Κεντρικ α πεδ ια στα οπο ια ολες οι φραγ ενες τροχι ες ε ιναι και περιοδικ ες παραλλαγ η της απ οδειξης του Arnod σ. 3) Καθ ως ενα σωατ ιδιο οναδια ιας αζας κινε ιται σε ενα κεντρικ ο δυναικ ο η γων ια που σχη ατ ιζεται εταξ υ περικ εντρου που βρ ισκεται σε απ οσταση απ ο το κ εντρο της δ υναης και αποκ εντρου που βρ ισκεται σε απ οσταση απ ο το κ εντρο δ ιδεται απ ο την εκφραση "!$# )) + 3./0 1) &% ' στην οπο ια το ενεργ ο δυναικ ο ε ιναι /0 4 4 6 Η γων ια εξαρτ αται εκτ ος απ ο το δυναικ ο και απ ο την εν εργεια και τη στροφορ η του σωατιδ ιου. Θα προσδιορ ισουε τα δυναικ α για τα οπο ια σχηατ ιζεται κλειστ η και περιοδικ η τροχι α για ενα συνεχ ες δι αστηα των ενεργει ων και στροφορ ων. Γενικ οτερα θ ελουε να λ υσουε ενα πρ ο ληα αντιστροφ ης: παρατηρ ησεις της συν αρτησης θα ας οδηγ ησουν σε προσδιορισ ο του δυναικο υ που τις προκαλε ι. Θα αρχ ισουε την αναζ ητηση αυτ η των δυναικ ων κ ανοντας παρατηρ ησεις των γωνι ων που σχηατ ιζονται σε σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες περιορ ιζουε τα δυναικ α σε αυτ α ονο που επιτρ επουν τον σχηατισ ο κυκλικ ων τροχι ων). Αν κ αποιο δυναικ ο οδηγε ι σε περιοδικ ες σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες εχει πιθαν οτητες να οδηγε ι και σε περιοδικ ες τροχι ες ανεξαρτ ητως του π οσο κυκλικ ες ε ιναι αυτ ες. Η ακτ ινα της κυκλικ ης τροχι ας 98 προσδιορ ιζεται απ ο τα στ ασια σηε ια του ενεργο υ δυναικο υ: /;: 98<>= που δ ιδονται απ ο τις ακτ ινες που ικανοποιο υν τη σχ εση >)? 8 : 98<4 Απ ο τη σχ εση αυτ η συν αγεται οτι αναγκα ια συνθ ηκη για την υπαρξη κυκλικ ης τροχι ας ε ιναι η κεντρικ η δ υναη που ασκε ιται στο σωατ ιδιο επ ι της τροχι ας να ε ιναι ελκτικ η ; : 98<A@B=. Επιπλ εον η τροχι α αυτ η ε ιναι ευσταθ ης αν / : : 98ACB= το οπο ιο πορε ι να γραφε ι ως / : : 98D GF C =H 8 : 98 98 AI6J LNM Για παρ αδειγα αν το δυναικ ο ε ιναι ελκτικ ο της ορφ ης ε ε ιναι ευσταθ ης ονο αν ACP=Q =R@ @ που περιορ ιζει τους δυνατο υς εκθ ετες στο δι αστηα C : : 98 : : 98< C= η κυκλικ η τροχι α. Πρακτικ α αυτ ο που συ α ινει ε ιναι οτι για η φυγοκεντρικ η δ υναη ε ιναι π αντα εγαλ υτερη της ελξης π ανω απ ο ια συγκεκρι ενη ακτ ινα και το αντ ιθετο κ ατω απ ο αυτ η την ακτ ινα επο ενως η ακτινικ η συντεταγ ενη του σ ω ατος δεν πορε ι να εκτελ εσει ταλ αντωση και το σ ωα ε ιτε θα βουτ ηξει στο κ εντρο ε ιτε θα φ υγει στο απειρο. Θεωρο υε λοιπ ον ακτινικ ες κιν ησεις της ορφ ης ST98 > ε @3@V98 δηλαδ η περ ιπου κυκλικ ες κιν ησεις. Η γων ια που σχηατ ιζεται εταξ υ περικ εντρου και αποκ εντρου πλησ ιον ιας κυκλικ ης 1
[ ` + = [ + + q τροχι ας ε ιναι: \ / : : 98< D "!$# ) + 3.W/X 1G &% ' & 98 + &Z W /0 98< \> /0 98< [ & 98 W + / : : 98 + \ / : : 98 / : : 98 $]^ ε αφο υ το περ ικεντρο και το απ οκεντρο ε ιναι οι ρ ιζες του παρονοαστ η του πρ ωτου ολοκληρ ωατος εκε ι που ηδεν ιζεται η ακτινικ η κινητικ η εν εργεια). Στις παραπ ανω εκφρ ασεις προσεγγ ισαε το δυναικ ο γ υρω απ ο το ελ αχιστ ο του που αντιστοιχε ι στην κυκλικ η τροχι α) ως Ετσι λοιπ ον D /X 4./0 98< 8 + / : : 98< 8 + / : : 98<gf Z 8 + / : : 98< nm : 98< 98</ : : 98< b i nm : 98 : 98< 98< : : 98< / : : 98 )98 dcecec Στις τελευτα ιες δ υο εκφρ ασεις αγνο ησαε τις διορθ ωσεις τ αξης $] h )98 i kj θεωρ ωντας τις αελητ εες ε κατ αλληλη ρ υθιση της κυκλικ οτητας της τροχι ας. Παρατηρο υε οτι τροχι ες που προκ υπτουν απ ο ικρ ες διαταραχ ες της 98 κυκλικ ης τροχι ας εχουν e8< που εξαρτ αται ονο απ ο τη στροφορ η και συνεπ ως γρ αφουε. Παρατηρ ησεις της πλησ ιον κυκλικ ων τροχι ων πορο υν να αντιστραφο υν και να αποκαλ υψουν το δυναικ ο που τις προκ αλεσε. Πρ αγατι πρ επει να λ υσουε την εξ ισωση L : : po >rsw o v G z{ tvu"w s s Στην & 6 περ ιπτωση που οι σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες κλε ινουν και επαναλα ανονται θα πρ επει ) οπου και ε ιναι ακ εραιοι και συνεπ ως η πρ επει να ε ιναι ανεξ αρτητη απ ο τη στροφορ η δηλαδ η πρ επει να ε ιναι σταθερ α ανεξ αρτητη απ ο το. Για ευκολ ια λοιπ ον σε αυτ ες τις περιπτ ωσεις q :
š M ž / q / š z{ γρ αφουε C. οπου D rs tvu"w s rsw tvu"w s r s JRo 9 q ˆ=. Το δυναικ ο ε ιναι: o 9 q o P Z s BG" )9v$] Στη περ ιπτωση που λα ανουε λογαριθικ η λ υση. Αν επιπλ εον απαιτ ησουε να υπ αρχει και ευσταθ ης κυκλικ η τροχι α επι αλεται εξτρα περιορισ ος στον εκθ ετη. Συνολικ α λοιπ ον τα ακ ολουθα δυναικ α ονο οδηγο υν σε περιοδικ ες σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες: J )M CP= Š Œ ; 6JL NM Ž= @ @ ; 1) bg =. και οι αντ ιστοιχες γων ιες ε ιναι = Ειδικ α η τελευτα ια περ ιπτωση δυναικο υ ε ) οδηγε ι οπως φα ινεται σε γων ια η οπο ια ε ιναι αρρητο πολλαπλ ασιο του ) και επο ενως το δυναικ ο αυτ ο το οπο ιο σηειωτ εον θα αποτελο υσε το δυναικ ο της βαρ υτητας στις διαστ ασεις) δεν θα οδηγο υσε γενικ α για οποιαδ ηποτε τι η των ) σε περιοδικ ες τροχι ες. g>) Κ ανουε τ ωρα την αντικατ ασταση /X z{ M G{ οπ οτε η γων ια εταξ υ περικ εντρου και αποκ εντρου πα ιρνει την απλο υστερη ορφ η 4 "!$# + /X z{1 &% ' Γρα ενη σε αυτ η τη ορφ η η γων ια /0 z{ δεν ε ιναι αλλη απ ο την ηιπερ ιοδο ονοδι αστατης κ ινησης σωατιδ ιου εν εργειας στο δυναικ ο. Η διαφορ α στις διαστ ασεις των δ υο αποτελεσ ατων οφε ιλεται στις διαφορετικ ες διαστ ασεις της ποσ οτητας κ αθε φορ α διαστ ασεις ταχ υτητας στην περ ιπτωση της γων ιας και διαστ ασεις /0 z{ ηκους στην περ ιπτωση της ηιπερι οδου.) Θ ελουε τ ωρα να προσδιορ ισουε το δυναικ ο απ ο συνεχε ις ετρ ησεις της συν αρτησης στη γενικ η περ ιπτωση χωρ ις να περιοριστο υε σε σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες ονο. Η παραπ ανω εξ ισωση ε ιναι η ολοκληρωτικ η εξ ισωση 8 /X z{ του Abe η οπο ια εχει κοψ η κλειστ η λ υση. Εστω οτι το ελ αχιστο της πραγ ατοποιε ιται στο gĉ. Αλλ αζουε CŽ 8 την ετα λητ η /X z{ της ολοκλ ηρωσης σε και εστω /\ η καπ υλη του δυναικο υ για και /H 83Ĉ CŽ για. Το ολοκλ ηρωα αλλ αζοντας ετα λητ η γ ινεται τ ωρα z h / + /\ το οπο ιο αντιστρ εφεται παρατηρ ωντας οτι h š h šb z.š / + šœ/\.wš z / / + šÿ/h.š z \ \1 3) ) 3
/ š J š š /\1 Ο υπολογισ ος του τελευτα ιου ολοκληρ ωατος γ ινεται απλ α ε την αντικατ ασταση >/H1. Η αλλαγ η της σειρ ας των ολοκληρω ατων στη δε υτερη σειρ α οφε ιλεται στο οτι η ολοκλ ηρωση στον δισδι αστατο š /4vš χ ωρο των γ ινεται στο ορθογ ωνιο ισοσκελ ες / τρ ιγωνο 8 που εχει /X ως šˆš β αση τον αξονα των οπ οτε πορο υε να ολοκληρ ωσουε ε ιτε πρ ωτα ως προς απ ο εως ) και ετ α 8 š 8 ως προς š απ ο εως ) ε ιτε πρ ωτα š /Hb/ ως προς απ ο εως ) και ετ α ως προς απ ο εως ). Συνεπ ως η συν αρτηση z για ολα τα ενεργ α δυναικ α σχετ ιζεται σ υφωνα ε την παραπ ανω εκφραση ε τις διαφορ ες \ \1. ) Τ ωρα για να ε ιναι περιοδικ η η τροχι α θα πρ επει να υπ αρχει ρητ ος αριθ ος τ ετοιος ωστε 4 & ) και συνεπ ως εφ οσον η ε ιναι συνεχ ης συν αρτηση της εν εργειας και της στροφορ ης αυτ η η συν αρτηση πρ επει να ε ιναι σταθερ α και ανεξ αρτητη της εν εργειας και της στροφορ ης. Απ ο τη παραπ ανω σχ εση εχουε συνεπ ως š.wš G.š +.W 8 Με αλλα λ ογια θα πρ επει τα δ υο ορια του ολοκληρ ωατος γι α κ αθε ενεργειακ ο επ ιπεδο να συνδ εονται ε την εν εργεια αυτ η εσω της σχ εσης \ \.W 8 4) Η σχ εση αυτ η δε ιχνει οτι ονο το δυναικ ο του αρονικο υ ταλαντωτ η εταξ υ των συετρικ ων δυνα ικ ων \ R 84P 8&R \ ) οδηγε ι σε ισ οχρονες ταλαντ ωσεις ανεξ αρτητες της εν εργειας. Οπως δε ιχνει και ο Lndu ολ οκληρη η οικογ ενεια των δυναικ ων που προ ερχονται απ ο κ αποιον αρονικ ο ταλαντωτ η ε κατ αλληλη ταυτ οχρονη ετακ ινηση και των δ υο πτερ υγων του δυναικο υ ετσι ωστε να ην καταστρ εφεται η σχ εση 4) οδηγε ι σε ισ οχρονες ταλαντ ωσεις και για το πρ ο λη α ας σε περιοδικ ες τροχι ες. Τα ονα δυναικ α λοιπ ον που οδηγο υν σε περιοδικ ες τροχι ες ε ιναι αυτ α για τα οπο ια ισχ υει /0 z{./ o& + /X z{/ 8 q ) @h 8 οπου για κ αθε ε. Ας λ α ουε πρ ωτα τη περ ιπτωση του δυναικο υ Ÿ J )M τ υπου ε C = περιοδικ ες περ ιπου κυκλικ ες τροχι ες) για το οπο ιο ª «δε ιξαε ȳ = Q Το αριστερ ο ελος της ) στο οριο ) δ ινει: /Ž±.J M v Στο ιδιο οριο το δεξι ο ελος της ) τε ινει στο απειρο τετραγωνικ α ονο ο οπος δυναικο υ ε ιναι σηαντικ ος τ οτε) και συνεπ ως στο οριο αυτ ο η ) απαιτε ι: J M o J M ² M² q Ο ονος ρητ ος που ικανοποιε ι αυτ η την ασυπτωτικ η σχ εση ε ιναι ο 4 που οδηγε ι σε. Ο ρητ ος αριθ ος ε ιναι οπως του ενεργο υ
m q που συνεπ αγεται οτι και το ονο δυναικ ο ε ιναι αυτ ο το αρονικο υ ταλαντωτ η. Επειδ η η λ υση που βρ ηκαε ε ιναι ασυπτωτικ η πρ επει να ελ εγξουε αν ε ιναι και ακρι ης. Γνωρ ιζουε οως απ ο την αν αλυση του δισδι αστατου ισ οτροπου αρονικο υ ταλαντωτ η ε αν αλυση σε καρτεσιαν ες συντεταγ ενες οτι η κ ινηση ε ιναι περιοδικ η αφο υ οι συχν οτητες ε ιναι ιδιες στους δ υο αξονες. Η ακτινικ η ταλ αντωση ολοκληρ ωνεται οταν το σ ωα εχει διαγρ αψει γων ια και η τροχι α ε ιναι ελλειψη ε κ εντρο της ελλειψης το κ εντρο του δυναικο υ. Ας λ α ουε τ ωρα την αλλη περ ιπτωση για δυναικ α τ υπου.ž6j G{ NM Ž6J M M ε @ και ȳ = Q = /Ž= /X z{>= Για ) το δυναικ ο και ). Η αλλη ρ ιζα του ε ιναι τ ετοια ωστε =L M J Αυτ η η ρ ιζα θα πρ επει σ υφωνα ε την ) να απ εχει απ ο την αλλη ρ ιζα =L>= ) κατ α + / 84 + / 8 / 8 / Η τι η του για τα εν λ ογω δυναικ α βρ ισκεται οτι ε ιναι απ ο απα ιτηση : z 8<>= ) M 8 /0 z 8<P J \ 8 o Ετσι @ 8 =L4 8 m o ²< M ¹ d 8 o ²< M ¹ q q M² 6) T =Ÿ@ για. Οπως φα ινεται και απ ο το γρ αφηα υπ αρχουν δ υο λ υσεις η και η. Η ονη αποδεκτ η ε ιναι η º{» ¼ που δ ινει το δυναικ ο της βαρυτικ ης ελξης του Νε υτωνα την αλλη οπως ε ιπαε την απορρ ιψαε γιατ ι δεν οδηγε ι σε ευσταθε ις κυκλικ ες τροχι ες). / Και π αλι πορο υε να επαληθε υσουε οτι το δυναικ ο αυτ ο ικανοποιε ι την ) για κ αθε τι η της αφο υ /0 z{ J o&x JL q J F o 0. και η τροχι α επαναλα ανεται η ιδια ετ α απ ο ια πλ ηρη περιστροφ η. Οπως γνωρ ιζουε η κ ινηση ε ιναι ελλειψη ε εστ ια αυτ ης το κ εντρο της δ υναης. Α εσως παρατηρο υε οτι για κ αθε / + // 8 τι η του οι δ υο ρ ιζες της εξ ισωσης διαφ ερουν κατ α )½¾ Επο ενως στην περ ιπτωση αυτ η JL ½q / 8
.4. /4) /) 1.8 1.6 1.4 1. 1 0 0. 1 1.. 3 3. 4 z{) Σχ ηα 1: Το γρ αφηα της ȳ ² υπερ ατικ ης συν αρτησης της εξ ισωσης αυτ ης ε ιναι. για = @œ@h. Οπως φα ινεται οι ρ ιζες Μια πιο γρ ηγορη απ οδειξη Θα ξεκιν ησουε και π αλι ε δεδο ενη τη ορφ η των δυνατ ων δυναικ ων που οδηγο υν σε περιοδικ ες σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες 1) και τις αντ ιστοιχες γων ιες τους ). Ας σκεφτο υε τι συ α ινει οταν η στροφορ η ε ιναι ηδ εν. Το σωατ ιδιο που βρ ισκεται εντ ος του δυναικο υ π εφτει καθαρ α ακτινικ α προς το κ εντρο της δ υναης. Το τι κ ανει απ ο το σηε ιο αυτ ο και ετ α εξαρτ αται απ ο τον τ υπο του δυναικο υ. œ J )M C = Αν το δυναικ ο ε ιναι τ υπου ε ) το σωατ ιδιο αν ξεκιν ησει απ ο το σηε ιο 99À9BÁ=L ŽÁ= θα περ ασει το σηε ιο ισορροπ ιας και θα συνεχ ιζει να κινε ιται εχρι το σηε ιο 99À9A. Επο ενως η αντ ιστοιχη γων ια εταξ υ των αψ ιδων θα ε ιναι >=L ) G ε ÂŸÃœÄ )  αφο υ πορο υε να υποθ εσουε οτι η ευθ υγραη αυτ η κ ινηση πορε ι να σηα ινει τυλ ιγατα γ υρω απ ο την αρχ η φανταστε ιται την κ ινηση αυτ η σαν το οριο ιας σχεδ ον ακτινικ ης κ ινησης που περν αει οσοδ ηποτε κοντ α απ ο το κ εντρο της δ υναης οπ οτε στη θ εση αυτ η ε ιναι δυνατ ο να περιελ ισσεται κ αποσες φορ ες γ υρω απ ο το εν λ ογω σηε ιο). Θα εχουε λοιπ ον οτι ) G   Οως το δεξ ι ελος ε ιναι ικρ οτερο του 1/ οπ οτε η οναδικ η δυνατ η λ υση για το ε ιναι δηλαδ η. Αυτ η οπως ξ ερουε ε ιναι η περ ιπτωση του αρονικο υ ταλαντωτ η που οπως δε ιξαε οδηγε ι π αντα σε περιοδικ ες λ υσεις. 4J LNM C CB= Αν το δυναικ ο ε ιναι τ υπου ε ) το σωατ ιδιο αν ξεκιν ησει απ ο το σηε ιο 99À9QI=L XI= θα περ ασει το σηε ιο ισορροπ ιας και επειδ η δεν ξ ερουε τι ακρι ως θα συ ε ι 9eÀ9A σε αυτ η την ιδι αζουσα περ ιπτωση ας υποθ εσουε ε ιτε οτι το σωατ ιδιο θα επιστρ εψει στο σηε ιο =L σαν να ενεργο υσε η αλλη πτ ερυγα του δυναικο υ ως το ιχωα 99À9b αν ακλασης του σωατιδ ιου) ε ιτε οτι θα συνεχ ισει οπως και στην προηγο υενη περ ιπτωση στο σηε ιο. Επο ενως η αντ ιστοιχη γων ια εταξ υ των αψ ιδων θα ε ιναι =L4 Â{ ε ÂSÃœÄ 8) Å= 9) Συπερα ινουε λοιπ ον οτι  10) 6
À Æ È Ò Ò à δηλαδ η ÂSÆ> η. Ας επιτρ εψουε τ ωρα στο σωατ ιδιο ια απειροελ αχιστη στροφορ η ωστε η κ ινηση να ε ιναι περ ιπου ακτινικ η. Τ οτε CÉ. Ξ ερουε απ ο την αν αλυση του δυναικο υ 6J ) οτι Â À3 Ç Οως για QG) το δυναικ ο π εφτει πιο απ οτοα απ ο το και αρα οταν το σωατ ιδιο θα φτ ασει στο αντ ιστοιχο ποσοστ ο της αρχικ ης ακτ ινας θα εχει πιο εγ αλη ακτινικ η ταχ υτητα επο ενως το αντ ιστοιχο θα ε ιναι ικρ οτερο η ακτινικ η εξ ελιξη ε ιναι πιο ραγδα ια επο ενως η γωνιακ η εξ ελιξη C¼ @ δηλαδ η δεν Â QG) προλα α ινει να αναπτυχθε ι οσο στο ). Θα περι εναε λοιπ ον για @ É6J ) σε αντ ιθεση ε τη σχ εση 10). Επο ενως ονο το δυναικ ο πορε ι να οδηγ ησει σε περιοδικ ες τροχι ες. ) Ενα παλαι ο αλυτο πρ ο ληα Εστω τ ωρα οτι η κ ινηση εν ος σ ωατος διεξ αγεται εντ ος του οογενο υς πεδ ιου βαρ υτητας επ ι ιας χωνοειδο υς επιφ ανειας ε περιστροφικ η συετρ ια η οπο ια εχει κυλινδρικ ες συντεταγ ενες για κ αθε γων ια Ê. Θ ελουε να βρο υε αν υπ αρχει κατ αλληλη συν αρτηση τ ετοια ωστε ολες οι τροχι ες επ ι της επιφ ανειας να ε ιναι περιοδικ ες. Η αν αλυση του προ λ ηατος αυτο υ οδηγε ι σε ια εκφραση για την αντ ιστοιχη γων ια εταξ υ περικ εντρου και αποκ εντρου της ορφ ης ε /X >4 Ò <ËLÌÎÍ ËLÏ Ð + Z : $] +./X 1Ñ. Κατ αντιστοιχ ια γνωρ ιζουε οτι η ηιπερ ιοδος της ταλ αντωσης ιας χ αντρας η οπο ια ολισθα ινει ε ιναι δ ιχως τρι ες π ανω σε ενα σ υρα το οπο ιο εχει σχ ηα z{ Ó Ô + Z. : z{$] 9Õ + Ö. Ò z{1) Γνωρ ιζουε οτι το κατ αλληλο σχ ηα z{ Ó που εχει την ιδι οτητα να οδηγε ι σε τι η της απ ο την ε ιναι το σχ ηα της κυκλοειδο υς: z >Ø z 3 Ù1 b 4 z 4Ø Ú Û Ù& v 11) 1) ανεξ αρτητη Με β αση λοιπ ον αυτ η την αναλογ ια διερευν ηστε αν υπ αρχει κατ αλληλο σχ ηα της αξονικ α συετρικ ης επιφ ανειας που να οδηγε ι π αντα σε περιοδικ ες τροχι ες επ ι της επιφ ανειας. ιερε υνηση Απ ο την αν αλυση των σχεδ ον κυκλικ ων τροχι ων ακτ ινας h.h à â Þ. + Z :$Ü ] Þ s BÝ. ß à ¹ à sá" Ò Ü : Ü s s Ò : :kü s BÝ + Z : ] ß à à : : : s θα εχουε Η υπαρξη κυκλικ ων τροχι ων επι αλλει ο ορος τ αξης στην υπ ορριζη ποσ οτητα του παρονοαστ η να ε ιναι 0 οπ οτε? Ò : ="? 1 BÝ 13) 14) 1) 16)
C C @ ê é ç Þ + ç é é Z ç C Þ è ] ] @ Η γων ια λοιπ ον εταξ υ διαδοχικ ων αψ ιδων για σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες θα ε ιναι Θα πρ επει λοιπ ον η Ορ ιζοντας ως æ d : 4 να ε ιναι τ ετοια ωστε και ȳ d Ö : + : ä å å ä å v ȳ kè εχουε ç : è Né Né Ò : æ ê Z?kã<ä$å s s Ò : : kè "ç è "ç é ê ê? NM ¹? NM ¹ 1) 18) 19) Υπ αρχουν ειδ ων σχ ηατα επιφ ανειας λοιπ ον που εχουν περιοδικ ες σχεδ ον κυκλικ ες τροχι ες ανεξ αρτητες της ακτ ινας της κυκλικ ης τροχι ας: αυτ ες ε και αυτ ες ε. Για? NM ¹ M? ¹ οπ οτε η επιφ ανεια εχει ηδενικ η κλ ιση στο σηε ιο ë ì;=. Αυτ ο σηα ινει οτι αν η αρχικ η στροφορ η ε ιναι 0 θα ε ιναι Αφο υ Για ) G οναδικ η λ υση ε ιναι η v? NM ¹ ε ÂŸÃœÄ και ) >H  =L > G o q M? ¹ για ¼= 0) 1). Την περ ιπτωση αυτ η θα την εξετ ασουε αργ οτερα.? NM ¹ îí που σηα ινει οτι η επιφ ανεια ε ιναι κωνικ η κοντ α στο σηε ιο στην κορυφ η του κ ωνου Ií 8 í.ïß à à T= ÒN για = ). Οως τ οτε για κιν ησεις κοντ α Þ? NM M 3)
@ F à + à Þ Οπως βλ επουε το ολοκλ ηρωα δεν ε ιναι της ορφ ης που συναντ ησαε στο θε ωρηα Bertrnd για. Εξ αλλου = θ ετοντας Ò οπου τ οτε το ολοκλ ηρωα υπολογ ιζεται αεσα καταλ ηγουε στην ατοπη σχ εση. Συνεπ ως αποκλε ιεται και η περ ιπτωση. d Ερχ οαστε στο οναδικ ο σχ ηα που εχει επι ι ωσει:. Στην περ ιπτωση αυτ η τον αρονικ ο ταλαντωτ η οπου το ολοκλ ηρωα οδηγε ι σε σταθερ η τι η. G ðl ñ^ò που ε ιναι το σχ ηα ιας ελλειψης ε ηι αξονες αυτ η )H. m v v Þ. ß à και ) Z ] 4) αντ ιστοιχα. Ετσι για την περ ιπτωση ã Z F s + Το αποτ ελεσα αυτ ο δεν ε ιναι δυνατ ο να ην εξαρτ αται απ ο την τι η του Ò αφο υ για Ò = v ]z ) Ló ó γεωδαισιακ η κ ινηση σε ελλειψοειδ ες) η τροχι α δεν κλε ινει. Αυτ ο πορε ι να αποδειχθε ι γρ αφοντας το ολοκλ ηρωα για Ò που φα ινετια οτι εξαρτ αται απ ο τα ορια του ολοκληρ ωατος. Επο ενως ουδε ια επιφ ανεια δεν εχει την αντ ιστοιχη ιδι οτητα των εξαιρετικ ων περιπτ ωσεων του θεωρ ηατος Bertrnd. = 9