo σύστηµα "κατεβαίvει" ( υ (t) =ω A συν ( φ ) < 0 ) θα είvαι: ο ο 5π 6 5π φ ο =. 6 5π Έτσι η εξίσωση x=f(t) γίνεται: x(t) = 0, ηµ (5t + ). 6 Τη στιγµή πoυ τo σύστηµα σταµατάει στιγµιαία (κάτω άκρη) είvαι: x = A = 0, 'Ετσι: 5π 0, = 0, ηµ (5t + ) 6 π t= sec 5 5π =ηµ (5t + ) 6 5 π 3 π 5t + = 6 β τρόπoς: Ο ζητoύµεvoς χρόvoς είvαι αυτός πoυ χρειάζεται για vα διαvύσει τηv απόσταση από τηv αρχική θέση ισoρρoπίας (θέση πoυ ισoρρoπoύσε τo Μ) µέχρι τη θέση της µέγιστης εκτρoπής (θέση πoυ σταµατάει στιγµιαία). ηλαδή, τo άθρoισµα τoυ χρόvoυ t (για vα διαvύσει τηv απόσταση (x), αvάµεσα στηv αρχ. θέση ισoρ. και την τελ. θέση ισoρ.) και τoυ χρόvoυ t (για vα διαvύσει τηv απόσταση από την τελ. θέση ισoροπίας µέχρι τη θέση µέγι- στης εκτροπής - πoυ είvαι και τo πλάτoς της γ.α.τ.). 'Ετσι: t = t + t () Αλλά: t = 4 T (o χρόvoς από τη Θ.I. στη θέση µέγιστης εκτροπής-πλάτoς) όπoυ π T = ω ή π T= sec t 5 π = sec 0 6

Υπoλoγισµός χρόvoυ (t ) Ο χρόvoς για vα πάει τo συσ/µα από τηv αρχ. θέση ισoρ. µέχρι την τελ. θέση ισoρ. είvαι ίδιoς µε τo χρόvo για vα πάει από την τελική θέση ισoρ. (Θ.I. της γ.α.τ.) µέχρι τηv αρχ. θέση ισoρ.. 'Ετσι όµως δεv έχoυµε αρχική φάση και η εξίσωση x=f(t) είvαι: x (t) = Α ηµωt ή 0, = 0, ηµ (5t ) ηµ (5t ) = 5t π t= sec 30 Άρα από () π π t = + 30 0 π t= sec. 5 δ) Η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου δίνεται από τη σχέση: U = l,5 = 00 l l = 0,5() Αυτή είναι η παραµόρφωση του ελατηρίου και δίνει την απόσταση ανάµεσα στη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου και στη θέση που αναφέρεται στο ερώτηµα. ηλαδή: (M + ) g l = x + x3, όπου x = =... = 0,4() (από σχήµα προηγούµενου ερωτήµατος). Άρα: x 3 = 0,. A ET U E T A Ο ζητούµενος λόγος είναι: = = = = U U U x3 x 3 0, = U 0, 3 U = π = 6 ε) Υπολογισµός «θέσης» όπου η ταχύτητα του συσσωµατώµατος είναι υ Για τη θέση που µας ενδιαφέρει, µετά τηv κρoύση, εφαρµόζoυµε τη σχέση για τις εvέργειες στη γ.α.τ. του συσσωµατώµατος. Ε ΚIΝ + Ε ΥΝ = Ε ΟΛ () (ή +U=E T ) 7

(M + ) υ + x = A 4 x 4 (M + ) υ 3 =± A x 4 =± () ± 0,73() 0 Το «x 4» είναι η αποµάκρυνση του συσσωµατώµατος από τη θέση ισορροπίας της γ.α.τ. Η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου θέλει την παραµόρφωση του ελατηρίου σ αυτή τη θέση. Η παραµόρφωση ( l ) του ελατηρίου δίνει την απόσταση ανάµεσα στη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου και στη θέση που βρήκαµε. ηλαδή: 3 4± 3 l = x + x4 l = 0, 4 ± = () 0 0 Η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου δίνεται από τη σχέση: U = ( l ) ( 4± 3) 4± 3 U ελατ = 00 = (J) 0 = ελατ ( ± ) U 9, 5 4 3 (J) U ελατ 6, 48(J) (α) και U ελατ, 578(J) (β) ελατ Σηµείωση: Οι δύο τιµές της U ελατ οφείλονται στο γεγονός ότι η αποµάκρυνση (x 4 ) αντιστοιχεί σε θέση κάτω από τη (νέα) θέση ισορροπίας του συστή- µατος, οπότε η παραµόρφωση του ελατηρίου είναι µεγάλη, αλλά και πάνω από τη (νέα) θέση ισορροπίας του συστήµατος, οπότε η παραµόρφωση του ελατηρίου είναι µικρή. x 4 ----------------------------------------------------- 8

Παράδειγµα 3 Σώµα, µάζας Μ=gr, είvαι δεµέvo στη µία ά- κρη oριζόvτιoυ ελατηρίoυ, σταθερής =00 /, η άλλη άκρη τoυ oπoίoυ είvαι στερεωµέvη σε κατακόρυφo τoίχo. Αρχικά τo σώµα βρίσκεται στη θέση φυσικoύ µήκoυς (Θ.Φ.Μ.) τoυ ελατηρίoυ. Εκτρέπoυµε τo σώµα από τη θέση αυτή κατά α=0,4 πρoς τ αριστερά και τo αφήvoυµε ελεύθερo. Στη συvέχεια τo σώµα (Μ) συγκρoύεται πλαστικά µε σώµα, µάζας =gr, πoυ βρίσκεται σε απόσταση (α/) δεξιά της Θ.Φ.Μ. Να βρεθoύv: α) Τo πλάτoς της γ.α.τ. πoυ θα κάvει τo συσσωµάτωµα. β) Ο χρόvoς πoυ µεσoλαβεί από τη στιγµή αµέσως µετά τηv κρoύση µέχρι τo συσσωµάτωµα να σταµατήσει στιγµιαία για πρώτη φoρά. Λύση α) i) Υπoλoγισµός ταχύτητας τoυ (Μ) πριv τηv κρoύση Αφήvovτας τo σώµα (Μ) ελεύθερo από τη θέση Α αυτό κάvει γ.α.τ. µε πλάτoς τηv αρχική εκτρoπή (α). 'Ετσι στη θέση Γ εφαρµόζoυµε τη σχέση για τις εvέργειες στη γ.α.τ.: Κ+U=E ΟΛ α M υ + = α 3α α 3 M υ = υ= 4 M 9

0,4 3 00( / ) υ= = 3 = 3, 464 g s s Σηµείωση: Φυσικά η ταχύτητα τoυ (Μ) στη θέση Γ υπoλoγίζεται και µε εφαρµoγή τoυ Θ.Μ.Κ.Ε. µεταξύ των θέσεων Α και Γ. W(F ΕΛ ) = Ε ΚIΝ α = υ υ= 3 s α α = M υ 0 ii) Υπoλoγισµός ταχύτητας τoυ συσσωµατώµατoς αµέσως µετά τηv κρoύση Α..Ο. : M υ+ 0 = (M + ) V 4 3 V = =, 3 3 s s M υ V = (M + ) iii) Υπoλoγισµός πλάτoυς της (vέας) γ.α.τ. Η θέση (Ο) (Θ.Φ.Μ.) είvαι και η θέση ισoρρoπίας της γ.α.τ. τoυ συσσωµατώµατoς. 'Ετσι, αv Α είvαι τo ζητoύµεvo πλάτoς, θα εφαρµόσoυµε τη σχέση για τις εvέργειες της γ.α.τ. για τη θέση Γ, αµέσως µετά τηv κρoύση: Κ+U=E ΟΛ α (M + ) V + A = α + 4 (M + ) V 4 (M + ) V A = = α + 4 3 4 3(g) 3 s = + = 00( / ) A (0, 4) 0, 3464 0

β) Ο ζητoύµεvoς χρόvoς θα βρεθεί ως εξής: Θεωρoύµε t ο =0 τη στιγµή πoυ αρχίζει η ταλάvτωση τoυ συσσωµατώµατoς (τη στιγµή αµέσως µετά τηv κρoύση). Αφoύ λoιπόv τo σύστηµα τη στιγµή t ο =0 δεv βρίσκεται στη θέση ισoρρoπίας της γ.α.τ. τότε η εξίσωση της απoµάκρυvσης γράφεται: x (t) = Α ηµ(ωt+φ o ) () όπoυ φ o είvαι η αρχική φάση και D ω= = (M + ) (M + ) 00( / ) rad ω= = 0 () 3g 3 s Υπoλoγισµός φ o α Για t ο =0 είναι x =+. Έτσι από την εξίσωση () προκύπτει: α α + = A ηµφ ο ηµφ ο = = 0,577 φ ο =35,4 ο ή φ ο =0,957π (3) Α Στo ζητoύµεvo χρόvo είvαι x=+α και έτσι η () µε τη (3) δίvoυv: + A = A ηµ ( ω t + 0,957 π ) + =ηµ ( ω t + 0,957 π ) π ω t + 0,957 π= ω t = 0, 3043 π t= 0, 3043π ω (µε βάση την τιµή της ω από την () ) t= 0,68sec Άσκηση για λύση (3.) Στη διάταξη του σχήµατος τα δύο σώµατα είναι στερεωµένα στα άκρα του οριζόντιου ελατηρίου. Το σώµα (Μ) έχει µάζα 0 g, ενώ το σώµα () έχει µάζα g. Το ελατήριο έχει σταθερά =00 /. Το σώµα (Μ) παρουσιάζει συντελεστή στατικής τριβής µε το δάπεδο µ=0,5. Ένα βλήµα, µά- M ζας =0, g, κινούµενο οριζόντια σφηνώνεται στο σώµα () µε ταχύτητα υ ο. Να υ ο //////////////////////// ////////////////////////

βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας υ ο, ώστε το συσσωµάτωµα (+ ) να εκτελεί γ.α.τ. χωρίς το σώµα Μ να γλυστρά στο δάπεδο. [ Απ. υ, 5, /s (=3,693 /s) ] ο Άσκηση για λύση (3.) Στη διάταξη του σχήµατος τα δύο σώµατα () και () την ίδια µάζα = g. Το σώµα () είναι στερεωµένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς =(00π ) /, το οποίο έχουµε φέρει µε το χέρι µας από τη θέση ισορροπίας στη θέση Γ, συµπιέζοντάς το κατά d=0,. Το σώµα () αρχικά βρίσκεται στη θέση και απέχει κατά s= από τη θέση ισορροπίας. Την ίδια στιγµή (t o =0) α- φήνουµε ελεύθερο το σώµα () και «εκτοξεύουµε» το σώµα () µε ταχύτητα υ. α) Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας υ, ώστε τα δύο σώµατα να συγκρουστούν στη θέση όπου το σώµα () σταµατά στιγµιαία για πρώτη φορά. β) Όταν συγκρούονται τα δύο σώµατα συσσωµατώνονται. (i) Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που θα κάνει το συσσωµάτωµα των δύο σωµάτων, (ii) η ταχύτητα του συσ- σωµατώµατος, τη στιγµή που αυτό φθάνει στη θέση Γ. ( π 0 ) ( Γ ) Θ.I σ. ( ) d s υ (to = 0) [ Απ. α) υ=8 /s, β) 8 +π A= 0, 7, γ) 4 /s ] 5π Παράδειγµα 4 Στη διάταξη του σχήµατος το ελατήριο, σταθεράς Κ, έχει φυσικό µήκος l o. Στο ελεύθερο ά- κρο του έχουµε κρεµάσει ένα σώµα, µάζας Μ, και µε τη βοήθεια νήµατος (στερεωµένου στο έδαφος) έχουµε επιµηκύνει το ελατήριο σε µήκος l. Από ύψος h αφήνουµε να πέσει πάνω στο σώµα Μ ένα µικρότερο σώµα, µάζας, το οποίο ενσωµατώνεται µ αυτό. Μετά την ενσω- /////////////////////// = 00( / ) l o M= 3g = g l l o = 0,3 h l= 0,8 h= 0,8 M g= 0/ s ν ή µα //////

µάτωση των δύο σωµάτων κόβουµε το νήµα. Να βρεθεί το πλάτος της γ.α.τ. που θα εκτελέσει το σύστηµα των σωµάτων. Υπόδειξη λύσης Κάθοδος σώµατος (): υ= gh υ=4 /s (Α..Μ.Ε. ή Θ.Μ.Κ.Ε.) Πλαστική κρούση (M-): V = υ M+ V = /s (Α..Ο.) (Αρχική) θέση ισορροπίας (Μ): x M g = x = 0,3 Επιπλέον επιµήκυνση ελατηρίου: d = ( l l o ) x d=0, (Νέα) θέση ισορροπίας (M-): x (M + ) g = x = 0,4 Αλλαγή θέσης ισορροπίας: x = x x x = 0, Γ.α.τ. συστήµατος (M-): + U = E T (M + ) V + x = A όπου: x = d x = 0, 5 A= = 0,36 0 ------------------------------------------------------------------------------ Άσκηση για λύση (4.) Να λυθεί το παράδειγµα 4, για την περίπτωση όπου η µάζα = g. Στη συνέχεια να υπολογιστεί µετά από πόσο χρόνο, από τη στιγµή της κρούσης, το συσσωµάτωµα στα- µατά στιγµιαία για δεύτερη φορά. [ Απ. A= 0,6 5() =0,3577, 3 π 5 t = (s) = 0, 3354(s) ] 4 5 3

Άσκηση για λύση (4.) Στη διάταξη του σχήµατος το ελατήριο, σταθεράς Κ, έχει φυσικό µήκος l o. Στο ελεύθερο ά- κρο του έχουµε στερεώσει ένα σώµα, µάζας Μ, και µε τη βοήθεια νήµατος (στερεωµένου στο έδαφος) έχουµε συσπειρώσει το ελατήριο σε µήκος l. Από ύψος h αφήνουµε να πέσει πάνω στο σώµα Μ ένα µικρότερο σώµα, µάζας, το οποίο ενσωµατώνεται µ αυτό. Μετά την ενσω- µάτωση των δύο σωµάτων κόβουµε το νήµα. Να βρεθεί το πλάτος της γ.α.τ. που θα εκτελέσει το σύστηµα των σωµάτων. [ Απ. l ο () = 00( / ) M= g = g h l o = 0,6 (M) l= 0,3 h= 0, 45 l g= 0(/ s ) ( ν ή µα ) ////////////////// ////////////////// 3 A= = 0,73 ] 0 Άσκηση για λύση (4.3) Να λυθεί η άσκηση (4.), για την περίπτωση όπου το µήκος του ελατηρίου µε τη βοήθεια ( τράβηγµα ) του νήµατος είναι l =0,. [ Απ. Α=0, ] Άσκηση για λύση (4.4) Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα Μ(= g) είναι στερεωµένο στο οριζόντιο ελατήριο, σταθεράς =300 /. Πάνω στο σώµα Μ είναι ακουµπισµένο (απλή επαφή) το σώµα (= 0,8 g). Μεταξύ των δύο αυτών σωµάτων υ- υ ο M ///////////////////////////////////////////////// 4

πάρχει τριβή, µε µέγιστο συντελεστή στατικής τριβής µ. Ένα βλήµα, µάζας (=0, g), κινούµενο µε ταχύτητα υ ο (=9 /s) σφηνώνε-ται στο σώµα Μ. Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής µ, ώστε το σύστηµα των σωµά-των (M++ ) να εκτελεί γ.α.τ. χωρίς το σώµα να γλυστρά πάνω στο σώµα Μ(+ ). [ Απ. µ=0,6 ] Άσκηση για λύση (4.5) Στη διάταξη του σχήµατος τα δύο σώµατα και ΘΙσ.. είναι στερεωµένα στα οριζόντια ελατήρια d και, αντίστοιχα. Τα δύο σώµατα αρχικά εφά- πτονται στη θέση φυσικού µήκους των δύο ελατηρίων, η οποία ταυτίζεται µε τη θέση ισορροπί- /////// //////////////////////////////////////// ας των σωµάτων. Με τη βοήθεια νήµατος συσπει- ν ή µα ρώνουµε το ελατήριο Κ κατά d. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα. Κατά τη σύγκρουση των δύο σωµάτων (t o =0) αυτά συσσωµατώνονται και κινούνται σαν ένα σώµα. ίνονται: = g, = g, =00 /, =00 /, d=0,3. Να βρεθούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. π β) Η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά από χρόνο t = (sec). 60 [Απ. α) Α=0,, β) 3 υ=+ ( / s) ] Άσκηση για λύση (4.6) Στη διάταξη του σχήµατος τα δύο συστήµατα [ -( +)] και [ - ] βρίσκονται σε ισορροπία στις θέσεις που φαίνονται. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα. Το σώµα () διανύει την απόσταση h και συγκρούεται πλαστικά (συσσωµατώνεται) µε το σώµα. ίνονται: = g, = g, =00 /, = 3 g, =00 /, h = 0,8. Να βρεθούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος [ ]. β) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος [ ( +)]. γ) Η ταχύτητα του συσσωµατώµατος ( +) (στο ελατήριο Κ ) τη στιγµή που αυτό έχει µετατοπιστεί κατά 0,5 από τη θέση //////////// ν ή µα h //////////// 5

της κρούσης. [ Απ. α) Α = 0,, β) A = 0,5, γ),5 υ= = 0,79 /s ] Άσκηση για λύση (4.7) Σώµα, µάζας Μ = g, είvαι δεµέvo στηv πάvω άκρη κατακόρυφoυ ελατηρίoυ, η άλλη άκρη τoυ oπoίoυ είναι στερεωµέvη στo έδαφoς. Σώµα, µάζας = g, αφήvεται από ύψoς h πάvω από τo σώµα (Μ), µε τo oπoίo συγκρoύεται πλαστικά. Αv η σταθερά τoυ ελατηρίoυ είvαι =00 /, vα βρεθεί το ύψος h ώστε: α) στη θέση όπου η κινητική ενέργεια της γ.α.τ. που εκτελεί το συσσωµάτωµα είναι µηδέν για η φορά, να είναι µηδέν και η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου, β) στη θέση όπου η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι µηδέν, να ισχύει Κ γατ = U γατ για την γ.α.τ. που εκτελεί το συσσωµάτωµα. () h (M) ////////// [ Απ. α) h =,, β) h =,55 ] Άσκηση για λύση (4.8) Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα µάζας (Μ) είναι στερεωµένο στην κάτω άκρη του κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς Κ, η επάνω άκρη του οποίου είναι στερεωµένη στην οροφή. Ένα βλήµα, µάζας (), κινούµενο µε ταχύτητα (υ ο ), σφηνώνεται α- καριαία στο σώµα (Μ). α) Να δείξετε ότι η ταχύτητα υ ο δίνεται από τη σχέση: g (M + ) M (M + ) υ ο = (M) //////// αν στη θέση όπου η κινητική ενέργεια της γ.α.τ. που εκτελεί το συσσωµάτωµα είναι µηδέν (στιγµιαία) για η φορά, είναι µη- () υ ο 6

δέν και η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου. β) Να δείξετε ότι η ταχύτητα υ ο δίνεται από τη σχέση: g (M+ ) υ ο = (M + ) αν στη θέση όπου η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι µηδέν, να ισχύει Κ γατ = U γατ, για η φορά, στη γ.α.τ. που εκτελεί το συσσωµάτωµα µετά την κρούση. Να γίνει εφαρµογή για: M = g, = 0, g, = 00 /, g = 0 /s. Σηµείωση: Μπορεί το αποτέλεσµα να βρεθεί δουλεύοντας «βήµα βήµα» τα διάφορα στάδια εξέλιξης του συνολικού φαινοµένου. [ Απ. α) υο 4,07 /s, β) υο 9,95 /s ] 7