Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Μοντέλα και αβεβαιότητα Χρήστος Μακρόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

Σχεδιάζοντας Ένα Μοντέλο: Αλγόριθμοι 3

Αλγόριθμοι Ένας αλγόριθμος είναι ένα συγκεκριμένη και ξεκάθαρη αλληλουχία οδηγιών που λύνει ένα πρόβλημα. Ο αλγόριθμος πρέπει να είναι γενικός (δηλαδή να λύνει το πρόβλημα για όλα τα πιθανά σύνολα δεδομένων εισόδου). 4

Ιδιότητες αλγορίθμων Ένας αλγόριθμος πρέπει να: Να μην έχει καμιά ασάφεια ως προς τις εντολές που περιλαμβάνει (Η εντολή «υπολόγισε το κατάλληλο συντελεστή» ζήτησης δεν είναι ξεκάθαρη!) Να μην έχει καμιά ασάφεια ως προς το πια εντολή πρέπει να εκτελεστεί μετά. Να έχει πεπερασμένο αριθμό εντολών (άρα να μπορεί να υπολογιστεί σε πεπερασμένο χρόνο) Να μπορεί να τελειώνει και να δίνει ένα αποτέλεσμα (Loops) 5

Γλώσσες προγραμματισμού VBA (Excel) MATLAB (www.mathworks.com) C, C#, Delphi, Fortran 6

Περιγραφή αλγορίθμων Ψευδοκώδικας: περιγραφή με τη μορφή προγραμματισμού χωρίς συμβάσεις κάποιας συγκεκριμένης γλώσσας Δεν υπάρχει απόλυτα συστηματική μορφή ψευδοκώδικα χρησιμοποιήστε μορφές που σας είναι οικίες (MATLAB? Fortran?) Συνήθως δεν περιλαμβάνουμε λεπτομέρειες που είναι σχετικές με τη γλώσσα προγραμματισμού και μόνο (πχ. διαχείριση μνήμης, μορφή μεταβλητών κτλ). Χρησιμοποιούμε (και) όρους που είναι κοντά στη φυσική γλώσσα όταν είναι κάτι εύκολο. 7

Παράδειγμα Υπολογίστε το άθροισμα και το γινόμενο μιας σειράς n αριθμών Είσοδος: Ένα πίνακας nχ1 αριθμών. Έξοδος: άθροισμα και γινόμενο των αριθμών for i:= 1 to n-1 sum := sum + list[i] product := product * list[i] end 8

Διαγράμματα Ροής Γραφική μορφή ψευδοκώδικα Σχηματική αναπαράσταση μιας διαδικασίας Περιλαμβάνουμε αρχή, τέλος, εισόδους, εξόδους, επεξεργασίες και αποφάσεις που οδηγούν σε διαδικασίες Begin/End Data Initialization Decision Action Connector Εικόνα 1: Βασικά σχήματα σύμβολα των διαγραμμάτων ροής 9

Επανάληψη time=0 for time=1:10 Compute velocity Print velocity end Εικόνα 2: Διάγραμμα ροής με επανάληψη 10

Επιλογή/Απόφαση IF condition Statement 1 Statement 2 End Εικόνα 3: Διαγράμματα ροής με επιλογή/απόφαση 11

Τι δείχνει αυτό το διάγραμμα ροής; Εικόνα 4: Παράδειγμα διαγράμματος ροής για ταμιευτήρα 12

Χρήση των μοντέλων για την επίλυση προβλημάτων

Επίλυση Μετά τη δημιουργία του μοντέλου: Αναλυτικά (πρέπει να είναι πολύ απλό) Με δοκιμή και πλάνη (trial and error) (πρέπει να είστε πολύ τυχεροί ή να ξέρετε πολύ καλά το σύστημα Βελτιστοποίηση 14

Προσομοίωση - Βελτιστοποίηση Εικόνα 5: Σχηματική απεικόνιση προσομοίωσης-βελτιστοποίησης 15

Στάδια επίλυσης 2 στάδια για την επίλυση ενός προβλήματος: Προσομοίωση (η παραμετροποίηση) προβλήματος Βελτιστοποίηση (μέσω αντικειμενικής συνάρτησης) Τα 2 αυτά στάδια δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (και τα 2 είναι εξίσου σημαντικά) 16

Πότε; Η προσομοίωση συνιστάται για: Τη μελέτη πολύπλοκων συστημάτων, δηλ. συστήματα για τα οποία η αναλυτικές λύσεις είναι ανέφικτες Για τη σύγκριση εναλλακτικών σχεδίων για ένα σύστημα που δεν υπάρχει ακόμα Για τη μελέτη των επιπτώσεων πιθανών μεταβολών σε ένα υπάρχον σύστημα. Γιατί δεν αλλάζουμε το σύστημα; Για την επαλήθευση αναλυτικών λύσεων Η προσομοίωση δεν πρέπει να χρησιμοποιείται όταν: Οι παραδοχές του μοντέλου είναι τόσο απλές που μπορούμε να εφαρμόσουμε μαθηματικές μεθόδους για να βρούμε ακριβείς απαντήσεις (αναλυτικές λύσεις ) 17

Πόσο ακριβής είναι μια προσομοίωση; Αν και οι παράμετροι θεωρούνται γνωστές μπορεί να είναι αβέβαιες: 1. Λάθη στις μετρήσεις: είναι οι χρονοσειρές εισροών ακριβείς; 2. Ανεπάρκεια μετρήσεων για τον ζητούμενο χώρο και χρόνο 3. Λάθη στην απεικόνιση του προβλήματος στο μοντέλο (ή έλλειψη βασικών διεργασιών από το μοντέλο) 4. Έλλειψη πληροφορίας (ξέρουμε πραγματικά την παροχετευτικότητα του υδραγωγείου; Μπορεί να έχει αλλάξει το τελευταίο εξάμηνο..) 18

Ανάλυση Αβεβαιότητας και Ευαισθησίας Ανάλυση αβεβαιότητας και ανάλυση ευαισθησίας: μεταβολή παραμέτρων και εξέταση επίπτωσης στα αποτελέσματα. Αν το μοντέλο είναι πολύ ευαίσθητο σε κάποιες παραμέτρους, ίσως πρέπει να τις προσέξουμε περισσότερο! (πχ. νέα συλλογή/ανάλυση δεδομένων) 19

Ευαισθησία και Αβεβαιότητα Στην ανάλυση ευαισθησίας προσπαθούμε να υπολογίσουμε την επίπτωση ενός (μικρού) λάθους των παραμέτρων εισόδου στα αποτελέσματα του μοντέλου Στην ανάλυση αβεβαιότητας χρησιμοποιούμε πιθανοτικές κατανομές των παραμέτρων εισόδου για να υπολογίσουμε πιθανοτικές κατανομές των αποτελεσμάτων του μοντέλου. Σχήμα 1: Διάγραμμα της ανάλυσης ευαισθησίας και αβεβαιότητας ενός μοντέλου 20

Αβεβαιότητα και προβλέψεις.. Χρησιμοποιούμε ιστορικά δεδομένα για να υπολογίσουμε τις παραμέτρους του μοντέλου (βαθμονόμηση) Οταν ζητάμε μελλοντικές προβλέψεις απο το μοντέλο, υποθέτουμε (εμμέσως) οτι τα ιστορικά δεδομένα είναι αντιπροσωπευτικά του μελλοντικού συστήματος. Σχήμα 2: Διάγραμμα μελλοντικών προβλέψεων μοντέλου βάσει των ιστορικών δεδομένων 21

tn/s Χρήση μοντέλων εκτός περιοχής δεδομένων (extrapolation) Όσο πιο πολύ χρειάζεται να απομακρυνθούμε από τις συνθήκες των μετρήσεων που έχουμε, τόσο μεγαλύτερη η αβεβαιότητα 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 y = 0,000000193x 2,652796317 R² = 0,735585973 0,0 0 100 200 300 400 500 600 m3/s Μελέτη στερεοπαροχής ποταμού Αλιάκμωνα (θέση Ιλαρίωνα): Στερεοπαροχές 1962-1982. Απορροές 1962-1992 Σχήμα 3: Διάγραμμα στερεοπαροχής-απορροής ποταμού Αλιάκμωνα (θέση Ιλαρίωνα) περιόδου 1962-1982 22

Η ακρίβεια του μοντέλου εξαρτάται: Από την ακρίβεια με την οποία προσομοιώνει ιστορικές συνθήκες Την ομοιότητα των μελλοντικών συνθηκών με αυτές που καταγράφονται μέσω των ιστορικών δεδομένων Σχήμα 4: Διαγράμματα μηνιαίων παροχών και στερεοπαροχών θέσης Ιλαρίωνα 23

Τύποι αβεβαιότητας Εικόνα 6: Τύποι αβεβαιότητας (σχηματική απεικόνιση) Στις γνώσεις μας (πχ μετρήσεις, διεργασίες) Στη φύση (πχ. χωρική-χρονική μεταβολή βροχής) Στις αποφάσεις (περιβαλλοντικοί στόχοι του επόμενου περιφερειάρχη Θεσσαλίας) 24

Σύστημα που περιγράφεται μόνο από τη μεταβλητή X t από τη σχέση: X t =k*x t-1 *(1-x t-1 ) Πόσο μπορούμε να μειώσουμε την αβεβαιότητα των μοντέλων μας Χρονική εξέλιξη Χ1 t, X2 t Με ελάχιστα διαφορετικές αρχικές συνθήκες X1 o =0.660001 X2 o =0.66 Χρονική εξέλιξη Χ1 t -X2 t Σχήμα 5: Διαγράμματα με την χρονική εξέλιξη των Χ1 t, X2 t και Χ1 t -X2 t 25

Σκέψεις... Πως λέγεται η θεωρία που εξηγεί την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες; Τι επιπτώσεις έχει αυτή η θεωρία στις μακροπρόθεσμες προβλέψεις (ακόμα και τελείως ντετερμινιστικών) συστημάτων που επηρεάζονται από τις αρχικές συνθήκες τόσο πολύ; Ποιό είναι το σύστημα στο οποίο δούλευε ο άνθρωπος που ανακάλυψε το φαινόμενο; Ποιά είναι η γνώμη σας για τα GCMs; Είναι το πρόβλημα αυτό φαινομενολογικό ή επιστημολογικό (άραγε); Εικόνα 7: Edward Norton Lorenz 26

Ανάλυση Ευαισθησίας Στην ανάλυση ευαισθησίας, θέλουμε να υπολογίσουμε την επίπτωση που θα έχουν (μικρές) μεταβολές της παραμέτρου εισόδου που μας ενδιαφέρει στο αποτέλεσμα. Μια απλή μέθοδος είναι η μεταβολή (μόνο αυτής) της παραμέτρου μέσα σε ένα διάστημα [α, β], πχ. τα μέγιστο-ελάχιστο διάστημα μέσα στο οποίο έχει φυσικό νόημα η παράμετρος και να τρέχουμε το μοντέλο για τα όρια αυτά, υπολογίζοντας τα όρια των αποτελεσμάτων. Παράδειγμα: Ένα απλό ποιοτικό μοντέλο είναι το μοντέλο Vollenweider που υπολογίζει συγκεντρώσεις φωσφόρου σε λίμνες Όπου η συγκέντρωση φωσφόρου είναι P (mg/m3), η ετήσια εισροή φωσφόρου είναι L (mg/m2 a), η μέση εισροή νερού είναι q (m/a), και το μέσο βάθος νερού είναι z (m). 27

Μεταβάλλουμε τις παραμέτρους Ας υποθέσουμε οτι λογικές τιμές (από ιστορικές μετρήσεις) είναι L = 680 mg/m3, q=10.6 m/a, και z=84 m, από τα οποία προκύπτει P= 16.8 mg/m3. Τιμές P κάτω από 10 mg/m3 θεωρούνται ολιγοτροφικές. Τιμές πάνω από 20 mg/m3 θεωρούνται μάλλον ευτροφικές. Ένας ενδιαφέρον τρόπος να δούμε τα αποτελέσματα είναι το διάγραμμα tornado Σχήμα 6: Διάγραμμα tornado του παραδείγματος 28

=1 Ανάλυση Αβεβαιότητας Στην ανάλυση αβεβαιότητας πρέπει: I. να ανακαλύψουμε από ποιά συνάρτηση πιθανότητας προέρχεται η παράμετρος εισοδου του μοντέλου που μας ενδιαφέρει και II. επιλέγοντας τυχαίες μεταβλητές από την πιθανότητα αυτή υπολογίζουμε τη συνάρτηση πιθανότητας των αποτελεσμάτων. Σχήμα: έχουμε 2 εναλλακτικές λύσεις του ίδιου προβλήματος και δύο κριτήρια για τη κάθε λύση (επίδοση(αβέβαιη) και κόστος (βέβαιο)). Στο ίδιο μοντέλο: Λύση Α ελέγχω το L, Λύση Β ελέγχω το q Σχήμα 7: Διαγράμματα με τύπους συναρτήσεων πιθανότητας παραμέτρων εισόδου Σχήμα 8: Διάγραμμα συναρτήσεων πιθανότητας των αποτελεσμάτων με δυο εναλλακτικές λύσεις του ίδιου προβλήματος και δύο κριτήρια για τη κάθε λύση 29

Monte Carlo Έστω a και b με a<b δύο πραγματικοί αριθμοί. Μία κλήση στη συνάρτηση uniform(a,b) επιστρέφει έναν πραγματικό αριθμό x που επιλέγεται τυχαία στο διάστημα a x<b. Οι τιμές του x κατανέμονται ομοιόμορφα στο προαναφερόμενο διάστημα. Διαδοχικές κλήσεις της συνάρτησης αποδίδουν ανεξάρτητες μεταξύ τους τιμές του x. Τις τιμές του x τις χρησιμοποιούμε στο μοντέλο για να υπολογίσουμε τις παραμέτρους εξόδου. Επαναλαμβάνουμε πολλές φορές Καταλήγουμε στον υπολογισμό της (εμπειρικής) κατανομής των παραμέτρων εξόδου. Μπορεί να εφαρμοστεί σε μια ή πολλές παραμέτρους εισόδου ταυτόχρονα Σχήμα 9: Μέθοδος Monte Carlo 30

Προβλήματα της Monte Carlo Χρειαζόμαστε πολλές τιμές και πολλούς υπολογισμούς του μοντέλου μας για να δημιουργήσουμε τις κατανομές (1000;) Αλλιώς μπορεί να έχουμε πολύ πληροφορία για ένα μέρος της κατανομής και πολύ λίγη πληροφορία για άλλο μέρος... 31

Μια πιο έξυπνη λύση δειγματοληψίας: Latin Hypercube Sampling Χωρίζουμε την κατανομή της παραμέτρου εισόδου σε ισοπιθανά τμήματα. Διαλέγω ένα δείγμα από κάθε τέτοιο τμήμα για κάθε μεταβλητή εισόδου. Συνδυάζω (τυχαία) τα δείγματα από τις διάφορες μεταβλητές Διαλέγω μια τιμή από κάθε τμήμα και τα χρησιμοποιώ στο μοντέλο. Υπολογίζω την κατανομή της παραμέτρου εξόδου. Εικόνα 8: Λύση δειγματοληψίας: Latin Hypercube Sampling 32

Θέμα: Μέρος 2ο Βέλτιστη Διαχείριση Πολλαπλών Ταμιευτήρων Καλείστε να μελετήσετε μια απλοποιημένη εκδοχή του υδροσυστήματος της Αθήνας, η οποία περιλαμβάνει δύο ταμιευτήρες (την Υλίκη και τον Μόρνο) που συνδέονται με τις μονάδες επεξεργασίας νερού της Αθήνας με δύο υδραγωγεία Σχήμα 10: Υδροσύστημα Αθήνας 33

Αδριάνειο υδραγωγείο και πηγές 1927-28 1931-32 1935-36 1939-40 1943-44 1947-48 1951-52 1955-56 1959-60 1963-64 1967-68 1971-72 1975-76 1979-80 1983-84 1987-88 1991-92 1995-96 1999-00 2003-04 2007-08 Ετήσια κατανάλωση νερού (hm 3 ) Εξέλιξη κατανάλωσης/πληθυσμού /έργων 500 450 3 027 000 3 071 000 3 163 000 400 350 2 540 000 300 250 200 150802 000 100 50 0 1 124 000 1 379 000 1 831 000 Γεωτρήσεις Μαραθώνας Υλίκη Μόρνος Εύηνος (εκτροπή) Σχήμα 11: Διάγραμμα με την εξέλιξη της κατανάλωσης, του πληθυσμού, και των έργων ύδρευσης Εύηνος (φράγμα) 34

Εικόνα 9: Υδροσύστημα Αθήνας 35

Αποτύπωση με μορφή συστήματος (αφαίρεση, Ockham!) Εικόνα 10: Αποτύπωση υδροσυστήματος Αθήνας σε απλή μορφή συστήματος 36

Βασικά Διαχειριστικά Προβλήματα Εικόνα 11: Σχηματική απεικόνιση βασικών διαχειριστικών προβλημάτων 37

Το πρόβλημα της διαχείρισης του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Απαίτηση εξασφάλισης πολύ υψηλής αξιοπιστίας (99%, σε ετήσια βάση). Διαχείριση υπό καθεστώς αβεβαιότητας υδρολογική αβεβαιότητα (μη προβλέψιμες εισροές) αβεβαιότητα ως προς την εξέλιξη της κατανάλωσης αβεβαιότητα ως προς τη λειτουργικότητα κρίσιμων έργων. Εναλλακτικές διαχειριστικές επιλογές (= βαθμοί ελευθερίας συστήματος) ως προς τις εκροές από τους υδατικούς πόρους (ταμιευτήρες, γεωτρήσεις) ως προς την κατανομή των εκροών στα υδραγωγεία. Υψηλό κόστος λειτουργίας υδραγωγείου Υλίκης και γεωτρήσεων (λόγω άντλησης) έναντι μηδενικού κόστους της σήραγγας Ευήνου-Μόρνου και του υδραγωγείου Μόρνου (λειτουργία με βαρύτητα). Σημαντικές απώλειες από υπόγειες διαφυγές (κυρίως Υλίκη), υπερχειλίσεις (Εύηνος) και διαρροές (κυρίως σε τμήματα υδραγωγείων υπό πίεση). Ανταγωνιστικές (ως προς την ύδρευση) χρήσεις νερού και περιορισμοί διατήρηση περιβαλλοντικής παροχής 1.0 m 3 /s κατάντη φράγματος Ευήνου περιορισμός ρυθμιστικού όγκου Μαραθώνα για αποφυγή κινδύνου υπερχείλισης αρδευτικές (Κωπαΐδα, Άμφισσα) και μικρές υδρευτικές χρήσεις. 38

Σύστημα Υποστήριξης Αποφάσεων για την ύδρευση της Αθήνας Υδρονομέας (Koutsoyiannis et al.) Εικόνα 12: Υδρονομέας 39

Μια κοντινότερη ματιά στο ΣΥΑ 1. Το μοντέλο 2. Ποια δεδομένα απαιτούνται για την ολοκληρωμένη ανάλυσή του; 3. Πώς υλοποιείται η διαχείριση της υδρολογικής αβεβαιότητας και η εκτίμηση της αξιοπιστίας του συστήματος; 4. Πώς παράγονται οι εισροές και για ποιον χρονικό ορίζοντα αναφέρονται; 5. Πώς εκφράζονται οι κανόνες λειτουργίας του συστήματος; Πόσες παράμετροι απαιτούνται για τη διατύπωση της μακροχρόνιας διαχειριστικής πολιτικής του; 6. Αρκούν οι κανόνες λειτουργίας για να προσδιορίσουν πλήρως τις μεταβλητές υδατικού ισοζυγίου του συστήματος; Ποιοι περιορισμοί προκύπτουν; 7. Πώς υλοποιείται η προσομοίωση της λειτουργίας του συστήματος; Πώς η τήρηση των περιορισμών ανάγεται σε πρόβλημα γραμμικής βελτιστοποίησης; 8. Τι αποτελέσματα παράγει η προσομοίωση; Βάσει ποιων κριτηρίων αποτιμάται μια συγκεκριμένη διαχειριστική πολιτική; 9. Πώς διατυπώνεται το πρόβλημα καθολικής βελτιστοποίησης της επίδοσης του συστήματος; Τι αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται για την επίλυσή του; 10.Σε ποια ερωτήματα «απαντά» το σύστημα υποστήριξης αποφάσεων; Πώς έχει χρησιμοποιηθεί επιχειρησιακά; 40

Το μοντέλο Εικόνα 13: Σχηματική απεικόνιση μοντέλου συστήματος υποστήριξης αποφάσεων 41

Δεδομένα 42

Αβεβαιότητα Ανάλογα με το διαχειριστικό πρόβλημα, υπάρχουν δύο τύποι (στοχαστικής) προσομοίωσης: Εκτίμηση «μακροχρόνιας» αξιοπιστίας (σχεδιασμού) συστήματος σε συνθήκες σταθερής ζήτησης, όπου σε κάθε θέση παράγεται μία χρονοσειρά μεγάλου μήκους. Εκτίμηση της «λειτουργικής» αξιοπιστίας: παράγεται πλήθος σεναρίων εισροών για χρονικό ορίζοντα λίγων ετών, με δεδομένες αρχικές συνθήκες, και προκύπτει ένα δείγμα μεταβλητών εξόδου σε κάθε χρονικό βήμα (π.χ. αποθέματα, εκροές), βάσει του οποίου εκτιμάται η αντίστοιχη αξιοπιστία (και η πιθανότητα... =?). Μπορούμε να κάνουμε πρόγνωση; Γιατί δε χρησιμοποιούμε απλά το ιστορικό δείγμα; Σχήμα 12: Διαγράμματα με τους δύο τύπους (στοχαστικής) προσομοίωσης 43

Κανόνες λειτουργίας Εικόνα 14: Κανόνες λειτουργίας 44

Υπολογισμός των ροών: μια κρυφή βελτιστοποίηση 45

Υπολογισμός Κανόνων Λειτουργίας: μια φανερή βελτιστοποίηση 46

Τι ερωτήματα καλούμαστε να απαντήσουμε; 47

Ένα παράδειγμα: ενεργειακό κόστος λειτουργίας Σχήμα 13: Διάγραμμα με το ενεργειακό κόστος λειτουργίας του παραδείγματος Άλλα κόστη; (πώς υπολογίζουμε το συνολικό κόστος νερού (βλ. 2000/60);) 48

Συνοπτικά 49

Δεδομένα Δύο ταμιευτήρες (Υ, Μ) Γεωμετρικά χαρακτηριστικά που φαίνονται στον διπλανό πίνακα (πάνω). Η καμπύλη στάθμης (S) - αποθέματος (V) είναι μια εκθετική σχέση της μορφής V = a(s S min ) b, όπου S min η ελάχιστη στάθμη. Οι ταμιευτήρες έχουν διαφυγές, οι οποίες εξαρτώνται από τη στάθμη τους. Η καμπύλη στάθμης-διαφυγών είναι μια γραμμική σχέση της μορφής: L = Lο + λ(s S 0 ). Η ετήσια υδρευτική ζήτηση ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 400 hm 3, και τυπική απόκλιση 20 hm 3 ενώ η μηνιαία κατανομή της φαίνεται στον διπλανό πίνακα (κάτω). Τέλος, δίνονται οι μηνιαίες εισροές στους δύο ταμιευτήρες από το 1979 μέχρι το 2008 (σε excel) ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ ΜΟΡΝΟΣ ΥΛΙΚΗ Ελάχιστη στάθμη (m) 320 40 Κατώτατη στάθμη λειτουργίας (m) 384 43,5 Ανώτατη στάθμη λειτουργίας (m) 435 79,8 Παράμετρος α σχέσης στάθμης-αποθέματος 0,0006 1,898 7 Παράμετρος b σχέσης στάθμης-αποθέματος 2,9672 1,559 5 Παράμετρος L0 σχέσης στάθμης-διαφυγών (hm3/μήνα) 0,07-26,6 Παράμετρος S0 σχέσης στάθμης-διαφυγών (hm3) 320 0 Παράμετρος λ σχέσης στάθμης-διαφυγών 0,012 0,545 Παροχετευτικότητα υδραγωγείου (hm3/μήνα) 35 20 Κόστος μεταφοράς νερού ( /m3) 0 0,05 Αρχική στάθμη (m) 410 60 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ ΠΟΣΟΣΤΟ Οκτώβριος 0,086 Νοέμβριος 0,074 Δεκέμβριος 0,073 Ιανουάριος 0,074 Φεβρουάριος 0,074 Μάρτιος 0,077 Απρίλιος 0,075 Μάιος 0,088 Ιούνιος 0,091 Ιούλιος 0,103 Αύγουστος 0,093 Σεπτέμβριος 0,092 50

Ερωτήσεις: Σχεδιάστε μια σχηματική αναπαράσταση του απλοποιημένου συστήματος, στην οποία να φαίνονται όλα τα στοιχεία του προβλήματος. Δημιουργήστε το διάγραμμα ροής (flow-chart) ενός μοντέλου προσομοίωσης που θα υπολογίζει την αστοχία και το κόστος της λειτουργίας του συστήματος αυτού για μια δεδομένη κατανομή εκροών μεταξύ των ταμιευτήρων. Υπολογίστε τον βέλτιστο κανόνα λειτουργίας του υδροσυστήματός σας δηλαδή τη βέλτιστη κατανομή των εκροών (%) μεταξύ των δύο ταμιευτήρων για την ικανοποίηση της υδρευτικής ζήτησης, για τα εξής κριτήρια: να μεγιστοποιείται η αξιοπιστία να ελαχιστοποιείται το μέσο ετήσιο κόστος να μεγιστοποιείται η ανθεκτικότητα να ελαχιστοποιείται η ευαισθησία Για κάθε κριτήριο που βελτιστοποιείτε να υπολογίζετε και τις τιμές των υπόλοιπων κριτηρίων και να παρουσιάσετε τις 4 λύσεις σε σχετικό πίνακα. 51

Σχηματική Αναπαράσταση Εικόνα 15: Σχηματική αναπαράσταση του απλοποιημένου συστήματος με όλα τα δεδομένα του θέματος 52

Εναλλακτικά κριτήρια επιδόσης υδροσυστημάτων (και άρα εναλλακτικές αντικειμενικές συναρτήσεις) Αξιοπιστία: πόσο συχνά αστοχεί το σύστημα; Ανθεκτικότητα: πόσο γρήγορα ανακάμπτει ένα σύστημα μετά από μια αστοχία; Ευαισθησία: πόσο μεγάλες είναι οι επιπτώσεις από μια αστοχία; Αξιοπιστία (Reliability) = 1 Αριθμός βημάτων στα οποία είχαμε αστοχια Αριθμός βημάτων προσομοίωσης Ανθεκτικότητα (Resilience) = Αριθμός βημάτων που η αστοχια ακολουθηθηκε από μη αστοχια Συνολικό αριθμό αστοχιών Ευαισθησία (Vulnerability) = Συνολικός ογκος ζήτησης που δεν καλύφθηκε Συνολικό αριθμό αστοχιών 53

Κι άλλες ερωτήσεις... Υπολογίστε τη βέλτιστη κατανομή των εκροών ώστε να ελαχιστοποιούνται ταυτόχρονα τα κριτήρια αξιοπιστίας και κόστους, θεωρώντας ότι: τα δύο κριτήρια έχουν ίδια σημασία ως παράμετροι απόφασης ότι το κριτήριο κόστους είναι δύο φορές σημαντικότερo από την αστοχία Κάντε μια ανάλυση ευαισθησίας της λύσης 3.1 στις παροχετευτικότητες των υδραγωγείων και στο κόστος μεταφοράς (με αβεβαιότητα +/- 20%) Για την βέλτιστη κατανομή των εκροών που επιλέξατε στο ερώτημα 3.1 υπολογίστε τη πιθανότητα αστοχίας και το κόστος για τη χρονική περίοδο μελέτης για τα εξής σενάρια: αν η μέση τιμή της ζήτησης αυξάνεται γραμμικά κατά τη διάρκεια των χρόνων αυτών με ρυθμό 0.8% το χρόνο, και αν οι εισροές είναι μειωμένες κατά 18%. Τι δυνατότητες υπάρχουν για την αντιμετώπιση του προβλήματος που προκύπτει για την Αθήνα από τα σενάρια του ερωτήματος 5; Παρουσιάστε μια σύντομη περιγραφή πιθανών λύσεων με βασικά θετικά/αρνητικά. 54

Σημεία προσοχής: Τι συμβαίνει όταν ζητάμε μια παροχή από ένα ταμιευτήρα (σύμφωνα με το συντελεστή κατανομής μας) και ο ταμιευτήρας δεν έχει αρκετό νερό; Τι συμβαίνει αν η παροχή που ζητάμε από ένα ταμιευτήρα δεν μπορεί να παροχετευτεί λόγω του υδραγωγείου; Για να αθροίσετε δύο ποσότητες (εδώ κόστος και αστοχία) πρέπει να είναι συγκρίσιμες. Πως ξεπερνάτε τη διαφορά διαστάσεων; 55

Μορφή μοντέλου Εικόνα 16: Πίνακας excel με την μορφή του μοντέλου 56

Flow Chart m(t+1)= m(t)+ (t+1)-l(t+1) min m(t+1) ma Rm=min(a, m, aro M) Καλύπτεται η ζήτηση Μόρνου; OXI Έχει η Υλίκη; OXI NAI NAI Παίρνω όσο γίνεται υ(t+1)= υ(t)+ (t+1)-l(t+1) min υ(t+1) ma Rυ=min(a, υ, aro Υ) Μπορεί να το μεταφέρει; OXI NAI Καλύπτεται η ζήτηση Υλίκης; OXI Έχει ο Μόρνος; OXI NAI NAI Παίρνω όσο γίνεται Μπορεί να το μεταφέρει; OXI NAI Ru(Τελικό) + Rm (Τελικό) = D OXI Αστοχία = +1 NAI Κόστος = Ru*Cost Εικόνα 17: Διάγραμμα ροής με το μοντέλο 57

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Εικόνα 7: Edward Norton Lorenz, από http://el.wikipedia.org, CC: BY-NC-SA Σχήμα 10: Υδροσύστημα Αθήνας, "Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας." Εικόνα 9: Υδροσύστημα Αθήνας, από Δ. Κουτσογίαννη και Α. Ευστρατιάδη, Έτος 2002 2003, Δεκέμβριος 2002, Σχέδιο Διαχείρισης του Υδροδοτικού Συστήματος της Αθήνας - Προσομοίωση και βελτιστοποίηση διαχείρισης υδροδοτικού συστήματος Αθήνας, CC: BY-NC-SA Εικόνα 12: Υδρονομέας, από Δ. Κουτσογίαννη (Koutsoyiannis et al.1999), CC: BY-NC-SA 58

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.