ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Μη γνήσια ολοκληρώματα. Μιχ. Γ. Μαριάς
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα ενότητας. Ορισμός του μη γνήσιου ολοκληρώματος. 2. Εφαρμογές του μη γνήσιου ολοκληρώματος. 4
Σκοποί ενότητας Ορίζονται τα μη γνήσια ολοκληρώματα και δίνονται εφαρμογές τους. 5
Μη γνήσια ολοκληρώματα () Μέχρι τώρα μελετήσαμε τα πολλαπλά ολοκληρώματα όπου, f x dx η f είναι ολοκληρώσιμη (άρα και φραγμένη), και το Α είναι φραγμένο με σύνορο μέτρου 0. Τώρα, θα μελετήσουμε ολοκληρώματα θετικών συναρτήσεων (f 0), όπου: f x dx, 6
Μη γνήσια ολοκληρώματα (2) (α) Η f είναι ολοκληρώσιμη επί του φραγμένου Α, εκτός ίσως από ένα υποσύνολο μηδενικού μέτρου, πάνω στο οποίο η f απειρίζεται (Σχ.). (β) Η f είναι φραγμένη επί του μη φραγμένου Α και ολοκληρώσιμη πάνω σε όλα τα καλά και φραγμένα υποσύνολα του Α. (γ) Συνδυασμός των (α) και (β). Τα ολοκληρώματα αυτά λέγονται μη γνήσια. 7
Μη γνήσια ολοκληρώματα (3) Σχήμα 8
Μη γνήσια ολοκληρώματα (4) Για τον ορισμό, αλλά και τον υπολογισμό ενός μη γνήσιου ολοκληρώματος, παίρνουμε μια αύξουσα ακολουθία Α υποσυνόλων του Α με σύνορο μέτρου 0 και τ.ω. Α στο Α καθώς το, και επί των Α η f να είναι ολοκληρώσιμη. Η f είναι ολοκληρώσιμη και ορίζουμε το μη γνήσιο ολοκλήρωμα ως εξης: f lim f = lim f Επισημαίνουμε ότι το ως άνω όριο πάντα υπάρχει ή είναι +, αφού πρόκειται για όριο θετικής και αύξουσας ακολουθίας.. 9
Μη γνήσια ολοκληρώματα (5) Παράδειγμα : Να υπολογιστεί το μη γνήσιο ολοκλήρωμα J = y 2 0, 2 x 2/3 dxdy. Λύση: Η y2 x2/3 απειρίζεται επί της ευθείας x = 0. Θέτουμε λοιπόν = x, 0 y. Έχουμε Α, και επί των Α, η y2 2/3 είναι φραγμένη. Άρα J = y 2 x 2/3 dxdy = x 2/3 dx x y 2 dy 0 = 3 3x/3 / = 3. 0
Μη γνήσια ολοκληρώματα (6) Παράδειγμα 2: (Ένα ολοκλήρωμα που απειρίζεται) Να υπολογιστεί το μη γνήσιο ολοκλήρωμα x 2 y 2 J = 0, 2 x 2 + y 2 2 dxdy. Λύση: Θέτουμε = x, y. Η διαγώνιος χωρίζει το σε δύο κομμάτια: το που είναι κάτω από την διαγώνιο όπου x y, και το 2 που είναι από πάνω και x y. Έχουμε
Μη γνήσια ολοκληρώματα (7) = = dx J = x 2 y 2 x 2 + y 2 2 x x 2 y 2 x 2 + y 2 2 dxdy + x 2 y 2 x 2 + y 2 2 dy = 2 dx 2 + dy dxdy y 2 x 2 x 2 + y 2 2 y x 2 y 2 x 2 + y 2 2 dy dxdy y 2 x 2 x 2 + y 2 2 dx αφού οι ρόλοι των x, y στα ως άνω ολοκληρώματα είναι τελείως συμμετρικοί. x, 2
Μη γνήσια ολοκληρώματα (8) Παρατηρούμε ότι και συνεπώς y y x 2 + y 2 = x2 y 2 x 2 + y 2 2, dx = dx = x x x 2 y 2 x 2 + y 2 2 y y y x 2 + y 2 y=x x 2 + y 2 y= dy dx dy 3
Μη γνήσια ολοκληρώματα (9) = / x 2x 2 dx = 2 log log x 2 + 2 x 2 + 2 dx dx + 0. 4
Μη γνήσια ολοκληρώματα (0) Παράδειγμα 3: (Ένα ολοκλήρωμα που απειρίζεται) Να υπολογιστεί το μη γνήσιο ολοκλήρωμα x y dxdy, όπου = 0 x, 0 y x Λύση: Θέτουμε (Σχήμα 2) δ = δ x, 0 y δ. 5
Μη γνήσια ολοκληρώματα () Σχήμα 2 6
Μη γνήσια ολοκληρώματα (2) Οπότε, καθώς το δ 0. x y dxdy = dx Α δ δ x δ x y = log(x y) y=x δ y=0 dx δ = logδ + logx dx δ = δ logδ + logxdx δ = δ logδ +, 0 dy 7
Μη γνήσια ολοκληρώματα (3) Παρατήρηση: Αν η f: R δεν είναι πλέον θετική, το μη γνήσιο ολοκλήρωμα f x dx μπορεί να οριστεί στην περίπτωση που το μη γνήσιο ολοκλήρωμα f x dx υπάρχει. Το ορίζουμε ως την διαφορά f x dx = f + x dx f x dx < +, 8
Μη γνήσια ολοκληρώματα (4) αφού οι f +, f είναι θετικές, f = f + + f και επιπλέον τα f + x dx είναι μικρότερα ή ίσα του, f x dx f x dx <. Παράδειγμα 4: Δείξτε ότι το μη γνήσιο ολοκλήρωμα συν x + y + x 2 dxdy 0, 2 y υπάρχει. 9
Μη γνήσια ολοκληρώματα (5) Λύση: Έχουμε να δούμε αν συν x + y + x 2 dxdy = 0, 2 y + x 2 dxdy <. 0, 2 y Η ανωμαλία εντοπίζεται στην ευθεία y = 0, την οποία και απομονώνουμε εξετάζοντας το ολοκλήρωμα: 0 x + x 2 dxdy = y + x 2 dx dy y 0 y = τοξεφx 0 2 y = π 2 ν π 2. 20
Βιβλιογραφία. Γ. Γεωργανόπουλος, Ολοκληρωτικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών, Εκδόσεις Αδελφοί Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, 995. 2. Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, 996. 3. J. Marsde,. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2000. 4. M. Spivac, Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 994. 2
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Μιχάλης Μαριάς. «. Ενότητα 2: Μη γνήσια ολοκληρώματα». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 204. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs437/
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [] http://creativecommos.org/liceses/by-sa/4.0/
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 204-205