Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 61 Ορισμοί. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Ημίτονο γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, δια την, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω. απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας ω ημω πέναντι κάθετη πλευρά Υποτείνουσα ω Προσκείμενη κάθετη πλευρά Συνημίτονο γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου,δια την, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω. προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω συνω ΠΡΤΗΡΗΣΕΙΣ Ισχύουν οι ανισότητες 0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1 για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω. Ισχύει η ισότητα ημω εφω. συνω

2 6 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ 1. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο είναι: i) ημθ ii) ημφ Δ iii) συνθ iv) συνφ 1 Το ημίτονο της οξείας γωνίας θ είναι. i) ημθ απέναντι κάθετη πλευρά της ημθ ii) ημφ Ομοίως και για την γωνία φ. Άρα ii) Το συνημίτονο της οξείας γωνίας θ είναι. προσκείμενη κάθετη πλευρά της iii) συνθ συνθ 1 Άρα iii) Δ iv) συνφ Ομοίως και για την γωνία φ. Άρα iv). Στο ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος, ποιος από τους παρακάτω αριθμούς: : συνθ : συνφ : ημφ 17 ισούται µε 17 8 ; φ 1 1 γωνίας θ. Άρα i) θ γωνίας θ θ φ 8 8 συνθ 17 1 συνφ 17 1 ημφ 17 1 Το ημίτονο της οξείας γωνίας θ είναι. απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας θ ημθ. Ομοίως και για την γωνία φ. Το συνημίτονο της οξείας γωνίας προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας θ θ είναι. συνθ Ομοίως και για την γωνία φ. Άρα το συνθ ισούται με το 8/17.

3 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 6. Σε ποιο από τα παρακάτω τρίγωνα ισχύει 4 συνθ. 7 : : : θ θ θ 4 7 Στο :είναι συνθ Σε ποιο από τα παρακάτω τρίγωνα ισχύει 4 Το συνημίτονο της οξείας γωνίας θ είναι προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας θ συνθ ημθ. 7 7 : : : 7 θ θ θ 7 Το ημίτονο της οξείας γωνίας θ είναι. Στο :είναι ημθ απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας θ 7 ημθ. 4. ν ημθ και συνθ, τότε : εφθ... 4 :, :, :, Δ : 4 4 Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. ημθ Στο :είναι εφθ ημω συνθ Ισχύει η ισότητα εφω. συνω. Άρα η σωστή απάντηση είναι το. εφθ

4 64 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 6. Να βάλετε σε κύκλο τις τιµές που δε µπορούν να εκφράζουν το συνηµίτονο οξείας γωνίας: α ) 1 Το - Το Το β) 1 - γ) γιατί είναι αρνητικός γιατί > 1 1,4 γιατί 1,4 > 1 δ) ε) 4 στ) 1,4 Ισχύει η ανισότητα 0<συνθ<1 Άρα κυκλώνουμε τις τιμές β) δ) και στ) για τους λόγους που αναφέρονται δίπλα. 7. ίνεται το διπλανό σχήµα. Να σηµειώσετε µε Σ (σωστό) ή Λ (λανθασµένο) α) στ) συνθ ημθ β) Δ ζ) ΔΕ συνθ ημθ Δ γ) η) Δ συνθ ημθ Ε δ) θ) Δ συνθ ημθ ε) Ε ι) συνθ ημθ Δ θ Δ Ε Ε Δ ΔΕ Δ συνθ Δ Δ α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ στ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ημθ ΔΕ Δ Δ ( Σ) ζ) ( Σ) η) ( Λ) θ) ( Σ) ι) ( Λ) Ε Δ Δ Ορισμοί συνημιτόνου και ημιτόνου στα ορθογώνια τρίγωνα Δ, ΕΔ,Δ, ΔΕ, Δ με την προϋπόθεση ότι οι γωνίες ΔΕ, Δ, ΔΕ, Δ είναι όλες ίσες μεταξύ τους και ίσες με θ. 8. Στο παρακάτω σχήµα η γωνία είναι ορθή. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω φράσεις:

5 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 6 α) Στο τρίγωνο. Είναι: β) Στο τρίγωνο. Είναι: γ) Στο τρίγωνο. Είναι: α) Στο τρίγωνο Δ είναι β) Στο τρίγωνο είναι γ) Στο τρίγωνο Ε είναι Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ συν Δ ημ συν Ε... συν Δ ημ... Ε συν... Ε Δ Ε Ε Ε Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς των ημιτόνου και συνημιτόνου στα κατάλληλα τρίγωνα. ΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε τα ηµίτονα και τα συνηµίτονα οξειών γωνιών στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα Ζ Δ α) β) γ) cm cm 1, cm 7 cm 4 cm 9 cm 4 ημ, συν 4 ημ,συν 9 cm Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα για να υπολογίσουμε την τρίτη πλευρά του τριγώνου. Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς των ημιτόνου και συνημιτόνου στο τρίγωνο.

6 66 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ + 1, + 4 Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα 18, 4,7 cm για να υπολογίσουμε την τρίτη πλευρά 4 1, ημ 0,94,συν 0, του τριγώνου. 4,7 4,7 Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς των ημιτόνου 1, 4 ημ 0,, συν 0,94 και συνημιτόνου στο 4,7 4,7 τρίγωνο. Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα 0 11,4 cm για να υπολογίσουμε την τρίτη πλευρά 9 7 του τριγώνου. ημ 0,79, συν 0,61 11,4 11,4 Χρησιμοποιούμε τους ορισμούς των ημιτόνου 7 9 και συνημιτόνου στο ημ 0,61, συν 0,79 11,4 11,4 τρίγωνο. ΣΚΗΣΗ Δίνεται μια οξεία γωνία ω για την οποία ισχύει το ημω. cm συνω. Να υπολογίσετε O ω Ο 16 4 cm ημω Ο 4 cm Ο Κατασκευάζουμε μια οξεία γωνία ω όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Μετράμε στην μια πλευρά της cm σύμφωνα με τα δεδομένα αν από το σημείο φέρουμε κάθετη πρέπει αυτή να τέμνει την άλλη πλευρά σε σημείο τέτοιο ώστε Ο cm. πό το ορθογώνιο τρίγωνο Ο βρίσκουμε με το πυθαγόρειο θεώρημα την και υπολογίζουμε το ημω χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ημιτόνου.

7 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 67 ΣΚΗΣΗ Δίνεται μια οξεία γωνία ω. Να αποδείξετε ότι: α) + ηµω < 7, β) 4 - συνω >, γ) ηµω + συνω < 8 α) + ημω < 7 α) Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέλος τους αριθμούς. ημω < Διαιρούμε με τον συντελεστή του ημω που ημω < 1 ισχύει είναι το >0 επομένως δεν αλλάζει φορά η ανίσωση. β) 4 - συνω > β) Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέλος τους - συνω > - αριθμούς. Διαιρούμε με τον συντελεστή του συνω που συνω < 1ισχύει είναι το -<0 επομένως αλλάζει φορά η ανίσωση. γ) ισχύει ημω < 1οπότε ημω < () 1 γ) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη των ισχύει συνω < 1οπότε συνω < ( ) ισχυουσών ανισοτήτων με θετικούς αριθμούς >0 και >0 αντίστοιχα οπότε δεν αλλάζουν ημω + συνω < + φορά οι ανισότητες. Προσθέτουμε κατά μέλη ημω + συνω < 8 τις δύο ομόστροφες ανισότητες (1) και (). ΣΚΗΣΗ 4 Στο διπλανό σχήμα είναι: Ο 10 m, Ο 1 m και Ο 8 m. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις Ο, και. θ Ο Ο 8 συνθ 0,8 Ο 10 Ο 1 συνθ ( ) ΟΔ ΟΔ 1 ΟΔ () 1 0,8 0,8.0Δ 1 ΟΔ 1 m Δ Χρησιμοποιούμε το συνθ για τα δύο ορθογώνια τρίγωνα Ο και ΟΔ. Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων (1) και (). Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς ΟΔ και το βρίσκουμε.

8 68 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Δ Δ 6 6 m ΟΔ 0 Δ 81 Δ 9 m 1 1 Ο Χρησιμοποιούμε το πυθαγόρειο θεώρημα για να υπολογίσουμε τις τρίτες πλευρές και Δ των ορθογωνίων τριγώνων Ο και ΟΔ αντίστοιχα..

9 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 69 ΠΡΔΕΙΜ ΔΙΔΣΚΛΙΣ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ Ενότητα: Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας. Στόχοι: Να μπορούν οι μαθητές να υπολογίζουν το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική) Φύλλο εργασίας 1. Λεξιλόγιο: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, με ορθή τη γωνία, λέμε ότι: Η πλευρά είναι η. Οι πλευρές και είναι οι κάθετες πλευρές και μάλιστα: - Η πλευρά είναι η προσκείμενη κάθετη στη γωνία. - Η πλευρά είναι η απέναντι κάθετη στη γωνία. Να συμπληρώσετε τις φράσεις: Η είναι η... Η προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία Κ είναι η... Η απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία Κ είναι η... Η απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία Μ είναι η... Η είναι η... Η πλευρά ΡΣ είναι στη γωνία Τ. Η πλευρά ΡΤ είναι......στη γωνία Τ. Η πλευρά ΡΣ είναι στη γωνία Σ.. Στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα οι σημειωμένες οξείες γωνίες είναι ίσες.

10 70 ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:. Παρατηρούμε ότι σε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν μια οξεία γωνία θ. απέναντι κάθετη α) Ο λόγος είναι ο ίδιος. Ο λόγος αυτός ονομάζεται. προσκείμενη κάθετη β) Ο λόγος είναι ο ίδιος. Ο λόγος αυτός ονομάζεται. 4. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος. Να συμπληρώσετε τους αριθμούς:... ημ Ε συν Ε ημ Δ συν Δ...