ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Θεώρημα de l Hospitl: Απόδειξη Έχοντας ως αφετηρία το θεώρημα Rolle: ' 3
Θεώρημα de l Hospitl: Απόδειξη 4 Έχοντας ως αφετηρία το θεώρημα Rolle: ' ' Θεώρημα: Έστω, και ισχύουν: lim lim ' ' lim και υπάρχει ' ' lim lim
Θεώρημα de l Hospitl: Απόδειξη ' 5
Θεώρημα de l Hospitl: Απόδειξη 6 ' h ' h h h ' ' ' h
Θεώρημα de l Hospitl: Απόδειξη 7 Άρα: ' h ' h h h ' ' ' h ' ' lim lim ' '
Διαφορικό: Εφαρμογή Έστω η θερμοκρασία κατά μήκος μιας ράβδου: 3 3 T e sin Σε τί σφάλμα στη μέτρηση της θερμοκρασίας αντιστοιχεί ένα σφάλμα στη μέτρηση της θέσης κατά Δ; 8
Διαφορικό: Εφαρμογή Έστω η θερμοκρασία κατά μήκος μιας ράβδου: 3 3 T e sin Σε τί σφάλμα στη μέτρηση της θερμοκρασίας αντιστοιχεί ένα σφάλμα στη μέτρηση της θέσης κατά Δ; Το σφάλμα στη μέτρηση της θερμοκρασίας θα είναι: T T ' 9
Διαφορικό: Εφαρμογή Έστω η θερμοκρασία κατά μήκος μιας ράβδου: 3 3 T e sin Σε τί σφάλμα στη μέτρηση της θερμοκρασίας αντιστοιχεί ένα σφάλμα στη μέτρηση της θέσης κατά Δ; Το σφάλμα στη μέτρηση της θερμοκρασίας θα είναι: T T' Το παραπάνω προκύπτει από τη γραμμική προσέγγιση στο ανάπτυγμα Tylor: T T T'
Κριτήριο ης Παραγώγου Με Χρήση Του Πολυωνύμου Tylor Πρώτα, βρίσκουμε τα ακρότατα, από τις ρίζες της πρώτης παραγώγου, =. Αναπτύσσουμε τη συνάρτηση σε σειρά Tylor, στα ακρότατα: ' '' O 3
Κριτήριο ης Παραγώγου Με Χρήση Του Πολυωνύμου Tylor Πρώτα, βρίσκουμε τα ακρότατα, από τις ρίζες της πρώτης παραγώγου, =. Αναπτύσσουμε τη συνάρτηση σε σειρά Tylor, στα ακρότατα: ' '' O 3 '' '' '' ά έ
Σειρά Tylor: Εφαρμογή Η Νευτώνεια φυσική ορίζει την κινητική ενέργεια ως: E. mu Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας ορίζει την κινητική ενέργεια ως: E m c u c m c 3
Σειρά Tylor: Εφαρμογή Αναπτύσσοντας σε σειρά Mclurin την παρακάτω συνάρτηση έχουμε: 4
Σειρά Tylor: Εφαρμογή Αναπτύσσοντας σε σειρά Mclurin την παρακάτω συνάρτηση έχουμε: Εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα στη σχέση της ενέργειας από την ειδική θεωρία σχετικότητας έχουμε: E m c u c m c m c u c mc m u 5
Παράδειγμα Σειράς Mclurin e 3! 3... n! n n k k! k 6
Παράδειγμα Σειράς Mclurin e 3! 3... n! n n k k! k e.... 5. Με χρήση υπολογιστή παίρνουμε: 578 e. 7
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 8
Σημείωμα Αναφοράς Copyriht, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση:.. Θεσσαλονίκη 4. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uth.r/eclss_courses.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] http://cretivecommons.or/licenses/y-s/4./
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 5
ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.