Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 69. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός. Για παράδειγμα ο αριθμός που στην προηγούμενη παράγραφο ήταν αυτός που ικανοποιούσε την ισότητα x = είναι άρρητος. Αφού είναι άρρητος, δεν μπορεί να γραφεί ως ρητός ή δεκαδικός µε γνωστά ψηφία. Μπορούμε να τον προσεγγίσουμε ως εξής: µε προσέγγιση χιλιοστού: 1, 414 µε προσέγγιση δεκάκις χιλιοστού: 1, 414 µε προσέγγιση εκατοντάκις χιλιοστού: 1, 4141 Οι αριθμοί αυτοί λέγονται ρητές προσεγγίσεις του αριθμού. Παρατηρήσεις η τετραγωνική ρίζα κάθε ακέραιου που δεν είναι τετράγωνο, είναι άρρητος. υπάρχουν και άλλοι άρρητοι που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών, όπως ο γνωστός από τη μέτρηση του κύκλου αριθμός π. Τις τετραγωνικές ρίζες μπορούμε να τις προσεγγίσουμε µε τη βοήθεια ενός μικροϋπολογιστή τσέπης. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται όχι µόνο από τους ρητούς αλλά και όλους τους άρρητους. Οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστροφα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείο της ευθείας. Για το λόγο αυτό, την ονοµάζουµε ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών.

2 70 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Αν τοποθετήσουμε τους αριθμούς στην ευθεία των πραγματικών, να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ α) 4 < 4,5 < 5 β) 1,4 < < 1, 5 γ) 7 < 15 < 8 δ) 10 < 1 < 11 ε) 1,7 < 3 < 1, 8 στ) < 7 < 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι Λάθος,γιατί η < 4,5 < 3. β) Είναι Σωστό,γιατί 1,4 < < 1,5. γ) Είναι Λάθος,γιατί η 3 < 15 < 4. δ) Είναι Λάθος,γιατί η 4 < 1 < 5. ε) Είναι Σωστό,γιατί 1,7 < 3 < 1,8. στ) Είναι Σωστό,γιατί < 7 < 3. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε τοποθετήσει τα σημεία Α, Β, Γ,, Ε και Ζ. Στις παρακάτω ερωτήσεις να βάλετε σε κύκλο τη σωστή α- πάντηση. Β Γ Δ Α Ε Ζ

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 71 a) Ο αριθμός 3 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο. b) Ο αριθμός 6 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο. c) Ο αριθμός 3 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο. d) Ο αριθμός 5 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ a) Ο αριθμός 1, 73 b) Ο αριθμός, 45 c) Ο αριθμός 3 1, 73 d) Ο αριθμός 5, 4 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Α Β Γ Δ Α Ε Γ Δ Γ Δ Ε Ζ Γ Β Δ Α Γ Δ Β Α 3 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Δ. 6 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Ε. πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Γ. πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείο Β. Ποιοι από τους επόμενους αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι; α), ( ) β) 4, γ) 18,, 18 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Ο είναι άρρητος,γιατί δεν μπορεί να γραφεί στη μορφή μ, μ, ν ακέραιοι με ν 0 και ο ( ) είναι ρητός γιατί ν ( ) = =. = 4 = β) Ο = είναι ρητός και ο = = = άρρητος γ) Ο 18 =.9 =. 9 = 3 είναι άρρητος και οι 18 = 9 = 3 1

4 7 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, = 18 = είναι ρητοί. 1 ΑΣΚΗΣΗ Toποθετήστε σε µία σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τούς παρακάτω αριθμούς: α) 5, 7, 3,1, β) 5, 7,,. γ) 1 + 3, 3. δ), 1+. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) 5,4, 7,65, 3 1,73,1, 1, 41 θα είναι 1 < < 3 < 5 < 7. β) 5,4, 7,65,, 1, 41 θα είναι < < 5 < 7. γ) ,73 =, 73 και 3 1, 73 θα είναι 3 < δ) ,41 =,41 1,55 και 1, 41 θα είναι < 1+. Γενικά ισχύει αν α 0,β 0 με α < β, τότε α < ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρείτε τις ρητές προσεγγίσεις έως και δύο δεκαδικά ψηφία των αριθμών: α ) 3,β) 5, γ) 7, δ) 8. ΛΥΣΗ α) Με διαδοχικές δοκιμές έχουμε: 1 = 1 και = 4 είναι 1 < 1,7 =,89 και 1,8 ( 1,73) =,999 και ( 1,74) Άρα η ρητή προσέγγιση του 3 < = 3,4 είναι 1,7 < = 3,076 3 με έλλειψη είναι 1,73 και με β 3 < 1,8 είναι 1,73 < 3 < 1,74 υπερβολή1,74

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 73 β) Με διαδοχικές δοκιμές έχουμε: = 4 και 3 = 9 είναι <, = 4,84 και,3 (,3) = 4,979 και (,4) 5 < 3 = 5,9 είναι, < = 5, <,3 είναι,3 < 5 <,4 Άρα η ρητή προσέγγιση του 5 με έλλειψη είναι,3 και με υπερβολή,4 γ) Με διαδοχικές δοκιμές έχουμε: = 4 και 3 = 9 είναι < 7 < 3 (,6) = 6,76 και (,7) = (,64) = 6,9696 και (,65) 7,9 είναι,6 < = 7,05 7 <,7 είναι,64 < 7 <,65 Άρα η ρητή προσέγγιση του 7 με έλλειψη είναι,64 και με υπερβολή,65 δ) Με διαδοχικές δοκιμές έχουμε: = 4 και 3 = 9 είναι < 8 < 3,8 = 7,84 και,9 (,8) = 7,954 και (,83) Άρα η ρητή προσέγγιση του = 8,41 είναι,8 < = 8,0089 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x =, β) x = 5, γ) x = -3, δ) x = 17. ΛΥΣΗ 8 <,9 είναι,8 < 8 <,83 8 με έλλειψη είναι,8 και με υπερβολή,83 α) x = τότε x = ± 1,414 α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της τετραγωνικής β) x = 5 τότε x = ± 5,36 ρίζας και παίρνουμε με προσέγγιση χι- λιοστού την τετραγωνική ρίζα του. γ) x = 3 τότε η εξίσωση β) Ομοίως είναι αδύνατη γ) Δεν μπορεί το τετράγωνο ενός αριθμού να είναι αρνητικός αριθμός. δ) x = 17 τότε x = ± 17 4,13 δ) Ομοίως με τα α, β ΑΣΚΗΣΗ 5 Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 1 cm. Να βρείτε µε προσέγγιση εκατοστού το μήκος της πλευράς του. ΛΥΣΗ

6 74 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ x x = = 1 τότε x = 1 = 3.4 = x.1,73 = 3, cm 4 = 3 Το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά x είναι x. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των ριζών και βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα του 3 με την βοήθεια μικροϋπολογιστή τσέπης ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένα τετράγωνο έχει διαγώνιο 1 cm. Να βρείτε: α) το μήκος της πλευράς του µε προσέγγιση δύο δεκαδικών, β) την ακριβή τιμή του εμβαδού του. ΛΥΣΗ α) x x = 1 x = 144 x = 7 x = β) x ΑΣΚΗΣΗ 7 7 8,49 cm = 7 cm Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να βρείτε µε προσέγγιση ενός δεκαδικού ψηφίου το μήκος της πλευράς ΑΒ. + x = δ α) Αν υποθέσουμε ότι είναι x η πλευρά του τετραγώνου και δ η διαγώνιος του τότε εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα και βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα του 7 με την βοήθεια μικροϋπολογιστή τσέπης β) Το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά x είναι x το οποίο γνωρίζουμε από το προηγούμενο ερώτημα ότι είναι 7 cm. Β α=7 Α β=5 Γ ΛΥΣΗ ΑΒ = α ΑΒ = 7 β 5 ΑΒ = 49 5 ΑΒ = 4 ΑΒ = 4 ΑΒ 4,9 Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ και αντικαθιστώντας τις τιμές των α και β που μας δίνονται βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα του 4 με την βοήθεια μικροϋπολογιστή τσέπης.

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 75 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1ο: Ενότητα: Άρρητοι Αριθμοί - Πραγματικοί Αριθμοί. Στόχοι: Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της τετραγωνικής ρίζας. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική). Φύλλο εργασίας 1. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο ενός αριθμού είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού αυτού με τον εαυτό του. Δηλαδή α = α α. Για παράδειγμα 5 = 5 5 = 5 ή 7 = 7 7 = 49. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α) 3 =... β) 8 =... γ) 1 =... δ) 0 =... ε) 1, =... στ),3 =... ζ) 0,3 3 =... η) =... 5 θ) = Μερικές φορές την παραπάνω εργασία πρέπει να την κάνουμε αντίστροφα! Για παράδειγμα μπορείτε να βρείτε ποιος αριθμός (θετικός ή μηδέν) πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση των κενών στις παρακάτω ισότητες; α) (... ) = 5 β) (... ) = 16 γ) (... ) = 81 δ) (...) = 100 ε) (... ) = 36 στ) (...) = 0 ζ) (... ) = 1 η) (...) = 0,09 θ) (... ) 9 = 5 Ο (...) = 4 1 κ) (... ) = 4 λ) (.. ) = 9 ΟΡΙΣΜΟΣ: Αν έχουμε έναν αριθμό α (θετικό ή μηδέν), τότε ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα του α και συμβολίζεται α, έναν αριθμό x(θετικό ή μηδέν), ώστε x = α. Δηλαδή: Αν x = α, με α > Ο και x > Ο, τότε 3. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες όπως φαίνεται στο παράδειγμα. Παράδειγμα: είναι 7 = 49 οπότε 49 = 7 α) είναι (... ) = 5 οπότε 5 =...β) είναι (... ) = 64 οπότε 64 =... γ) είναι (... ) = 1 οπότε 1 =... δ) είναι (... ) = Ο οπότε 0 =... x = α

8 76 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες όπως φαίνεται στο παράδειγμα. Παράδειγμα: είναι 100 = 10 γιατί 10 = 100 α) είναι 81 =... γιατί (... ) =...β) είναι 64 =... γιατί (... ) =... γ) είναι 0 =... γιατί (... ) =...δ) είναι 36 =...γιατί (... ) =... ε) είναι 0, 09 =... γιατί (...) =...στ) είναι 5 =...γιατί (...) = 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο: Ενότητα: Άρρητοι Αριθμοί - Πραγματικοί Αριθμοί. Στόχοι: Να κατανοήσουν οι μαθητές τις διαδοχικές προσεγγίσεις των άρρητων αριθμών. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική). Φύλλο εργασίας «Πού είναι ο αριθμός 7» 1. Στην δεύτερη στήλη του διπλανού πίνακα δίνονται τα τετράγωνα των αριθμών της πρώτης στήλης. α) Μπορείτε να βρείτε αριθμόx του διπλανού πίνακα, ώστε x = 7; Απάντηση:... β) Να συμπληρώσετε τη διπλή ανισότητα:... < 7 <... γ) Να τοποθετήσετε (κατά προσέγγιση) τον αριθμό 7 στον παρακάτω άξονα αριθμών. α) Μπορείτε να βρείτε αριθμό x του διπλανού πίνακα, ώστε x = 7; Απάντηση:... β) Να συμπληρώσετε τη διπλή ανισότητα:... < 7 <... γ) Να τοποθετήσετε (κατά προσέγγιση) τον αριθμό 7 στον παρακάτω άξονα αριθμών δ) Μπορούμε να πούμε ότι με προσέγγιση ενός δεκαδικού

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 77 ο αριθμός 7 είναι: (με έλλειψη) 7 =... (με υπερβολή) 7 = α) Μπορείτε να βρείτε αριθμό x του διπλανού πίνακα, ώστε x = 7; Απάντηση:... β) Να συμπληρώσετε τη διπλή ανισότητα: < 7 <... γ) Να τοποθετήσετε (κατά προσέγγιση) τον αριθμό 7 στον παρακάτω άξονα αριθμών δ) Μπορούμε να πούμε ότι με προσέγγιση ενός δεκαδικού ο αριθμός 7 είναι: (με έλλειψη) 7 =... (με υπερβολή) 7 = α) Μπορείτε να βρείτε αριθμό x του διπλανού πίνακα, ώστε x = 7 Απάντηση:... β) Να συμπληρώσετε τη διπλή ανισότητα:.< 7 <... γ) Να τοποθετήσετε (κατά προσέγγιση) τον αριθμό 7 στον παρακάτω άξονα αριθμών δ) Μπορούμε να πούμε ότι με προσέγγιση ενός δεκαδικού ο αριθμός 7 είναι: (με έλλειψη) 7 = (με υπερβολή) 7 =..

10 78 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ-ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5. α) Μπορείτε να βρείτε αριθμό x του διπλανού πίνακα, ώστε x = 7 Απάντηση:... β) Να συμπληρώσετε τη διπλή ανισότητα:...< 7 <. γ) Να τοποθετήσετε (κατά προσέγγιση) τον αριθμό 7 στον παρακάτω άξονα αριθμών δ) Μπορούμε να πούμε ότι με προσέγγιση ενός δεκαδικού ο αριθμός 7 είναι: (με έλλειψη) 7 = (με υπερβολή) 7 =. 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: (Συνεχίζοντας επ' άπειρον την παραπάνω διαδικασία) Α. Δεν υπάρχει δεκαδικός αριθμός x (με πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων) τέτοιος ώστε x = 7. Δηλαδή ο αριθμός 7 είναι..αριθμός. Β. Οι άρρητοι αριθμοί είναι δεκαδικοί αριθμοί με δεκαδικά ψηφία τα οποία όμως δεν είναι.