κρούση κρούση Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) ΘΕΜΑ A) Οι δύο μάζες στα δεξιά του σχήματος βρίσκονται αρχικά σε κατάσταση ηρεμίας και απέχουν λίγο μεταξύ τους. Η τρίτη μάζα, στα αριστερά του σχήματος προσπίπτει πάνω τους με ταχύτητα ubb. Υποθέτουμε ότι πρόκειται για μετωπικές ελαστικές κρούσεις και ότι οι μάζες κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς την επίδραση της βαρύτητας. α) Αν M, δείξτε ότι σημειώνονται δύο κρούσεις και βρείτε όλες τις τελικές ταχύτητες. β) Αν M>, δείξτε ότι σημειώνονται τρεις κρούσεις και βρείτε όλες τις τελικές ταχύτητες. ub M (7 % των μονάδων του θέματος) Β) Δίνεται η δύναμη F 7i ˆ 6jN ˆ α)υπολογίστε το έργο κατά τη μετακίνηση ενός υλικού σημείου από r o στο σημείο r i ˆ+ 4j ˆ. Είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τη διαδρομή που ακολουθεί το υλικό σημείο; Αιτιολογείστε. β)υπολογίστε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σωματιδίου. Αυξάνεται ή μειώνεται η κινητική ενέργεια του σωματιδίου; ( % των μονάδων του θέματος) UΛύση Α. η μεταξύ και Διατήρηση ορμής u u + u Διατήρηση ενέργειας u u + u u και u u Έτσι η μάζα μετά την κρούση ηρεμεί. η μεταξύ και Διατήρηση ορμής u u + Mu Διατήρηση ενέργειας u u + Mu M u u και u u α) M u > η κινείται προς τα δεξιά με M u u M u u u < οπότε δεν φθάνει ποτέ την > Δύο κρούσεις β) Αν M> η u < η κινείται αριστερά με ταχύτητα M u u. Άρα η () θα συγκρουστεί με την () που ηρεμεί μετά την πρώτη κρούση και έτσι οι και θα ανταλλάξουν ταχύτητες. u
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) Β. α)επειδή η δύναμη είναι σταθερή, είναι συντηρητική και το έργο της είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή r r o r r W Fdr F dr F(r r o) Fr επειδή r o Άρα ( ˆ ˆ)( ˆ ˆ) o W 7i 6j i + 4j 7 6 4 45J Το - έχει την έννοια ότι η δύναμη F είναι αντίθετη στη μετακίνηση του υλικού σημείου που τελικά γίνεται με δαπάνη έργου β) Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε ότι ΔΤ είναι ίση με το έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Επομένως ΔΤ-45 J δηλαδή η κινητική ενέργεια του σωματιδίου μειώθηκε. ΘΕΜΑ Α) Αύλακα σχήματος τεταρτοκυκλίου ακτίνας 4, ενώνεται ομαλά στη βάση της με ο επίπεδο που σχηματίζει γωνία 45 με τον ορίζοντα. Η αύλακα δεν έχει τριβή ενώ το επίπεδο έχει συντελεστή τριβής.. Σφαιρίδιο αφήνεται να ολισθήσει από το πάνω μέρος της αύλακας. (α) σε τι ύψος θα φτάσει το σφαιρίδιο πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο; (β) Τι ποσοστό της κινητικής του ενέργειας θα χαθεί λόγω τριβής; Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g. (5 % των μονάδων του θέματος) B) Δύο σώματα με μάζα το καθένα είναι συνδεδεμένα με ελατήριο σταθεράς k και βρίσκονται σε οριζόντιο λείο επίπεδο. Ένα άλλο σώμα με μάζα κινείται με ταχύτητα υ κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου και κάνει μετωπική ελαστική κρούση με ένα από τα δύο σώματα του ελατηρίου. α Αποδείξτε ότι τα δύο σώματα του ελατηρίου κινούνται συνεχώς προς την ίδια κατεύθυνση β. Υπολογίστε τις ταχύτητες των σωμάτων του ελατηρίου όταν το ελατήριο έχει τη μέγιστη δυνατή επιμήκυνση. (5 % των μονάδων του θέματος) Λύση:
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) Α. (α) Κατά την κίνηση του σφαιριδίου από το πάνω μέρος του τεταρτοκυκλίου (σημείο Α) μέχρι το κάτω μέρος (σημείο Β) ισχύει: EΔ υν, A EK ιν, B gh υ () Συνεχίζοντας το σφαιρίδιο την κίνησή του θα ανέλθει επί του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι ύψος h (σημείο Γ) και μάλιστα (λόγω της υπάρχουσας τριβής) θα είναι h <h. Τότε θα ισχύει όπου W E E () τριβ Μηχ, Γ Μηχ,B o W fs ( μn) s μgcos45 s τριβ o h μgh Wτριβ μgcos45 μgh sin45 tan45 o () () EMηχ, B EKιν, B + EΔ υν, B υ B + gh (4) EMηχ, Γ EK ιν, Γ + EΔ υν, Γ + gh gh (5) Με αντικατάσταση των (), (4) και (5) στην () έχουμε: μgh gh gh h ( + μ) h h h 4 h.76 + μ +.. (β) Από την () έχουμε ότι h Eτριβ Wτριβ μgh μg. και E E gh Κιν, B ολ
υbb. και οι Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) από τις οποίες συνεπάγεται; h E μg τριβ. μ, Eτριβ. o E gh., E o ολ B. α. όταν το σώμα () κάνει ελαστική κρούση με το σώμα (), θα ακινητοποιηθεί και θα ξεκινήσει το σώμα () με ταχύτητα υ. Η ορμή και η ενέργεια του σώματος () θα μεταφερθεί στο σύστημα των σωμάτων () και (). Έστω υbb υbb ταχύτητες των σωμάτων () και () αντίστοιχα σε κάποια χρονική στιγμή και x η επιμήκυνση του ελατηρίου. Λόγω διατήρησης της ορμής θα έχουμε υ υ + υυ υ + υ () Λόγω διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχουμε : υ υ + υ + kx υ υ + υ + kx η οποία λόγω της () γίνεται: ( υ + υ + υυ ) υ + υ + kx υυ kx () Επειδή το δεύτερο μέρος αυτής είναι θετικός αριθμός συμπεραίνουμε ότι και υb BυBB>, άρα τα σώματα () και () κινούνται συνεχώς προς την ίδια κατεύθυνση. β. από την () φαίνεται ότι η επιμήκυνση μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το γινόμενο υbb Επειδή από () υ υ + υ, το γινόμενο μεγιστοποιείται όταν υ υ υ. Πράγματι αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( υ, υ ) υυ f( υ ) ( υ υ) υ υυ υ τότε το πιθανό ακρότατο υ είναι για f( υ ) υ υ υ. Επειδή f ( υ ) < έχουμε υ μέγιστο για υ υ. ax Τότε η () δίνει υ kx x υ ax 4 k ολ ΘΕΜΑ Δίδεται ράβδος μήκους l. Το μισό της τμήμα είναι μεταλλικό και έχει μάζα 4kg και το άλλο μισό είναι από ξύλο και έχει μάζα kg. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το μέσο της (από το σημείο που ενώνονται τα δύο τμήματά της). Αρχικά η ράβδος συγκρατείται ακίνητη σε οριζόντια θέση και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί. α). Να υπολογίσετε τη ροπή αδρανείας της ράβδου ως προς τον άξονα που περνάει από το μέσο της. β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη στιγμή της εκκίνησης και όταν η ράβδος βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση. γ) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν είναι σε κατακόρυφη θέση;
διέρχονται η η Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) δ) Ποια είναι η γραμμική ταχύτητα των άκρων της; ε) Ποια είναι η στροφορμή της ράβδου στη κατακόρυφη θέση; στ) Tη στιγμή που βρίσκεται στη κατακόρυφη θέση προσκρούει στο κατώτερο σημείο της ράβδου κομμάτι στόκου μαζας BsB, kg που κινείται οριζόντια προς τη ράβδο με ταχύτητα u/s. Μετά τη σύγκρουση το κομμάτι στόκου προσκολλάται στη ράβδο. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος μετά τη κρούση; (Δίνεται ότι η ροπή αδρανείας ομογενούς ράβδου μήκους L και μάζας ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στην ράβδο: (/)L ) WB WB a. Έστω ΙBB ροπή αδρανείας του ξύλινου κομματιού και ΙBB ροπή αδρανείας του μεταλλικού κομματιού ως προς τον άξονα περιστροφής. Τότε από το θεώρημα του Steiner έχουμε: I (/) l + ( l/ ) (/) l + ( l / ) (/ ) l I (/) l + ( l/ ) ( / ) l I I + I (/ ) l + ( / ) l Άρα: I l β. Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης τη στιγμή της εκκίνησης : τ Iα g ( l/) - g ( l/) Ια γων γων αγων αγων αγων g (/) l l g /l rad / s Τη στιγμή που η ράβδος είναι στην κατακόρυφη, οι διευθύνσεις των δυνάμεων wbb και wbb από τον άξονα περιστροφής, άρα:
/s. Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) Στ Ια οπότε α γ. Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που περνάει από το κέντρο της μάζας του μεταλλικού τμήματος όταν η ράβδος είναι σε κατακόρυφη θέση, έχουμε: / / g (l/) + g (l/) (/)Iω + gl οπότε ω (g/l) rad/sec. δ. H γραμμική ταχύτητα των άκρων της: Vωl V 5 / / ε. Η στροφορμή της ράβδου ειναι: L Iω l ω 5 kg. /s. στ. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής ( ) ' ω ' I + sl ω Iω sul Iω sul, rad / s I + l s ΘΕΜΑ 4 A) Να βρεθεί η έκφραση της δυναμικής ενέργειας ενός σώματος στο οποίο ασκείται δύναμη F ax bx όπου a 5 N/, bn/, U(). Ποιά είναι η κίνηση ενός σωματίου με ενέργεια Ε -J και σε ποια θέση έχει τη μέγιστη ταχύτητα; (7 % των μονάδων του θέματος) Β) Το παρακάτω διάγραμμα παριστάνει τη δυναμική ενέργεια συστήματος δύο σωματιδίων ως συνάρτηση της μεταξύ τους ενδιάμεσης απόστασης r. Το ένα από τα σωματίδια παραμένει ακίνητο, ενώ το άλλο είναι ελεύθερο να κινείται κατά μήκος της ευθείας που συνδέει τα δύο σωματίδια Αν το ελεύθερο σωματίδιο αφεθεί από ηρεμία και από από r. περιγράψτε αιτιολογώντας την κίνηση που αναμένεται να κάνει. (Θα απομακρυνθεί ή θα πλησιάσει το ακίνητο σωματίδιο και σε ποιά απόσταση, θα σταματήσει;) ( % των μονάδων του θέματος) Λύση Α.
και abb BB BB 4.9 kg όπως Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) du F ax bx άρα dx 4 ax bx Fdx για U() U + 4 υbaxb όταν UBin Bδηλαδή όταν x du F ax bx x(bx a) + a dx x ± a b x b d U a a bx x > + > > d x b a Αρα Uin.J 4b Αφού Ε - J>UBinB και >Ε>UBinB θα παγιδευτεί και θα ταλαντώνεται γύρω από τη θέση όπου UBinB. B. Το σωματίδιο που αφήνεται σε r έχει δυναμική ενέργεια μονάδες πάνω από την ελάχιστη δυναμική του ενέργεια. Έτσι κινείται πλησιάζοντας το ακίνητο σωματίδιο αποκτώντας κινητική ενέργεια, ώσπου φθάνει σε r και συνεχίζει να πλησιάζει μετατρέποντας την κινητική του ενέργεια σε δυναμική μέχρι το r.5 όπου πάλι ηρεμεί αναστρέφοντας την κατεύθυνση της κινήσεώς του. Συνεχίζει έτσι να ταλαντώνεται μεταξύ r και r.5 ΘΕΜΑ 5 Α) Το σύστημα δύο μαζών BB.5 kg και BB.6 kg που ενώνονται με αβαρές μη εκτατό νήμα τροχαλίας επιταχύνεται με επιτάχυνση μέτρου abb /s φαίνεται στο σχήμα. Να βρεθεί η τάση του νήματος εάν ο συντελεστής τριβής μεταξύ της μάζας BB της βάσης του τραπεζιού είναι μ.. Θεωρείστε ότι η τροχαλία έχει αμελητέα μάζα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g9.8/s. a (5% των μονάδων του θέματος) Β) Ένας παρατηρητής κινείται με ταχύτητα υ i ˆ j ˆ π + / s σχετικά με σύστημα - αδρανείας. Στο σύστημα αδρανείας κινείται κι ένα σωμάτιο με μάζα και ταχύτητα υ i ˆ 5j ˆ / s. Τη χρονική στιγμή t το διάνυσμα θέσης του α
abb νόμο BB BB BB Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) παρατηρητή είναι r() i ˆ π και του σωματιδίου r() 4i ˆ 6j ˆ α +. Να βρεθεί η στροφορμή του σωματίου σχετικά με το σύστημα του παρατηρητή για t και t5 s. (5 % των μονάδων του θέματος) Λύση Α. Θεωρούμε θετική φορά προς τα πάνω. Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στις δύο μάζες, όπως φαίνεται στο σχήμα. N T T BBg f a Εφαρμόζοντας το a ο του Νεύτωνα προκύπτει: N g () T g a ) () ( a T f a T kn a () όπου a είναι το μέτρο της επιτάχυνσης των δύο μαζών σε σχέση με το τραπέζι. Από την εξίσωση () έχουμε: N + a g (4) Από τις () και (4) : T kn a a T k a + g) a ( T / ) k( a + ) (5) Από τις () και (5) : ( g
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (9-7-6) g T [( T / ) k( a + g) a T T ( ka + ) ( ka ( + k)( a + g) T + kg a + kg + a ] g T + g) Με αριθμητική αντικατάσταση προκύπτει: T 4. 4N Β. Η στροφορμή του σωματίου σε σχέση με τον παρατηρητή θα είναι Lσ r σ ( υ σ) rσ υ σ Αλλά rσ rα rπ και υ σ υ α υ π όπου r π και r σ οι θέσεις του παρατηρητή και του σωματίου αντίστοιχα σε κάποια χρονική στιγμή. Είναι υ σ xˆ 5yˆ xˆ yˆ xˆ 7yˆ Είναι t t r π(t) r π() υ πdt (xˆ + y)dt ˆ txˆ + tyˆ r π(t) r π() + txˆ + tyˆ xˆ + txˆ + ty ˆ (+ t) xˆ + tyˆ ομοίως t t r α(t) r α() υ αdt (xˆ 5y)dt ˆ txˆ 5tyˆ r α(t) r α() + txˆ 5tyˆ 4xˆ + 6yˆ+ txˆ 5ty ˆ (4+ t) x ˆ + (6 5t)yˆ Επομένως r σ ( + t)x ˆ + (6 7t)y ˆ Lσ [( + t)x ˆ + (6 7t)yˆ] ( xˆ 7yˆ) Άρα kg [ (+ t)7 (6 7t) ] zˆ [ 4 7t 6+ 7t] zˆ zˆ.6zˆ s Δηλαδή είναι ανεξάρτητη του χρόνου