אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36, f 6 (x, y) = x y. פתרון:,D = {(x, y) x y},f (x, y) = x+y (כל הנקודות פרט לנקודות שעל הישר x y.(y = x D = {(x, y) xy 0},f (x, y) = xy (הרביעים הראשון והשלישי של המישור). = y) D = {(x, y) (x, y) (0, 0)},f 3 (x, (כל הנקודות פרט לראשית). x x +y xy x y = y).d = {(x, y) y ±x},f 4 (x, (כל הנקודות פרט לאלה שעל הישרים.(y = x ו y = x D = {(x, y) 4x + 9y 36},f 5 (x, y) = 4x + 9y 36 (הנקודות שמחוץ לאליפסה = 36.(4x + 9y = y).d = {(x, y) x > y },f 6 (x, (הנקודות שבגיזרה x y x y x, x > 0 ובשיקוף שלה ביחס לציר y). שאלה בנו ביטוי לפונקציה (y S(x, המחשבת את שטחו של משולש שווה שוקיים שאורך בסיסו x ואורך שוקיו y. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?
. y ( x לכן שטח המשולש ) פתרון: בעזרת משפט פיתגורס, גובה המשולש: S(x, y) = x ( x ). y תחום ההגדרה: מאחר ומדובר באורכים נדרוש שיהיו אי שליליים. כדי שיהיה אפשר לבנות משולש כזה צריך.x y לכן y}. D = {(x, y) 0 x שאלה 3 שרטטו קווי רמה (קווי גובה) f(x, (y = c עבור הפונקציות הבאות. בפרט, ציינו ערכים של c שעבורם הצורה של קו הרמה משתנה בפתאומיות. f (x, y) = x + y, f (x, y) = x y f 3 (x, y) = (x + y) +, f 4(x, y) = x + y f 5 (x, y) = xy, f 6 (x, y) = y x f 7 (x, y) = (x )(y ), f 8 (x, y) = (x ) + (y + 3) f 9 (x, y) = x y x + y, f 0(x, y) = y x + y, f (x, y) = x + y, f (x, y) = x y. בדקו את השרטוט שלכם בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט קווי רמה. למשל http://www.math.uri.edu/ bkaskosz/flashmo/contours/combo.html f(x, y) = x + y +. שאלה 4 נתונה הפונקציה
א. שרטטו קווי רמה f(x, y) = c עבור, 0,,, 0 0, =.c ב. תארו את עקום החיתוך של הגרף של f עם המישורים x =, x =, x =, y =, y =, y =. ג. שרטטו סקיצה של הגרף (y z. = f(x, בדקו את השרטוט שלכם בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט גרף של פונקציה של שני משתנים, למשל http://www.math.uri.edu/ bkaskosz/flashmo/tools/graph3d/ f(x, y) = 0 x + y = פתרון: א. f(x, y) = x + y = f(x, y) = 0 x + y = אגף שמאל אי שלילי תמיד, לכן במקרים אלו קו הרמה הוא קבוצה ריקה. f(x, y) = x + y = 0 x = 0, y = 0 כלומר במקרה זה קו הרמה מורכב מנקודה אחת (0,0) = (y,x). f(x, y) = x + y = כלומר קו הרמה הוא אליפסה, החותכת את ציר x בנקודות (0, ),(0,) ואת ציר.(0, ), (0, y בנקודות ) f(x, y) = 0 x + y = 9 כלומר קו הרמה הוא אליפסה גדולה יותר, החותכת את ציר x בנקודות (0,3 ),(0,3) 3.(0, ), (0, 3 ואת ציר y בנקודות ) 3
ב. חיתוך הגרף עם המישור x: = a {(x, y, z) x = a, z = y + a + } = {(a, y, y + a + ) y R} כלומר במישור x = a מקבלים פרבולה, וככל ש a גדול יותר הפרבולה גבוהה יותר. חיתוך הגרף עם המישור y: = a {(x, y, z) y = a, z = x + a + } = {(x, a, x + a + ) y R} כלומר במישור y = a מקבלים פרבולה, וככל ש a גדול יותר הפרבולה גבוהה יותר. ג. הגרף הוא בצורת "קערה", אבל מאחר וקוי הרמה הם אליפסות אין לה סימטריה סיבובית. המונח המתמטי למשטח זה הוא "פרבולואיד אליפטי". שאלה 5 נתונה הפונקציה.f(x, y) = x + y + y א. קבעו את צורתם של קווי הרמה f(x, (y = c עבור =,, 3 c, ושרטטו אותם. בדקו בעזרת מחשב. ב. עבור אילו ערכים של c קו הרמה f(x, (y = c הוא קבוצה ריקה? {(x, y) x + y + y = c} = {(x, y) x + y = c y} פתרון: א. נניח > 0 c. אז = {(x, y) x + y = (c y), c y 0} = {(x, y) x + y = c + y cy, y c} = {(x, y) x = c(c y), y c} = {(x, y) x = c(c y)} = {(x, y) y = c c x } כלומר קו רמה הוא פרבולה "בוכה" שקודקודה בנקודה ) c,0). ככל ש c גדל הקודקוד של הפרבולה גבוה יותר והעקמומיות שלה קטנה יותר. 4
ב. נבחין ש f(x, y) = x + y + y y + y = y + y 0 לכן אם < 0 c קו הרמה ריק. אם > 0 c ראינו שקו הרמה הוא פרבולה. אם = 0 c נקבל x + y + y = 0 x + y = y x = 0 y + y = 0 y = y y 0 כלומר במקרה זה קו הרמה זו הקרן {0 < y,0)}. (y שאלה 6 נתונות הפונקציות f (x, y) = x + y, f (x, y) = x + y f 3 (x, y) = 8 x + y, f 4 (x, y) = 3 x + y f 5 (x, y) = (x ) + (y ) א. איך נראים קווי הרמה של (y f?,x) ב. איך נראים הגרפים של הפונקציות (של משתנה אחד) 0) (t,?f (t, t),f (0, t),f ג. שרטטו סקיצה של הגרף של (y f.,x) ד. בעזרת הסקיצה של הגרף של,f שרטטו סקיצות של הגרפים של.f, f 3, f 4, f 5 פתרון: א. קווי הרמה הם מעגלים. ב. t.f (t, t) = t,f (t, 0) = f (0, t) = ג. הגרף הוא חרוט. ד. הגרף של y) f (x, הוא שיקוף של הגרף של y) f (t, ביחס למישור = 0.z הגרף של (y f 3,x) הוא הזזה של הגרף של (y f,x) כלפי מעלה ב 8 יחידות. הגרף של (y f 4,x) הוא חרוט עם זווית פתיחה קטנה יותר מזו של הגרף של (y f.,x) הגרף של (y f 5,x) הוא הזזה של הגרף של (y f,,x) כך שהקדקד שלו יושב בנקודה.(, ) 5
שאלה 7 נתונה הפונקציה ) + y(y.f(x, y) = x(x + ) + א. הראו שקווי הרמה של הפונקציה הזאת הם מעגלים. ב. מצאו את המרכז ואת הרדיוס של קו הרמה העובר דרך הנקודה (,). x(x + ) + y(y + ) = c x + x + y + y = c פתרון: א.,.( אם < c ( x + ) ( 4 + x + ) 4 = c ( x + ) ( + x + ) = c + ) = R שמרכזו בנקודה c + כלומר מדובר במעגל ברדיוס קו הרמה הוא קבוצה ריקה. ב. קו הרמה העובר דרך הנקודה (,) מתאים לערך = 4 (,)f c, = לכן זה מעגל. (, ) = R שמרכזו בנקודה 5 + = עם רדיוס שאלה 8 א. בעזרת מחשב, שרטטו קווי רמה f(x, (y = c של הפונקציה f(x, y) = sin(x) sin(y). עבור אילו ערכים של c קו הרמה מורכב מישרים? הסבירו מדוע. עבור אילו ערכים של c קו הרמה הוא קבוצה ריקה? הסבירו מדוע. עבור אילו ערכים של c מורכב "קו הרמה" מנקודות מבודדות? הסבירו מדוע. היכן במישור הפונקציה חיובית והיכן היא שלילית? הסבירו מדוע. בעזרת ההסתכלות על קווי הרמה, נסו לתאר איך ניראה הגרף של הפונקציה. בידקו בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט גרפים. ב. בידקו באופן דומה גם את הפונקציה sin(y).f(x, (y = sin(x) + 6
פתרון: א. מאחר ו = 0 sin(kπ) עבור k שלם, הקווים האפקיים k x, = kπ שלם, והקווים האנכיים k y, = kπ שלם, יוצרים ביחד את קו הרמה = 0 (y.f(x, מאחר ו sin(y) sin(x) קווי הרמה f(x, y) = c יהיה ריקים אם >.c עבור = c קו הרמה מורכב מנקודות מבודדות {(x, y) sin(x) sin(y) = } = {(x, y) sin(x) =, sin(y) = } {(x, y) sin(x) =, sin(y) = } = {( π + πj, π + πk) j, k Z} {(3π + πj, 3π + πk) j, k Z}. בדומה, עבור = c קו הרמה הוא {( π + πj, 3π + πk) j, k Z} {(3π + πj, π + πk) j, k Z}. הפונקציה חיובית בתחום {(x, y) sin(x) sin(y) > 0} = {(x, y) sin(x) > 0, sin(y) > 0} {(x, y) sin(x) < 0, sin(y) < 0} = {(x, y) jπ < x < (j + )π, kπ < y < (k + )π, j, k Z} {(x, y) (j )π < x < jπ, (k )π < y < kπ, j, k Z}. שאלה 9 נתונה פונקציה (y,f(x, ומספר a. עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, תארו איך משתנים קווי הרמה שלה ביחס לאלו של.f(x, (y ואיך משתנה הגרף שלה ביחס לזה של,f(x, (y א..g(x, y) = f(x, y) a ב. y).g(x, y) = f(x a, ג. a).g(x, y) = f(x, y ד. a).g(x, y) = f(x a, y 7
פתרון: א. קווי הרמה אינם משתנים, הגרף מוזז אנכית (בכיוון ציר z), כלפי מטה אם a חיובי וכלפי מעלה אם a שלילי. ב. קווי הרמה וגם הגרף מוזזים בכיוון ציר x, ימינה אם a חיובי ושמאלה אם a שלילי. ג. קווי הרמה וגם הגרף מוזזים בכיוון ציר y, כלפי מעלה אם a חיובי וכלפי מטה אם a שלילי. ד. קווי הרמה והגרף מוזזים a יחידות בכיוון ציר x ו a יחידות בכיוון ציר y. שאלה 0 בנו פונקציה (y f(x, כך שקו הרמה = 0 (y f(x, יהיה מורכב מאיחוד של שני מעגלים בעלי רדיוס 3 שמרכזיהם בנקודות (0, ) ו (0,). בדקו את הפתרון שלכם בעזרת כלי ממוחשב לשרטוט קווי רמה, ובדקו איך נראים קווי רמה אחרים של הפונקציה שבניתם. פתרון: שני המעגלים שאנחנו רוצים שירכיבו את קו הרמה הם: (x + ) + y = 9, (x ) + y = 9. נגדיר f(x, y) = ((x + ) + y 9)((x ) + y 9). אז קו הרמה = 0 (y f(x, יהיה בדיוק איחוד המעגלים. שאלה תארו את משטחי הרמה של הפונקציות הבאות f(x, y, z) = ln(x + y + z ), f(x, y, z) = e x+y+3z f(x, y, z) = x + y, f(x, y, z) = x + y. z פתרון: f(x, y, z) = ln(x + y + z ) = c x + y + z = e c כלומר משטחי הרמה הם ספירות עם רדיוס e c שמרכזן ראשית. f(x, y, z) = e x+y+3z = c x + y + 3z = ln(c), 8
כלומר משטחי הרמה הם מישורים מקבילים. עבור 0 c משטח הרמה הוא קבוצה ריקה. f(x, y, z) = x + y = c במישור xy מקבלים משוואה של מעגל ברדיוס c. מאחר ואין הגבלה על z, המשטח שיתקבל הוא גליל. עבור < 0 c משטח הרמה הוא קבוצה ריקה. f(x, y, z) = x + y = c x + y = cz z = z c (x + y ) כלומר המשטח הוא פרבולואיד, אך ללא הנקודה (0,0),,0 כי הפונקציה לא מוגדרת בנקודה זו. במקרה המיוחד = 0 c משטח הרמה הוא הקבוצה {0 z) z,0,0)}, כלומר כל ציר z פרט לראשית. שאלה נתון המישור = 6 4z.x y + א. מצאו פונקציה (y f(x, שהמישור הזה הוא הגרף שלה. ב. מצאו פונקציה (z g(x,,y שהמישור הזה הוא משטח רמה שלה..f(x, y) = 6 x+y 4 פתרון: א. המישור הנ"ל הוא גרף של הפונקציה ב. המישור הנ"ל הוא משטח הרמה = 6 (z g(x,,y עבור הפונקציה.g(x, y, z) = x y + 4z שאלה 3 א. בהנתן פונקציה של שני משתנים (y f(x, האם ניתן תמיד למצוא פונקציה של שלושה משתנים (z g(x,,y וערך c כך שמשטח הרמה g(x,,y (z = c הוא הגרף של?f(x, y) ב. בהנתן פונקציה של שלושה משתנים (z g(x,,y וערך c, האם ניתן תמיד למצוא פונקציה y) f(x, כך שהגרף של y) f(x, הוא משטח הרמה?g(x, y, z) = c פתרון: א. כן: נגדיר g(x, y, z) = f(x, y) z. אז הגרף של y) f(x, הוא משטח הרמה = 0 z).g(x, y, ב. לא. דוגמה נגדית: אם g(x, y, z) = x + y + z ו =,c אז משטח הרמה = (z g(x,,y זו ספירה עם רדיוס סביב הראשית. לא ניתן להציג את הספירה הזו כגרף של פונקציה, מאחר ולאותו ערך (y x, + y <,x), מתאימים שני ערכים של.z = ± x y על הספירה: (x, y, z) שעבורם הנקודה z 9
שאלה 4 נתונה הפונקציה.f(x, y, z) = 4x + 4y z שרטטו סקיצות של משטחי הרמה f(x, y, z) = c עבור =,c.c =,c = 0 פתרון: שרטטו חיתוך של המשטח עם מישורי הצירים, ועם מישורים מהצורה z. = k בדקו בעזרת מחשב. שאלה 5 מצאו את ערכי הגבולות הבאים:. (x,y) (0,0) e xy א. +x. (x,y) (0,0) e xy y ב.. (x,y) (0,0) sin(x +y ) ג. x +y פתרון: א. תהא ) k x) k, y סידרה כלשהו כך ש (x k, y k ) = (0, 0). k אז מאריתמטיקה של גבולות של סדרות מספריות k e x ky k x k + = k e xkyk k (x k + ) = e0 =. (x,y) (0,0) e xy x + =. לכן e x ky k k y k e xkyk = k x k y k = ( u 0 e u u e xy (x,y) (0,0) y e xkyk x k = x k k x k y k k ) 0 = 0 = 0. = 0. ב. לכן 0
sin(x k + y k ) k x k + y k = u 0 sin(u) u sin(x + y ) =. (x,y) (0,0) x + y =. ג. לכן f(x, y) = { x x +y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0). שאלה 6 נתונה הפונקציה א. הראו שזו פונקציה חסומה, כלומר קיים מספר M כך ש f(x, (y M לכל.(x, y) R ב. הראו שהפונקציה אינה רציפה בנקודה (0,0). ג. הראו שהפונקציה רציפה עבור (0,0) (y,x). x x x + y x =. פתרון: א. ב. נבחר סידרת נקודות 0) (, = ) k (x k, y סידרה זו שואפת ל ( 0,(0, ולכן אם הגבול k ( f. k אבל, 0) = L קיים אז L = k (x,y) (0,0) f(x, y) f ( ) k, 0 = ( k ) לכן מקבלים =. 0 ) + k ( ( ) L = f k k, 0 =. מצד שני אם ניקח סידרת נקודות ),0) = ) k x) k, y אז מאחר וגם סידרה זו ואפת ל k 0),(0, נקבל ( ) L = f k k, 0 0 = k 0 + ( = 0 = 0. ) k k
מאחר וקיבלנו שני גבולות שונות לאורך שתי סדרות שונות, נובע שהגבול f(x, y) (x,y) (0,0) לא קיים. ג. הפונקציות x ו x + y רציפות בכל המישור (סכומים ומכפלות של פונקציות x היא פונקציה רציפה בכל נקודה שבה המכנה שונה מ 0, רציפות), ולכן המנה x +y כלומר בכל נקודה פרט ל (0,0). f(x, y) = { x y x +y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0). שאלה 7 נתונה הפונקציה הראו שהפונקציה הזו רציפה בכל המישור. פתרון: בכל נקודה (0,0) (y,x) הפונקציה רציפה, כי היא מנה של פונקציות רציפות והמכנה אינו מתאפס. בנקודה 0) (0, צריך לחקור. נבחר סידרה כלשהי k= {(x k, y k )} ששואפת ל 0).(0, אז כל אחת מסדרות המספרים k= {x k} ו k= {y k } שואפת ל 0. נבחין ש: אם (0, 0 ) k (x k, y אז 0 f(x k, y k ) = x k x k + y k y k y k ואם 0) (0, = ) k (x k, y אז = 0 ) k,f(x k, y כלומר בכל מקרה 0 f(x k, y k ) y k, f(x k, y k ) = 0 k ולכן מכלל הסנדביץ' נובע ש מאחר ותוצאה זו תקפה לכל סידרת נקודות ששואפת ל (0,0), בכך הוכחנו ש f(x, y) = 0 = f(0, 0), (x,y) (0,0) כלומר y) f(x, רציפה בנקודה 0).(0,
f(x, y) = { xy x +y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0). שאלה 8 נתונה הפונקציה א. הוכיחו שהפונקציה (של משתנה אחד) (0,f(x, רציפה בנקודה = 0 x, והפונקציה.y רציפה ב = 0 f(0, y) ב. הראו שקרניים ישרות שיוצאת מהראשית מוכלות בקווי רמה של הפונקציה. ג. הוכיחו שהפונקציה y) f(x, אינה רציפה בנקודה 0) (0, = y).(x, ד. האם הפונקציה y) f(x, רציפה בנקודות 0) (0, y)?(x, פתרון: א. = 0 (0 f(x, לכל x ולכן זו בודאי פונקציה רציפה, כנ"ל לגבי (y,0)f. ב. קרן שיוצאת מהראשית היא ישר בעל פרמטריזציה r(t) = (αt, βt), t > 0 נחשב αβt f( r(t)) = f(αt, βt) = α t + β t = αβ α + β. נבחין שאגף ימין אינו תלוי ב t, כלומר הפונקציה מקבלת ערך קבוע לאורך כל הקרן, כלומר הקרן מוכלת כולה בקו רמה של הפונקציה. ג. נבחר סדרת נקודות 0) (, = ) k,(x k, y ששואפת ל 0),(0, ונקבל k f(x 0 k, y k ) = k k ( k ) + 0 = 0 = 0. k נבחר סדרת נקודות ) (, = ) k,(x k, y ששואפת ל 0),(0, ונקבל k k ( f(x k, y k ) = k) k k ( k ) + ( = ) k =. k קיבלנו שני גבולות שונים לאורך שתי סדרות שונות, ופירוש הדבר שהגבול f(x, y) (x,y) (0,0) אינו קיים. בפרט הפונקציה (y f(x, אינה רציפה בנקודה (0,0). ד. בכל נקודה פרט ל (0,0), מדובר במנה של שתי פונקציות רציפות, כאשר המכנה לא מתאפס, ולכן הפונקציה רציפה. 3