HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 12-May-17 1 1
Θεωρία γράφων / γραφήματα 12-May-17 2 2
Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα Πρακτικώς επιλύσιμα προβλήματα Δυσεπίλυτα προβλήματα 12-May-17 3 3
Θα δούμε τώρα τους λόγους που έδωσαν ώθηση στην ανακάλυψη και τη διατύπωση μιας τυπικής θεωρίας για τους γράφους Ερωτήσεις όπως Μπορώ να ταξιδέψω από το μέρος a στο μέρος b; Μπορώ να πάω από το a στο b χωρίς να επισκεφτώ δύο φορές το ίδιο μέρος; Ποιός είναι ο συντομότερος δρόμος από το a στο b; 12-May-17 4 4
Μονοπάτια Σε ένα μη κατευθυνόμενο γράφο, ένα μονοπάτι μήκουςn από τον κόμβοu στον κόμβοvείναι μία ακολουθία ακμών e 1, e 2,, e k, e k+1,, e n που ξεκινάει από τον κόμβο u και καταλήγει στον κόμβο v. Σε μη-κατευθυνόμενους γράφους:οι διαδοχικές ακμές μοιράζονται κάποιο κόμβο Σε κατευθυνόμενους γράφους:ο τερματικός κόμβος της ακμής e i είναι η αρχική κορυφή της ακμής e i+1. Ένα μονοπάτι διασχίζει/διέρχεται απότους κόμβους που το αποτελούν. 12-May-17 5 5
Μονοπάτια Ένα μονοπάτι λέγεται απλόεάν δεν περιλαμβάνει την ίδια ακμή παραπάνω από μία φορά. Ένα μονοπάτι λέγεται στοιχειώδεςεάν δεν περνάει από την ίδια κορυφή παραπάνω από μία φορά. Κάθε στοιχειώδες μονοπάτι είναι και απλό 12-May-17 6 6
Κυκλώματα Ένα μονοπάτι αποτελεί κύκλωμα εάν ξεκινά και καταλήγει στην ίδια κορυφή Διακρίνονται σε απλάκαι στοιχειώδη, όπως και τα αντίστοιχα μονοπάτια 12-May-17 7 7
Κυκλώματα, παραδείγματα Υπάρχει στοιχειώδες(άρα και απλό) κύκλωμα Υπάρχει κύκλωμα από το v στο v. Υπάρχει μονοπάτι από το v στο w που είναι απλό αλλά όχι στοιχειώδες 12-May-17 8 8
Συνεκτικότητα Ένας μη κατευθυνόμενος γράφοςείναι συνεκτικός αν και μόνο αν υπάρχει ένα μονοπάτι μεταξύ κάθε ζεύγους διαφορετικών κόμβων του. Θεώρημα:Υπάρχει ένα απλόμονοπάτιγια κάθε ζεύγος διαφορετικών κορυφών σε ένα συνεκτικό, μη κατευθυνόμενο γράφο. 12-May-17 9 9
Κατευθυνόμενησυνεκτικότητα Ένας κατευθυνόμενος γράφος είναι: ισχυρά συνεκτικός αν και μόνο ανυπάρχει ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι από τοaστοbγια κάθε δύο διαφορετικές κορυφέςaκαιb. Ασθενώς συνεκτικός αν ο αντίστοιχοςμη κατευθυνόμενος γράφος(δηλ., αυτός στον οποίο έχουμε βγάλει τον προσανατολισμό των ακμών) είναι συνεκτικός. 12-May-17 10 10
Συνεκτικότητα, παραδείγματα 12-May-17 11 11
Μονοπάτια Euler καιhamilton Θα μιλήσουμε για το πρόβλημα που παρακίνησε τον Euler να επινοήσει τη θεωρία των γράφων: οι γέφυρες του Koenigsberg(πόλη που σήμερα λέγεται Kaliningrad) 12-May-17 12 12
Το πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg Μπορούμε να περιδιαβούμε την πόλη και, πρν επιστρέψουμε στην αρχική μας θέση, να έχουμε περάσει κάθε γέφυρα μία μόνο φορά; 12-May-17 13 13
Το πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg Μπορούμε να περιδιαβούμε την πόλη και, πριν επιστρέψουμε στην αρχική μας θέση, να έχουμε περάσει κάθε γέφυρα μία μόνο φορά; Το αρχικό πρόβλημα Μπορείτε να «μοντελοποιήσετε» το πρόβλημα χρησιμοποιώντας όσα ξέρουμε για τους γράφους; 12-May-17 14 14
Το πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg Μπορούμε να περιδιαβούμε την πόλη και, πριν επιστρέψουμε στην αρχική μας θέση, να έχουμε περάσει κάθε γέφυρα μία μόνο φορά; A B D Το αρχικό πρόβλημα C Αντίστοιχος πολυγράφος 12-May-17 15 15
Μονοπάτια Euler & Hamilton Ορολογία: ΈναμονοπάτιEuler σε έναγράφο Gείναι ένα απλό μονοπάτι του G που περιλαμβάνει όλες τις ακμέςτου G. Ένακύκλωμα Eulerσε έναγράφο Gείναι ένα απλό κύκλωμα του G που περιλαμβάνει όλες τις ακμέςτου G. 12-May-17 16 16
Γέφυρες τουkoenigsberg Οι γέφυρες είναι ακμές. Επομένως, η απάντηση στο πρόβλημα είναι ΘΕΤΙΚΗαν και μόνο ανο γράφος του προβλήματος περιλαμβάνει ένα κύκλωμα Euler. Στην πραγματικότητα, δεν περιέχει 12-May-17 17 17
Θεωρήματα για την ύπαρξη μονοπατιών/κυκλωμάτων Euler Θεώρημα: Ένας συνεκτικός πολυγράφος περιλαμβάνει κύκλωμαeuler αν και μόνο αν κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό. Θεώρημα:Ένας συνεκτικός πολυγράφοςέχει ένα μονοπάτιeuler αν και μόνο ανέχει ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. 12-May-17 18 18
Γέφυρες τουkoenigsberg επομένως δεν υπάρχει κύκλωμα Euler. A B D C Το αρχικό πρόβλημα Αντίστοιχος πολυγράφος 12-May-17 19 19
Μονοπάτια/κυκλώματα Euler Τι λέτε για τον παρακάτω γράφο; 12-May-17 20 20
Θεώρημα για την ύπαρξη κυκλώματος Euler Σχέδιοαπόδειξης για το ότι ο άρτιος βαθμός των κορυφών συνεπάγεται την ύπαρξη κυκλώματος Euler: Ξεκινάμε από ένα τυχαίο κόμβο. Κατασκευάζουμε ένα απλό μονοπάτι προσπαθώντας να φτάσουμε εκεί απ όπου ξεκινήσαμε. Ο γράφος είναι συνεκτικός και κάθε κόμβος έχει άρτιο βαθμό, επομένως μπορούμε να επισκεφτούμε κάθε κόμβο και αν «πάμε» σε κάποιο κόμβο μπορούμε να φύγουμε από αυτόν Το ότι ο γράφος είναι πεπερασμένος συνεπάγεται ότι η διαδικασία τελικά θα τερματίσει. Σημειώστε ότι η πλήρης απόδειξη δίνει ένα αλγόριθμο: πρόκειται για μία κατασκευαστική απόδειξη μίας πρότασης. 12-May-17 21 21
Κυκλώματα Eulerγια κατευθυνόμενους γράφους Ένας συνεκτικός κατευθυνόμενος γράφος περιλαμβάνει κύκλωμαeuler αν και μόνο αν για κάθε κορυφή του vισχύει ότι deg + (v) = deg - (v) 12-May-17 22 22
Μονοπάτια/κυκλώματα Hamilton Ένα μονοπάτιeuler στο Gείναι ένα απλό μονοπάτιπου περιέχειόλες τις ακμέςτου G. ΈνακύκλωμαEuler στο Gείναι ένα απλό κύκλωμαπου περιέχειόλες τις ακμέςτου G. ΈναμονοπάτιHamilton τουgείναι ένα στοιχειώδες μονοπάτιπου περνά από όλες τις κορυφέςτουg. ΈνακύκλωμαHamilton τουgείναι ένα στοιχειώδες κύκλωμαπου περιέχει όλες τις κορυφέςτου G. 12-May-17 23 23
Θεωρήματα Θεώρημα του Dirac: Εάν(αλλάόχιμόνο αν) ένας γράφος Gείναι συνεκτικός, απλός, έχει n 3κορυφές, και vdeg(v) n/2, τότεο G περιλαμβάνει ένα κύκλωμα Hamilton. 12-May-17 24 24
Παραδείγματα 12-May-17 25 25
Πρόβλημα Έστω το εξής πρόβλημα: Δοσμένου ενός απλού γράφου G, περιέχει το Gένα κύκλωμα Hamilton; Αυτό το πρόβλημα έχει είναι NP-πλήρες (NPcomplete) Όπως είπαμε, αυτό σημαίνει πως, εάν βρεθεί ένας αλγόριθμος που να λύνει αυτό το πρόβλημα σε πολυωνυμικόχρόνο, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να επιλύσει όλαταυπόλοιπα NPπροβλήματασε πολυωνυμικό χρόνο. 12-May-17 26 26
Βεβαρυμένος γράφος Ένας γράφος G=(V, E, f, h) όπου: V, E όπως έχουμε ήδη δει f: V R (συνάρτηση βαρών κορυφών) h: E R (συνάρτηση βαρών ακμών) Μία από τις δύο συναρτήσεις μπορεί να λείπει. 12-May-17 27 27
Βεβαρυμένος γράφος, παράδειγμα 12-May-17 28 28
Βεβαρυμένος γράφος, προβλήματα Το πρόβλημα του συντομότερου μονοπατιού: Δοσμένου ενός συνεκτικού, βεβαρυμένουγράφου όπου τα βάρη των ακμών εκφράζουν απόσταση κόμβων, βρες το συντομότερο μονοπάτι από ένα συγεκριμένοκόμβο σε ένα άλλο (Αλγόριθμος του Dijkstra, πολυπλοκότητα n 2 ) Το πρόβλημα των συντομότερων μονοπατιών μεταξύ όλων των δυνατών ζευγών κόμβων: Αλγόριθμος Floyd-Warshal, πολυπλοκότητα n 3 12-May-17 29 29
Βεβαρυμένος γράφος, προβλήματα 12-May-17 30 30
Βεβαρυμένος γράφος, προβλήματα Το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή (traveling salesman):ένας πωλητής θέλει να ξεκινήσει από την πόλη του, να επισκεφτεί όλες τις άλλες πόλεις μία μόνο φορά και να επιστρέψει πίσω στην πόλη του έχοντας διανύσει την ελάχιστη δυνατή απόσταση. Η «μετάφραση» στη θεωρία γράφων:δοσμένου ενός συνεκτικού, βεβαρυμένουγράφου όπου τα βάρη των ακμών εκφράζουν απόσταση κόμβων, βρες το κύκλωμα Hamilton με το μικρότερο δυνατό άθροισμα βαρών των ακμών που συμμετέχουν. 12-May-17 31 31
Επίπεδοι γράφοι Ένας γράφος ονομάζεται επίπεδος (planar) αν μπορούμε να τον σχεδιάσουμε στο επίπεδο με τέτοιο τρόπο ώστε οι ακμές του να μην τέμνονται μεταξύ τους. 12-May-17 32 32
Επίπεδοι γράφοι Για ένα απλό, συνεκτικό, επίπεδογράφο μεnκορυφές και e ακμές, τα ακόλουθα θεωρήματα ισχύουν: Θεώρημα1: Εάν n 3 τότεe 3n 6 Θεώρημα2. Εάνn> 3 και δεν υπάρχουν κύκλοι μήκους3, τότεe 2n 4. 12-May-17 33 33
Επίπεδοι γράφοι: ο τύπος του Euler Εάν ένας συνεκτικός, επίπεδος γράφος σχεδιαστεί στο επίπεδο χωρίς οι ακμές του να τέμνονται, και nτο πλήθος των κορυφών, eτο πλήθος των ακμών και f το πλήθος των περιοχών, τότε n e + f = 2. 12-May-17 34 34
Επίπεδοι γράφοι Το πρόβλημα του να αποφασιστεί κατά πόσον δύο επίπεδοι γράφοι είναι ισομορφικοί μπορεί να λυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο! 12-May-17 35 35
Ε Π Ι Λ Ο Γ Ο Σ Ολοκλήρωση της θεωρίας του ΗΥ118 Καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας! Καλό καλοκαίρι!! Ραντεβού στα ΗΥ472, ΗΥ672 σε λίγα χρόνια!!! Καλή επιτυχία στις υπόλοιπες σπουδές σας!!!! 12-May-17 36 36