ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας.
Μέγιστο γινόμενο, ελάχιστο άθροισμα. (Προέκταση ένος γνωστού θεωρήματος)
ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν δύο μεταβλητοί θετικοί αριθμοί έχουν σταθερό άθροισμα, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν είναι ίσοι. Μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με A = 90, ΒΓ = α και ύψος ΑΔ = υ, έχει σταθερό άθροισμα υποτείνουσας και αντιστοίχου ύψους (α + υ = λ, λ θετικός σταθερός αριθμός) και αυ ΑΒΓ = ( ) Μπορεί να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του;
x + y = λ, λ θετικός σταθερός αριθμός ( ) ( ) ( ) λ x y x+ y x y = 4xy xy= 4 Αν x> y, τότε xy = ( ) λ λ y 4 Το xy γίνεται μέγιστο όταν το (λ y) γίνεται ελάχιστο. Αυτό συμβαίνει όταν το y γίνεται μέγιστο.
Αν δύο μεταβλητοί θετικοί αριθμοί έχουν σταθερό άθροισμα, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν είναι ίσοι και αν αυτό είναι αδύνατο, αν ο μικρότερος από τους δύο γίνει μέγιστος. α α ΑΔ ΑΜ = υ υ α λ υ λ υ υ. λ Οπότε, υ μέγιστο όταν υ =. λ α Τότε α = άρα υ =, οπότε το ΑΒΓ είναι ισοσκελές. M
ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν δύο μεταβλητοί θετικοί αριθμοί έχουν σταθερό γινόμενο, τότε το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν είναι ίσοι και αν αυτό είναι αδύνατο, όταν ο μικρότερος από τους δύο γίνει μέγιστος. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: xy = λ, λ θετικός σταθερός αριθμός ( x+ y) ( x y) = 4xy ( x+ y) = 4λ + y y Το x +y γίνεται ελάχιστο όταν το (x y) γίνει ελάχιστο, δηλαδή όταν x = y. λ λ Αν x > y, τότε το y γίνεται ελάχιστο y όταν το y γίνει μέγιστο.
Μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με A = 90, ΒΓ = α και ύψος ΑΔ = υ, έχει σταθερό εμβαδό λ. Πότε το άθροισμα α + υ γίνεται ελάχιστο; Απάντηση: αυ ( ΑΒΓ) = = λ αυ = λ, α> υ, άρα το άθροισμα α + υ γίνεται ελάχιστο, όταν το υ γίνει μέγιστο. M α α ΑΔ ΑΜ = υ υ α λ υ υ λ υ υ λ. λ λ α Τότε α = λ υ, υ = λ = = οπότε το ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
Θεώρημα Εuler Leonard Euler, 1707 178
Ποια είναι η σχέση μεταξύ πλήθους κορυφών Κ, πλήθους εδρών Ε, και πλήθους ακμών Α, σε ένα κυρτό πολύεδρο;
1 A= 0 1 K= 0 1 A= K 1 1
1 A= 0 1 K= 0 1 A= K 1 1 1 A= 1 K= 0 A= K + 1
1 A= 1 K= 0 A= K + 1
1 A= 1 K= 0 A= K + 1 1 A= K= 1 A= K + 1
1 A= 4 1 K= 0 4 A= K + 1 4 4 4
1 4 A= 4 K= 1 4 A= K + 1 4 4
4 1 A= 4 K= 4 A= K + 1 4 4
Α 1 = Κ 1 Α = Κ + 1 Α = Κ + 1 Α ν 1 = Κ ν 1 + 1 Α ν = Κ ν Α 1 + Α + + Α ν = Κ 1 + Κ + + Κ ν + ν Α = Κ + Ε Κ + Ε = Α +
Κανονικά πολύεδρα Πλατωνικά στερεά
Κάθε έδρα έχει μ ακμές. Κάθε στερεά γωνία έχει ν ακμές. μ Ε = Α ν Κ = Α Ε: πλήθος εδρών Κ: πλήθος κορυφών Α: πλήθος ακμών Α Οπότε, είναι Ε =, Κ = μ Α ν
Η σχέση Κ + Ε = Α + (του Θεωρήματος του Euler) ισοδυναμεί με: Α Α 1 1 1 1 + = Α + + = + μ ν μ ν Α άρα 1 1 1 μν + > και Α = μ ν ν μν ( μ + )
1 1 1 1 Αλλά, μ και ν και μ ν 1 1 1 1 1 1 1 1 + + και + + μ ν ν μ ν μ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 και αφού + > + > και + > μ ν ν μ 1 1 1 1 > και > ν < 6 και μ < 6 ν 6 μ 6 άρα μ 5 και ν 5
Συνεπώς έχουμε τις περιπτώσεις: μ 4 4 4 5 5 5 ν 4 5 4 5 4 5 Αν μ 4 και ν 4, τότε 1 1 και 1 1 1 + 1 1, άτοπο γιατί 1 + 1 > 1 μ 4 ν 4 μ ν μ ν. Άρα, από τις παραπάνω περιπτώσεις αποκλείονται αυτές που έχουν μ 4 και ν 4, άρα μένουν οι περιπτωσεις: μ 4 5 ν 4 5
Συμπέρασμα: Υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα, που αντιστοιχούν στις παραπάνω τιμές των μ, ν. 1) Αν μ =, ν =, τότε μν 18 Α 1 Α 1 Α = = = 6 Ε = = = 4, Κ = = = μ+ ν μν 1 9 μ ν ( ) 4. Κανονικό τετράεδρο με 4 κορυφές και 6 ακμές, με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και τρίεδρες στερεές γωνίες.
) Αν μ =, ν = 4, τότε 4 4 4 Α = = 1 Ε = = 8, Κ = = 6. 14 1 4 Κανονικό οκτάεδρο με 6 κορυφές και 1 ακμές, με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και τετράεδρες στερεές γωνίες.
) Αν μ =, ν = 5, τότε 0 60 60 Α = = 0 Ε = = 0, Κ = = 1. 16 15 5 Κανονικό εικοσάεδρο με 1 κορυφές και 0 ακμές, με έδρες ισόπλευρα τρίγωνα και πεντάεδρες στερεές γωνίες.
4) Αν μ = 4, ν =, τότε 4 4 4 Α = = 1 Ε = = 6, Κ = = 8. 14 1 4 Κανονικό εξάεδρο (κύβος) με 8 κορυφές και 1 ακμές, με έδρες τετράγωνα και τρίεδρες στερεές γωνίες (τρισορθογώνιες).
5) Αν μ = 5, ν =, τότε 0 60 60 Α = = 0 Ε = = 1, Κ = = 0. 16 15 5 Κανονικό δωδεκάεδρο με 0 κορυφές και 0 ακμές, με έδρες κανονικά πεντάγωνα και τρίεδρες στερεές γωνίες.
Κάθε κανονικό πολύεδρο έχει ένα κέντρο Ο, δηλαδή ένα σημείο που απέχει ίσον από τις κορυφές, από τις έδρες και από τις ακμές. Το Ο είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, είναι το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας και της σφαίρας που εφάπτεται των ακμών.
Ακόμα μπορούμε να βρούμε συναρτήσει της ακμής α του κανονικού πολυέδρου την ακτίνα R (δηλαδή την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας), το απόστημα d (δηλαδή την ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας), την απόσταση του κέντρου από μια ακμή, το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κανονικού πολυέδρου και τον όγκο του. Για το κανονικό 4εδρο, κανονικό 6εδρο και κανονικό 8εδρο είναι απλά. Δυσκολεύουν στο κανονικό 1εδρο και κανονικό 0εδρο. Τα παραπάνω προϋποθέτουν γνώση των κανονικών πολυγόνων (πλευρές, αποστήματα, εμβαδά), αλλά και γνώσεις από Στερεομετρία.