ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

Transcript

1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: 4λ - 9 = 0, λ -λ- = 0 και λ - = 0 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι λ=. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες τα πολυώνυμα Ρ () = λ +(λ-) + και Q () =(4λ-) +(λ -9) +λ+ είναι ίσα. Τα πολυώνυμα Ρ () και Q () θα είναι ίσα για αυτές τις τιμές του λ R για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ = 4λ-, λ- = λ -9, =λ+ Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών θα είναι λ=. Για αυτή την τιμή του λ θα έχουμε Ρ () = Q().. Να βρείτε για ποιες τιμές λ R είναι σταθερό το πολυώνυμο: Ρ () = (λ +λ-6) +(λ -4)+λ-. Ποια είναι η τιμή του; Για να είναι σταθερό το πολυώνυμο Ρ () θα πρέπει: λ +λ-6 = 0 και λ -4 = 0. Η κοινή λύση των δύο αυτών εξισώσεων θα είναι λ = και για αυτή την τιμή του λ θα έχουμε Ρ () =.

2 .4 Να βρεθούν οι τιμές του λ R, ώστε η τιμή του πολυωνύμου Ρ () = + -+λ -4 για = - να είναι. Ρ (-) = (-) +(-) -(-)+λ -4 = λ -4 = λ + = λ -9 = 0 (λ-) (λ+)= 0 λ= ή λ= -.. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f () = κ +λ+μ, κ 0, τα οποία επαληθεύουν τη σχέση f (+)-f (-) = 0. Έχουμε f (+) = κ(+) +λ (+)+μ = κ +(κ+λ) +κ+λ+μ και f (-) = κ (-) + λ(-) +μ = κ - λ + μ. Είναι f (+) - f (-) = 0 f (+) = f (-) κ + (κ+λ) +κ+λ+μ = κ - λ+ μ. Έτσι θα έχουμε: κ = κ, κ + λ = - λ, κ+λ+μ=μ κ = κ, λ= -κ, μ = μ, οπότε τα ζητούμενα πολυώνυμα έχουν τη μορφή f () = κ - κ+μ, όπου κ, μ R..6 Να βρείτε πολυώνυμο Ρ (), για το οποίο ισχύει: (-) Ρ() = Γνωρίζουμε ότι ο βαθμός του γινομένου δύο πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών τους και έτσι θα πρέπει το Ρ () είναι δευτέρου βαθμού. Έστω ότι: Ρ () = α + β + γ. Τότε: (-) (α +β+γ) = α +(β-α) + (γ-β)-γ = α=, β-α=-, γ-β= -4 -γ= α =, β=0, γ = Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ, μ για τους οποίους το πολυώνυμο Ρ () = 4 - +κ +λ+4 είναι τετράγωνο του πολυωνύμου Q () = -+μ Είναι : [Q()] =( -+μ) = 4 + +μ - +μ -μ= 4 - +(μ+) -μ+μ οπότε: Ρ () = [Q()] 4 - +κ +λ+4 = 4 - +(μ+) -μ+μ κ =μ+, λ = -μ, 4 = μ (κ =, λ =-4, μ = ) ή (κ = -, λ = 4, μ = -) Άρα Ρ () = ( -+) ή Ρ () = ( --)

3 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Λυμένα Παραδείγματα.9 Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις και έπειτα να γραφούν οι ταυτότητες των διαιρέσεων αυτών : α) ( ) : (-) β) ( ) : ( -+) + α) =(-)(6 +7+7)+4 β) =( -+)( ++8)

4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυμένα Παραδείγματα.0 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) - -+ = 0 β) = 0 γ) = 0 δ) = ( - 4) - (-)(-) α) - -+= 0 ( +) - (+) = 0 (+) ( -+)-(+) = 0 (+) ( -+-) = 0 (+) ( -4+) = 0. Άρα + = 0 ή - 4+ = 0 οπότε - ή = + ή = β) = 0 (-) - 4(-) = 0 (-) ( - 4) = 0 = ή = ή = - γ) = 0 ( 4 -)-( -) = 0 ( -) ( +)-( -) = 0 ( -) [ ( +)-] = 0 ( -) ( -+) = 0 ( -) (+) ( ± -+) = 0 = ή =- ή = δ) = ( -4) -(-) (-) = = 0 () Πιθανές ακέραιες ρίζες του σταθερού όρου είναι το ±, ±. Με την βοήθεια του σχήματος Horner θα έχουμε : Άρα η εξίσωση () γράφεται : = 0 (-) ( -6-) = 0 = ή = + 0 ή =- 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α) = 0 β) = 0 α) Πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου θα είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου -. Δηλαδή ±, ±. Δοκιμάζοντας τώρα με το σχήμα Horner βρίσκουμε ότι το είναι ρίζα του πολυωνύμου. Οπότε η αρχική εξίσωση λαμβάνει την μορφή : = 0 ( -) ( - -9-) = 0 () Για το πολυώνυμο βρίσκουμε με τον ίδιο τρόπο ότι έχει ρίζα το -, οπότε η εξίσωση () γράφεται: (-) (+) ( -4-) = 0 = ή =- ή = ή = 4

5 β) = 0 (6 +6) + (-7-7) = 0 6 ( +) - 7(+) = 0 6 (+) ( -+) -7(+) = 0 (+) ( ) = 0 (+) (6 -+6) = 0 = - ή = ή =. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) = 0 β) = 0 α) Αντίστροφη εξίσωση 4ου βαθμού : Διαιρούμε με και θα έχουμε : = = Θέτω + = y + = y + + = y + = y και έχουμε : = 0 6(y ) y + 6 = 0 6y y + 0 = 0 y = ή y = 0 Άρα : + = () ή + = (), () 0 + = 0 = ή = () + = 0 = ή = β) Αντίστροφη εξίσωση ου βαθμού = 0 6 ( -) - 4 ( -) +97 (-) = 0 6 (-) ( ) - 4(-) ( ++) +97 (-) = 0 (-) ( ) = 0 (-) ( ) = 0 < - 4 Αντίστροφη 4ου βαθμού όπως το προηγούμενο παράδειγμα και τελικά η εξίσωση θα έχει ρίζες τους αριθμούς = ή = ή = ή = ή =. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : α) β) < α) Το πολυώνυμο έχει διαιρέτες του σταθερού όρου -4 τους αριθμούς ±, ±, ±4 και με το σχήμα Horner βρίσκουμε ότι το είναι ρίζα του, οπότε : ( -) ( -4+4) 0 (-) (-) 0

6 β) Θέτω + = y οπότε θα έχουμε : 6y +y- 6 < 0 < y < οπότε < + < +. Όμως < > 0 < - ή > () + ( + ) και + < < 0 -< < () ( + ) Από τις () και () με συναλήθευση παίρνουμε τελικά : < <.4 Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = (+) δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον άξονα. Για να μην έχει κανένα σημείο κάτω από τον άξονα η γραφική παράσταση της f θα πρέπει f () 0 για κάθε ΙR. Πιθανές ακέραιες ρίζες του f () είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή το ±. Με την βοήθεια του σχήματος Horner βρίσκουμε ότι f (-) = 0 και η f γράφεται : f () = (+) ( ) f ()= (+) [ 4 (+) + (+)+(+)] f () = (+) ( 4 + +) 0 διότι ( +) 0 και > 0 για κάθε ΙR. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α) (-4) 8-7 (-4) 4 +6 = 0 β) + γ) ( -+) -4 ( --) = 4 δ) (+) (+) (+4) (+)= = 0 α) Θέτω (-4) 4 = y οπότε θα έχουμε : y -7y+6 = 0 y = ή y = 6 Άρα ( - 4) 4 = ή (-4) 4 4 =6 οπότε ( 4) = -4 = - 4 = ή - 4 = - = ή = και (-4) = 6 ( 4) = = - 4 = ή - 4 = -, = 6 ή = β) Θέτω + = y + = y + + = y + = y Άρα : (y -)-y+9 = 0 y -y+ = 0 y = ή y = 6

7 Άρα : + = ή + = ± Όπότε : + = + = 0 = + = + = 0 = η = γ) ( -+) - 4( --) = 4 ( -+) - 4( -+-) = 4 ( -+) - 4( -+) = 0 ( -+) - 4( -+) -=0 Θέτω -+ = y οπότε y -4y-= 0 y = 6 ή y = - Άρα : -+ = 6 ή -+ = - -+ = 6 -- = 0 = - ή = -+ = - -+ = 0, Δ = -< 0 άρα αδύνατη. δ) (+)(+)(+4)(+) = 60 [ (+)(+)]. [(+)(+4)] = 60 ( +7+0)( +7+) = 60 ( +7+0) ( +7+0+) = 60 Θέτω +7+0 = y. Όπότε: y.(y+) = 60 y +y-60 = 0 y = 8 ή y= -0. Άρα : +7+0 = 8 ή +7+0 = - 0 και τελικά = ή = Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) = + β) + = α) Πρέπει - 0 και - 0. Άρα = + ( ) = ( + ) = + + = () Προσοχή!! Πριν υψώσουμε στο τετράγωνο πρέπει να πάρουμε - 0 διότι το ο μέλος της ισότητας είναι πάντοτε θετικός αριθμός, άρα πρέπει και το ο μέλος να είναι θετικό. Τελικός περιορισμός λοιπόν. () (-) = 4(-) -0+ = 0 = ή = 7 β) Πρέπει - 0 και + 0 και - 0 Συναληθεύοντας αυτές τις ανισώσεις θα έχουμε + = ( + ) = ( ) + = = () Προσοχή!! Θα πρέπει - 0 και τελικός περιορισμός. () ( ) = ( ) = = 0 = 9 ή = 4 απορρίπτεται. Άρα = 9 7