ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2013/14 Μιχαηλίδου Αγγελική Λάλας Γεώργιος
Περιγραφή Πλαισίου Σχολείο: 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών Τμήμα: Β 3 Υπεύθυνος καθηγητής: Δημήτριος Διαμαντίδης Συνοδός: Δημήτριος Πρωτοπαπάς Ημερομηνία: 27 Ιανουαρίου 2014 Διδακτική ώρα: 4 η Διάρκεια διδακτικής ώρας: 40 λεπτά Θέμα: Συνάρτηση y=ax
Μαθηματικό θέμα και ένταξη του στο Αναλυτικό Πρόγραμμα Στην Α Γυμνασίου (Κεφάλαιο: Κανονικότητες Συναρτήσεις): Αλγεβρική και γραφική αναπαράσταση κανονικοτήτων Στην Β Γυμνασίου (Κεφάλαιο: Κανονικότητες Συναρτήσεις): Συμμεταβολή μεγεθών, πολλαπλές αναπαραστάσεις συνάρτησης Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης Γραφικές παραστάσεις με πίνακες τιμών Υπολογισμός, γραφικός και αλγεβρικός, των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής Τι τιμές μπορεί να πάρει η ανεξάρτητη μεταβλητή σε σχέση με τις συνθήκες της κατάστασης Επίλυση προβλημάτων που μοντελοποιούνται με συναρτήσεις Ανάλογα ποσά, εισαγωγή στην y=αx Προσδιορίζουν τη σχέση που συνδέει τις αντίστοιχες τιμές δύο ανάλογων ποσών Διερευνούν συγκεκριμένες συναρτήσεις της μορφής y=αx
Περιγραφή του προηγούμενου μαθήματος 1/3 Οι μαθητές δούλεψαν σε ομάδες των 4-5 ατόμων με φύλλο εργασίας. Το πρώτο πρόβλημα παρουσιάστηκε στο Α μέροςτουφύλλουεργασίαςόπουταπαιδιάδεν ήξεραν πόσα σημεία πρέπει να επιλέξουν για να σχεδιάσουν την γραφική παράσταση. Δεύτερο πρόβλημα που προέκυψε ήταν οι αρνητικές τιμές της μεταβλητής x. Τρίτο πρόβλημα υπήρξε στο Β μέρος το οποίο είχε πολλά στοιχεία φυσικής, τα οποία μπέρδεψαν τους μαθητές.
Περιγραφή του προηγούμενου μαθήματος 2/3
Περιγραφή του προηγούμενου μαθήματος 3/3 Το τελευταίο πρόβλημα που εμφανίστηκε, ήταν όταν ο καθηγητής ρώτησε τα παιδιά σε μία εικόνα από το Geogebra, ποια από τις δυο γραφικές παραστάσεις έχει μεγαλύτερο a.
Σύνδεση με το επόμενο μάθημα Η ομαδοσυνεργατική εργασία αποτελούσε για τον εκπαιδευτικό, το πρώτο μέρος από έναν κύκλο δύο μαθημάτων. Στο πρώτο μάθημα είχε την ευκαιρία να διαπιστώσει τις δυσκολίες των μαθητών. Στο δεύτερο μέρος, είχε ετοιμάσει ένα νέο - ατομικό- φύλλο εργασίας, βασισμένο στις παραπάνω δυσκολίες. Σε αυτή την παρουσίαση θα εστιάσουμε στο πως ο εκπαιδευτικός πήγε να εξηγήσει ότι για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, χρειαζόμαστε μόνο δύο σημεία.
Στόχοι μαθήματος σύμφωνα με τον εκπαιδευτικό o Στο προηγούμενο μάθημα δεν είχε πετύχει τους στόχους του (ανάλυση της y=ax), απλά έβγαλε κάποια συμπεράσματα χωρίς τυπικά μαθηματικά. o Να καταλάβουν πόσα σημεία χρειάζονται για τη γραφική παράσταση. o Να εξοικειωθούν με τη γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης. o Να διακρίνουν πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης πηγαίνει σε αρνητικές τιμές. o Να κάνει μια εισαγωγή στην έννοια της κλίσης ευθείας, μέσω Geogebra.
Φύλλο εργασίας
Περιγραφή δραστηριότητας Για να σχεδιάσουμε μια ευθεία φτάνει να έχουμε σημεία της. Άρα για να σχεδιάσουμε μια ευθεία της μορφής (για παράδειγμα την ) y ax y 2x
ιάλογοι 1/7 Ο καθηγητής έχει σχεδιάσει την παρακάτω γραφική παράσταση χρησιμοποιώντας τρία σημεία: (1,2), (2,4), (3,6). Στη συνέχεια ρωτάει την τάξη, αν η κατασκευή είναι σωστή και αν είναι η πιο απλή που θα μπορούσαν να κάνουν.
ιάλογοι 2/7 Ξεκινάει μια συζήτηση σχετικά με το πόσα σημεία χρειάζονται για να σχεδιαστεί η ευθεία. Στην αρχή πολλά παιδιά ισχυρίζονται ότι αρκούν δύο σημεία οπότε μπορούν να σβήσουν το «μεσαίο». Ο καθηγητής σβήνει το σημείο και στη συνέχεια έχουμε το διάλογο: (το Κ αναφέρεται στον καθηγητή και το Μ σε μαθητές)
ιάλογοι 3/7 Μ: Θα ήθελα να ρωτήσω, αν είχαμε μόνο το τελευταίο σημείο Κ: Μόνο το τελευταίο. Μ: Ή μόνο το πρώτο Κ: Μόνο το πρώτο. Μ: Πάλι δε θα μπορούσαμε να κάνουμε Κ: Δηλαδή, η E. μας λέει να μην πάρουμε ούτε το τελευταίο, να πάρουμε μόνο ένα σημείο. Μπορούμε να κάνουμε την ευθεία; Α.; Μ: Δεν είναι μόνο υπάρχει και το σημείο (0,0). (ο καθηγητής ζητάει την άποψη και από άλλους μαθητές και φτάνουν στο συμπέρασμα ότι ουσιαστικά σβήνοντας το «μεσαίο» σημείο, πάλι υπάρχουν τρία σημεία στη γραφική παράσταση εφόσον υπάρχει και το (0,0) που ανήκει στην ευθεία).
ιάλογοι 4/7 Κ: Αυτό που λέτε οι περισσότεροι είναι ότι έχουμε σίγουρα ένα σημείο, το (0,0). Όταν η ευθεία είναι ποιας μορφής; y= ; Μ: y=ax Κ: Άρα στην περίπτωση αυτή χρειαζόμαστε ένα σημείο να βρούμε γιατί έχουμε από μόνοι μας το (0,0). Άρα, για συμπληρώστε την πρώτη ερώτηση. (στη συνέχεια παραθέτουμε την εξήγηση που δίνει ο καθηγητής σε έναν μαθητή που φαίνεται να δυσκολεύεται) Κ: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ευθεία. Για να τη σχεδιάσεις θα σου χρειαστούν δύο σημεία. Όμως έχουμε πάντα ένα. Το (0,0) το έχεις. Οπότε θες άλλο ένα, δε θες άλλα δύο. Μ: Ναι, αλλά χρειάζεται δύο σημεία να έχει. ( )
ιάλογοι 5/7 Κ: Οπότε ουσιαστικά βρίσκεις ένα σημείο, έχεις και ένα, θα δούμε τι θα γράψουμε. Θα το διαβάσουμε και θα καταλήξουμε. Γράψτε ότι νομίζετε και θα το δούμε. (αφήνει τα παιδιά να εργαστούν για 1 λεπτό) Κ: Λοιπόν, παιδιά, για να μου διαβάσει κάποιος τι γράψαμε. Κ.; Μ: Κύριε, δεν κατάλαβα, δηλαδή πρέπει να Κ: Πως φτιάχνουμε την ευθεία θέλω να μας πεις. Πόσα σημεία θέλουμε; Μ: Δύο Κ: Δύο. Το ένα ποιο είναι; Μ: Το (0,0) Κ: Και ψάχνουμε άλλο ένα.
ιάλογοι 6/7 (Σημείωση: Στην ηχογράφηση δεν ακούγεται, αλλά τόσο πριν αφήσει τους μαθητές να δουλέψουν όσο και στο διάστημα που εργαζόντουσαν έγινε πολλές φορές η ίδια ερώτηση: αν στο πρώτο κενό πρέπει να γράψουν ένα ή δύο σημεία). Κ: (Ζητάει από μια άλλη μαθήτρια να διαβάσει τι έχει γράψει) Μ: Για να σχεδιάσουμε μια ευθεία φτάνει να έχουμε δύο σημεία, άρα για να σχεδιάσουμε μια ευθεία της μορφής y=ax, για παράδειγμα την y=2x, πρέπει να βρούμε δυο ζευγάρια y, x. Άρα x=0, y=2*0=0 και x ας πούμε x=4 Κ: Πολύ ωραία. Μ: y=2*4=8 Κ: Ωραία! Και σχεδιάζουμε την ευθεία μας. Μ: Βάζουμε τα σημεία στους άξονες και σχεδιάζουμε την ευθεία. Το (0,0) υπάρχει ήδη Οπότε εκτός από το (0,0) χρειάζεται να ξέρω άλλο ένα σημείο πάνω στην...
ιάλογοι 7/7 Κ: Άλλο ένα σημείο πάνω στην Ναι. Μ. τι λες; Μ: Ότι πρέπει να έχουμε έτσι κι αλλιώς δυο σημεία. Το ένα θα είναι από πριν το (0,0) και το άλλο θα το πάρουμε εμείς. (ο καθηγητής ζητάει το ίδιο από μια ακόμα μαθήτρια) Κ: Πάρα πολύ ωραία. Και όλα αυτά γιατί: έχουμε πάντα το σημείο O(0,0). Αυτό όσοι δεν το έχετε γράψει, να το γράψετε. Θα γράψετε: «γιατί έχουμε πάντα το σημείο O(0,0). Η ευθεία y=ax περνάει πάντα από το O(0,0)». Γι αυτό το λόγο χρειαζόμαστε άλλο ένα. Μ: Οπότε πάνω φτάνει να έχουμε δύο σημεία; Κ: Δύο σημεία! Ναι, επάνω δύο σημεία, σωστό. Δηλαδή το ένα που χρειαζόμαστε, είναι το ακόμα ένα. Δεν είναι μόνο ένα!
Κρίσιμο συμβάν Τα παιδιά είχαν καταλάβει από την αρχή ότι χρειάζονται δύο σημεία για να σχεδιάσουν τη γραφική παράσταση της y=ax. Ο καθηγητής όμως, θέλοντας να τους εξηγήσει ότι το ένα σημείο υπάρχει ήδη στο σχήμα τους (ως η αρχή των αξόνων) και ουσιαστικά χρειάζεται να βρίσκουν ένα επιπλέον σημείο, τα μπέρδεψε περισσότερο και κυρίως οδήγησε σε μία σύγχυση σχετικά με τη σωστή απάντηση στο πρώτο ερώτημα της δραστηριότητας.
Παρατηρήσεις-Σχολιασμός 1/2 Το περιστατικό που είδαμε είχε διάρκεια περίπου 10 λεπτών. Η ερώτηση ήταν σχετικά απλή και τα παιδιά είχαν φτάσει στο συμπέρασμα, ότι η απάντηση είναι «δύο» από την αρχή του μαθήματος. Ο καθηγητής, στην προσπάθεια του να τονίσει ότι το O(0,0) είναι πάντα σημείο της y=ax και υπάρχει πάντα στη γραφική της παράσταση μπέρδεψε τα παιδιά κάνοντας τα να νομίζουν ότιχρειάζεταιναγράψουνσαναπάντησητοένα σημείο.
Παρατηρήσεις-Σχολιασμός 2/2 Λίγα παιδιά, παρανόησαν και έκπληκτα ρώτησαν αν μπορούν να σχεδιάσουν ευθεία φέρνοντας μόνο ένα σημείο της. Όλα όμως εστίασαν στο τι να γράψουν και ρωτούσαν επανειλημμένα ποια είναι η σωστή απάντηση. Αυτό θεωρούμε ότι οφείλεται στο γεγονός πως ο καθηγητής τονίζει ότι χρειάζεται να φέρουν ένα σημείο, ενώ το ερώτημα είναι σαφές και ρωτάει πόσα σημεία χρειάζεται να έχουν οι μαθητές για να σχεδιάσουν μια ευθεία.
Πρόταση εναλλακτικού τρόπου αντιμετώπισης 1/2 Οι μαθητές από την αρχή έχουν κατανοήσει ότι αρκεί να έχουν δύο σημεία μιας ευθείας για να την σχεδιάσουν. Στη θέση του καθηγητή, θα ζητούσαμε από τα παιδιά να γράψουν εκείνη τη στιγμή την απάντηση και μετά θα προχωρούσαμε στο επόμενο ερώτημα, στα πλαίσια του οποίου θα γινόταν η συζήτηση για την αρχή των αξόνων που αποτελεί πάντα σημείο της y=ax.
Πρόταση εναλλακτικού τρόπου αντιμετώπισης 2/2 Αν διαπιστώναμε ότι οι μαθητές παρ όλα αυτά έχουν παρανοήσει, θα μπορούσαμε να διαχωρίσουμε σαφώς τα δύο ερωτήματα με την εξής πρόταση: «Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της y=ax από τη στιγμή που είναι ευθεία, χρειαζόμαστε δύο σημεία. Το Ο(0,0) είναι πάντα σημείο της, άρα σας διευκολύνει να το χρησιμοποιήσετε. Έτσι, έχετε ήδη το ένα σημείο και για να βρείτε το δεύτερο βάλτε όποια τιμή θέλετε στο x».
ΤΕΛΟΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ