ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης καθώς και τις πρτάσεις πυ πρκύπτυν. Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας γωνίας και της γωνίας πυ σχηµατίζεται από µια χρδή και την εφαπτόµενη στ άκρ της. Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τυς τύπυς πυ µας δίνυν τ µέτρ της γωνίας πυ σχηµατίζεται από δύ τέµνυσες τυ κύκλυ (είτε τεµνόνται εντός είτε εκτός τυ κύκλυ). Να γνωρίζει τις ιδιότητες των εγγράψιµων τετραπλεύρων καθώς και τα κριτήρια πυ εξασφαλίζυν ότι ένα τετράπλευρ είναι εγγράψιµ. Οµίως για τα περιγράψιµα τετράπλευρα.
06. Τύπι - Βασικές έννιες Εγγεγραµµένη γωνία Ορισµός Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν η κρυφή της είναι ση- µεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της τέµνυν τν κύκλ. Μια γωνία, της πίας η κρυφή x y είναι τ κέντρ τυ κύ- Ê Ë κλυ και ι πλευρές της τέ- µνυν τν κύκλ λέγεται επίκεντρη. ìåßæïí O Σε κάθε επίκεντρη γωνία Ê Ýëáóóïí Ë αντιστιχίζυµε ένα από τα δύ τόξα (βλ. σχήµα) τυ κύκλυ µε άκρα Κ και Λ τ x y πί νµάζυµε αντίστιχ τόξ της επίκεντρης γωνίας. Λέµε τότε ότι η γωνία βαίνει στ τόξ ΚΛ. Αν δεν αναφέρεται κάτι άλλ θα θεωρύµε στα επόµενα ότι ι γωνίες βαίνυν στ έλλασν τόξ (κυρτές γωνίες). T µέτρ της επίκεντρης γωνίας είναι ίσ µε τ µέτρ τυ τόξυ στ πί βαίνει. Θεώρηµα Κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης επίκεντρης (δηλαδή της επίκεντρης ö πυ βαίνει στ ίδι τόξ π.χ. στ διπλα- Ï ö νό σχήµα είναι ω = φ. ù Σε κάθε τόξ µπρεί να βαίνει µια µόν επίκεντρη ö Å γωνία, όµως σε αυτό µπρύν να βαίνυν άπειρες εγγεγραµµένες. Πρίσµατα Â α. Τ µέτρ µιας εγγεγραµµένης γωνίας είναι ίσ µε τ µισό τυ αντίστιχυ τόξυ. β. Εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ είναι ίσες. γ. Εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν σε ίσα τόξα, ίσων κύκλων είναι ίσες. δ. Εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν σε ηµικύκλι είναι ρθές.
Τύπι - Βασικές έννιες 07. Γωνία δύ τεµνυσών  B - x x  y B y Γωνία χρδής και εφαπτµένης Σε κύκλ (Ο,R) παίρνυµε χρδή ΑΒ και την ε- φαπτµένη στ σηµεί Α, την x Αx. Κάθε µία από τις γωνίες ΒΑx και ΒΑx λέγεται γωνία χρδής και εφαπτµένης. Η ξεία γωνία ΒΑx λέγεται γωνία της χρδής ΑΒ και τυ κύκλυ (Ο,R). Τ τόξ ΑΒ πυ περιέχεται µεταξύ των πλευρών της γωνίας χρδής και εφαπτµένης λέγεται α- ντίστιχ τόξ της γωνίας αυτής. x O R  x Η γωνία χρδής και εφαπτµένης είναι ίση µε κάθε εγγεγραµµένη γωνία πυ βαίνει στ αντίστιχ τόξ της χρδής. Βασικός Γεωµετρικός Τόπς Ολές ι εγγεγραµµένες γωνίες στ ίδι τόξ είναι ö ίσες. Οι κρυφές των γωνιών αυτών βλέπυν τη χρδή τυ τόξυ µε ίσες γωνίες. Λέµε λιπόν ότι: Â Ο γεωµετρικός τόπς των σηµείων τυ επιπέδυ από τα πία ένα τµήµα ΑΒ φαίνεται ö υπό γωνία ˆφ είναι δύ τόξα κύκλων συµµετρικά ως πρς την ΑΒ. Από τα τόξα εξαιρύνται τα σηµεία Α και Β.
08. Τύπι - Βασικές έννιες Πόρισµα Ο γεωµετρικός τόπς των σηµείων τυ επιπέδυ από τα πία ένα τµήµα φαίνεται υπό ρθή γωνία είναι κύκλς διαµέτρυ ΑΒ. Εξαιρύνται τα άκρα Α και Β τυ τµήµατς. Â Τ εγγεγραµµέν τετράπλευρ Ένα τετράπλευρ λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ αν ι κρυφές τυ είναι σηµεία τυ κύκλυ. Ένα τετράπλευρ λέγεται εγγράψιµ σε κύκλ, αν υ- πάρχει κύκλς, πυ διέρχεται από τις κρυφές τυ. Θεώρηµα Ένα τετράπλευρ πυ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ έχει τις εξής ιδιότητες: B α. Οι απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρω- ˆ ˆ ˆ ˆ Α + Γ = 80 και Β + = 80 µατικές ( ) β. Κάθε πλευρά τυ φαίνεται από τις απένα- Α ˆ =Βˆ ντι κρυφές µε ίσες γωνίες, π.χ. ( ) γ. Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραµµένυ τετραπλεύρυ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική τυ γωνία. x B Θεώρηµα (Κριτήρι) Ένα τετράπλευρ είναι εγγράψιµ σε κύκλ αν έχει µία από τις παρακάτω ιδιότητες: α. ύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές. β. Μια πλευρά τυ φαίνεται από τις απέναντι κρυφές µε ίσες γωνίες. γ. Μια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική τυ γωνία. Ένα τετράπλευρ λέγεται περιγεγραµµέν σε κύκλ, αν όλες ι πλευρές τυ εφάπτνται στν κύκλ.
Τύπι - Βασικές έννιες 09. Σε κάθε περιγγεγραµµέν τετράπλευρ ισχύυν ι ιδιότητες: B α. Οι διχτόµι των γωνιών τυ διέρχνται από τ ίδι σηµεί. β. Τα αθρίσµατα των απέναντι πλευρών τυ είναι ίσα. O Ένα τετράπλευρ λέγεται περιγράψιµ σε κύκλ, αν υπάρχει κύκλς πυ εφάπτεται στις πλευρές τυ. Θεώρηµα (Κριτήρι) Ένα τετράπλευρ είναι περιγράψιµ σε κύκλ αν: α. Οι διχτόµι τριών τυλάχιστν γωνιών τυ διέρχνται από τ ίδι σηµεί. β. Τα αθρίσµατα των απέναντι πλευρών τυ είναι ίσα.
0. Βήµα Μαθαίνυµε τις απδείξεις ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα.
. Βήµα Επαναλαµβάνυµε τις ασκήσεις κλειδιά ÂÞìá ÂÞìá ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêþóåéò "êëåéäéü" Α. Από τ σχλικό βιβλί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ έκδση 003. σ. 9: Ασκήσεις Εµπέδωσης,, 3, 4, 5 Απδεικτικές Ασκήσεις,, 3 Σύνθετα Θέµατα σ. 34: Ερωτήσεις Κατανόησης 4, 5, 6 Ασκήσεις Εµπέδωσης, 3 Απδεικτικές Ασκήσεις, 3
Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 3. ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêþóåéò. Αν η διχτόµς της γωνίας ˆΑ, τριγώνυ ΑΒΓ, τέµνει τν περιγεγραµµέν τυ κύκλυ στ Μ και η διχτόµς της γωνίας ˆΒ τέµνει την ΑΜ στ, να δείξετε ότι τ τρίγων ΜΒ είναι ισσκελές. Λύση: Επειδή η ΑΜ είναι διχτόµς της ˆΑ, θα ισχύει: ˆ ˆ ˆΑ ˆΒ Α = Α =. Επίσης και Βˆ ˆ = Β =, αφύ η Β είναι διχτόµς της ˆΒ. Στ Β Μ ˆ έχυµε: B Μˆ = Γˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ M τόξ B. ΜΒΓ ˆ = Αˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ τόξ ΜΓ. Οπότε: ˆ ˆ ΒΜ ˆ = Βˆ ˆ ˆ ˆ + ΜΒΓ = Β + Α = + = = = 90 Βˆ Α Α + Βˆ 80 Γˆ ˆ Γ Γˆ Γˆ ˆ Γ ˆ ˆ ˆ Β Μ = 80 ΒΜ Μ = 80 90 Γˆ = 80 90 + Γˆ = 90 Άρα ΒΜ ˆ Β Μ ˆ 90 ˆΓ = =, πότε τ ΜΒ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Μ.. Από σηµεί Μ εκτός κύκλυ (Ο, R) φέρυµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ στν κύκλ. Πρεκτείνυµε την ΑΜ και στην πρέκταση παίρνυµε τµήµα ΜΓ = ΜΑ. Αν είναι τ αντιδιαµετρικό σηµεί τυ Α, να δείξετε ότι τα σηµεία, Β, Γ είναι συνευθειακά. Λύση: Ισχύει: ΜΑ = ΜΒ () ως εφαπτµένα τµήµατα πρς κύκλ από σηµεί αυτύ.
4. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Επίσης η ΟΜ διχτµεί τις γωνίες ˆ ΑΜΒ και ΑΟΒ ˆ, πότε: Ο ˆ ˆ = Ο και Μ ˆ ˆ = Μ. () Όµως ΜΓ = ΜΑ ΜΓ = ΜΒ. Άρα τ τρίγων ΜΒΓ είναι ισσκελές, πότε Β ˆ ˆ = Γ ως πρσκεί- O B Ì µενες γωνίες στην βάση τυ ΒΓ. Η ΑΜΒ ˆ είναι εξωτερική γωνία τυ ΜΒΓ, ΑΜΒ ˆ = Βˆ + Γˆ Μˆ + Μˆ = Βˆ + Γˆ Μˆ + Μˆ = Βˆ πότε: Μˆ = Βˆ ˆ ˆ Μ = Β. Άρα ΒΓ//ΟΜ () διότι τεµνόµενες από την ΒΜ σχηµατίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες τυς ίσες. Επειδή Ο = ΟΒ = R τ τρίγων Ο Β είναι ισσκελές. Άρα ˆ ˆ = Β. Όµως ˆ = ΑΟΒ ˆ, αφύ µια εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε τ µισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ µε αυτήν. Άρα ˆ = Ο ˆ ˆ ˆ Β = Ο πότε Β //ΟΜ (3) διότι τεµνόµενες από την ΟΒ σχηµατίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες τυς ίσες. Άρα από τις () και (3) και λόγω τυ αιτήµατς τυ Ευκλείδη, συµπεραίνυµε ότι ι ευθείες Β και ΒΓ ταυτίζνται. Επµένως τα σηµεία, Β, Γ είναι συνευθειακά. 3. Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ, θεωρύµε τα ύψη τυ Α και ΒΕ και έστω Η τ ρθόκεντρό τυ. Στ ΕΓ παίρνυµε τµήµα ΕΖ = ΑΕ. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. Λύση: Στ ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ˆ Α Γ = + ˆ = ˆ = ˆ () Α Γ 90 Α 90 Γ έχυµε: Οµίως από τ ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ΒΕΓ Ε = έ- χυµε: ˆ ˆ H Β = 90 Γ () Z B Τ ΑHΖ είναι ισσκελές, αφύ τ ΗΕ είναι ύψς () () και διάµεσς, άρα Ζˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Α Ζ = 90 Γ Ζ = Β. Άρα τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµ αφύ µια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική γωνία. E
Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 5. 4. Σε τρίγων ΑΒΓ φέρυµε τ ύψς τυ Α. Από τυχαί σηµεί Μ τυ Α φέρυµε τις απστάσεις τυ ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να δείξετε ότι τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµ. Λύση: Τ τετράπλευρ ΕΜ Β είναι εγγράψιµ, αφύ ˆ ˆ ΒΕΜ + Β Μ = 90 + 90 = 80. Άρα Βˆ + ΕΜ ˆ = 80 () Z Οµίως και τ τετράπλευρ ΑΕΜΖ είναι εγγράψιµ E M ( ˆ ˆ ΑΕΜ + ΑΖΜ = 90 + 90 = 80 ), πότε η πλευρά τυ ΕΜ φαίνεται από τις κρυφές Α και Ζ υπό ίσες γωνίες. Άρα ΕΑΜ ˆ = ΕΖΜ ˆ (). Στ τρίγων ΑΕΜ η ΕΜ ˆ είναι εξωτερική, πότε: B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ΕΜ = ΕΑΜ + ΑΕΜ ΕΜ = ΕΑΜ + 90 (3) Στ τετράπλευρ ΒΕΖΓ έχυµε: ( ) ( ˆ ) () (3) () ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Β + ΕΖΓ = Β + ΕΖΜ + ΜΖΓ = Β + ΕΑΜ + 90 = Β + ΕΜ = 80 Άρα τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµ, αφύ δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές. 5. ύ κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Α. Από τ σηµεί τυ κύκλυ (Λ,ρ) φέρυµε ευθεία πυ εφάπτεται στν κύκλ (Λ, ρ) και τέµνει τν κύκλ (Κ, ρ) στα σηµεία Β, Γ. Να δείξετε ότι η Α είναι εξωτερική διχτόµς της γωνίας ˆΑ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Λύση: Αρκεί να δείξυµε ότι: ΒΑ ˆ = ΛΑ ˆ Στ τρίγων ΑΓ η ΛΑ ˆ είναι εξωτερική τυ γωνία, πότε: ΛΑ ˆ = ΑΓΒ ˆ + Α Ε ˆ () B E Ê Á Ë Φέρυµε την κινή εσωτερική εφαπτµένη των δύ κύκλων, η πία τέµνει της Γ στ Ε. Τότε ΕΑ = Ε σαν εφαπτόµενα τµήµατα από τ Ε πρς τν κύκλ (Λ, ρ). Άρα Α Ε ˆ = ΑΕ ˆ () σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ. Επίσης ΕΑΒ ˆ = ΑΓΒ ˆ (3) διότι η γωνία από χρδή και εφπτµένη είναι ίση µε την εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ αντίστιχ τόξ της.
6. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Η () () ΛΑ ˆ = ΕΑΒ ˆ + ΑΕ ˆ ΛΑ ˆ = ΒΑ ˆ.ε.δ. (3) 6. Σε ηµικύκλι διαµέτρυ ΑΒ, θεωρύµε τ µέσ τυ Μ. Έστω Λ τυχαί σηµεί τυ τόξυ B. Φέρυµε την ευθεία ΜΚ ΑΛ. Να δείξετε ότι: ΜΚ = ΚΛ Λύση: Φέρυµε τα τµήµατα ΛΜ, ΑΜ, ΟΛ, όπυ Ο τ κέντρ τυ ηµικύκλιυ. Τότε ΟΜ ΑΒ, αφύ για την Ë K M επίκεντρη γωνία ΒΟΜ ˆ ισχύει ΒΟΜ ˆ = 90 διότι βαίνει στ τόξ B 80 ΒΜ = = = 90 O B Στ τρίγων ΑΛΜ η ΚΛΜ ˆ είναι εξωτερική, πότε: ΚΛΜ ˆ = ΛΑΜ ˆ + ΑΜΛ ˆ () Όµως κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι, κατά µέτρ, ίση µε τ µισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ µε αυτήν. Άρα: ΛΑΜ ˆ = Οˆ ΑΜΛ ˆ = Ο ˆ () ΚΛΜ ˆ = Οˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Ο ΚΛΜ = Ο+ Ο ΚΛΜ = ΑΟΜ (3) () Η ( ) ˆ = ˆ = ΚΛΜ 90 ΚΛΜ 45 Τ τρίγων ΚΛΜ είναι ρθγώνι στ Κ και ΚΜΛ ˆ 90 45 45 ΚΛΜ ˆ 45 =, πότε και = =. Άρα τ τρίγων ΚΛΜ είναι και ισσκελές, πότε ΛΚ = ΜΚ. 7. Αν η διχτόµς της γωνίας ˆΑ τριγώνυ ΑΒΓ τέµνει τν περιγεγγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ σε σηµεί, να δείξετε ότι: α. Τ τρίγων ΙΒ είναι ισσκελές, όπυ Ι είναι τ εγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β. Τ σηµεί είναι περίκεντ τυ τριγώνυ ΙΒΓ. Λύση: α. Φέρυµε τις διχτόµυς των γωνιών ˆΑ και ˆΒ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, ι πίες
Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 7. ˆΑ τέµννται στ έγκεντρ Ι. Τότε: Αˆ ˆ = Α = και ˆΒ I Βˆ ˆ = Β =. Στ τρίγων ΙΒ έχυµε: B 3 η γωνία τυ ΒΙ ˆ είναι εξωτερική γωνία τυ τριγώνυ ΑΒΙ, πότε: Βˆ Αˆ Αˆ Βˆ ΒΙ ˆ Βˆ ˆ + = + Α = + = Βˆ Αˆ Αˆ Βˆ ΙΒ ˆ Βˆ ˆ ˆ ˆ + = + Β3 = Β + Α = + =, αφύ ˆΒ ˆ 3 = Α σαν εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ Γ. Άρα ΒΙ ˆ = ΙΒ ˆ πότε τ τρίγω- ν ΙΒ είναι ισσκελές µε κρυφή τ, πότε: Β = Ι () β. Επειδή ι εγγεγραµµένες γωνίες Α,Α ˆ ˆ είναι ίσες, θα είναι ίσες και ι αντίστιχες χρδές τυς, δηλαδή Β = Γ () Από () και () έχυµε: Β = Ι = Γ, δηλαδή τ ισαπέχει από τις κρυφές τυ τριγώνυ ΙΒΓ, άρα είναι τ περίκεντρ τυ. 8. Έστω σηµεί τ πί δεν ανήκει στ εσωτερικό τριγώνυ ΑΒΓ. Αν ι πρβλές τυ στις πλευρές τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι συνευθειακά σηµεία, να δείξετε ότι τ ανήκει στν περιγεγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Λύση: Έστω Κ ΒΓ, Λ ΑΓ, Μ ΑΒ, µε τα σηµεία M Κ, Λ, Μ να ανήκυν στην ίδια ευθεία. Για να δείξυµε ότι τ ανήκει στν περιγεγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ αρκεί να δείξυµε ότι τ ΑΒΓ είναι εγγράψιµ. Τ τετράπλευρ ΚΛ Γ είναι εγγράψιµ, αφύ ΓΚ ˆ = ΓΛ ˆ = 90, δηλαδή η πλευρά τυ Γ B Ë φαίνεται από τις απέναντι κρυφές τυ Κ, Λ υπό ίσες K γωνίες. Άρα ΒΓ ˆ = ΛΜ ˆ (), διότι σε εγγράψιµ τετράπλευρ µια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Επίσης τ τετράπλευρ ΑΜ Λ είναι εγγράψιµ, αφύ δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές ( ˆ ˆ ΑΛ + ΑΜ = 90 + 90 = 80 ). Άρα ΛΜ ˆ = ΑΜ ˆ (), αφύ σε ένα εγγράψιµ τετράπλευρ κάθε πλευρά τυ φαίνεται από τις απέναντι
8. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις κρυφές υπό ίσες γωνίες. Από () και () πρκύπτει ότι ΒΓ ˆ = ΑΜ ˆ. Συνεπώς στ τετράπλευρ ΑΒΓ, µια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Άρα τ ΑΒΓ είναι εγγράψιµ. 9. Σε τρίγων ΑΒΓ θεωρύµε τα ύψη τυ Β και ΓΕ. Αν Η τ ρθόκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, Μ τ µέσ της πλευράς ΑΒ και Ν τ µέσ τυ ΗΒ, να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΜΕΝ είναι εγγράψιµ. Λύση: Στ ρθγώνι τρίγων B η Μ είναι η διάµεσς τυ πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ΑΒ. ΑΒ Άρα Μ = = ΑΜ. Συνεπώς τ τρίγων Α Μ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Μ, πότε ˆ ˆ = Α () ως πρσκείµενες γωνίες στην βάση τυ Α. Τότε για την εξωτερική γωνία ˆΜ τυ τριγώνυ Α Μ () ˆ έχυµε: Μˆ = Αˆ + ˆ Μ = Αˆ (). Τ τετράπλευρ Α ΗΕ έχει Α Η ˆ + ΑΕΗ ˆ = 90 + 90 = 80, δηλαδή δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές, πότε είναι εγγράψιµ. Συνεπώς θα ισχύει ότι ˆΗ ˆ = Α (3), αφύ κάθε εξωτερική γωνία εγγράψιµυ τετραπλευρύ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Στ ρθγώνι τρίγων ΒΕΗ η ΕΝ είναι διάµεσς πυ αντιστιχεί στην υπτεί- ΒΗ νυσα ΒΗ. Άρα ΕΝ = = ΝΗ. ηλαδή τ τρίγων ΕΝΗ είναι ισσκελές µε κρυφή Ν. Άρα Η ˆ ˆ = Ε (4) ως πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. Οπότε για την εξωτερική τυ γωνία ˆΝ έχυµε: () (3) Νˆ = Εˆ + Ηˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ν = Η Ν = Μ. Άρα τ τετράπλευρ ΜΕΝ είναι εγγράψιµ, αφύ µια εξωτερική γωνία τυ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. B M E N H
Λύνυµε µόνι µας Βήµα 4 9. ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ìüíïé ìáò. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να βρείτε τα x και y (όπυ x, y γωνίες ή τόξα ανάλγα). x B á) â) ã) 3x x B y O y x B 5x OB ï O ÁÂ 90 ï ï 30 Â 0
0. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας. Στην πρέκταση της ακτίνας ΟΑ κύκλυ (Ο, ρ), παίρνυµε τµήµα ΑΒ = ΟΑ και φέρνυµε τη ΒΓ κάθετη σε τυχαία εφαπτµένη ε τυ κύκλυ. Να δειχθεί ότι: OΓ = 3ΑΓΒ 3. ύ κύκλι (Κ, ρ) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Φέρνυµε µια χρδή ΑΒ τυ κύκλυ (Κ, ρ) και τη χρδή ΑΓ ΑΒ τυ κύκλυ (Λ, ρ). Να δειχθεί ότι ΒΓ//=ΚΛ. 4. Σε κύκλ κέντρυ Ο θεωρύµε τη διάµετρ ΑΒ, τη χρδή ΑΓ και τη διχτόµ της γωνίας ΒΑΓ, πυ τέµνει τν κύκλ στ σηµεί Μ και την ΒΓ στ. Αν η ΑΜ τέµνει στ σηµεί Ζ την εφαπτµένη τυ κύκλυ στ Β, να δειχθεί ότι: Μ = ΜΖ.
Λύνυµε µόνι µας Βήµα 4. 5. ίνεται τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ, περιγγεγραµµένς κύκλς τυ (Κ, R) και τυχαί σηµεί Μ τυ τόξυ ΒΓ. Να δείχθεί ότι: ΜΑ = ΜΒ + ΜΓ. (Υπόδειξη: Παίρνυµε στη ΜΑ τµήµα Μ = ΜΒ) 6. ύ κύκλι (Κ, R), (Λ, ρ) τέµννται στα σηµεία Α και Β. Μία κινή εφαπτµένη τυς εφάπτεται των κύκλων στα Γ και αντίστιχα. Να δειχθεί ότι: ˆ ˆ ΓΑ + ΓΒ = 80.
. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας 7. Οι κρυφές τριγώνυ ΑΒΓ είναι σηµεία τυ κύκλυ (Ο, R). Η εφαπτ- µένη στ σηµεί Α τέµνει την ΒΓ στ Ε. Φέρνυµε τη διχτόµ Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Να δειχθεί ότι τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. 8. Στν κύκλ (Ο, ρ) η ΑΒ είναι η διάµετρς και η Γ είναι η χρδή. Να απδειχθεί ότι η χρδές ΑΓ και Β έχυν ίσες πρβλές στην ευθεία Γ.
Λύνυµε µόνι µας Βήµα 4 3. 9. Στν κύκλ (Ο, ρ) παίρνυµε τις χρδές ΑΒ = ΑΓ και φέρνυµε από τ Α ευθεία, πυ τέµνει τν κύκλ στ Ε και τη ΒΓ στ. Να δειχθεί ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ, πυ περνάει από τα σηµεία Β,, Ε. 0. ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Φέρνυµε τις διαµέτρυς ΑΚΓ και ΑΛ και τις χρδές ΓΖ// Ε. Να δειχθεί ότι τα σηµεία Ζ, Α, Ε είναι συνευθειακά.
4. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας. ίνεται χρδή ΒΓ, κύκλυ (Ο, ρ) και ι εφαπτόµενες ε και ε στα άκρα της. Από σηµεί Μ της ΒΓ, φέρνυµε κάθετη στην ΟΜ, πυ τέµνει τις ε και ε στα σηµεία Ε και Ζ. Να δειχθεί ότι ΕΜ = ΜΖ.. Σε γωνία xoψ ˆ παίρνυµε τη διχτόµ Ο και τ εσωτερικό της ση- µεί Ρ της Oψ ˆ. Αν Α, Β, Γ είναι ι πρβλές τυ Ρ στις ηµιευθείες Ο, Οx, Οψ να δειχθεί ότι: α. Τα σηµεία Ο, Β, Α, Ρ, Γ είναι µκυκλικά β. ΑΒ = ΑΓ
Λύνυµε µόνι µας Βήµα 4 5. 3. Οι πλευρές ΑΒ και Γ εγγεγραµµένυ τετραπλεύρυ ΑΒΓ τέµννται στ Ε και ι πλευρές Α και ΒΓ στ Ζ. Η διχτόµς της γωνίας Ε τέµνει τις ΒΓ, Α στα σηµεία Κ, Μ και η διχτόµς της ˆΖ τέµνει τις πλευρές Γ και ΑΒ, στα Λ, Ρ. Να δείξετε ότι: α. Οι διχτόµι των Ε και Ζ τέµννται κάθετα β. Τ τετράπλευρ ΚΛΜΡ είναι ρόµβς
6. Βήµα 5 Ελέγχυµε τη γνώση µας ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá ÅëÝã ïõìå ôç ãíþóç ìáò Θέµα Α. Να δείξετε ότι κάθε εγγεγραµµένη γωνία ισύται µε τ µισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ. (Μνάδες ) Β. Να δείξετε ότι η γωνία πυ σχηµατίζεται από µια χρδή κύκλυ και την εφαπτµένη στ άκρ της χρδής ισύται µε την εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ τόξ της χρδής. (Μνάδες 3) Θέµα 0 Α. Οι κρυφές τραπεζίυ ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) είναι σηµεία τυ κύκλυ (Κ, ρ). Να δείξετε ότι, η γωνία των εφαπτόµενων τυ κύκλυ αυτύ, στα σηµεία Α και Γ, είναι ίση µε τη γωνία των ευθειών Α και ΒΓ. (Μνάδες 6) Β. Να δειχθεί ότι κάθε εγγεγραµµέν τραπέζι είναι ισσκελές. (Μνάδες 9) Θέµα 3 0 Α. ύ κύκλι, τέµννται στα σηµεία Β και. Ευθεία, πυ περνάει από τ Β τέµνει τυς κύκλυς στα σηµεία Α και Γ. Οι ευθείες Α και Γ τέµνυν αντίστιχα τυς κύκλυς στα Ε και Ζ και ι ευθείες ΑΖ, ΓΕ τέµννται στ Η. Να δείξετε, ότι τ τετράπλευρ ΕΗΖ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. (Μνάδες 3) Β. Τρίγων ΑΒΓ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Κ, ρ). Φέρνυµε την εφαπτµένη Αx και ευθεία ε//αx πυ τέµνει την ΑΓ στ και την ΑΒ στ Ε. Να δείξετε ότι τ ΒΓ Ε είναι εγγράψιµ. (Μνάδες ) Θέµα 4 0 Α. ύ κύκλι τέµννται στα σηµεία Α και Β. Από τα Α και Β, φέρνυµε ευθείες πυ τέµνυν τν έναν κύκλ στα Γ και Γ και τν άλλν στα και. Να δειχθεί ότι ΓΓ //. (Μνάδες 3) Β. Από ένα σηµεί Ι τυ ύψυς Α τριγώνυ ΑΒΓ, φέρνυµε τα τµήµατα ΙΚ και ΙΛ κάθετα στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστιχα. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΓΚΛ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. (Μνάδες )
ΒΙΒΛΙΟ µαθήµατα. ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείυ Κωδ. Μία έκδση ΕΚΠΛΗΞΗ!!! για τις επαναλήψεις σας και όχι µόν.... ΧΗΜΕΙΑ Α Λυκείυ Κωδ. 3. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείυ Κωδ. 30 4. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείυ Κωδ. 3 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείυ Κωδ. 3 6. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Β Λυκείυ Κωδ. 33 7. ΑΛΓΕΒΡΑ Γενικής Παιδείας Β Λυκείυ Κωδ. 34 8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικής Παιδείας Β Λυκείυ Κωδ. 35 9. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ Κωδ. 36 0. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ Κωδ. 37. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ Κωδ. 38. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Γ Λυκείυ Κωδ. 39 3. ΑΡΧΑΙΑ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ (Θυκιδίδη Περικλέυς Επιτάφις) Κωδ. 5 Τ αντίδτ για την... αµνησία την ώρα των εξετάσεων είναι η σωστή επανάληψη. ΕΝΗΜΕΡΩΣΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΣΟΥ