Ενότητα 6 Κύκλος Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να βίσκουμε τις σχετικές θέσεις δύο κύκλων, όταν γνωίζουμε τις ακτίνες τους και το μήκος της διακέντου. Να αποδεικνύουμε και να εφαμόζουμε τις σχέσεις εγγεγαμμένων και επίκεντων γωνιών. Να αποδεικνύουμε και να εφαμόζουμε το Θεώημα Χοδής και Εφαπτομένης.
Έχουμε Μάθει Επίκεντη γωνία Η γωνία ( ) που έχει την κουφή της στο κέντο του κύκλου. Αντίστοιχο τόξο της επίκεντης Το τόξο Β λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντης γωνίας. Η εγγεγαμμένη γωνία βαίνει στο τόξο Β. Μέτο Τόξου Σε τόξο μ μοιών (συμβολικά ) βαίνει επίκεντη γωνία επίσης Π.χ. το τόξο = 50 50 Σχέση επίκεντης γωνίας και αντίστοιχου τόξου Στον ίδιο κύκλο (ή σε ίσους κύκλους ) αν δύο επίκεντες γωνίες είναι ίσες, τότε και τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα και αντίστοφα. Π.χ. ΕΖ Αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε και οι αντίστοιχες χοδές είναι ίσες και αντίστοφα. E Z ΕΖ Εφαπτομένη Η ευθεία (ε) που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον κύκλο. Η εφαπτομένη είναι κάθετη της ακτίνας ΟΑ στο σημείο Α του κύκλου. ε 142 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
Θέσεις σημείου ως πος κύκλο Θέσεις σημείου ως πος κύκλο με κέντο Κ και ακτίνα. (α) ( ) (β)( ) (γ)( ) Το Α βίσκεται μέσα στον κύκλο. Το Β βίσκεται πάνω στον κύκλο. Το βίσκεται εκτός κύκλου. Θέσεις ευθείας ως πος κύκλο Ευθεία (ε) που βίσκεται σε απόσταση d από το κέντο Κ κύκλου ακτίνας : (α) Τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. d ε (β) Εφάπτεται του κύκλου. d (γ) Είναι εξωτεική του κύκλου. ε d ε ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 143
Θέση ύο Κύκλων Εξεεύνηση Στη διπλανή εικόνα φαίνεται το μεσαιωνικό αστονομικό ολόι που βίσκεται στην Πάγα της Τσεχίας. Το σημεινό ολόι είναι ένα πιστό αντίγαφο του αχικού, το οποίου καταστάφηκε στον Παγκόσμιο Πόλεμο. Να επιλέξετε δύο από τους κύκλους που εμφανίζονται και να εντοπίσετε τη θέση των δύο κύκλων. ιεεύνηση Να ανοίξετε το αχείο «lken02_thesis2klon.ggb». Να μετακινήσετε τον δομέα για να μεταβάλετε την απόσταση μεταξύ των κέντων των δύο κύκλων έτσι ώστε οι κύκλοι: (α) να έχουν δύο κοινά σημεία (β) να έχουν ένα κοινό σημείο (γ) να μην έχουν σημεία τομής ια κάθε πείπτωση να κάνετε μια εικασία για τη σχέση που συνδέει την απόσταση των δύο κέντων με το άθοισμα και τη διαφοά των δύο ακτινών. 144 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
Μαθαίνω ιάκεντος ονομάζεται το ευθύγαμμο τμήμα που ενώνει τα κέντα δύο κύκλων δ Λ Θέση Συνθήκη Σχήμα ύο κύκλοι τέμνονται, όταν έχουν δύο κοινά σημεία ( ) R δ Λ ύο κύκλοι εφάπτονται εξωτεικά, όταν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι ίσο με το άθοισμα των ακτινών. ύο κύκλοι εφάπτονται εσωτεικά, όταν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι ίσο με τη διαφοά των ακτινών. R δ Λ R δ Λ ύο κύκλοι είναι εξωτεικοί, όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι μεγαλύτεο από το άθοισμα των ακτινών. R δ Λ Ένας κύκλος είναι εσωτεικός άλλου κύκλου όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και το μήκος της διακέντου είναι μικότεο από την διαφοά των ακτινών. R δ Λ Θεώημα: Αν δύο κύκλοι ( ) και ( ) με τέμνονται, ισχύει ότι, όπου. Απόδειξη: Οι δύο κύκλοι τέμνονται με το Α να είναι ένα από τα σημεία τομής τους. Σε αυτή την πείπτωση σχηματίζεται το τίγωνο ΑΚΛ. Σύμφωνα με την τιγωνική ανίσωση. R δ Λ ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 145
αστηιότητες 1. Να βείτε τη θέση των δύο κύκλων σε καθεμιά από τις πιο κάτω πειπτώσεις (α) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (β) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (γ) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (δ) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (ε) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση (στ) Κύκλοι ( ) και ( ) με απόσταση 2. ίνονται κύκλοι με κέντο ( ) και ( ) και. Να υπολογίσετε την τιμή ή τις τιμές του έτσι ώστε οι κύκλοι: (α) Να εφάπτονται εξωτεικά. (β) Να τέμνονται. (γ) Να είναι ο ένας κύκλος μέσα στον άλλο. 3. ίνεται κύκλος με κέντο ( ) και κύκλος ( ). Να υπολογίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μήκος ώστε οι δύο κύκλοι να τέμνονται. 4. Να βείτε δύο πααδείγματα από την καθημεινή ζωή στα οποία να εντοπίζονται σχέσεις δύο κύκλων. 5. Να υπολογίσετε το μήκος της διακέντου των κύκλων ( ) και ( ), ώστε (α) οι κύκλοι να εφάπτονται εξωτεικά, (β) οι κύκλοι να εφάπτονται εσωτεικά. 6. Να αποδείξετε ότι η διάκεντος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι η μεσοκάθετη της κοινής χοδής τους. 7. Να αποδείξετε ότι αν δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτεικά τότε το μήκος της διακέντου είναι ίσο με το άθοισμα της ακτίνας τους. 8. Να αποδείξετε ότι αν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτεικά τότε το μήκος της διακέντου είναι ίσο με τη διαφοά της ακτίνας τους. 146 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
Εγγεγαμμένες ωνίες Εξεεύνηση Στο σχήμα φαίνεται η κάτοψη μιας αίθουσας κινηματογάφου. Ένας φωτογάφος τοποθέτησε μια φωτογαφική μηχανή ( ), που έχει άνοιγμα φακού, στο μέσο της τελευταίας σειάς έτσι ώστε να βλέπει όλη την οθόνη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στη συνέχεια θα τοποθετήσει ακόμα μια φωτογαφική μηχανή ( ) με φακό ανοίγματος. (α) Σε ποιες άλλες θέσεις θα μποούσε να τοποθετήσει τη φωτογαφική μηχανή ( ) ώστε να βλέπει ολόκληη την οθόνη; (β) Σε ποια θέση πέπει να τοποθετήσει τη φωτογαφική μηχανή ( ) ώστε να βλέπει ολόκληη την οθόνη; ιεεύνηση (1) Να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoorthi.ggb». Να μετακινήσετε την κουφή σε διάφοες θέσεις Nα κάνετε μια εικασία όσον αφοά τις θέσεις της κουφής για τις οποίες η γωνία γίνεται οθή. ιεεύνηση (2) Να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoeggegrammeniepikentri.ggb» και να εντοπίσετε τη σχέση που συνδέει το μέτο της εγγεγαμμένης γωνίας με το μέτο της αντίστοιχης επίκεντης. Να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoeggegrameniidiotoo.ggb» και να εντοπίσετε τη σχέση που συνδέει το μέτο των εγγεγαμμένων γωνιών που βαίνουν στο ίδιο τόξο. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 147
Μαθαίνω Εγγεγαμμένη ωνία είναι η γωνία ( ) που έχει κουφή ένα σημείο του κύκλου και οι πλευές της είναι τέμνουσες του κύκλου. Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν άπειες εγγεγαμμένες γωνίες. Θεώημα Σχήμα Κάθε εγγεγαμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντης γωνίας. 2 Ποίσματα Σχήμα Το μέτο κάθε εγγεγαμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτου του αντίστοιχου τόξου. Β Β Κάθε εγγεγαμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι οθή. Εγγεγαμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους. Β Εγγεγαμμένες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα ίσων κύκλων ή του ίδιου κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους και αντίστοφα. ΕΒ Ζ ΕΖ E Z Mεταξύ δύο παάλληλων ευθειών πειέχονται ίσα τόξα. Β 148 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
Σχέση εγγεγαμμένης και αντίστοιχης επίκεντης Θεώημα: Κάθε εγγεγαμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντης γωνίας. 2 Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι Πείπτωση Α: Το κέντο Ο ανήκει σε μια πλευά της εγγεγαμμένης γωνίας. Το τίγωνο είναι ισοσκελές, γιατί άα H είναι εξωτεική γωνία του τιγώνου Άα Πείπτωση Β: Το κέντο βίσκεται εντός της εγγεγαμμένης γωνίας. Φένουμε τη διάμετο και ποκύπτει ότι και Εγαζόμαστε όπως στην πείπτωση Α και αποδεικνύουμε ότι 1 2 και ( ) 2 1 Πείπτωση : Το κέντο βίσκεται εκτός της εγγεγαμμένης γωνίας. Φένουμε τη διάμετο και ποκύπτει ότι και 1 Εγαζόμαστε όπως στην πείπτωση Α και αποδεικνύουμε ότι 2 και ( ) 1 2 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 149
Πααδείγματα 1. Να υπολογίσετε τη γωνία στα διπλανό σχήμα. Λύση: Η εγγεγαμμένη γωνία βαίνει στο τόξο Β. Η επίκεντη γωνία βαίνει στο ίδιο τόξοβ. Άα, (θεώημα εγγεγαμμένης και αντίστοιχης επίκεντης γωνίας). 2. Να υπολογίσετε τις γωνίες και στο διπλανό σχήμα. Λύση: Οι γωνίες και είναι ίσες, γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο Άα. Οι γωνίες και είναι ίσες, γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο. Άα. 52 31 3. Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο παάλληλων χοδών πειέχονται ίσα τόξα. Απόδειξη: εδομένο (παάλληλες χοδές) (εντός εναλλάξ γωνίες ίσες) Β (σε ίσες εγγεγαμμένες γωνίες στον ίδιο κύκλο αντιστοιχούν ίσα τόξα) Άα μεταξύ παάλληλων χοδών πειέχονται ίσα τόξα. 150 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
4. Να αποδείξετε ότι κάθε γωνία που σχηματίζεται από δύο τέμνουσες του κύκλου, όταν τέμνονται εντός του κύκλου, είναι ίση με το άθοισμα των εγγεγαμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που πειέχονται από τη γωνία και την κατακουφήν της γωνία. Απόδειξη: Αν και είναι η γωνία μεταξύ των δύο τεμνουσών Τότε, το ζητούμενο είναι Ε Η γωνία πειέχει το τόξο με αντίστοιχη εγγεγαμμένη τη. Η, κατακουφήν της, πειέχει το τόξο με αντίστοιχη εγγεγαμμένη τη (Εξωτεική γωνία του τιγώνου ) Άα,. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 151
αστηιότητες 1. Να υπολογίσετε τις τιμές του και σε καθεμιά από τις πιο κάτω πειπτώσεις: (α) 80 (β) 86 (γ) (δ) 34 ιάμετος (ε) 140 30 (ζ) 32 Β (η) 30 (θ) 60 80 152 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
2. Να αναφέετε κατά πόσο οι πιο κάτω ποτάσεις είναι οθές ή λανθασμένες. Να υποστηίξετε την απάντησή σας με παάδειγμα ή αντιπαάδειγμα. (α) ύο εγγεγαμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες. (β) ύο εγγεγαμμένες γωνίες που είναι ίσες βαίνουν σίγουα στο ίδιο τόξο. (γ) Αν μία εγγεγαμμένη γωνία είναι οθή, τότε σίγουα βαίνει σε ημικύκλιο. (δ) Στους κύκλους ( ) και ( ) οι επίκεντες γωνίες τους και αντίστοιχα είναι ίσες και βαίνουν σε ίσα τόξα. 3. Να υπολογίσετε την ακτίνα κύκλου με διάμετο, αν το ισοσκελές τίγωνο με είναι εγγεγαμμένο στον κύκλο ( σημεία του κύκλου). 4. Στον διπλανό κύκλο ισχύει ότι. Να αποδείξετε ότι Ε ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 153
Θεώημα Χοδής και Εφαπτομένης ιεεύνηση Να κατασκευάσετε έναν κύκλο ( ) Να εγγάψετε στον κύκλο τίγωνο ( σημεία του κύκλου). Να φέετε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο. Να μετήσετε τις γωνίες και. Μποείτε επίσης να ανοίξετε το αχείο «lken06_dgeoxordiefaptomeni.ggb». Να κάνετε μια εικασία για τη σχέση μεταξύ των γωνιών και. Να μετακινήσετε τις κουφές του τιγώνου σε διάφοες θέσεις. Να αλλάξετε το μέγεθος του κύκλου. Μαθαίνω Θεώημα Χοδής και Εφαπτομένης Η γωνία που σχηματίζεται από μια χοδή του κύκλου και την εφαπτομένη στο άκο της χοδής είναι ίση με την εγγεγαμμένη που βαίνει στο τόξο της χοδής Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι Φέουμε τις ακτίνες και. Tο τίγωνο είναι ισοσκελές. Άα. (Η επίκεντη γωνία είναι διπλάσια της εγγεγαμμένης) (άθοισμα γωνιών του τιγώνου Β ) ( ) (Η ακτίνα είναι κάθετη με την εφαπτομένη) ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) ποκύπτει ότι ω ω Κ Β φ φ Β 154 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
Πααδείγματα 1. Στο διπλανό σχήμα το τίγωνο είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο. Αν και είναι εφαπτόμενα τμήματα στα και αντίστοιχα, να υπολογίσετε τις γωνίες Λύση: Η γωνία σχηματίζεται από το εφαπτόμενο τμήμα και τη χοδή και η γωνία βαίνει στο τόξο Α. Άα από το θεώημα χοδής και εφαπτομένης ποκύπτει ότι 62 α 72 ω z ε Με παόμοιο τόπο έχουμε και. (άθοισμα γωνιών τιγώνου Α) 2. Στο διπλανό σχήμα η γωνία βαίνει σε ημικύκλιο και η ευθεία ( ) είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο. Να υπολογίσετε τις τιμές των. Λύση: Η γωνία βαίνει σε ημικύκλιο άα. (άθοισμα γωνιών Β ). 4 z ε Από το θεώημα χοδής και εφαπτομένης ποκύπτει ότι 3. Από σημείο εκτός του κύκλου ( )φέουμε εφαπτόμενα τμήματα και ΕΒ πος τον κύκλο Να αποδείξετε ότι Λύση: Από το θεώημα χοδής και εφαπτομένης ποκύπτει ότι και είναι εφαπτόμενα τμήματα και είναι χοδές κύκλου E } Β Άα, το τίγωνο είναι ισοσκελές με Παατήηση: Τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο έξω από τον κύκλο είναι ίσα. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 155
αστηιότητες 1. Να υπολογίσετε την τιμή του και του στις πιο κάτω πειπτώσεις. (α) 56 70 Β (β) Β 63 E (γ) 129 2. ίνεται κύκλος ( ). Αν η είναι χοδή του κύκλου, η εφαπτομένη στο σημείο και η γωνία να υπολογίσετε τη γωνία. 3. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που δημιουγείται από τη χοδή και την εφαπτομένη του κύκλου ( ) στο σημείο Β Λ M, αν ισχύει ότι 5 M με και σημεία του κύκλου όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 4. Σε κύκλο με κέντο φέουμε τη διάμετο. Το είναι σημείο της πειφέειας τέτοιο ώστε η γωνία και η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την ποέκταση της στο σημείο Να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. E 5. Από σημείο εκτός κύκλου φέουμε την εφαπτομένη του κύκλου, όπου είναι το σημείο επαφής, και την τέμνουσα, όπου και τα σημεία του κύκλου. Αν να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. Β 6. Από σημείο που βίσκεται εκτός του κύκλου ( ) φέουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και Αν η γωνία να υπολογίσετε το τόξο που αντιστοιχεί στην κυτή γωνία. 7. Στα άκα της διαμέτου ενός ημικυκλίου φέουμε εφαπτόμενες. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου σε ένα σημείο τέμνει τις εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β, σε σημεία και αντίστοιχα. (α) Να δείξετε ότι η γωνία είναι οθή. (β) Να καθοίσετε τη θέση του κέντου του κύκλου που πενά από τα σημεία 156 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
αστηιότητες Ενότητας 1. Να υπολογίσετε τις τιμές του και σε καθεμιά από τις πιο κάτω πειπτώσεις (α) (β) (γ) (δ) 86 30 (ε) (στ) 29 37 72 66 Β Ε 2. Ένα τετάπλευο ΑΒ είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο με o ο ο 120,Β 30 80. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τεταπλεύου. 3. Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντο και ακτίνα. Να πάετε ένα σημείο εκτός κύκλου και να βείτε το μέσο του. Με κέντο το και ακτίνα να κατασκευάσετε ημικύκλιο. Αν είναι το σημείο τομής του κύκλου ( ) με το ημικύκλιο να υπολογίσετε τη γωνία. Να εξηγήσετε γιατί η ευθεία που πενά από τα σημεία και είναι εφαπτομένη του κύκλου. 4. Στο διπλανό σχήμα παουσιάζεται η κάτοψη ενός αγγλικού μνημείου φτιαγμένο από βάχους (Stonehedge). Τμήματα του μνημείου δημιουγούν δύο ομόκεντος κύκλους. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 157
5. Σε οθογώνιο σύστημα αξόνων δίνεται κύκλος με κέντο το σημείο ( ) και ακτίνα. Να βείτε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής και του κύκλου με τους άξονες και αντίστοιχα. Αν είναι σημείο της πειφέειας του κύκλου με συντεταγμένες ( ) να υπολογίσετε το μέτο της γωνίας 6. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω γωνίες του τιγώνου 3 2 7. Σε κύκλο με κέντο είναι εγγεγαμμένο ισόπλευο τίγωνο. Αν είναι η εφαπτομένη του κύκλου στο να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος της αμβλείας γωνίας. 8. ίνεται οθογώνιο ταπέζιο ( ), στο οποίο η είναι εφαπτομένη του κύκλου που γάφεται με διάμετο την. Να αποδείξετε ότι 4 9. Το ισοσκελές τίγωνο, είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο. Αν είναι τυχαίο σημείο της και η ποέκταση της τέμνει τον κύκλο στο να δείξετε ότι. 10. Να αποδείξετε τα πιο κάτω θεωήματα (α) Ευθεία που πενά από το κέντο ενός κύκλου και είναι κάθετη πος τη χοδή πενά από το μέσο της χοδής και από το μέσο του τόξου. (β) Ευθεία που πενά από το κέντο ενός κύκλου και από το μέσο μιας χοδής είναι κάθετη στη χοδή και πενά από το μέσο του τόξου. (γ) Ευθεία που πενά από το κέντο ενός κύκλου και από το μέσο ενός τόξου είναι μεσοκάθετη της χοδής. (δ) Ευθεία που πενά από το μέσο μιας χοδής και το μέσο του αντίστοιχου τόξου, πενά από το κέντο του κύκλου και είναι κάθετη με τη χοδή. 158 ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος
αστηιότητες Εμπλουτισμού 1. (α) Να κατασκευάσετε ένα ταπέζιο με τις κουφές του να είναι σημεία κύκλου. (β) Τι είδους ταπέζιο έχετε κατασκευάσει; 2. Σε κύκλο ( ) φέουμε χοδή και την εφαπτομένη του. Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον κύκλο στο σημείο. Να δείξετε ότι. 3. ίνεται κύκλος με διάμετο, εφαπτομένη και ένα σημείο του κύκλου. Η τέμνουσα όταν ποεκταθεί τέμνει την στο σημείο. Επίσης η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την στο σημείο. Να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. 4. ύο ίσοι κύκλοι τέμνονται στα και. Από το φένουμε ευθεία που τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία και. Να δείξετε ότι το τίγωνο είναι ισοσκελές. 5. Το τίγωνο είναι εγγεγαμμένο σε κύκλο. Αν είναι το ύψος του τιγώνου και η διάμετος του κύκλου, να δείξετε ότι. 6. Σε κύκλο φέουμε χοδή και την εφαπτομένη του κύκλου. Αν είναι χοδή του κύκλου που βίσκεται πάνω στη διχοτόμο, να δείξετε ότι το τίγωνο. είναι ισοσκελές 7. Να αποδείξετε ότι η γωνία που δημιουγείται από δύο τέμνουσες του κύκλου και βίσκεται έξω από το κύκλο, έχει μέτο ίσο με τη διαφοά των δύο εγγεγαμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που πειέχει η γωνία. 8. ίνεται τετάγωνο με πλευά Στο εσωτεικό του κύκλου γάφουμε ημικύκλιο με διάμετο και τόξο κύκλου ( ) Από το Α φέουμε ημιευθεία που τέμνει το τόξο στο σημείο και το ημικύκλιο στο σημείο Αν, να αποδείξετε ότι ΕΝΟΤΗΤΑ 6 : Κύκλος 159