Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Πρακτική άσκηση σε σχολεία της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Βασιλική Μάντζιου Α.Μ.: 1112201000125
1ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ Πραγματικό πρόβλημα πάνω στο Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις ρίζες στη Β' Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Να αναπτύξουν οι μαθητές μας συνεργατική εργασία ανά δύο Να εφαρμόσουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα για κάθετη πλευρά Να αντιληφθούν ότι η τετραγωνική ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός Να υπολογίζουν τη ρίζα ενός τέλειου τετραγώνου
ΠΛΑΙΣΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Στη δραστηριότητα συμμετέχει όλη η τάξη (26 μαθητές) Η δραστηριότητα επιβλέπεται από τον μαθηματικό της τάξης Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των δύο χωρίς συγκεκριμένο κριτήριο (με βάση το θρανίο) Στόχος της ομαδοποίησης η επίλυση του προβλήματος από όσο το δυνατόν περισσότερους μαθητές
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΩΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Στην εικόνα φαίνεται η κάτοψη ενός αγροτεμαχίου. Ο ιδιοκτήτης του θέλει να περιφράξει το τμήμα ΑΒΓΕ, σχήματος τετραγώνου. Γνωρίζοντας πως ΔΕ = 250 m, ΓΔ = 150 m και το ΓΔΕ έχει σχήμα ορθογωνίου τριγώνου, πόσα μέτρα συρματόπλεγμα πρέπει να χρησιμοποιήσει;
ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Οι μαθητές αναμένεται να εφαρμόσουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο και λύνοντας την εξίσωση x^2 = 40.000 να βγάλουν σαν αποτέλεσμα x = 200 χωρίς όμως να γνωρίζουν τις ιδιότητες ριζών. Σκεπτόμενη τα όσα γνωρίζουν και τα παραδείγματα που έχουν κάνει μέχρι εκείνη τη στιγμή πάνω στις ρίζες περιμένω να σκεφτούν ότι η ρίζα του 4 είναι το 2 και αφού το 40.000 έχει 4 μηδενικά η ρίζα του θα έχει 2. Επομένως x = 200
Με αφορμή αυτή τη λύση τίθεται το ερώτημα αν ο αριθμός 200 είναι ο μόνος που όταν υψωθεί στο τετράγωνο κάνει 40.000. Αναμένεται ορισμένοι μαθητές να δώσουν σαν λύση και το -200,αλλά πρέπει να απορριφθεί, αφού το μήκος είναι θετικός αριθμός.
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Στη συνέχεια ο ιδιοκτήτης αγοράζει το τμήμα ΕΓ'Δ'(σχήματος ορθογωνίου τριγώνου) του οποίου η ΕΔ είναι μισή της ΕΔ και η ΕΓ' η μισή της ΕΓ. Πόσο συρμοτόπλεγμα θα χρησιμοποιήσει αυτή τη φορά;
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Σε αυτή τη δαστηριότητα οι μαθητές αναμένεται να εφαρμόσουν και πάλι το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο που δημιουργήθηκε. Αυτή τη φορά η εξίσωση x^2 = 5.625 είναι πιο απαιτητική και στοχεύει στην επινόηση νέων τρόπων επίλυσης της συγκεκριμένης εξίσωσης και γενικότερα στη γονιμοποίηση της σκέψης τους για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.
ΠΡΩΤΟ ΚΡΙΣΙΜΟ ΣΥΜΒΑΝ (Λύνοντας την 1η δραστηριότητα στον πίνακα και έχοντας φτάσει στο σημείο x^2 = 40.000) Μ1:Θέλουμε να βρούμε τον αριθμό που στο τετράγωνο κάνει 40.000.Είναι ο 200. Β: Πώς το σκέφτηκες το 200; Μ1:Αφού το 250 στο τετράγωνο μας έβγαλε 62.500 και το 150 22.500 και θέλουμε το 40.000 το ενδιάμεσο θα είναι το 200. Β:Ναι, αλλά για αυτό δε μπορούμε να είμαστε σίγουροι, γιατί ανάμεσα στο 150 και το 250 υπάρχουν πολλοί αριθμοί. Μ1:Να διαιρέσουμε το 40.000 με το 2..Ή όχι όχι..με το 4.. Β:Περίμενε.Θα σου δώσω ένα πιο εύκολο παράδειγμα.
Β:Έχουμε x^2 = 9.Το x ποιες τιμές μπορεί να πάρει; Μ1:Θα διαιρέσουμε το 9 με το 4.. Β:Kαι με αυτό τον τρόπο θα βρεις την τιμή του χ ; Μ1:... Β:Μπορείς να σκεφτείς έναν αριθμό που στο τετράγωνο κάνει 9 ; Μ1: 3 * 3 = 9. Β:Άρα το x μπορεί να είναι το 3.Υπάρχει άλλη λύση ; MΣ:To -3. B:Άρα στο παράδειγμά μας με το 40.000...;Θα δουλέψουμε με τον ίδιο τρόπο.
M2:To x θα είναι τετραγωνική ρίζα του 40.000. (Ο μαθητής που είχε σηκωθεί στον πίνακα γράφει x = 200 ή x = -200) B:Μπορούμε να πάρουμε και τις δύο λύσεις ; Μ1:Όχι,γιατί είναι μήκος και είναι θετικό. Β:Σωστά.Το 200 πώς το βρήκες.και όλοι σας δηλαδή..πώς το σκεφτήκατε ; Μ2:Έκανα 200 * 200 και το βρήκα. Β:Ωραία.Υπάρχει κάποιος που δυσκολεύτηκε να το βρει;...
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΚΡΙΣΙΜΟ ΣΥΜΒΑΝ Ορισμένοι μαθητές δεν έχουν συνειδητοποιήσει την έννοια της τετραγωνικής ρίζας και τη συνδέουν με τη διαίρεση με το 2.Παραδείγματα με πιο απλούς αριθμούς τους βοήθησαν να καταλάβουν τη διαφορά. Στην πρώτη δραστηριότητα επέλεξα έναν αριθμό που θα μπορούσαν εύκολα να βρουν τη ρίζα του αν και δεν είχαν διδαχθεί τις ιδιότητες ριζών. Δε θεώρησα σωστό να χρησιμοποιήσω τη λέξη 'άπειροι' για τους αριθμούς ανάμεσα στο 150 και 250, αφού δεν είχαν διδαχθεί ακόμη τους άρρητους αριθμούς και ίσως να δημιουργούσα σύγχιση.
ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΡΙΣΙΜΟ ΣΥΜΒΑΝ (Έχουμε φτάσει στο σημείο x^2 = 5.625) B:Άρα το x ποιες τιμές παίρνει; ΜΣ:Τετραγωνική ρίζα του 5.625. Β:Μόνο αυτή η λύση υπάρχει; ΜΣ:... Β:Είναι και το -τετραγωνική ρίζα του 5.625.Και αυτόν τον αριθμό αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο θα μας δώσει το 5.625.Μπορεί να πάρει αυτή την τιμή όμως; Μ3:Όχι, γιατί είναι αρνητικός. Β: Tώρα πώς θα βρούμε το x ;Tο βρήκε κάνεις ; Μ4:Είναι 75.
Β:Πώς το βρήκες το 75 ; Μ4:Εγώ σκέφτηκα ότι αφού τελειώνει σε 25 θα διαιρείται με 5 ο αριθμός.είχαμε πει για τις τρυάδες αριθμών στο Πυθαγόρειο Θεώρημα από τα αρχαία χρόνια.για την τρυάδα 3,4,5.Έκανα τις πράξεις και είδα ότι ίσχυε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.Οπότε οι αριθμοί 125 και 100 θα διαιρούνται με το 3,4.Επειδή αυτή είναι η υποτείνουσα θα είναι 5.Άρα 5*5 =25 και 3*25=75. Β:Θες να σηκωθείς στον πίνακα να μας το εξηγήσεις λίγο αυτό;
Μ4:Όχι,στο μυαλό μου το σκέφτηκα δε τ έγραψα... Μ5:Εγώ σκέφτηκα να κάνουμε διαίρεση και να το αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και βγαίνει ρίζα του 3^2*5^4. Β:Μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό που αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο κάνει τόσο ; ΜΣ:... B:Δε μπορεί να γραφεί σαν (3*5^2)^2 ; M5:Ααα ναι...άρα το τετράγωνο με τη ρίζα φεύγει.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΚΡΙΣΙΜΟ ΣΥΜΒΑΝ Οι μαθητές δεν έχουν ακόμη ευχέρεια πάνω στις ρίζες και συγχίζονται όταν πρέπει να βρουν ποιοι αριθμοί όταν υψωθούν στο τετράγωνο μας δίνουν το εσωτερικό της ρίζας. Παρατηρούμε ότι ακόμη και όταν δε γνωρίζουν ιδιότητες καταφέρνουν να αναπτύξουν διαφόρων ειδών στρατηγικές για να λύσουν το πρόβλημα.
ΑΝΑΣΤΟΧΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΕΙΣ Όλοι οι μαθητές έδειξαν ενδιαφέρον για το μάθημα και δουλεύοντας ανά ομάδες βοηθούσαν όσους είχαν απορίες και δε μπορούσαν να συνεχίσουν.ανέπτυξαν στρατηγικές και νέες ιδέες και φάνηκε να κατανοούν το συνδυαστικό πρόβλημα με τις ρίζες και το Πυθαγόρειο Θεώρημα.Στο τέλος κάθε δραστηριότητας επαναλάμβανα ό,τι είχαμε κάνει.βέβαια δεν έγινε σωστή διαχείρηση χρόνου, αφού άφηνα αρκετό χρόνο στους μαθητές να λύσουν την άσκηση μόνοι τους με αποτέλεσμα στο τέλος της δεύτερης δραστηριότητας να μην έχει μείνει ο απαιτούμενος χρόνος που χρειαζόταν για να αναλύσουμε τις ιδέες των μαθητών.
Την επόμενη φορά θα πρέπει να οργανώσω καλύτερα πώς θα διαχειριστώ το χρόνο,δίνοντας περισσότερη βάση στα δυσκολότερα σημεία των ασκήσεων.
ΠΗΓΕΣ Http://www.iep.edu.gr/pisa/ Http://nrich.maths.org/frontpage Σχολικό Βιβλίο Β' Γυμνασίου