Άσκηση. Κεφάλαιο Έστω χ η πόσοτητα ενός αγαθού που παράγει μια επιχείρηση. Η κάθε μονάδα αυτής της ποσότητας μπορεί να πουλήθει στην τιμή που δίνεται από τη συνάρτηση P = 00. Το συνολικό κόστος για την παραγωγή χ μονάδων του αγαθού είναι 00 TC( ) = 00+ 0 +. 00 ) Να βρείτε τα κέρδη της επιχείρησης όταν παράγει: α) 0 μονάδες, β) 000 μονάδες, γ) 000, δ) 000, ε) 4000 και στ) 5000 μονάδες. ) Να κατασκευάστε τη γραφική παράσταση των κερδών της επιχείρηση που προκύπτει για τα παραπάνω επίπεδα παραγωγής. ) Να βρείτε το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης; Να διασταυρώσετε την αλγεβρική λύση των παραπάνω ερωτημάτων με τη βοήθεια του ecel solver. ) Κέρδος επιχείρησης: π = P ( ) TC ( ) π = (00 ) (00 + 0 + ) 00 00 π = 00 + 80 00 Επομένως, για: = 0, π = 00 = 000, π = 66466.67 = 000, π = 06466.7 = 000, π = 9800 = 4000, π = 06466.7 = 5000, π = 66466.67 ) Η γραφική παράσταση κατασκευάζεται βάσει των παραπάνω συνδυασμών παραγωγής και κέρδους. ) Για να βρούμε το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης, θέτουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης κέρδους ως προς το επίπεδο παραγωγής ίση με το μήδεν, και λύνουμε ως προς το επίπεδο παραγωγής (Συνθήκη πρώτης τάξης). π = = = 75 * 0 80 0 000
Για να βεβαιωθούμε ότι η λύση που βρήκαμε αντιστοιχεί στο μέγιστο επίπεδο παραγωγής και όχι στο ελάχιστο, ελέγχουμε ότι η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική (Συνθήκη δεύτερης τάξης). (80 ) π 75 = 0 = < 0 75 Άσκηση.8 Έστω μία επιχείρηση του παράγει δύο αγαθά και z. Συμβολίζουμε με και z τον αριθμό των μονάδων που παράγει η επιχείρηση από το κάθε αγαθό. Η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης για τα αγαθά και z είναι αντίστοιχα: z z P = 00 και P z = 80. 00 400 50 00 Η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης είναι: ( ) + z TC(, z) = 00+ 0 + 0z +. 00 ) Να βρείτε τα επίπεδα παραγωγής του κάθε αγαθού που μεγιστοποιούν τα κέρδη της επιχείρησης και να τα διασταυρώσετε με τη βοήθεια του ecel solver. ) Αν η επιχείρηση έπρεπε να παράγει την ίδια ποσότητα από κάθε αγαθό, να βρείτε πόσες μονάδες από κάθε προϊον θα παρήγαγε έτσι ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της. Διασταυρώστε με τη βοήθεια του ecel solver. ) Τι παρατηρείτε σχετικά με την ποσότητα κάθε αγαθού που παράγει η επιχείρηση στις παραπάνω περιπτώσεις και τι για το συνολικό προϊον; ) Κέρδος επιχείρησης: π = P + P TC(, ) z z z ( ) + z z z π = (00 ) + (80 ) z (00 + 0 + 0 z + ) 00 400 50 00 00 7 z z π = 00 + 80 + 70z 400 80 48 Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες πρώτης τάξης, έχουμε: π = = z * 0 888 π = = * 0 z.6
) Αν η επιχείρηση έπρεπε να παράγει την ίδια ποσότητα από κάθε αγαθό, τότε θα πρέπει να θέσουμε στις αρχικές εξισώσεις = z =. Επομένως, P P z = 00 80 = 80 40 TC( ) = 00 + 0 + 75 Το κέρδος της επιχείρησης είναι: 6 π = P + P z TC( ) π = 00 + 50 00 Η συνθήκη πρώτης τάξης μας δίνει το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης: π 6 = 0 = 600 * 50 475.4 ) Παρατηρούμε ότι ο περιορισμός = z = μειώνει τη συνολική παραγωγή της επιχείρησης καθώς οι πόροι δεν χρησιμοποιούνται με τον πλέον αποδοτικό τρόπο για την παραγωγή των δύο αγαθών που μεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος της επιχείρησης. Άσκηση 4. Κεφάλαιο 4 Δίνεται η συνάρτηση ζήτησης Dp ( ) = 000( p). ) Ποια είναι η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης; ) Ποια είναι η κλίση της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης και σε ποια σημεία τέμνει τους δύο άξονες; Να δείξετε διαγραμματικά την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης. ) Να υπολογίσετε την ελαστικότητα ζήτησης όταν η τιμή αυξάνεται από 8 σε 8.5 και όταν η ποσότητα αυξάνεται από 4000 μονάδες σε 4500 μονάδες. ) Για να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης, λύνουμε την συνάρτηση ζήτησης D( p ) ως προς p.
Dp ( ) = 000( p) 000 p = = 000 000 ) Η παραπάνω συνάρτηση είναι της μορφής =A- b και επομένως η κλίση της αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης είναι. 000 Για να βρούμε σε ποιο σημείο τέμνει τον άξονα των τιμών, θέτουμε = 0. Επομένως, έχουμε p =. Για να βρούμε σε ποιο σημείο τέμνει τον άξονα των ποσοτήτων, θέτουμε p = 0. Επομένως, έχουμε = 000. Εφόσον η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης είναι γραμμικής μορφής, το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία (000,0) και (0,) απεικονίζει τη διαγραμματική της μορφή. ) Η ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από τη σχέση: % Δq Δq p ε = = Δp q Επομένως, όταν η τιμή αυξάνεται από 8 σε 8.5, η ζητούμενη ποσότητα μειώνεται από Dp= ( ) 000( 8) = 4000 σε Dp= ( ) 000( 8.5) = 500 μονάδες. Επομένως, Δqp 500 8 ε = = = Δpq 0.5 4000 Επίσης, όταν η ζητούμενη ποσότητα αυξάνεται από 4000 σε 4500 μονάδες, η τιμή 4000 4500 μειώνεται από p = = 8 σε p = = 7.5. Επομένως, 000 000 Δqp 500 8 ε = = = Δpq 0.5 4000 Άσκηση 4.4 Μία επιχείρηση πουλάει το προϊόν της στη τιμή των 8 ανά μονάδα και σε αυτή την τιμή πουλάει 0000 μονάδες μηνιαίως. Τα εμπειρικά δεδομένα που έχει συλλέξει η επιχείρηση καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι για μικρές μεταβολές της τιμής, μία μεταβολή της τιμής κατά % οδηγεί στην αντίθετη μεταβολή στην ποσότητα που πουλάει κατά %. ) Πως θα επηρεάζονταν τα έσοδα της επιχείρησης αν μείωνε την τιμή του αγαθού κατά 0.0 ; ) Πως θα επηρεάζονταν τα έσοδα της επιχείρησης αν μείωνε την ποσότητα του αγαθού που πουλάει κατά 50 μονάδες; ) Θα συμβουλεύατε την επιχείρηση να αυξήσει ή να μειώσει την τιμή του αγαθού για να αυξήσει τα έσοδά της; Γιατί;
) Με βάση το γεγονός ότι για μικρές μεταβολές της τιμής, μία μεταβολή της τιμής κατά % οδηγεί στην αντίθετη μεταβολή στην ποσότητα κατά %, έχουμε: % Δq % ε = = = % Επομένως, μια μείωση της τιμής κατά 0.0 αντιστοιχεί σε μια ποσοστιαία μείωση Δp 0. της τάξης του % Δ p = = = 0.05=.5%. Άρα, με βάση τον τύπο της P αρχ 8 ελαστικότητας, η ποσοστιαία αύξηση στη ζητούμενη ποσότητα είναι: % Δq ε = = % Δ q = (.5) =.75% Η τελική ποσότητα είναι q τελ = 0000*(.075) = 075 μονάδες. Επομένως, τα έσοδα που αντιστοιχούν στην μείωση της τιμής ειναι p q = 7.9*075 = 896.5 ενώ τα αρχικά έσοδα ήταν 80000. τελ τελ ) Αντιθέτως, αν η επιχείρηση μείωνε την ποσότητα του αγαθού κατά 50 μονάδες, τότε θα είχαμε μια ποσοστιαία μεταβολή της τάξης του Δq 50 % Δ q = = = 0.05=.5% που αντιστοιχεί σε μια ποσοστιαία αύξηση της 0000 q αρχ % Δq.5 τιμής κατά ε = = % Δ p = = 0.5%. Η τελική τιμή είναι q τελ = 8*(.005) = 8.04. Επομένως, τα έσοδα που αντιστοιχούν στην μείωση της τιμής ειναι p q = 8.04*9850 = 7994 ενώ τα αρχικά έσοδα ήταν 80000. τελ τελ ) Τα έσοδα μιας επιχείρησεις δίνονται από το γινόμενο της τιμής επί της ποσότητας. Καθώς όμως υπάρχει μια αρνητική σχέση μεταξύ τιμής και ποσότητας, είναι αμφίβολο αν μια αύξηση της τιμής, που θα οδηγήσει σε μια μείωση της ποσότητας, θα είναι προς όφελος της επιχείρησης. Η κρίσιμη παράμετρος που επηρεάζει τα έσοδα της επιχείρησης είναι η ελαστικότητα ζήτησης. Θυμηθείτε ότι η ελαστικότητα ζήτησης ισούται με την ποσοστιαία μεταβολή στην ποσότητα προς την ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή. Επομένως: % Δq Αν η ζήτηση είναι ανελαστική, δηλαδή αν ε < < % Δ q<, η ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή είναι μεγαλύτερη από την ποσοστιαία μεταβολή στην ποσότητα που προκαλείται. Αυτό σημαίνει ότι τα έσοδα της επιχείρησης αυξάνονται όταν αυξηθεί η τιμή, καθώς η αύξηση στα έσοδα από την αύξηση της τιμής υπερκαλύπτει τη μείωση στα έσοδα από την μείωση στην ποσότητα που πωλείται.
% Δq Αν αντίθετα η ζήτηση είναι ελαστική, δηλαδή αν ε > > % Δ q>, τα έσοδα της επιχείρησης αυξάνονται όταν μειωθεί η τιμή, καθώς η αύξηση στα έσοδα από την αύξηση της ποσότητας που πωλείται υπερκαλύπτει τη μείωση στα έσοδα από την μείωση στην τιμή. Άσκηση 4.6 Μία αυτοκινητοβιομηχανία μεγιστοποιεί το κέρδος της πουλώντας.6 εκατομμύρια αυτοκίνητα μιας συγκεκριμένης κατηγορίας (π.χ πόλης) στην τιμή των 0 χιλιάδων Ευρώ έκαστος. Αν η ελαστικότητα ζήτησης για τα συγκεκριμένα αυτοκίνητα είναι - 4, να υπολογίσετε το οριακό κόστος παραγωγής των αυτοκινήτων της συγκεκριμένης κατηγορίας για αυτήν την αυτοκινητοβιομηχανία. Η επιχείρηση μεγιστοποιεί το κέρδος της πουλώντας.6 εκατομμύρια αυτοκίνητα μιας συγκεκριμένης κατηγορίας (π.χ πόλης) στην τιμή των 0 χιλιάδων Ευρώ έκαστος. Αυτό σημαίνει ότι για αυτό το συνδυασμό τιμής- ποσότητας, το οριακό έσοδο της επιχείρησης ισούται με το οριακό της κόστος. Άρα: ΔP ΔP MR = MC P + Q = MC P MC = Q ΔQ ΔQ P MC ΔP Q P ΔQ P = = P ΔQ P P MC ΔP Q P P P = 4 MC = P = = 0000 P MC 4 4 4 MC = 5000 Άσκηση 4.8 Υποθέτουμε ότι μία επιχείρηση έχει ένα σταθερό οριακό κόστος παραγωγής, το οποίο το συμβολίζουμε με c. Η επιχείρηση αυτή ορίζει ένα περιθώριο κέρδους, δηλαδή θέτει την τιμή για τα προϊόντα της ίση με το οριακό κόστος παραγωγής τους προσαυξημένο κατά ένα ποσοστό. Αν το περιθώριο κέρδους που μεγιστοποιεί τα κέρδη της είναι ίσο με 0%, δηλαδή P=.c, να βρείτε την ελαστικότητα ζήτησης για τα προϊόντα της επιχείρησης. Σύμφωνα με την ανάλυση που χρησιμοποιήσαμε για την επίλυση της άσκησης 4.6, P MC ΔP Q έχουμε: = =. Άρα,. c c 0. c. = = ε = = 6. P ΔQ P ε.c ε.c ε 0.
ΔQP Επομένως, η ελαστικότητα ζήτησης είναι - 6 αφού ε =. Δ PQ Άσκηση 5. Κεφάλαιο 5 Υποθέτουμε ότι τρεις καταναλωτές αγοράζουν έναν συνδυασμό (bundle) από b φρατζόλες ψωμί, c κιλά τυρί και s κιλά σαλάμι. Η συνάρτηση χρησιμότητας του κάθε καταναλωτή δίνεται από: U ( b, c, s) = ln( b) + 0.5ln(c) + 0.5ln( s) 4 U( b, c, s) = b c s U ( b, c, s) = b+ c+ ln( s) Να βρείτε ποιον από τους ακόλουθους συνδυασμούς αγαθών θα επιλεξει ο κάθε καταναλωτής: Bundle : ( bcs,, ) = (4,0.5,0.5) Bundle : ( bcs,, ) = (,.5,0.5) Bundle : ( bcs,, ) = (,0.5,.5) Αντικαθιστούμε τις τιμές τως b, c και s του κάθε bundle στις συναρτήσεις χρησιμότητας του κάθε καταναλωτή. Η χρησιμότητα του καταναλωτή, όταν καταναλώνει το bundle, και, αντίστοιχα, είναι: U ( b, c, s) = ln( b) + 0.5ln(c) + 0.5ln( s) U (4,0.5,0.5) = ln( + 0.5ln(0.5) + 0.5ln(0.5) = 0.4657 U (,.5,0.5) = ln() + 0.5ln(.5) + 0.5ln(0.5) = 0.4585 U (,0.5,.5) = ln() + 0.5ln(0.5) + 0.5ln(.5) = 0.57 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για τον καταναλωτή, βρίσκουμε ότι: 4 U( b, c, s) = b c s U (4,0.5,0.5) = 6 U (,.5,0.5) =.5 U (,0.5,.5) = 0.65 Τέλος, για τον καταναλωτη, ισχύει ότι: U ( b, c, s) = b+ c+ ln( s) U (4,0.5,0.5) =. 74 U (,.5,0.5) =. 7 U (,0.5,.5) =. 86
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι ο καταναλωτής επιλέγει το ο bundle, ο καταναλωτής επιλέγει το ο bundle, ενώ ο καταναλωτής επιλέγει το ο bundle. Άσκηση 5.5 Έστω ότι η χρησιμότητα ένος καταναλωτή από την κατανάλωση των αγαθών b, c και s δίνεται από τη συνάρτηση Ubcs (,, ) = 0ln( b) + ln(c+ ) + 0.5ln( s+. Αν η τιμή των τριών αγαθών είναι, 5 και 0 αντίστοιχα και ο καταναλωτής έχει στη διάθεσή του 8 για να ξοδέψει, να βρείτε πόση ποσότητα από κάθε αγαθό θα καταναλώσει. Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα όταν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι Ubcs (,, ) = 0ln( b) + ln(c) + 0.5ln( s+ + m, όπου m το ποσό που δεν καταναλώθηκε (mone left over) για την αγορά των τριών αγαθών. Να εξετάσετε και την περίπτωση κατά την οποία ο καταναλωτής έχει στη διάθεσή του μόνο 6.6 για να ξοδέψει. Υποθέτουμε ότι ο καταναλωτής μεγιστοποιεί την χρησιμότητα του καταναλώνοντας θετικές ποσότητες από όλα τα αγαθά. Bangs for the buck: MUb MUc MU s = = P P P b c s 0 0.5 = = b ( c+ ) 5 ( s+ 0 b 0( s+ = 5( c + ) = 0 0.5 0.b= 5( c+ ) = 0( s+ Άρα, c = 0.04b και s = 0.0b 4 Επίσης, ο εισοδηματικός περιορισμός του καταναλωτή συνεπάγεται ότι: b+ 5c+ 0s = 8 Αντικάθιστώντας τις συναρτήσεις των c και s ως προς b στην παραπάνω σχέση έχουμε: b+ 5(0.04b ) + 0(0.0b = 8.b 45= 8 b= 55. 65 Άρα, c = 0.04(55. 65) =.608 και s = 0.0(55. 65) 4 =.4448. Παρατηρούμε ότι η επιλεγόμενη τιμή για το αγαθό s είναι αρνητική, οπότε παραβιάζεται η υπόθεση ότι ο καταναλωτής καταναλώνει μία θετική ποσότητα από κάθε αγαθό. Επομένως, θέτουμε s=0 και υποθέτουμε ότι ο καταναλωτής επιλέγει μία θετική ποσότητα από το κάθε αγαθό b και c. Επομένως:
MUb MUc 0 b = = = 5( c + ) P P b ( c+ ) 5 0 b c 0.b= 5( c+ ) b= 5( c+ ) Επίσης, θα πρέπει b+ 5c = 8. Αντικαθιστώντας έχουμε (5( c+ )) + 5c= 8 c= 0.6 και b+ 5(0.6) = 8 b= 40. Έστω τώρα ότι μετά την αγορά των ποσοτήτων των αγαθών, ο καταναλωτής έχει ρευστά διαθέσιμα αξίας m ευρώ. Το Bangs for the buck for mone left over είναι. Οπότε: MUb MUc MU s = = = P P P b c s 0 0.5 = = = b 5c 0( s+ 5 = = = b 5c 0( s+ Επομένως, b = 5, c = / 5 = 0. και 0( s+ = s =.95. Ο καταναλωτής καταναλώνει 5 μονάδες από το αγαθό b, 0. μονάδες από το αγαθό c και καθόλου από το αγαθό s. Η κατανάλωση των παραπάνω αγαθών κοστίζει b+ 5c+ 0s= (5) + 5(0.) + 0(0) = που είναι λιγότερα από τα 8 που διαθέτει ο καταναλωτής. Αν όμως ο καταναλωτής είχε μόνο 6.6 για την κατανάλωση των αγαθών, τότε 5 = = b 5c 0( s+ b = 5c= 0( s+ 5 Άρα, b= 00( s+ και c= 4( s+. Επίσης, b+ 5c+ 0s = 6.6. Επομένως, b = 0.6, c = 0.8 και s =.80. Όπως και b προηγουμένως, θέτουμε s = 0. Άρα: = 5c b= 5c και b+ 5c = 6.6. 5 Αντικαθιστώντας την πρώτη εξίσωση στη δεύτερη έχουμε (5 c) + 5c= 6.6 c= 0. και b =. Άσκηση 5.8 Ένας καταναλωτής έχει στη διάθεσή του 5 για να αγοράσει ψωμί και τυρί. Έστω ότι η κάθε φρατζόλα ψωμιού κοστίζει 0.5 και το κάθε κιλό τυρί. Με βάση τα παραπάνω δεδομένα, να σχεδιάσετε την καμπύλη που αντιπροσωπεύει τον προϋπολογισμό (budget set) του καταναλωτή για την αγορά των δύο αγαθών. Έστω ότι ο καταναλωτής ξοδεύει όλα τα ρευστά διαθέσιμά του στην αγορά ψωμιού. Τότε μπορεί να αγοράσει 5/0.5=0 φραντζόλες ψωμί.
Αντιθέτως, αν ξοδέψει όλα τα ρευστά διαθέσιμά του στην αγορά τυριού, τότε μπορεί να αγοράσει 5/=5 κιλά τυρί. Η ένωση των δύο αυτών σημείων (0,0) και (5,0), όπου στον κάθετο άξονα έχουμε θέσει την ποσότητα ψωμιού και στον οριζόντιο την ποσότητα τυριού), μας δίνει όλες τις ποσότητες των δύο αγαθών που μπορεί να αγοράσει ο καταναλωτής δεδομένου του προϋπολογισμού του. budget set Ψωμί (φρατζόλες) 5 0 5 0 5 0 5 0 0 5 Τυρί (Kg)