Μηχανική Στερεού Σώματος Σχολική Περίοδος 05-06 Εξέταση 9//06 Χρόνος: 80 Λεπτά Ονοματεπώνυμο: Υπεύθυνος Καθηγητής: Αυτή η εξέταση περιέχει 9 σελίδες (συμπεριλαμβανόμενης της παρούσης) και 5 προβλήματα. Ελέξτε εάν κάποια σελίδα λείπει. Εισάγετε όλες τις απαιτούμενες πληροφορίες στην κορυφή αυτής της σελίδας και βάλτε τα αρχικά σας στην κορυφή κάθε σελίδας. ΔΕΝ επιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε βιβλία ή οποιοδήποτε είδος σημειώσεων καθώς και υπολογιστή τσέπης σε αυτήν την εξέταση. Απαιτείται να δείξετε την δουλειά σας σε κάθε πρόβλημα αυτής της εξέτασης. Οι ακόλουθοι κανόνες πρέπει να εφαρμοστούν: Οταν χρησιμοποιήσετε κάποιον φυσικό νόμο πρέπει να δηλώσετε σαφώς την χρήση του και να εξηγήσετε γιατί τον χρησιμοποιήσετε. Οργανώστε την δουλειά σας με καθαρό, λογικό και με συνοχή τρόπο στον χώρο που σας έχει παραχωρηθεί. Τυχόν λύση διάσπαρτη σε όλη τη σελίδα χωρίς σαφή ακολουθία βημάτων θα δημιουργήσει αρνητική εντύπωση. Μυστηριώδεις ή ανυποστήρικτες απαντήσεις δεν θα λάβουν πλήρη βαθμολογία. Μία σωστή απάντηση ανυποστήρικτη από υ- πολογισμούς, εξήγηση ή αλγεβρική δουλειά θα λάβει μηδενική βαθμολογία. Τουναντίον, μία λανθασμένη απάντηση η οποία υποστηρίζεται από ουσιαστικά σωστούς υπολογισμούς και εξηγήσεις μπορεί να λάβει μέρος των διαθέσιμων βαθμών. Πρόβλημα Βαθμοί: Βαθμολογία 0 0 3 0 4 0 5 0 Σύνολο: 00 Εάν χρειάζεστε περισσότερο χώρο, χρησιμοποιήστε το πίσω μέρος των σελίδων, δηλώνοντας σαφώς πότε το κάνετε αυτό. Μην γράψετε στον πίνακα που βρίσκεται στα δεξιά της σελίδας αυτής. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Καλή επιτυχία.
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα από 9 9//06. (0 Βαθμοί) Ενας συμπαγής κύλινδρος Δ βάρους βάρους w και ακτίνας βρίσκεται μεταξύ ενός κατακόρυφου τοίχου και κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσεως θ σε σχέση με την οριζόντια διεύθυνση όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κατακόρυφος τοίχος είναι λείος αλλά το κεκλιμένο επίπεδο είναι τραχύ με τον συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και κεκλιμένου επιπέδου να είναι µ. Σχήμα : Σχήμα ου προβλήματος. Να προσδιοριστεί η δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται από το κεκλιμένο επίπεδο.
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα 3 από 9 9//06. (0 Βαθμοί) Μία χορεύτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ μάζας 45 kg περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της με γωνιακή ταχύτητα στροφή ανά sec με τους βραχίονες των χεριών της στην έκταση ιδέ σχήμα. Σχήμα : Σχήμα ου προβλήματος. Να εκτιμήσετε την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της χορεύτριας εάν μαζέψει τα χέρια της και τα τυλίξει στο σώμα της. Οι πειραματικές μετρήσεις έχουν υποδείξει ως μία λογική προσέγγιση κατά τον υπολογισμό, το μοντέλο της χορεύτριας που περιγράφεται παρακάτω: (i.) Οταν η χορεύτρια έχει τους βραχίονες των χεριών της στην έκταση τότε αυτοί μπορούν να θεωρηθούν ως ομογενείς λεπτές ράβδοι μάζας 4 kg και μήκους m ενώ ο κορμός του σώματος της χορεύτριας μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας 37 kg και διαμέτρου 0 cm. (ii.) Οταν η χορεύτρια έχει τα χέρια μαζεμένα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας 45 kg και διαμέτρου 0 cm. Δίνεται: Η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενής ράβδου μάζας m και μήκους l ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν I cm = ml κι η ροπή αδράνειας συμπαγούς ομογενούς κυλίνδρου μάζας m και ακτίνας r ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο του βάσεων I cm = mr. Αμελείστε την τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ πάγου και πατινιών καθώς και την αντίσταση του αέρα.
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα 4 από 9 9//06
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα 5 από 9 9//06 3. (0 Βαθμοί) Τέσσερις όμοιοι λεπτοί ομογενείς ράβδοι μάζας m η καθεμία, συγκολλούνται στις άκρες τους για να σχηματιστεί ένα τετράγωνο και στην συνέχεια οι κορυφές του τετραγώνου συγκολλούνται σε μεταλλικό δακτύλιο ακτίνας και αμελητέας μάζας. Εάν η στερεά διάταξη των ράβδων και του δακτυλίου αφήνεται να κυλίσει προς τα κάτω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως θ, όπως φαίνεται στο σχήμα 3, να προσδιοριστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δακτυλίου και επιπέδου ο οποίος αποτρέπει την ολίσθηση της διάταξης. Σχήμα 3: Σχήμα 3ου προβλήματος. Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενής ράβδου μάζας m και μήκους l ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος σε αυτή I cm = ml και η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Δίνεται επίσης ότι το κέντρο μάζας της τετράγωνης διάταξης των ράβδων συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο του δακτυλίου.
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα 6 από 9 9//06 4. (0 Βαθμοί) Διπλή τροχαλία αρθρώνεται στο κέντρο της G πάνω σε ένα σώμα που μπορεί να ολισθαίνει πάνω-κάτω. Η εσωτερική τροχαλία που έχει ακτίνα r = 30 mm προσαρμόζεται στερεά πάνω στην εξωτερική τροχαλία που έχει ακτίνα = 60 mm. Αν γνωρίζουμε ότι το σχοινί Ε το τραβάμε με σταθερή ταχύτητα v E = 00 mm/s και το σχοινί D το τραβάμε με σταθερή ταχύτητα v D = 60 mm/s, όπως φαίνεται στο σχήμα 4, να βρεθεί: i. Η ταχύτητα του σώματος που ολισθαίνει. ii. Σε πόση απόσταση από το κέντρο της τροχαλίας βρίσκεται το σημείο που στιγμαία έχει μηδενική ταχύτητα. iii. Το μήκος του σχοινιού που τυλίγεται ή ξετυλίγεται πάνω σε κάθε τροχαλία ανά sec. iv. Η κινητική ενέργεια της διάταξης ολισθητή-τροχαλίας εάν η μάζα του ολισθητή είναι m = 4 kg, η μάζα της τροχαλίας είναι M = 0.5kg και η ροπή αδράνειας αυτής ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I G = 0 3 kgm. Σχήμα 4: Σχήμα 4ου προβλήματος.
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα 7 από 9 9//06
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα 8 από 9 9//06 5. (0 Βαθμοί) Στο σχήμα 5, ένα αβαρές μη ελαστικό σχοινί, είναι τυλιγμένο αρκετές φορές γύρω από έναν ομογενές κύλινδρο μάζας M και ακτίνας. Το ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι προσδεμένο σε σταθερό οριζόντιο επίπεδο. Ο κύλινδρος έχει ένα ομόκεντρο κυκλικό αυλάκι ακτίνας r, σκαμμένο πάνω του. Ενα αβαρές μη ελαστικό σχοινί είναι τυλιγμένο στο αυλάκι και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι προσδεμένο σώμα μάζας m. Το σύστημα συγκρατείται σε ηρεμία με τα σχοινιά τεντωμένα. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερο. Σχήμα 5: Σχήμα ου προβλήματος. Ζητούνται: i. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. ii. Η τάση κάθε σχοινιού. iii. Τι αλλάζει στην απάντησή σας στα παραπάνω ερωτήματα εάν αντί για σώμα μάζας m, εφαρμοσθεί σταθερή κατακόρυφη προς τα κάτω δύναμη F = mg στο ίδιο σημείο που αναρτάται το σώμα Σ Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g και η ροπή αδράνειας κυλίνδρου μάζας M και ακτίνας ως προς άξονα που ενώνει τα κέντρα των βάσεων του I G = M. Θεωρείστε ότι τα σχοινιά δεν γλυστρούν καθώς ξετυλίγονται και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα.
Μηχανική Στερεού Σώματος Εξέταση - Σελίδα 9 από 9 9//06
Πόση τριβή απαιτείται για ισορροπία; Ένας συμπαγής κύλινδρος Δ βάρους βάρους w και ακτίνας βρίσκεται μεταξύ ενός κατακόρυφου τοίχου και κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσεως σε σχέση με την οριζόντια διεύθυνση όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο κατακόρυφος τοίχος είναι λείος αλλά το κεκλιμένο επίπεδο είναι τραχύ με τον συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και κεκλιμένου επιπέδου να είναι. Να προσδιοριστεί η δύναμη της στατικής τριβής που ασκείται από το κεκλιμένο επίπεδο. Λύση Ξεκινάμε σχεδιάζοντας το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του κυλίνδρου Δ όπου φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτόν. Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο είναι: Το βάρος του w. Η κάθετη αντίδραση από τον κατακόρυφο τοίχωμα στο A N A w N σημείο επαφής Α N A. Επειδή οι επιφάνειες εφάπτονται η N A διέρχεται από το κέντρο του κυλίνδρου. Επίσης επειδή το τοίχωμα είναι λείο δεν ασκεί στατική τριβή στον J κύλινδρο. Η δύναμη αντίδρασης P από το κεκλιμένο επίπεδο στο σημείο επαφής Β που αναλύεται σε δύο συνιστώσες: Στην κάθετη αντίδραση N και την στατική τριβή J. Παίρνουμε το άθροισμα των ροπών ως προς το σημείο. Εφόσον ο κύλινδρος ισορροπεί αυτό θα ισούται με μηδέν. Αλλά οι ροπές των δυνάμεων N A, N και w είναι μηδενικές ως προς το σημείο καθόσον οι φορείς των διέρχονται από τούτο το σημείο. Ο μοχλοβραχίονας της τριβής J είνα η ακτίνα του κυλίνδρου. Συνεπώς: 0 J 0 J 0. Δηλαδή η στατική τριβή μεταξύ κυλίνδρου και κεκλιμένου επιπέδου είναι μηδενική! Και μάλιστα το συμπέρασμα αυτό είναι ανεξάρτητο της γωνίας κλίσεως. Άσχετα λοιπόν της γωνίας, στην στατική ισορροπία δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ κυλίνδρου και κεκλιμένου επιπέδου. Β Τρόπος.
Επειδή ο κύλινδρος ισορροπεί υπό την επίπδραση τριών δυνάμεων, οι δυνάμεις αυτές είναι συντρέχουσες, δηλαδή οι φορείς των διέρχονται από το ίδιο σημείο. Πράγματι, έστω Δ το σημείο τομής των φορέων δύο εκ των τριών δυνάμεων που ενεργούν σε ένα στερεό σώμα που ισορροπεί, τότε εάν ο φορέας της τρίτης δύναμης δεν διέρχεται από το Δ, το άθροισμα των ροπών ως προς το Δ είναι μη μηδενικό. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού το σώμα ισορροπεί. Ως εκ τούτου, οι φορείς των τριών δυνάμεων διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το συμπέρασμα αυτό λέγεται θεώρημα των τριών δυνάμεων. Οι φορείς των δυνάμεις w και N A διέρχονται από το σημείο. Βάσει του παραπάνω θεωρήματος θα πρέπει και η δύναμη επαφής P στο σημείο Β να διέρχεται επίσης από το σημείο. Αυτό όμως είναι δεν είναι εφικτό εάν η δύναμη P δεν είναι κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο. Συνάγουμε λοιπόν και πάλι ότι μεταξύ κυλίνδρου και κεκλιμένου επιπέδου δεν αναπτύσσεται δύναμη στατικής τριβής. (Εάν αναπτυσσόταν οποιαδήποτε δύναμη στατικής τριβής ο φορέας της P -που θα ήταν η συνισταμένη της κάθετης αντίδρασης και της τριβής-δε θα διερχόταν από το σημείο με αποτέλεσμα να αίρεται η συνθήκη ισορροπίας). Δημήτρης Αναγνώστου
Μία χορεύτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ μάζας 45kg περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της με γωνιακή ταχύτητα στροφή ανά δευτερόλεπτο με τους βραχίονες των χεριών της στην έκταση. Να εκτιμήσετε την νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της χορεύτριας εάν μαζέψει τα χέρια της και τα τυλίξει στο σώμα της. Οι πειραματικές μετρήσεις έχουν υποδείξει ως μία λογική προσέγγιση κατά τον υπολογισμό, το μοντέλο της χορεύτριας που περιγράφεται παρακάτω: a) Όταν η χορεύτρια έχει τους βραχίονες των χεριών της στην έκταση τότε αυτοί μπορούν να θεωρηθούν ως ομογενείς λεπτές ράβδοι μάζας 4kg και μήκους 4cm ενώ ο κορμός του σώματος της χορεύτριας μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας 37kg και διαμέτρου 0cm. b) Όταν η χορεύτρια έχει τα χέρια μαζεμένα μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας 45kg και διαμέτρου 0cm. Δίνεται: a) Η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενής ράβδου μάζας m και μήκους ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν: Icm m. b) Η ροπή αδράνειας συμπαγούς ομογενούς κυλίνδρου μάζας m και ακτίνας r ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο του βάσεων Icm mr. Αμελείστε την τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ πάγου και πατινιών καθώς και την αντίσταση του αέρα. Λύση 0cm Άξονας περιστροφής 0cm Άξονας περιστροφής 4kg 40cm 4kg 40cm Υποθέτουμε ότι οι βραχίονες είναι μέρος του ομογενούς κυλίνδρου 37kg Αρχικά 45kg Τελικά
Η στροβιλοζόμενη χορεύτρια αποτελεί ένα περιστρεφόμενο σώμα περί κατακόρυφο άξονα, που η ροπή του βάρους της και η ροπή της αντίδρασης της πίστας ως προς τον άξονα αυτόν είναι μηδενική. Ως εκ τούτου, η στροφορμή της χορεύτριας ως προς τον άξονα περιστροφής της παραμένει σταθαρή όταν φέρει τους βραχίονες των χεριών της από την έκταση για να τα τηλίξει στο σώμα της. Συνεπώς ισχύει: L L I I. 370, 40,4 40,3 450, 4,5 περιστροφές ανά δευτερόλεπτο. (Κατά τον παραπάνω υπολογισμό έγινε χρήση του θεωρήματος Steiner για να γράψουμε την ροπή αδράνειας ενός βραχίονα ως προς τον άξονα περιστροφής της χορεύτριας.) Δημήτρης Αναγνώστου
Τέσσερις όμοιοι λεπτοί ομογενείς ράβδοι μάζας m η καθεμία, συγκολλούνται στις άκρες τους για να σχηματιστεί ένα τετράγωνο και στην συνέχεια οι κορυφές του τετραγώνου συγκολλούνται σε μεταλλικό δακτύλιο ακτίνας και αμελητέας μάζας. Εάν η στερεά διάταξη των ράβδων και του δακτυλίου αφήνεται να κυλίσει προς τα κάτω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως, όπως φαίνεται στο σχήμα, να προσδιοριστεί ο ελάχιστος συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ δακτυλίου και επιπέδου οποίος αποτρέπει την ολίσθηση της διάταξης. Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενής ράβδου μάζας m και μήκους κέντρο της και είναι κάθετη σε αυτή Icm m και η επιτάχυνση της βαρύτητας g. ως προς άξονα που διέρχεται από το Δίνεται επίσης ότι το κέντρο μάζας της τετράγωνης διάταξης των ράβδων συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο του δακτυλίου. Λύση Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ) της διάταξης όπου φαίνονται οι δυνάμεις που ενεργούν σε αυτήν και το ισοδύναμο κινητικό διάγραμμα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Οι δυνάμεις που ασκούνται στην διάταξη είναι: Το βάρος της w 4mg (κάθε μία ράβδος έχει μάζα m ενώ ο δακτύλιος θεωρείται αμελητέας μάζας). Η δύναμη από το κεκλιμένο επίπεδο η οποία αναλύεται σε δύο συνιστώσες: Την κάθετη αντίδραση N η οποία διέρχεται από το κέντρο της διάταξης (οι επιφάνειες εφάπτονται ως απαραμόρφωτες) και την δύναμη της στατικής τριβής T (έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση). g N w x y I 4ma cm T w w
Η διάταξη εκτελεί σύνθετη κίνηση η οποία μπορεί να αναλυθεί σε μία μεταφορική κίνηση και σε μία στροφική κίνηση περί άξονα δια του κέντρου της διάταξης. Αναφερόμαστε στο διπλανό σχήμα: Εύκολα προκύπτει ότι το μήκος κάθε ράβδου είναι. Επίσης το κέντρο μάζας κάθε ράβδου απέχει από το κέντρο της διάταξης απόσταση. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα δια του κέντρου μάζας της και Icm m Icm m Icm m. 6 κάθετο σε αυτήν είναι: Εφαρμόζοντας κατόπιν το θεώρημα Steiner η ροπή αδράνειας κάθε μίας ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας είναι: cm I I m m m I m. 6 3 Επειδή η ροπή αδράνειας μίας διάταξης ως προς άξονα ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας των επιμέρους τμημάτων της ως προς τον ίδιο άξονα, εδώ θα έχουμε: 8 I I I m 3 4. Γράφουμε τώρα τις εξισώσεις της κίνησης για την διάταξη (αναφερόμαστε στο Δ.Ε.Σ. της προηγούμενης σελίδας): F x 4 ma cm w T 4 ma cm 4 mg T 4 ma cm. () F y 0 N w 0 N 4 mg. () 8 8 3 3 Οι εξισώσεις (-3) αποτελούν ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 4 αγνώστους T, acm,, N. I T m T m. (3) Μία άλλη εξίσωση θα προκύψει από τον κινηματικό περιορισμό ότι η κίνηση του δακτυλίου είναι κύλιση χωρίς ολίσθηση πάνω σε ακίνητη επιφάνεια. Εάν P το σημείο επαφής του δακτυλίου με το κεκλιμένο επίπεδο τότε P 0. Αλλά: 0. P cm cm cm Ως εκ τούτου: d d. (4) dt dt cm d cm d acm Προσθέτουμε κατόπιν κατά μέλη τις () και () και εν όψει της (4) παίρνουμε: 8 0 3 4mg 4macm macm 4g acm acm g. (5) 3 3 5
Λαμβάνοντας υπόψη τις (4) και (5) έπεται: 8 3 8 T m g T mg. (6) 3 5 5 Για να μην ολισθαίνει τώρα ο δακτύλιος πρέπει για την αναπτυσσόμενη τριβή μεταξύ δακτυλίου και επιπέδου να ισχύει:,6 8 T Tmax sn mg 4 smg 5 3
Σύνθετη κίνηση τροχαλίας Επιμέλεια: Δημήτρης Αναγνώστου Διπλή τροχαλία αρθρώνεται στο κέντρο της G πάνω σε ένα σώμα που μπορεί να ολισθαίνει πάνω κάτω. Η εσωτερική τροχαλία που έχει ακτίνα r 30mm προσαρμόζεται στερεά πάνω στην εξωτερική τροχαλία που έχει ακτίνα 60mm. Αν γνωρίζουμε ότι το σχοινί Ε το τραβάμε με σταθερή ταχύτητα ve 00mm s και το σχοινί D το τραβάμε με σταθερή ταχύτητα v 60mm s, όπως φαίνεται στο σχήμα, να βρεθεί: D (α) Η ταχύτητα του σώματος που ολισθαίνει. (β) Σε πόση απόσταση από το κέντρο της τροχαλίας βρίσκεται το σημείο που στιγμαία έχει μηδενική ταχύτητα. (γ) Το μήκος του σχοινιού που τυλίγεται ή ξετυλίγεται πάνω σε κάθε τροχαλία ανά δευτερόλεπτο. (δ) Η κινητική ενέργεια της διάταξης ολισθητή-τροχαλίας εάν η μάζα του ολισθητή είναι m 4kg, η μάζα της τροχαλίας είναι M 0.5kg και η ροπή αδράνειας D G v D r v E E αυτής ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι IG 3 0 kgm. Λύση Προφανώς v v 00mm s. E v v 60mm s. D (α) Ας είναι v G η ταχύτητα του κέντρου της τροχαλίας και y x G v G P v η γωνιακή ταχύτητα αυτής. Έστω η v G έχει φορά προς τα v κάτω και η έχει αντιωρολογιακή φορά. Είναι v vg v v 360 4rad s. v vg r r 90 Οπότε v v r 60 430 40mm s, G
με φορά προς τα κάτω. Επειδή η τροχαλία είναι αρθρωμένη στο κέντρο της G με το σώμα που ολισθαίνει, η ζητούμενη ταχύτητα του σώματος είναι 40mm s και έχει φορά προς τα κάτω. (β) Ας είναι τώρα P το σημείο της τροχαλίας που έχει στιγμιαία μηδενική ταχύτητα (στιγμαίος πόλος περιστροφής). Το σημείο αυτό βρίσκεται δεξιά του κέντρου G σε απόσταση GP τέτοια ώστε (γ) vg 40 0 vp GP vg GP 0mm. 4 v v 00 40 40 mm s G Το σχοινί Ε ξετυλίγεται με ρυθμό 40mm s. v v 60 40 0 mm s. G Το σχοινί Ε ξετυλίγεται με ρυθμό 40mm s. (δ) Η ζητούμενη κινητική ενέργεια του συστήματος είναι 3 K mvg MvG IG 40.04 0.04 80 4 0.00J. slider pulley Σημείωση: Παρατηρούμε ότι από την ομοιότητα των σχηματιζόμενων τριγώνων τα πέρατα των διανυσμάτων v και v βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Γραφικά φαίνεται λοιπόν ότι το σημείο P (στιγμιαίος πόλος περιστροφής) βρίσκεται δεξιά του G. Θα μπορούσαμε λοιπόν να εργαστούμε και ως εξής: Οπότε Οπότε v P v v v v 4rad s. v P P P r v P 50 mm. GP 60 50 0 mm. Όπως και προηγουμένως.
Σύνθετη και Μεταφορική Κίνηση: Μία παραλλαγή του γιο-γιο Επιμέλεια: Δημήτρης Αναγνώστου Στο διπλανό σχήμα, ένα αβαρές μη ελαστικό σχοινί, είναι τυλιγμένο αρκετές φορές γύρω από έναν ομογενές κύλινδρο μάζας M και ακτίνας. Το ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι προσδεμένο σε σταθερό οριζόντιο επίπεδο. Ο κύλινδρος έχει ένα ομόκεντρο κυκλικό αυλάκι ακτίνας r, σκαμμένο πάνω του. Ένα αβαρές μη ελαστικό σχοινί είναι τυλιγμένο στο αυλάκι και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι προσδεμένο σώμα μάζας m. Το σύστημα συγκρατείται σε ηρεμία με τα σχοινιά τεντωμένα. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερο. Να βρεθεί: a. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. b. Η τάση κάθε σχοινιού. Τι αλλάζει στην απάντησή σας στα παραπάνω ερωτήματα εάν αντί για σώμα μάζας m, εφαρμοσθεί σταθερή κατακόρυφη προς τα κάτω δύναμη F mg στο ίδιο σημείο που αναρτάται το σώμα Σ; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που ενώνει τα κέντρα των βάσεων του IG mr ξετυλίγονται και ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. G r. Θεωρείστε ότι τα σχοινιά δεν γλυστρούν καθώς m M Λύση Ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση (γενική επίπεδη κίνηση) που την T θεωρούμε ως την επαλληλία μίας μεταφορικής και μίας περιστροφικής γύρω από τον άξονα που ενώνει τα κέντρα των βάσεων του. Το σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση. Εξισώσεις κίνησης του κυλίνδρου: F y Ma Mg T T Ma. () I G G T T r M G r Mg D T r T M. () mg Εξισώσεις κίνησης σώματος: F y ma mg T ma. (3) Οι (-3) περιέχουν 5 αγνώστους: Τις δύο τάσεις και τις τρεις επιταχύνσεις.
Χρειάζονται και δύο επιπλέον εξισώσεις που θα προέλθουν από κινηματικές συνθήκες. Από την εκφώνηση τα σχοινιά είναι αβαρή μη εκτατά και δεν ολισθαίνουν καθώς ξετυλίγονται. Επειδή το ελεύθερο άκρο του σχοινιού που είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυλίνδρου είναι ακλόνητο η εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου Β του κυλίνδρου είναι μηδέν. Αλλά από την ανάλυση της σύνθετης κίνησης του κυλίνδρου τούτο το σημείο θα έχει επιτάχυνση a προς τα κάτω λόγω μεταφοράς και επιτρόχια επιτάχυνση προς τα πάνω λόγω της στροφικής κίνησης. Συνεπώς 0 a a a. (4) Η επιτάχυνση του σώματος ισούται με την εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου D. Αλλά το σημείο αυτό θα έχει επιτάχυνση a προς τα κάτω λόγω μεταφοράς και επιτρόχια επιτάχυνση επίσης προς τα κάτω λόγω της στροφικής κίνησης. Συνεπώς translation rotation about G 4 a r a ad a r a r a. (5) Από την () έπεται τώρα εν όψει της (4) r T Ma. (6) Παραπέρα η (3) γράφεται λόγω της (5) r T mg ma. (7) Οπότε η () από τις (6) και (7) γράφεται διαδοχικά r r r Mg mg ma mg ma Ma Ma r r r r Mg mg mg ma ma Ma Ma r r r r M m g m m M a Ma 3 r r r r M m m a M m g r m r M m M M a g a g 3 r r r m r m r r M m m M 3 M M r
a 3 g 3 g a g. (8) 3 Η (8) προσδιορίζει την ζητούμενη επιτάχυνση του κέντρου μάζας, με Από την (7) και την (8) τώρα έχω: m και M r. T mg m g mg, (9) 3 3 ενώ από την (6) και τις (8), (9) παίρνω mg 3 3 Στην ειδική περίπτωση m 0 είναι g 3 a, Mg T, T 0. 3 Mg. (0) Αυτή είναι η «κλασσική» λύση ενός γιο-γιο με σταθερό το άκρο του τυλιγμένου σχοινιού. (Πράγματι εφαρμόζοντας στην περίπτωση αυτή τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης ως προς τον στιγμιαίο πόλο περιστροφής Β έχουμε Οπότε a 3 G I Mg M M ag g. Mg 3 3 Fy Mg T Ma T Mg Mg.) Εάν στην θέση του σώματος εφαρμοστεί μία δύναμη F την μορφή T F mg τότε οι σχέσεις () και () παίρνουν F y Ma Mg F T Ma. () G IG T Fr M r r F M F Ma. () Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () τότε a 3
r 3 Mg F F Ma Ma Mg mg mg Ma M m a g. (3) 3 M Τέλος η τάση T προσδιορίζεται από τις () και (3) mg M m g M m g. 3 3 4