1) Αρνητικά φορτισμένο σωμάτιο κινείται σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο μεγάλης έκτασης. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Αν η κατεύθυνση της κίνησης του σωματίου παραμένει σταθερή, τότε: α. Συμπίπτει με την κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών β. Είναι αντίθετη με την κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών γ. Είναι κάθετη με την κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή είναι η επιλογή β. Η κατεύθυνση της κίνησης παραμένει σταθερή (σε διεύθυνση και φορά), άρα η δύναμη Coulomb από το ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έχει την κατεύθυνση της κίνησης. Αν υποθέσουμε ότι η δύναμη σχημάτιζε γωνία φ με την κατεύθυνση της κίνησης, αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα την καμπύλωση της τροχιάς του φορτίου. Αν η δύναμη είχε την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά από το φορτίο, το φορτίο θα εκτελούσε αρχικά ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Το φορτίο θα σταματούσε τελικά και θα άλλαζε κατεύθυνση. Το φορτίο γνωρίζουμε ότι είναι αρνητικό, το πεδίο είναι ομογενές, άρα το φορτίο θα κινείται πάνω στη δυναμική γραμμή, αλλά με φορά αντίθετη από την φορά της Ε και της δυναμικής γραμμής. 2) Ηλεκτρόνιο εισέρχεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0 s, ομόρροπα στις δυναμικές γραμμές, σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, έντασης Ε, με ταχύτητα μέτρου υ 0. Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου μηδενίζεται τη χρονική στιγμή t. Η μόνη δύναμη που δέχεται το ηλεκτρόνιο είναι αυτή από το ηλεκτρικό πεδίο. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Αν η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου διπλασιαστεί η ταχύτητα του ηλεκτρονίου μηδενίζεται τη χρονική στιγμή t για την οποία θα ισχύει : α. t = t / 2, β. t = 2 t, γ. t = t. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή επιλογή είναι η α. Το ηλεκτρόνιο βάλλεται με ταχύτητα υ 0 ομόρροπα με τις δυναμικές γραμμές του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης Ε. Το ηλεκτρόνιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και σταματά στιγμιαία μετά από χρόνο t. H εξίσωση της ταχύτητας : υ = υ 0 α t 0 = υ 0 α t t = υ 0 / α (I). 2ος Newton : ΣF = m α F c = m α α = F c / m (ορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου : Ε = F c / e F c = e E) α = e E / m (II). Από την (Ι) με την βοήθεια της (ΙΙ), έχουμε : t = υ 0 / α t = υ 0 / ( e E / m) t = υ 0 m / ( e E) (III). Όταν η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου γίνει Ε = 2 Ε, ο χρόνος μηδενισμού της ταχύτητας είναι t : t = υ 0 m / ( e E ) t = υ 0 m / ( e 2 E) t = t / 2. 3) Ένα ιόν δευτερίου (2m p, +e) και ένα ιόν υδρογόνου (m p, +e) επιταχύνονται, από την ηρεμία, στο κενό με τη βοήθεια ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν σε χρόνο t η ταχύτητα του ιόντος του δευτερίου είναι υ 2 και η ταχύτητα του ιόντος του υδρογόνου υ 1 ο λόγος των ταχυτήτων υ 1 / υ 2 ισούται με: α. 2, β. ½, γ. 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Με m p συμβολίζεται η μάζα του πρωτονίου και με e το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο.
Σωστή η επιλογή α. Τα δύο θετικά ιόντα του υδρογόνου και του δευτερίου, εκτελούν ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση στην κατεύθυνση της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου. 2ος Newton στο ιόν του υδρογόνου : ΣF x,1 = m 1 α 1 F c,1 = m p α 1 α 1 = F c,1 / m p (o ορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου : Ε = F c,1 / e F c,1 = e Ε) α 1 = e Ε / m p (Ι) 2ος Newton στο ιόν του δευτερίου : ΣF x,2 = m 2 α 2 F c,2 = m p α 2 α 2 = F c,2 / (2 m p ) (o ορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου : Ε = F c,2 / e F c,2 = e Ε) α 2 = e Ε / (2 m p ) (ΙΙ) Για το ιόν του υδρογόνου έχουμε : υ 1 = α 1 t (ΙΙI). Για το ιόν του δευτερίου έχουμε : υ 2 = α 2 t (IV). Διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (ΙΙI) και (IV) : (ΙΙI) / (IV) : υ 1 / υ 2 = α 1 t / α 2 t υ 1 / υ 2 = α 1 / α 2 (αντικαθιστούμε τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ)) υ 1 / υ 2 = ( e Ε / m p ) / ( e Ε / (2 m p ) υ 1 / υ 2 = 2. 4) Ένα ιόν υδρογόνου (φορτίου e και μάζας m) και ένα ιόν δευτερίου (φορτίου e και μάζας 2 m) επιταχύνονται από την ηρεμία, στο κενό, με τη βοήθεια ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου εντάσεως Ε. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν μετά από χρονικό διάστημα Δt από τη στιγμή που αφέθηκαν, η κινητική ενέργεια του ιόντος του δευτερίου είναι Κ, η κινητική ενέργεια του ιόντος του υδρογόνου είναι: α. Κ, β. 2 Κ, γ. Κ / 2. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή είναι η επιλογή β. Ένα φορτίο που αφήνεται μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. 2ος Newton : ΣF = m α F c = m α α = F c / m (Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ορίζεται : Ε = F c / q F c = q E) α = q E / m (I) Η ταχύτητα του φορτίου μετά από χρόνο Δt : υ = α Δt. H κινητική ενέργεια του φορτίου είναι : Κ = ½ m υ² K = ½ m ((q E / m) Δt)² K = ½ m (q² E² Δt² / m²) K = ½ (q² E² Δt² / m). Για το ιον του υδρογόνου : K υδρ = ½ (q² E² Δt² / m) (Ι). Για το ιον του δευτερίου : K δευτ = ½ (q² E² Δt² / (2 m)) (ΙΙ). Διαιρούμε κατά μέλη τις (Ι) και (ΙΙ) : (Ι) / (ΙΙ) : K υδρ / K δευτ = (½ (q² E² Δt² / m)) / (½ (q² E² Δt² / (2 m))) K υδρ / K δευτ = 2 K υδρ = 2 K δευτ.
5) Δίνεται το ομογενές ηλεκτρικό πεδίο του παρακάτω σχήματος, το οποίο έχει ένταση Ε. Για τα τρία σημεία Α, Β, Γ του πεδίου τα οποία ανήκουν στην ίδια δυναμική γραμμή, ισχύει ότι (ΑΒ) = (ΒΓ). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Για τις διαφορές δυναμικού V AB και V AΓ, ανάμεσα στα σημεία Α, Β και Α, Γ αντίστοιχα ισχύει: α. V AB / V AΓ = 2, β. V AB / V AΓ = 1 / 4, γ. V AB / V AΓ = 1 / 2. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Έστω ότι ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο q μετακινείται με την επίδραση της σταθερής ηλεκτρικής δύναμης Coulomb F c. H διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β είναι : V AB = W Fc, A B / q (o ορισμός του έργου ισχύει και για την ηλεκτρική δύναμη : W Fc, A B = F c (AB).) V AB = F c (AB) / q (I). H διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Γ είναι : V AΓ = W Fc, A Γ / q (o ορισμός του έργου ισχύει και για την ηλεκτρική δύναμη : W Fc, A Γ = F c (AΓ).) V AΓ = F c (AΓ) / q (IΙ). Διαιρούμε κατά μέλη τις (Ι) και (ΙΙ) : (Ι) / (ΙΙ) V AB / V AΓ = (F c (AB) / q) / (F c (AΓ) / q) V AB / V AΓ = (AB) / AΓ) V AB / V AΓ = (AB) / (2 (AB)) V AB / V AΓ = 1 / 2. 6) Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m με αρνητικό φορτίο q βάλλεται με αρχική ταχύτητα υ 0 παράλληλα στις δυναμικές γραμμές ομογενούς πεδίου έντασης Ε και ομόρροπα με αυτές όπως φαίνεται στο σχήμα. Το πεδίο δημιουργείται ανάμεσα σε δύο φορτισμένες πλάκες που παρουσιάζουν διαφορά δυναμικού V και απέχουν απόσταση L. Θεωρούμε το βάρος του σωματιδίου αμελητέο. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Η απόσταση που θα διανύσει το σωματίδιο μέχρι να ακινητοποιηθεί x stop είναι : α. x stop = υ 0 m L / ( q V), β. x stop = υ 0 m L / (2 q V), γ. x stop = υ 0 ² m L / (2 q V). Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
Σωστή είναι η επιλογή γ. Το αρνητικά φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q, όταν βάλλεται παράλληλα και ομόρροπα με τις δυναμικές γραμμές ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου,που δημιουργείται μεταξύ δυο φορτισμένων πλακών (ενός πυκνωτή), εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Με ταχύτητα που δίνεται από την σχέση : υ = υ 0 α t για t = t stop η ταχύτητα του είναι υ = 0, 0 = υ 0 α t stop α t stop = υ 0 t stop = υ 0 / α (Ι). Η μετατόπιση του σωματιδίου θα είναι : Δx = υ 0 t ½ α t² και για την χρονική στιγμή t = t stop η μετατόπιση του σωματιδίου Δx = x stop θα είναι : x stop = υ 0 t stop ½ α t stop ² από την σχέση (Ι), x stop = υ 0 (υ 0 / α) ½ α (υ 0 / α)² x stop = υ 0 ² / (2 α) (ιι). 2ος νόμος του Newton : ΣF = m α F c = m α o ορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε = F c / q F c = q E, q E = m α Η σχέση έντασης Ε και διαφοράς δυναμικού V σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε = V / L, q (V / L) = m α α = q V / (m L) (III). Η σχέση (ΙΙ) με την βοήθεια της (ΙΙ) γίνεται : x stop = υ 0 ² / (2 ( q V / (m L))) x stop = υ 0 ² m L / (2 q V). 7) Τρία σημεία A, Β και Γ βρίσκονται κατά μήκος μιας δυναμικής γραμμής ενός ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου και για τις μεταξύ τους αποστάσεις ισχύει (ΑΓ) = 3 (ΑΒ), όπως φαίνεται στο σχήμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Αν τα δυναμικά στα σημεία Β και Γ είναι αντιστοίχως 100 και 200 V, τότε το δυναμικό στο σημείο Α είναι ίσο με: α. 250 V, β. 250 V, γ. 300 V. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή είναι η επιλογή α. Η δύναμη Coulomb F c που θα ασκηθεί σε θετικό φορτίο q, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου και αν το τοποθετήσουμε θα είναι σταθερή, γιατί το πεδίο είναι ομογενές άρα η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε είναι σταθερή. Από τον ορισμό της διαφοράς δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β : V AB = W Fc, A B / q V AB = F c (AB) / q (I). Από τον ορισμό της διαφοράς δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Γ : V AΓ = W Fc, A Γ / q V AΓ = F c (AΓ) / q (IΙ). Διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) : (Ι) / (ΙΙ) V AB / V AΓ = (F c (AB) / q) / (F c (AΓ) / q) V AB / V AΓ = (ΑΒ) / (ΑΓ) V AB / V AΓ = (ΑΒ) / (3 (ΑΒ)) V AB / V AΓ = 1 / 3 (V A V B ) / (V A V Γ ) = 1 / 3 3 V A 3 V Β = V A V Γ 2 V A = 3 V Β V Γ V A = (3 V Β V Γ ) / 2 V A = (3 100 (- 200) / 2 V A = 250 Volt. 8) Θετικό σημειακό φορτίο q αφήνεται με μηδενική αρχική ταχύτητα στο θετικό οπλισμού επίπεδου πυκνωτή ο οποίος φέρει φορτίο Q και φτάνει με ταχύτητα μέτρου υ στον αρνητικό οπλισμό του πυκνωτή. Ο πυκνωτής δεν είναι συνδεδεμένος με πηγή. Διπλασιάζουμε την απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση.
Αν αγνοήσουμε τη βαρυτική δύναμη και την αντίσταση του αέρα, για το μέτρο της ταχύτητας υ με την οποία θα φτάσει το ίδιο θετικό σημειακό φορτίο στον αρνητικό οπλισμό του πυκνωτή, αν αφεθεί από την ηρεμία από το θετικό οπλισμό, ισχύει: α. υ = υ, β. υ = 2 υ, γ. υ = 2 υ. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ο επίπεδος πυκνωτής δεν είναι συνδεδεμένος με την πηγή. Το φορτίο q αν αφεθεί κοντά στον θετικό οπλισμό, θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Το φορτίο q θα κινηθεί κατά μήκος μιας δυναμικής γραμμής στο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή και κατά την φορά της έντασης Ε. Αν η τάση μεταξύ των οπλισμών είναι V. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας από την αρχική στην τελική θέση : (υ είναι η ταχύτητα με την οποία φτάνει τον αρνητικό οπλισμό το φορτίο q) ΔΚ = W Fc K K 0 = q V ½ m υ² 0 = q V υ = [(2 q V) / m] (1). Η χωρητικότητα του πυκνωτή πριν τον διπλασιασμό της απόστασης των οπλισμών : C = Q / V V = Q / C. Η χωρητικότητα εξαρτάται από τα γεωμετρικά στοιχεία : C = ε 0 (Α / d). Αφού δεν υπάρχει σύνδεση με την πηγή Q = Q. Η χωρητικότητα του πυκνωτή μετά τον διπλασιασμό της απόστασης των οπλισμών : C = ε 0 (Α / d ) C = ε 0 [Α / (2 d)] C = C / 2. C = Q / V V = Q / C V = Q / (C / 2) V = 2 (Q / C) V = 2 V.. (2). Όταν διπλασιάζεται η απόσταση, το φορτίο q φτάνει στον αρνητικό οπλισμό με ταχύτητα υ = [(2 q V ) / m] υ = [(2 q 2 V) / m] υ = 2 [(2 q V) / m] υ = 2 υ. 9) Φορτισμένο σωματίδιο φέρει θετικό φορτίο και επιταχύνεται ξεκινώντας από την ηρεμία μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο I κινούμενο μεταξύ δύο σημείων με διαφορά δυναμικού V. Στη συνέχεια εισέρχεται μέσα σε άλλο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο II, έντασης μέτρου Ε, παράλληλα στις δυναμικές γραμμές αλλά με αντίθετη φορά, οπότε επιβραδύνεται. Το σωματίδιο σταματά στιγμιαία αφού διανύσει απόσταση x στο πεδίο II. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Η απόσταση x εξαρτάται: α. από την τιμή του ηλεκτρικού φορτίου του σωματιδίου και όχι από τη μάζα του, β. από την μάζα του σωματιδίου και όχι από την τιμή του ηλεκτρικού φορτίου του, γ. μόνο από τα μεγέθη V και Ε. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ενδιαφέρον ερώτημα Το θετικό φορτίο q επιταχύνεται στο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ι από τάση V και εισέρχεται στο ομογενές πεδίο ΙΙ έντασης Ε παράλληλα στις δυναμικές γραμμές και σταματά στιγμιαία αφού διατρέξει απόσταση x στο δεύτερο πεδίο. Στο πεδίο ΙΙ η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. Η ταχύτητα κατά την κίνηση του φορτίου q στο πεδίο ΙΙ, είναι : υ = υ 0 α t. Όπου υ 0 είναι η ταχύτητα που αποκτά το φορτίο κατά την κίνηση του, επιτάχυνση του στο πεδίο Ι, ελάχιστα πριν εισέλθει στο πεδίο ΙΙ. Για t = t 1 το φορτίο σταματά στιγμιαία : 0 = υ 0 α t 1 t 1 = υ 0 / α.
Για την μετατόπιση x στο ΙΙ πεδίο θα έχουμε : x = υ 0 t 1 ½ α t 1 ² x = υ 0 (υ 0 / α) ½ α (υ 0 / α)² x = υ 0 ² / (2 α) (1). Για την επιτάχυνση του φορτίου q στο πεδίο Ι, εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Newton : ΣF = m α F c = m α (H ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ορίζεται : Ε = F c / q F c = q E) q E = m α α = q E / m (2). Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για την κίνηση του φορτίου q στο πεδίο Ι από την θέση Α στη θέση Β : ΔΚ ΑΒ = W Fc, A B K B K A = W Fc, A B ½ m υ 0 ² 0 = q (V A V B ) ½ m υ 0 ² = q V υ 0 ² = 2 q V / m (3). Με την βοήθεια των σχέσεων (1), (2) και (3) : x = υ 0 ² / (2 α) x = (2 q V / m) / [2 (q E / m)] x = V / E. 10) Σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης μέτρου Ε που δημιουργείται μεταξύ δύο αντίθετα φορτισμένων παραλλήλων πλακών αφήνουμε χωρίς αρχική ταχύτητα ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο έτσι ώστε να ισαπέχουν από τις φορτισμένες πλάκες, όπως φαίνεται στο σχήμα. Θεωρούμε ότι η απόσταση των σωματιδίων είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Ποιο από τα δύο σωματίδια θα φτάσει πρώτο σε φορτισμένη πλάκα; α. το πρωτόνιο p. β. το ηλεκτρόνιο e. γ. και τα δύο ταυτόχρονα. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνεται ότι η μάζα του πρωτονίου m p και η μάζα του ηλεκτρονίου m e συνδέονται με τη σχέση m p = 1800 m e και ότι για το φορτίο τους ισχύει q p = q e. Σωστή επιλογή είναι η β.
Το πρωτόνιο κινείται προς την αρνητική πλάκα ενώ το ηλεκτρόνιο προς την θετική. Η κίνηση που εκτελούν είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα. Το πρωτόνιο και το ηλεκτρόνιο μέχρι να φτάσουν στην αντίστοιχη φορτισμένη πλάκα διαγράφουν την ίδια μετατόπιση Δx = L / 2. Τα δύο σωματίδια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Για την οριζόντια μετατόπιση στην διεύθυνση των δυναμικών γραμμών έχουμε : Δx = ½ α t² t² = 2 Δx / α t = (2 Δx / α), ο χρόνος κίνησης. Για την επιτάχυνση α έχουμε, από τον 2ο νόμο του Newton : F c = m α α = F c / m (η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ορίζεται Ε = F c / e F c = e E) α = e E / m, άρα ο χρόνος κίνησης γίνεται : t = (2 Δx / α) t = [2 Δx m / ( e E)]. O χρόνος κίνησης για το πρωτόνιο είναι : t p = [2 Δx m p / ( e E)]. O χρόνος κίνησης για το ηλεκτρόνιο είναι : t e = [2 Δx m e / ( e E)]. Διαιρούμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις : t p / t e = { [2 Δx m p / ( e E)]} / { [2 Δx m e / ( e E)]} t p / t e = (m p / m e ) t p / t e = (1800 m e / m e ) t p / t e = 30 2 t p = (30 2) t e, το ηλεκτρόνιο φτάνει πρώτο. 11) Εντός κατακόρυφου ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης Ε κινείται σωματίδιο Σ, που φέρει φορτίο q και έχει μάζα m, με σταθερή ταχύτητα υ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το φορτίο κινείται κοντά στην επιφάνεια της Γής, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με g. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α. Το σωματίδιο φέρει θετικό φορτίο, και η ένταση του πεδίου είναι ίση με Ε = m g / q. β. Το σωματίδιο φέρει αρνητικό φορτίο, και η ένταση του πεδίου είναι ίση με E = υ g. γ. Το σωματίδιο φέρει θετικό φορτίο, και η ένταση του πεδίου είναι ίση με E = m g. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή επιλογή είναι η α. Σωματίδιο Σ φορτίου q και μάζας m κινείται με σταθερή ταχύτητα υ μέσα σε κατακόρυφο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε στην επιφάνεια της Γης όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει τιμή g. Πάνω στο σωματίδιο ασκούνται οι δυνάμεις F c από το ομογενές ηλεκτρικό πεδίο Ε και το βάρος w από το πεδίο βαρύτητας της Γης. Οι δυνάμεις αυτές είναι αντίθετες γιατί το σωματίδιο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Η δύναμη F c έχει την κατεύθυνση της έντασης Ε οπότε το φορτίο q είναι θετικό. Από τον ορισμό της έντασης Ε έχουμε :
Ε = F c / q F c = q E. Από τον 1ο νόμο του Newton : ΣF y = 0 F c w = 0 F c = w q E = m g E = m g / q. 12) Επίπεδος πυκνωτής είναι συνδεδεμένος με πηγή σταθερής τάσης V. Στο εσωτερικό του πυκνωτή και πολύ κοντά στο θετικό οπλισμό, αφήνεται θετικά φορτισμένο σημειακό σώμα. Το σώμα φτάνει στον αρνητικό οπλισμό του πυκνωτή μετά από χρονικό διάστημα Δt από τη στιγμή που αφέθηκε. Διατηρώντας την πηγή φόρτισης συνδεδεμένη με τους οπλισμούς, διπλασιάζουμε την απόσταση μεταξύ τους και στη συνέχεια αφήνεται ένα δεύτερο, όμοιο με το παραπάνω, θετικά φορτισμένο σώμα από το θετικό οπλισμό του πυκνωτή. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Το χρονικό διάστημα Δt που θα χρειαστεί το δεύτερο σώμα για να φτάσει στον αρνητικό οπλισμό από τη στιγμή που αφέθηκε θα είναι: α. Δt = Δt, β. Δt = 2 Δt, γ. Δt = 2 Δt. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή επιλογή είναι η β. Στην πρώτη περίπτωση η απόσταση που διατρέχει το θετικά φορτισμένο σώμα είναι d. H κίνηση που κάνει το φορτισμένο σώμα είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. Δx = ½ α t² με Δx = d. Υπολογίζουμε την επιτάχυνση α. 2ος νόμος του Newton : ΣF = m α F c = m α α = F c / m (oρισμός της έντασης : Ε = F c / q F c = q E, σχέση έντασης κ διαφοράς δυναμικού που ισχύει μόνο σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο : E = V / d) α = q E / m α = q (V / d) / m α = q V / (d m). Για t = Δt το Δx = d : d = ½ [q V / (d m)] Δt² Δt² = 2 d² m / (V q) Δt = d [2 m / (V q)] (1). Για t = Δt το Δx = d = 2 d,ανάλογα θα έχουμε : Δt = 2 d [2 m / (V q)] (2). Διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (2) και (1) : (2) / (1) : Δt / Δt = 2 d [2 m / (V q)] / d [2 m / (V q)] Δt / Δt = 2 Δt = 2 Δt. 13) Δύο αντίθετα φορτισμένες μεταλλικές πλάκες απέχουν μεταξύ τους απόσταση d και δημιουργούν ανάμεσά τους ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης Ε. Από την αρνητικά φορτισμένη πλάκα ξεκινά ένα ηλεκτρόνιο, με μηδενική αρχική ταχύτητα, το οποίο κινείται προς τη θετικά φορτισμένη πλάκα. Η μάζα του ηλεκτρονίου είναι m e και το φορτίο του ηλεκτρονίου είναι ίσο με e. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α. (2 d E e m e ), β. [2 d m e / (E e)], γ. (2 d Ε e / m e ). Το ηλεκτρόνιο φθάνει στη θετικά φορτισμένη πλάκα με ταχύτητα: Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. A.
Το ηλεκτρόνιο μάζας m e και φορτίου e αφήνεται κοντά στην αρνητική πλάκα και επιταχύνεται από την σταθερή ηλεκτρική δύναμη F c. Το ηλεκτρόνιο φτάνει στην θετική πλάκα με ταχύτητα υ 0. Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για την κίνηση του ηλεκτρονίου από την αρνητική στην θετική πλάκα : ΔΚ = W Fc K τελ K αρχ = F c d ½ m e υ 0 ² = F c d (o ορισμός της έντασης : Ε = F c / e F c = e E) m e υ 0 ² = 2 e E d υ 0 ² = (2 e E d) / m e υ 0 = (2 e E d). 14) Φορτισμένο σωματίδιο αφήνεται μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η κινητική ενέργεια του σωματιδίου σε συνάρτηση με το χρόνο, αν αγνοήσουμε τη βαρυτική δύναμη και την αντίσταση του αέρα, περιγράφεται καλύτερα από τη γραφική παράσταση: Σωστή επιλογή είναι η α. Ένα φορτίο που αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο δέχεται σταθερή δύναμη F c, στη διεύθυνση μιας ευθείας δυναμικής γραμμής οπότε εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. 2ος νόμος του Newton : ΣF = m α F c = m α α = F c / m. Η ταχύτητα του φορτισμένου σωματιδίου είναι κάθε στιγμή υ = α t και η κινητική ενέργεια : Κ = ½ m υ² Κ = ½ m (α t)² Κ = σταθ t², επομένως το διάγραμμα Κ = f(t) είναι παραβολή :
15) Πρωτόνιο εισέρχεται με ταχύτητα υ ο σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο παράλληλα στις δυναμικές γραμμές και με αντίθετη με αυτές φορά, οπότε σταματά στιγμιαία αφού διανύσει διάστημα x p. Με τον ίδιο τρόπο και με την ίδια αρχική ταχύτητα υ ο εισέρχεται στο πεδίο πυρήνας Ηλίου, οπότε σταματά στιγμιαία αφού διανύσει διάστημα x H. Δίνεται ότι ο πυρήνας Ηλίου έχει τετραπλάσια μάζα και διπλάσιο ηλεκτρικό φορτίο από το πρωτόνιο. Η σχέση που συνδέει τα διαστήματα x p και x H είναι, Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. α. x p = x H, β. x p = 2 x H, γ. x p = 2 x H. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ένα πρωτόνιο και ένας πυρήνας Ηλίου εισέρχονται παράλληλα στις δυναμικές γραμμές ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου με φορά αντίθετη από την φορά των δυναμικών γραμμών και με την ίδια αρχική ταχύτητα υ 0. Το πρωτόνιο σταματά στιγμιαία αφού μετατοπιστεί κατά x p και ο πυρήνας Ηλίου σταματά στιγμιαία αφού μετατοπιστεί κατά x Η. Για ένα θετικό φορτίο q που εισέρχεται με φορά αντίθετη στις δυναμικές γραμμές ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου με ταχύτητα υ 0, η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. υ = υ 0 α t, η ταχύτητα μηδενίζεται υ = 0 σε χρόνο t 1. 0 = υ 0 α t 1 t 1 = υ 0 / α. Από την εξίσωση κίνησης σε χρόνο t 1 το φορτίο μετατοπίζεται κατά x : x = υ 0 t 1 ½ α t 1 ², για t 1 = υ 0 / α : x = υ 0 ² / (2 α) (1). Για το μέτρο της επιβράδυνσης α, θα έχουμε : ΣF = m α F c = m α (η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ορίζεται : Ε = F c / q F c = q E) q E = m α α = q E / m (2). Από τις σχέσεις (1) και (2) : x = υ 0 ² / (2 α) x = υ 0 ² m / (2 E q). Η μετατόπιση του πρωτονίου : x p = υ 0 ² m p / (2 E q p ) (3). Η μετατόπιση του πυρήνα Ηλίου : x Η = υ 0 ² m Η / (2 E q Η ) (4). Διαιρούμε τις σχέσεις (3) και (4) κατά μέλη : x p / x Η = [υ 0 ² m p / (2 E q p )] / [υ 0 ² m Η / (2 E q Η )] x p / x Η = (m p q Η ) / (m Η q p ) δίνεται : q Η = 2 q p και m Η = 4 m p, x p / x Η = (m p 2 q p ) / (4 m p q p ) x p / x Η = ½ x H = 2 x p. 16) Σε σημείο ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου, έντασης Ε, εκτοξεύεται κάποια στιγμή ηλεκτρόνιο με αρχική ταχύτητα υ 0 παράλληλη και ομόρροπη με τις δυναμικές γραμμές του πεδίου όπως στο σχήμα. Οι βαρυτικές δυνάμεις και κάθε μορφής αντιστάσεις στη κίνηση του ηλεκτρονίου μπορούν να αγνοηθούν. Το ηλεκτρόνιο επιστρέφει στο αρχικό σημείο μετά από χρονικό διάστημα Δt 1 από τη στιγμή που εκτοξεύτηκε. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Αν η ένταση του πεδίου ήταν διπλάσια, και το ηλεκτρόνιο εκτοξευόταν με την ίδια ταχύτητα, θα επέστρεφε στο αρχικό σημείο εκτόξευσης, μετά από χρονικό διάστημα Δt 2 από τη στιγμή της εκτόξευσης του, για το οποίο ισχύει: α. Δt 2 = Δt 1, β. Δt 2 = 2 Δt 1, γ. Δt 2 = Δt 1 / 2. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
Το ηλεκτρόνιο (m e, e ) εκτοξεύεται και στις δύο περιπτώσεις παράλληλα στις δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου με την ίδια ταχύτητα υ 0 που είναι ομόρροπη των δυναμικών γραμμών. Το ηλεκτρόνιο και στις δύο περιπτώσεις εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ 0. Από την εξίσωση της κίνησης έχουμε : Δy = υ 0 Δt ½ α Δt², όταν το ηλεκτρόνιο επιστρέφει, Δy = 0 υ 0 Δt ½ α Δt² = 0 Δt = 2 υ 0 / α. Για το μέτρο της επιτάχυνσης α έχουμε : ΣF = m e α F c = m e α (η ένταση ορίζεται : E = F c / e F c = e E) e E = m e α α = e E / m e. Όταν η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι Ε ο χρόνος που χρειάζεται το ηλεκτρόνιο για να επιστρέψει στο σημείο εκτόξευσης είναι : Δt 1 = 2 υ 0 / α 1 Δt 1 = 2 υ 0 m e / ( e E) (1). Όταν η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι Ε ο χρόνος που χρειάζεται το ηλεκτρόνιο για να επιστρέψει στο σημείο εκτόξευσης είναι : Δt 2 = 2 υ 0 / α 2 Δt 2 = 2 υ 0 m e / ( e E ) Δt 2 = 2 υ 0 m e / ( e 2 E) (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) : Δt 2 = Δt 1 / 2.