y είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- y x 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α Ποσά ανάλογα- Η συνάρτηση =α Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό, τότε και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου πολλαπλασιάζονται µε τον ίδιο αριθµό. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α είναι µία ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Όταν αναφερόµαστε στην ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης =α, λέµε η ευθεία µε εξίσωση =α ή απλά η ευθεία =α. Ο άξονας ' είναι η ευθεία µε εξίσωση = 0, δηλαδή = 0. Η κλίση της ευθείας = α Στην ευθεία = α ο λόγος είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- δή. = α, 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας = α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Tα ποσά και είναι ανάλογα. α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα. 6 0 β) Ποιος από τους παρακάτω τύπους εκφράζει το ως συνάρτηση του ; A: =, B: =, Γ: =, : = 0,. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Τα ανάλογα ποσά έχουν σταθερό λόγο, δηλαδή = = 0 = 0 και = = 0 = 6 β) = = = άρα είναι το Γ.

2 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι η = ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επειδή είναι της μορφής =α είναι ευθεία που περνά από την αρχή των α- ξόνων επομένως είναι η ευθεία του δευτέρου σχήματος που περνάει από την αρχή των αξόνων.. Ποια από τις παρακάτω ευθείες έχει κλίση α) = β) = - γ) = δ) = ε) ΑΠΑΝΤΗΣΗ = Επειδή η κλίση είναι ο λόγος σε κάθε περίπτωση είναι: α) = =, β) = - = γ) = =, δ) = - = Άρα είναι η =, δηλαδή η δ).

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Γνωρίζοντας ότι τα πόσά και είναι ανάλογα: α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα β) Να εκφράσετε το ως συνάρτηση του. γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή. α) Τα ανάλογα ποσά έχουν σταθερό λόγο, δηλαδή = = 6 = 6 = = = β) = = γ) 6 και 7 και = = = 0 Γ(,) = 0 = 0 0 f () = 8 6 B(,6) A(,) ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα ορθoγωνίων αξόνων τις ευθείες: =, = και =.

4 6 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Κάνουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης. Επειδή η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων χρειαζόμαστε ένα ακόμα σημείο h () = 0 8 f () = g () = Γ(,) A(,) Β(,) Ο(0,0) ΑΣΚΗΣΗ Nα σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα ορθογωνίων αξόνων τις ευθείες: = και = - Κάνουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης. Επειδή η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων χρειαζόμαστε ένα ακόμα σημείο. f () (), = 0 0 0, A(,/) 0 0 O(0,0) - -0, - -, B(,-/) () - g () =

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α 7 ΑΣΚΗΣΗ Ένα κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ= m/s. Να εκφράσετε το διάστηµα S που διανύει ως συνάρτηση του χρόνου t. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή. Γνωρίζουμε από την φυσική ότι: s = u. t. Αντικαθιστώντας τη ταχύτητα έχουμε ότι s = t. Κάνουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης s = t., A(,) t 0 s 0,, f S=t () =,, 0, -0, O(0,0) ΑΣΚΗΣΗ Βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σηµείο Α(, 6). = α Η εξίσωση της ευθείας που περνά από την αρχή των αξόνων 6 = α. α = έχει την μορφή = α Επειδή οι συντεταγμένες κάθε σημείου της γραφικής = παράστασης ικανοποιούν τον τύπο της συνάρτησης τότε Αντικαθιστούμε στην θέση του = και =6 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να σχεδιάσετε σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων µια ευθεία η οποία να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και να έχει κλίση.

6 8 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εφόσον η ευθεία αυτή έχει κλίση και περνά από την αρχή των αξόνων η εξισωσή της θα είναι =. Η γραφική της παράσταση θα είναι:, ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ 0 0,,, 0, A(,,) f () = () -0, O(0,0) ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε την κλίση µιας ευθείας η οποία να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και από το σηµείο Α(-, ). = α Η εξίσωση της ευθείας που περνά από την αρχή των αξόνων έχει την μορφή = α = α. (-) α = = Αντικαθιστούμε στην θέση του =- και =. Επομένως η κλίση της ευθείας είναι - ΑΣΚΗΣΗ 8 Οι τιµές των αγροτικών προϊόντων σε µια χώρα αυξήθηκαν κατά 0% σ ένα χρόνο. α) Να βρείτε τη σχέση που εκφράζει τις νέες τιµές των αγροτικών προϊόντων, ως συνάρτηση των παλιών τους τιµών. β) Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση. γ) Με τη βοήθεια της παραπάνω συνάρτησης να βρείτε: i) Tη σηµερινή τιµή ενός προϊόντος που είχε πέρυσι 7. ii) Tην περσινή τιµή ενός προϊόντος που έχει τώρα 7. 0 α) Εφόσον οι τιμές αυξήθηκαν κατά 0% δηλαδή κατά = 0, 00 θα γίνουν + 0, =,.Επομένως η συνάρτηση που μας δίνει τις νέες τιμές ως συνάρτηση των παλιών τιμών είναι: =,.

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α 9 β) K(0,7) 7 6 Ν(0,8,) =, ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ 0 0, A(,,) O(0,0) Λ(,8,0) Μ(7,0) - γ) i) Για να βρούμε τη σημερινή τιμή ενός προϊόντος που είχε πέρυσι 7 φέρνουμε κάθετο στον άξονα στο σημείο Μ(7,0) η οποία τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης =, σε ένα σημείο από το οποίο φέρνουμε κάθετη στον άξονα η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο Ν(0,8,) άρα η σημερινή τιμή θα είναι 8,. Ομοίως για να βρούμε τη περσινή τιμή ενός προϊόντος που έχει φέτος 7 φέρνουμε κάθετο στον άξονα στο σημείο Κ(0,7) η οποία τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης =, σε ένα σημείο από το οποίο φέρνουμε κάθετη στον άξονα η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο Λ(,8, 0) άρα η περσινή τιμή ήταν,8. ΑΣΚΗΣΗ 9 Η ισοτιµία Ευρώ - ολαρίου την /7/0 ήταν $ για 00. α) Σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων να περιγράψετε γραφικά την παραπάνω σχέση. β) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε κατά προσέγγιση την τιµή σε δολλάρια ενός αεροπορικού εισιτηρίου που κοστίζει 0. γ) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε κατά προσέγγιση την τιµή σε Ευρώ ενός αεροπορικού εισιτηρίου κόστους 0 $.

8 0 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) 00 Ζ(0,80) 60 0 Η(0,0) 0 ευρώ f () =, Γ(0,) A(00,) O(0,0) B(00,0) E(0,0) δολλάρια Θ(,0) Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων ο άξονας αντιπροσωπεύει τα δολλάρια και ο άξονας τα ευρώ. Στο σημείο Β(00,0) του άξονα φέρνουμε κάθετο. Επίσης στο σημείο Γ(0,) του άξονα φέρνουμε κάθετο. Το σημείο τομής των δύο αυτών καθέτων το ενώνουμε με την αρχή των αξόνων. Η ευθεία =, που δημιουργείται είναι η συνάρτηση που ζητάμε. β) Για να βρούμε τη τιμή σε δολλάρια ενός αεροπορικού εισιτηρίου που κοστίζει 0, έχουμε =,.0 = 80 άρα η τιμή θα είναι 80 $. γ) Ομοίως για να βρούμε τιμή ενός αεροπορικού εισιτηρίου κόστους 0 $ 0 για = 0 έχουμε0 =, ή =,,άρα η τιμή είναι.,

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ενότητα: Ανάλογα ποσά - Η συνάρτηση = α. Στόχοι: Να συνδεθεί η εξίσωση της ευθείας = α με την έννοια των ανάλογων ποσών. Να οδηγηθούν οι μαθητές στη διαπίστωση ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α είναι ευθεία που διέρχεται από το Ο. Να βρίσκουν (από τη γραφική παράσταση) την τιμή της συνάρτησης για γνωστή τιμή του. Να βρίσκουν (από τη γραφική παράσταση) την τιμή του για γνωστή τιμή του. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική) Φύλλο εργασίας Ένα κατάστημα ρούχων κάνει έκπτωση 0% σε όλα του τα είδη! Αν ονομάσουμε την κανονική τιμή ενός είδους πριν από την έκπτωση και την μειωμένη τιμή του είδους αυτού μετά την έκπτωση:. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις τιμές διαφόρων ειδών:. Δύο ποσά και λέγονται ανάλογα, όταν. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Συμπέρασμα:. Όταν δυο ποσά και είναι ανάλογα, τότε ο λόγος. Χρησιμοποιήστε το συμπέρασμα του ερωτήματος για να εκφράσετε το ως συνάρτηση του..

10 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Στο διπλανό σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε τα σημεία με συντεταγμένες (, ) που βρήκατε στον πίνακα. Τι παρατηρείτε;. 7. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = 0,6. Συμπέρασμα:. 8. Από τη γραφική παράσταση (χωρίς υπολογισμούς) να βρείτε την τιμή με την έκπτωση που πωλείται ένα ζευγάρι κάλτσες, ένα μαγιό και ένα σακάκι που έχουν χωρίς την έκπτωση 0, και 80 αντίστοιχα. 9. Από τη γραφική παράσταση (χωρίς υπολογισμούς) να βρείτε πόσο είχαν χωρίς την έκπτωση, ένα παντελόνι που αγοράστηκε τελικά με την έκπτωση και μία φούστα που αγοράστηκε τελικά με την έκπτωση 60