Ανάκλαση και Διάθλαση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων

Ανάκλαση και Διάθλαση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων Γιώργος Φικιώρης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ε. Μ. Πολυτεχνείο emal: gf@ece.nua.g Πολλοί τρόποι διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σχετίζονται άμεσα με την ανάκλαση και τη διάθλαση. Αναφέρουμε ενδεικτικά τα τροποσφαιρικά και ιονοσφαιρικά κύματα, τα κύματα εδάφους, καθώς και τη διάδοση σημάτων μέσω οπτικών ινών. Στις σημειώσεις αυτές συζητάμε με λεπτομέρεια το απλούστερο πρόβλημα στο οποίο συμβαίνει ανάκλαση και διάθλαση, αυτό της πρόσπτωσης επίπεδου κύματος στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών ημιχώρων. Έπειτα συζητάμε πιο προχωρημένα προβλήματα, επεκτάσεις και εφαρμογές.. Επίπεδα κύματα Σε ό, τι ακολουθεί, αναφερόμαστε σε ηλεκτρομαγνητικά κύματα μίας συχνότητας f (σε Hz), ενώ 2 f είναι η κυκλική συχνότητα (σε ad/sec). Ως συνήθως, το σύμβολο παριστάνει τον φασιθέτη (ή φάσορα, phaso) του διανύσματος του j Re E. E ηλεκτρικού πεδίου, με αντίστοιχη στιγμιαία τιμή e Έστω ισοτροπικό, μη-αγώγιμο μέσο με διηλεκτρική σταθερά και μαγνητική διαπερατότητα. Υπενθυμίζουμε ότι ένα επίπεδο κύμα (plane wave) οδεύον κατά τη κατεύθυνση έχει ηλεκτρικό πεδίο E που δίνεται από z jz E( z) E (0) e () όπου ο κυματαριθμός (wavenumbe) είναι (2) και όπου το πλάτος E (0) είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης, δηλαδή E (0) z (3) Τονίζουμε ότι το πλάτος είναι, για όλους τους χρόνους, σταθερό. Η ονομασία επίπεδο κύμα οφείλεται στο ότι, όπως προκύπτει από την (), το πλάτος και η φάση του ηλεκτρικού πεδίου είναι αναλλοίωτα σε οποιοδήποτε απέραντο επίπεδο που δίνεται από τη σχέση z σταθερό. Η σημασία των επιπέδων επιφανειών σταθερής φάσης, καθώς και

η έννοια της κατεύθυνσης όδευσης, φαίνεται στο Σχήμα, όπου έχουμε σχεδιάσει το j Re E( z) e E(0) cos z ag E(0) ως συνάρτηση του («φωτογραφία») z για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές και, όπου. Το σχήμα για είναι απλώς το προγενέστερο μετατοπισμένο κατά την απόσταση ( 2 ) /, γεγονός που δηλώνει όδευση (χωρίς απόσβεση) της «φωτογραφίας» με σταθερή ταχύτητα 2 2 z 2 (4) 0.5 R e E z e x p j -0.5 0-0 2 3 4 z Σχήμα : «Φωτογραφία» της στιγμιαίας τιμής του ηλεκτρικού πεδίου επίπεδου κύματος σε δύο χρονικές στιγμές. Η μεταγενέστερη φωτογραφία ( ) είναι η αρχική ( ) μετατοπισμένη προς τα δεξιά κατά ( ) / ( ) v. απόσταση 2 2 2 Η ταχύτητα αυτή ονομάζεται ταχύτητα φάσης (phase velocy). Το αντίστοιχο μαγνητικό πεδίο που μπορεί να βρεθεί αμέσως από τις εξισώσεις του Maxwell προκύπτει κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης και, επίσης, κάθετο στο ηλεκτρικό πεδίο. Αυτά απεικονίζονται στο Σχήμα 2. 2

Ε όδευση κατά τη κατεύθυνση z Η Σχήμα 2: Η διεύθυνση διάδοσης, το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο ενός επίπεδου κύματος είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους. Συμβολίζουμε, ως συνήθως, το διάνυσμα θέσης με, οπότε xxˆ yyˆ zz ˆ, όπου τα μοναδιαία διανύσματα. Με αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων, προκύπτει αμέσως από τα παραπάνω ότι ένα ηλεκτρικό πεδίο της μορφής xˆ, yˆ, zˆ j ( ) ( ) e E E 0 (5) όπου το κυματοδιάνυσμα xˆ yˆ z ˆ (wave veco) έχει μέτρο από x y z που δίνεται (6) 2 2 2 x y z και όπου το πλάτος E0 () είναι κάθετο στο κυματοδιάνυσμα, δηλαδή E( 0) 0 (7) παριστάνει επίπεδο κύμα οδεύον κατά την κατεύθυνση. Υποθέτουμε εδώ ότι οι συνιστώσες,, είναι πραγματικοί αριθμοί (αλλά θα αναφέρουμε επεκτάσεις σε x y z μιγαδικές συνιστώσες αργότερα). Η ταχύτητα φάσης εδώ είναι ένα διάνυσμα κατά την κατεύθυνση. Στις (5) και (7), το σύμβολο δηλώνει, ως συνήθως, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων. Οποιαδήποτε πρακτική κεραία εκπομπής έχει πεπερασμένη έκταση και δεν μπορεί να παράγει ηλεκτρικό πεδίο -όπως αυτό των σχέσεων () και (5)- που δεν αποσβέννυται καθώς οδεύει. Για το λόγο αυτό, το επίπεδο κύμα είναι μια εξιδανίκευση. Είναι, όμως, μια πολύ χρήσιμη εξιδανίκευση διότι στις συνηθισμένες εφαρμογές ενδιαφέρει το μακρινό πεδίο, δηλαδή το πεδίο μακρυά από την κεραία. Το μακρινό πεδίο μιας κεραίας εκπομπής μπορεί να θεωρηθεί, τοπικά, σαν επίπεδο κύμα. 3

2. Ανάκλαση και διάθλαση επιπέδου κυμάτος σε διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών ημιχώρων 2. Διατύπωση του προβλήματος. Αναζήτηση λύσης μέσω επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα κυκλικής συχνότητας προσπίπτει από τον διηλεκτρικό ημιχώρο με σταθερές, 0 σε διαχωριστική επιφάνεια με άλλον διηλεκτρικό ημιχώρο με σταθερές 2, 2 0. Ενδιαφερόμαστε για το πλήρες ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Εδώ έχουμε συμβολίσει με 7 0 40 henys/mees τη μαγνητική διαπερατότητα του κενού χώρου. Η υπόθεση ικανοποιείται στα περισσότερα διηλεκτρικά της πράξης πάντως θα 2 0 αναφέρουμε την πιο γενική περίπτωση 2 αργότερα. x z ημιχώρος, 0 ημιχώρος 2, 2 2 0 Σχήμα 3: Γεωμετρία και άξονες του προβλήματός μας. Τοποθετούμε τους άξονες όπως στο Σχήμα 3. Έτσι, το επίπεδο z 0 (το επίπεδο xy, με άλλα λόγια) είναι η διαχωριστική επιφάνεια, ενώ το προσπίπτον κυματοδιάνυσμα ) κατευθύνεται στην αρχή των αξόνων και ανήκει στο επίπεδο y 0. ( 0 Αναζητάμε τη λύση στον αριστερό ημιχώρο ως διανυσματικό άθροισμα του προαναφερόμενου «προσπίπτοντος» ( ncden ) επιπέδου κύματος και ενός άλλου επίπεδου κύματος («ανακλώμενο» κύμα, efleced wave) με κυματοδιάνυσμα 4

). Ενώ στον δεξί ημιχώρο, αναζητάμε τη λύση ως ένα επίπεδο κύμα ( 0 («μεταδιδόμενο» ή «διαθλώμενο» κύμα, ansmed o efaced wave) με κυματοδιάνυσμα ( 0 ). Τα τρία κύματα αυτά δίνονται από τις σχέσεις 2 2 2 j j xxzz 2 E ( ) E ( 0) e E ( 0 ) e, (8) x z 2 2 2 j j xxzz 2 ( ) ( ) e E E 0 E ( 0 ) e, (9) x z 2 2 2 j j xxzz 2 E ( ) E ( 0) e E ( 0 ) e, (0) x z Τα τρία κυματοδιανύσματα απεικονίζονται στο Σχήμα 3. 2.2 Νόμοι ανάκλασης και διάθλασης του Snell Σε οποιοδήποτε σημείο της διαχωριστικής επιφάνειας απαιτούν τη συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου. Έπεται από τις (8)-(0) ότι, ανεξάρτητα από την πόλωση του προσπίπτοντος, θα ισχύει για όλα τα x μια σχέση της μορφής 0 0 0 2 z 0, οι οριακές συνθήκες x x x j x j x j x e e e () Το αριστερό μέλος της () προέρχεται από το πεδίο (προσπίπτον + ανακλώμενο) λίγο αριστερά από τη διαχωριστική επιφάνεια, ενώ το δεξί μέλος της () από το πεδίο (μεταδιδόμενο) λίγο δεξιά. Οι σταθερές,, εξαρτώνται από την πόλωση του προσπίπτοντος. Σε κάθε περίπτωση, όμως, το ότι μια σχέση της μορφής () ισχύει για κάθε x συνεπάγεται αναγκαστικά ότι (2) x x x Φθάσαμε λοιπόν στο θεμελιώδες συμπέρασμα ότι οι εφαπτομενικές συνιστώσες των τριών κυματοδιανυσμάτων είναι όλες ίσες. Με άλλα λόγια, η παράλληλη στη διαχωριστική επιφάνεια συνιστώσα της ταχύτητας φάσης είναι ίδια και για τα τρία κύματα (προσπίπτον, ανακλώμενο, διαθλώμενο). Από τη (2) και τις εκφράσεις στις (8)-(0) για τα μέτρα,,, παίρνουμε απλές σχέσεις που συνδέουν τις γωνίες πρόσπτωσης, ανάκλασης και μετάδοσης (ή διάθλασης), και [angles of ncdence, eflecon, and ansmsson (o efacon)], τις οποίες ορίζουμε όπως φαίνεται στο Σχήμα 3: Από το Σχήμα 3, βλέπουμε ότι sn, sn, sn (3) x x x 5

Επειδή (4) 2 οι (2) και (3) δίνουν (5) και sn sn (6) 2 Έτσι δείξαμε ότι η γωνία ανάκλασης είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης, ενώ η γωνία διάθλασης των διηλεκτρικών σταθερών. Η (6) ονομάζεται νόμος (διάθλασης) του Snell, ενώ η (5) μερικές φορές ονομάζεται νόμος ανάκλασης του Snell. Εισάγοντας τους δείκτες διάθλασης (efacon ndces) n / 0 και n2 2 / 0 (όπου βρίσκεται εύκολα από τη γωνία πρόσπτωσης και τον λόγο 0 8.854 0 μπορούμε να γράψουμε τον νόμο διάθλασης του Snell και ως sn / 2 faads/mees είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού χώρου), n 2 sn (7) n2 Τονίζουμε ξανά ότι οι νόμοι του Snell ισχύουν για οποιαδήποτε πόλωση του προσπίπτοντος κύματος. Παρατηρούμε ότι εάν 2 (ή n n2), είναι δυνατόν η (6) [ή η (7)] να μην δίνει πραγματική τιμή για τη γωνία μετάδοσης, οπότε η διαδικασία με την οποία βρήκαμε τη λύση χρειάζεται επανεξέταση. Θα επανέλθουμε στο σημείο αυτό αργότερα. 2.3 Συντελεστές ανάκλασης και διάθλασης Σε ό, τι ακολουθεί, θέλουμε να βρούμε τα πλάτη E ( 0 ) και E ( 0) από το πλάτος E ( 0 ) του προσπίπτοντος. Για να το κάνουμε αυτό, βολεύει να αναλύσουμε το προσπίπτον κύμα σε δύο κατάλληλες συνιστώσες και να εξετάσουμε τις δύο συνιστώσες (τις δύο πολώσεις, με άλλα λόγια) ξεχωριστά. Όπως θα δούμε, μάλιστα, οι δύο πολώσεις ανακλώνται και διαθλώνται κατά διαφορετικό τρόπο. Οι δύο συνιστώσες ορίζονται μέσω του επιπέδου πρόσπτωσης (plane of ncdence) το οποίο με τη σειρά του ορίζεται ως το επίπεδο το οποίο σχηματίζουν το 6

και η προβολή του στη διαχωριστική επιφάνεια. Έχουμε κάθετη ή Ε πόλωση (pependcula o E polazaon) όταν το προσπίπτον πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης. Ενώ έχουμε παράλληλη ή Η πόλωση (paallel o H polazaon) όταν το προσπίπτον πεδίο είναι παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης (οπότε το μαγνητικό πεδίο H ανήκει στο επίπεδο πόλωσης, εξ ου και η ονομασία H polazaon). Προφανώς, ένα τυχαίο προσπίπτον πάντα μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των δύο πολώσεων. E ( ) E ( ) Με τους άξονες όπως στο Σχήμα 3, το επίπεδο πρόσπτωσης είναι το επίπεδο ). Έχουμε κάθετη πόλωση όταν το προσπίπτον ηλεκτρικό πεδίο έχει μόνο -συνιστώσα και παράλληλη πόλωση όταν το προσπίπτον ηλεκτρικό πεδίο έχει -συνιστώσα ίση με μηδέν. Αυτά απεικονίζονται στα Σχήματα 4α και 4β. y 0 (με άλλα λόγια, το επίπεδο y y xz x E E z E ημιχώρος, 0 ημιχώρος 2, 2 2 0 Σχήμα 4α: Κάθετη πόλωση: Επίπεδο πρόσπτωσης και διανύσματα ηλεκτρικού πεδίου. Στη συνέχεια, για καθεμιά από τις δύο περιπτώσεις, δίνουμε τις σχέσεις που συνδέουν τα πλάτη των ηλεκτρικών πεδίων. Η εξαγωγή των σχέσεων αυτών γίνεται μέσω των εξισώσεων Μaxwell. Ένα πρώτο συμπέρασμα από τις εξισώσεις Maxwell είναι ότι το μεταδιδόμενο και το ανακλώμενο κύμα διατηρούν την πόλωση του προσπίπτοντος. Αυτό φαίνεται και στα Σχήματα 4α και 4β. Στη βιβλιογραφία για την κάθετη και παράλληλη πόλωση, μερικές φορές χρησιμοποιούνται και οι ονομασίες οριζόντια και κατακόρυφη πόλωση (hozonal and vecal polazaon), τις οποίες θα αποφύγουμε εδώ. 7

x E E z E ημιχώρος, 0 ημιχώρος 2, 2 2 0 Σχήμα 4β: Παράλληλη πόλωση: Επίπεδο πρόσπτωσης και διανύσματα ηλεκτρικού πεδίου. 2.3. Κάθετη ή Ε πόλωση Στην περίπτωση της κάθετης πόλωσης και με τους άξονες όπως το Σχήμα 4α, τα ηλεκτρικά πεδία είναι της μορφής j j j E ( ) yˆ E ( 0) e, E ( ) yˆ E ( 0) e, E ( ) yˆ E ( 0 ) e (8) y y y Ως συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης του Fesnel για κάθετη πόλωση (Fesnel eflecon and ansmsson coeffcens fo pependcula polazaon) RK( ) και TK( ) ορίζουμε τους λόγους R Ey( ) Ey( ) ( ) 0, T ( ) 0 E ( 0) E ( 0) K K y y (9) Εφαρμόζοντας τις κατάλληλες οριακές συνθήκες, δείχνουμε στο Παράρτημα ότι R K ( ) cos cos 2 2 sn 2 2 sn (20) 8

και ότι T ( ) R ( ) K K cos 2cos 2 2 sn Οι (2)-(6) και (8)-(2) είναι πλήρεις σχέσεις για το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. (2) -0.2-0.4 ή ά -0.6-0.8-0 20 40 60 80 ί ό Σχήμα 5: Συντελεστής ανάκλασης Fesnel RK( ) για κάθετη πόλωση και για 2/.5 (πάνω γραμμή) και 2 / 9 (κάτω γραμμή). Το Σχήμα 5 είναι διάγραμμα του RK( ) για 2/.5 (πρόσπτωση από αέρα σε γυαλί) και για 2/ 9 (πρόσπτωση από αέρα σε θαλάσσιο νερό ). Όπως είναι λογικό, παρατηρούμε περισσότερη ανάκλαση όταν οι διηλεκτρικές σταθερές διαφέρουν περισσότερο (στο όριο 2 /, μάλιστα, έχουμε RK( ) για όλα τα ), καθώς και ολική ανάκλαση για 90 (οριζόντια γωνία πρόσπτωσης, gazng ncdence). Στο Σχήμα 5, το ότι R ( ) 0 σημαίνει ότι η ανάκλαση επιφέρει αλλαγή φοράς στο πεδίο. K Έχουμε υποθέσει ότι η αγωγιμότητα του θαλάσσιου νερού είναι μηδέν. 9

2.3.2 Παράλληλη ή Η πόλωση Στην περίπτωση της παράλληλης πόλωσης, φαίνεται από το Σχήμα 4β και τη σχέση (5) ότι τα ηλεκτρικά πεδία μπορούν να γραφούν ως ( ) ( ˆcos ˆsn ) j E E0 x z e (22) ( ) ( ) ( ˆcos ˆsn ) j E R E0 x z e (23) ( ) ( ) ( ˆcos ˆsn ) j E T E0 x z e (24) Οι (22)-(24) ορίζουν τους συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης του Fesnel για παράλληλη πόλωση (Fesnel eflecon and ansmsson coeffcens fo paallel polazaon) και. Με εφαρμογή των κατάλληλων οριακών συνθηκών (η διαδικασία είναι παρόμοια μ αυτήν του Παραρτήματος για την περίπτωση της κάθετης πόλωσης) μπορεί να δειχτεί ότι R ( ) T ( ) 2 2 2 cos sn R ( ) 2 cos sn 2 2 (25) και ότι T 2 2 cos cos ( ) R( ) cos 2 2 2 cos sn (26) Θα συζητήσουμε τώρα μια σημαντική ιδιότητα της παράλληλης πόλωσης που δεν έχει αντίστοιχο στην κάθετη πόλωση. 0

2.4 Μηδενική ανάκλαση στην παράλληλη πόλωση. Γωνία Bewse Στην περίπτωση παράλληλης πόλωσης, προκύπτει από την (25) ότι υπάρχει πάντα μια γωνία πρόσπτωσης για την οποία ο συντελεστής ανάκλασης μηδενίζεται, δηλαδή R ( B ) 0, όπου an 2 (27) Η ονομάζεται γωνία Bewse (Bewse angle). Στη γωνία Bewse, μπορούμε να θεωρούμε ότι οι δύο ημιχώροι είναι τέλεια προσαρμοσμένοι μεταξύ τους, οπότε η διάδοση γίνεται ανεμπόδιστα. Όταν συμβαίνει το φαινόμενο Bewse, προκύπτει από τις (27) και (6) ότι η γωνία μετάδοσης είναι 90, δηλαδή συμπληρωματική της γωνίας (πρόσπτωσης) Βewse. Από την άλλη μεριά, είναι συνέπεια της (20) ότι για όλα τα οπότε, στην περίπτωση της κάθετης πόλωσης, πάντα έχουμε μη-μηδενική ανάκλαση (εκτός από την τετριμμένη περίπτωση 2 στην οποία δεν έχουμε ανάκλαση έτσι και αλλιώς). Για παράδειγμα, η ανάκλαση είναι πάντα μη-μηδενική στις δύο περιπτώσεις του Σχήματος 5. Η γωνία Βewse ονομάζεται και γωνία πόλωσης (polazng angle) διότι προσπίπτον που έχει και τις δύο πολώσεις θα μετατραπεί, μετά από πρόσπτωση με, σε ανακλώμενο με κάθετη μόνο πόλωση. B R ( ) 0 Για πρόσπτωση κύματος από τον αέρα σε θαλάσσιο νερό, η γωνία Bewse προκύπτει περίπου 83.7 (σχεδόν οριζόντια γωνία πρόσπτωσης, nealy gazng ncdence), ενώ είναι 6.3 =90 83.7 (σχεδόν κάθετη πρόσπτωση, nealy nomal ncdence) για πρόσπτωση από νερό σε αέρα. Το φαινόμενο Bewse βρίσκει αρκετές εφαρμογές στην Οπτική αναφέρουμε ως παράδειγμα την ελαχιστοποίηση απωλειών από ανάκλαση κατά τη διαδρομή φωτός μέσα σε lase. 2.5 Κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης. Ολική ανάκλαση. Επιφανειακά κύματα Θεωρούμε τυχαία πόλωση και επιστρέφουμε στην παρατήρηση -που έγινε στo τέλος της 2.2- ότι είναι δυνατό να έχουμε «γωνία μετάδοσης» που να μην είναι πραγματικός αριθμός. Για να συμβαίνει αυτό, φαίνεται από την (6) ότι πρέπει και αρκεί να ικανοποιούνται οι εξής δύο συνθήκες 2 2 και c sn (28) Εφόσον λοιπόν η πρόσπτωση γίνεται από το πυκνότερο προς το αραιότερο μέσο ( 2 ), το εν λόγω φαινόμενο θα συμβαίνει για όλες τις γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες από την κρίσιμη γωνία (ccal angle) c που ορίζεται στην (28). Το

φαινόμενο είναι αδύνατο να συμβεί αν η πρόσπτωση γίνεται από το αραιότερο προς το πυκνότερο μέσο ( ). Όταν ισχύουν οι (28), η τετραγωνική ρίζα που εμφανίζεται στις (20) και (25) είναι φανταστικός αριθμός, οπότε οι αριθμητές έχουν το ίδιο μέτρο με τους αντίστοιχους παρονομαστές. Άρα, τα μέτρα των συντελεστών ανάκλασης είναι, 2 R ( ) R ( ) ( ) (29) c οπότε το φαινόμενο που μελετάμε λέγεται ολική ανάκλαση (oal eflecon). Όσον αφορά τη συμπεριφορά του συντελεστή ανάκλασης, η ολική ανάκλαση είναι, κατά κάποιον τρόπο, το αντίθετο του φαινομένου Bewse. Τονίζουμε όμως ότι η ολική ανάκλαση (αλλά όχι το φαινόμενο Bewse) συμβαίνει () και στις δύο πολώσεις, () μόνο για πρόσπτωση από πυκνότερο προς αραιότερο μέσο, και () για ένα εύρος γωνιών ( ), όχι για μία συγκεκριμένη γωνία μόνο. c Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύουν οι (28) και επιστρέφουμε στις 2. και 2.2 για να επανεξετάσουμε τη διαδικασία εύρεσης της λύσης και να δούμε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τη μορφή του «μεταδιδόμενου» πεδίου. Όπως και πριν, αναζητάμε λύση στο πρόβλημά μας με τη μορφή (8)-(0). Από τις (8), (0), (2) και την πρώτη σχέση (3) - όλες αυτές οι σχέσεις εξακολουθούν να ισχύουν- εύκολα φαίνεται ότι η συνθήκη sn / για ολική ανάκλαση είναι ισοδύναμη με 2 x (30) Από τη δεύτερη σχέση (0) έχουμε z x 2 2 2 (3) Οι (30) και (3) φανερώνουν ότι το είναι φανταστικός αριθμός. Από την πρώτη σχέση (0), επομένως, όταν έχουμε ολική ανάκλαση το πεδίο στον δεξί ημιχώρο φθίνει εκθετικά καθώς απομακρυνόμαστε από τη διαχωριστική επιφάνεια. Ταυτόχρονα βέβαια, λόγω της (2), διαδίδεται παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια. Τέτοιου είδους κύματα είναι γνωστά ως επιφανειακά κύματα (suface waves) και, όπως θα εξηγήσουμε στο επόμενο Εδάφιο 3, έχουν μεγάλη σημασία στη διάδοση. Επειδή οι επιφάνειες σταθερής φάσης και οι επιφάνειες σταθερού πλάτους εδώ δεν ταυτίζονται, λέμε ότι η λύση στον ημιχώρο δεξιά είναι ανομοιογενές επίπεδο κύμα (nhomogeneous plane wave). Ακόμα, επειδή το κύμα αποσβέννυται γρήγορα καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια, λέμε ότι είναι γερά προσδεμένο (ghly bound) στην επιφάνεια. Τέλος, φαίνεται από τη συνθήκη (30) ότι, παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια, η διάδοση γίνεται με ταχύτητα φάσης μικρότερη απ αυτήν ( / ) της ταχύτητας επίπεδου κύματος στον απέραντο χώρο. Για τον λόγο αυτό, εδώ έχουμε αργό επιφανειακό κύμα (slow suface wave). z 2

Για πρόσπτωση κύματος από θαλάσσιο νερό σε αέρα, η κρίσιμη γωνία προκύπτει 6.4 (λίγο μεγαλύτερη από τη γωνία Bewse), επομένως ολική ανάκλαση συμβαίνει για ένα μεγάλο εύρος γωνιών πρόσπτωσης. Το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης είναι πολύ σημαντικό στην Οπτική. Επιτρέπει να αλλάζουμε τη διεύθυνση μιας ακτίνας χωρίς απώλειες, πράγμα που χρησιμοποιείται σε εφαρμογές όπως τα κυάλια. Άλλες εφαρμογές εκμεταλλεύονται το ότι οι αλλαγές φάσης στις δύο πολώσεις δεν είναι ίδιες (παρόλο που, σύμφωνα με την (29) και οι δύο συντελεστές ανάκλασης έχουν μέτρο ). Τέλος, η διάδοση στις οπτικές ίνες μπορεί να εξηγηθεί σαν διαδοχικές ολικές ανακλάσεις στην επιφάνεια της διηλεκτρικής ίνας. 3. Επεκτάσεις Τα φαινόμενα που συζητήσαμε εδώ, καθώς και η ανάλυσή μας, έχουν πολλές επεκτάσεις και εφαρμογές. Αναφέρουμε ενδεικτικά μερικές εδώ. ) Είναι πολύ εύκολο να άρουμε τον περιορισμό ότι τα δύο μέσα έχουν την ίδια διαπερατότητα και να επεκτείνουμε τα αποτελέσματα και για την περίπτωση 2. Οι αντίστοιχες σχέσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για τα φερρομαγνητικά υλικά και μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία []. Σημειώνουμε ότι ο νόμος ανάκλασης του Snell εξακολουθεί να ισχύει, ενώ ο νόμος διάθλασης του Snell είναι η σχέση (6) με το ( ) /( 2 2) στη θέση του / 2. 2) Τα πολλαπλά διηλεκτρικά στρώματα [] χρησιμεύουν στις εφαρμογές διότι δίνουν τη δυνατότητα αλλαγής των ιδιοτήτων ανάκλασης και μετάδοσης με τη συχνότητα. Κατά την ανάλυση, προκύπτουν πολλές αναλογίες και ομοιότητες με τη μετάδοση στις γραμμές μεταφοράς []. 3) Εδώ θεωρήσαμε γραμμική πόλωση. Προσπίπτον με ελλειπτική πόλωση αναλύεται στο []. Προκύπτει ότι η ανάκλαση είναι δυνατόν να αλλάζει τις ιδιότητες πόλωσης. Για παράδειγμα, δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο κύμα που προσπίπτει με γωνία μικρότερη της γωνίας Βewse μετατρέπεται, όταν ανακλασθεί, σε αριστερόστροφα ελλειπτικά πολωμένο κύμα []. 4) Όταν ένας τουλάχιστον ημιχώρος έχει απώλειες, πολλές από τις εξισώσεις των 2.- 2.3 εξακολουθούν να ισχύουν, αλλά η φυσική ερμηνεία τους είναι πολύ διαφορετική. Για πρόσπτωση από αέρα σε αγώγιμο μέσο, για παράδειγμα, είναι αμέσως φανερό ότι το πεδίο στον αγωγό πάντα θα έχει εκθετική απόσβεση, ανεξάρτητα από τη γωνία πρόσπτωσης. Για λεπτομερή ανάλυση, παραπέμπομουμε στο [7, 2.6], καθώς και στο []. 5) Στην 2.5 συζητήσαμε το απλούστερο, ίσως, πρόβλημα στο οποίο προκύπτει ως λύση επιφανειακό κύμα. Επιφανειακά κύματα υπάρχουν και όταν το «προσπίπτον κύμα» προέρχεται από δίπολο ή άλλη κεραία κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια τέτοια κύματα 3

δεν μπορούν να θεωρηθούν επίπεδα και τα επιφανειακά κύματα που αναπτύσσονται είναι πιο περίπλοκης μορφής. Λεπτομερής ανάλυση και εκτενής βιβλιογραφία μπορεί να βρεθεί στο [7]. Στην πράξη, τα επιφανειακά κύματα έχουν μεγάλη σημασία στη διάδοση κοντά στην επιφάνεια της γης, οπότε μιλάμε για κύματα εδάφους (gound waves). Τα κύματα εδάφους είναι ιδιαίτερα σημαντικά στη ζώνη MF (300-3000 Hz), που περιλαμβάνει και την εκπομπή AM. 6) Τέλος, φαινόμενα ανάκλασης και διάθλασης -πιο περίπλοκης μορφής- συμβαίνουν επίσης στην τροπόσφαιρα και στην ιονόσφαιρα. Η τροπόσφαιρα είναι το κατώτερο τμήμα της ατμόσφαιρας (το άνω όριό της απέχει 0 m, κατά μέσο όρο, από τη γήινη επιφάνεια), ενώ η ιονόσφαιρα είναι το άνω στρώμα της ατμόσφαιρας (αρχίζει περίπου 60 m πάνω από τη γήινη επιφάνεια). Tα αντίστοιχα ανακλώμενα κύματα καλούνται τροποσφαιρικά και ιονοσφαιρικά και είναι ιδιαίτερα σημαντικά για διάδοση, αντίστοιχα, των συχνοτήτων 30 ΜHz-GHz και -30ΜΗz [3], [0]-[3]. 4. Παράρτημα: Εξαγωγή των σχέσεων (20) και (2) Στο Παράρτημα αυτό, δείχνουμε ότι οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης R ( ) και T ( ) για την περίπτωση της κάθετης πόλωσης δίνονται από τις (20) και (2). Στη διαχωριστική επιφάνεια z 0, οι εφαπτομενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου είναι συνεχείς, οπότε οι (8) και (2) δίνουν E ( 0) E ( 0) E ( 0 ) (32) y y y Διαίρεση της (32) με E () 0 και χρήση των ορισμών (9) δίνει y R ( ) T ( ) (33) που είναι η πρώτη σχέση (2). Τα τρία ηλεκτρικά πεδία στη (8) είναι όλα της μορφής E y ˆ Ey( x, z). Από την εξίσωση E j0h του Maxwell, τα αντίστοιχα μαγνητικά πεδία θα είναι της μορφής j Ey Ey H xˆ y ˆ (34) 0 z x Άρα, στην περίπτωση της κάθετης πόλωσης που εξετάζουμε, η συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών του μαγνητικού πεδίου ισοδυναμεί με συνέχεια της παραγώγου E / z. Στο προσπίπτον, παραγώγιση ως προς z ισοδυναμεί με y 4

2 2 πολλαπλασιασμό με z x και παρόμοια για το ανακλώμενο και το μεταδιδόμενο. Επομένως, η συνέχεια της παραγώγου E / zμπορεί να γραφεί ως 2 2 2 2 2 2 y( ) x y ( ) x y( ) x E 0 E 0 E 0 (35) όπου τα αρνητικό πρόσημο στον δεύτερο όρο οφείλεται στο ότι, σύμφωνα με το Σχήμα 3, 0. Διαίρεση της (35) με και χρήση των (9) και των (2)-(5) δίνει z E() 0 2 R ( ) cos T ( )cos y (36) Οι (20) και (2) τελικά προκύπτουν αν εκφράσουμε το cos στην (36) συναρτήσει του [χρησιμοποιώντας τον νόμο (6) του Snell] και, κατόπιν, επιλύσουμε τις (33) και sn (36) ως προς R ( ) και T ( ). y 5. Βιβλιογραφία Η ανάκλαση και η διάθλαση είναι «κλασικά» θέματα και ανάλυση παρόμοια με την παρούσα υπάρχει σε πολλά βιβλία ηλεκτρομαγνητισμού, κεραιών και οπτικής, καθώς και σε αρκετές πηγές στο διαδίκτυο. Αναφέρουμε ενδεικτικά τα εξής. [] C. A. Balans, Advanced Engneeng Elecomagnecs. New Yo: John Wley & Sons, 989, chap. 5. [Η ανάλυση εδώ είναι ιδιαίτερα λεπτομερής και κατανοητή. Για παράδειγμα, η περίπτωση 0 (nomal ncdence) μελετάται πρώτα και τα αποτελέσματα έπειτα επεκτείνονται για 0 (oblque ncdence).] [2] U. S. Inan e A. S. Inan, Engneeng Elecomagnecs. Menlo Pa, CA: Addson- Wesley, 999. [3] Ι. Γ. Φικιώρης, Εισαγωγή εις την Θεωρίαν των Κεραιών και την Διάδοσιν Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων. Αθήνα: Β. Σελλούντος, 982, κεφ. 6. [4] Η. Α. Haus, Waves and Felds n Opoeleconcs. Englewood Clffs, New Jesey: Pence-Hall, 984. [5] R. E. Colln, Anennas and Radowave Popagaon. Sngapoe: McGaw-Hll Inenaonal Edon, 985, chap. 6. [6] J. D. Jacson, Classcal Elecodynamcs, 3 d Edon. New Yo: John Wley &Sons, 998, chap. 7. (Προσοχή, εδώ χρησιμοποιούνται οι λεγόμενες μονάδες Gauss/ 5

μεταβλητές Gauss. Οι μεταβλητές Gauss είναι διαφορετικές από τις συνηθισμένες μεταβλητές του συστήματος SI.) [7] R. W. P. Kng, M. Owens, and T. T. Wu, Laeal Elecomagnec Waves. New Yo: Spnge-Velag, 992. [Κύριος σκοπός του προχωρημένου αυτού βιβλίου είναι τα επιφανειακά κύματα παραγόμενα από δίπολα υπεράνω γης. Το εισαγωγικό κεφάλαιο 2 ( Elecomagnec pelmnaes ) έχει πολλές (αλλά συνοπτικές) πληροφορίες για την ανάκλαση/διάθλαση επίπεδων κυμάτων.] [8] Fesnel equaons fo eflecon and efacon, hp://www.physcs.uges.edu/ugad/389/fesnelseqns.pp [9] hp://en.wpeda.og/w/man_page, Plane waves, Fesnel equaons, Snell s law, Bewse angle, Toal nenal eflecon. Όπως ήδη αναφέρθηκε, πιο ειδικευμένα θέματα υπάρχουν στα [], [3], [7], καθώς και στα [0] Ι. Δ. Κανελλόπουλος, Διάδοση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων σε Γήινο Περιβάλλον. Θεσσαλονίκη: Τζιόλας, κεφ., 2. [] ITU-R Handboo, Ionosphee and s Effecs on Radowave Popagaon, 998. [2] ITU-R, Radowave Popagaon Infomaon fo Pedcons fo Eah-o-Space Pah Communcaons, 996. [3] R. K. Cane, Popagaon Handboo fo Weless Communcaon Sysem Desgn, CRC Pess, 2003 Απρίλιος 202 6