ΟΡΟΣΗΜΟ. Ποιο από τα σχήματα είναι πιθανότερο να παριστάνει τις τελικές ορμές των σωμάτιων 3 και 4;

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 11 Σε μία κρούση μεταξύ δύο σωμάτων: α τα σώματα έρχονται οπωσδήποτε σε επαφή, β δεν αλλάζει η ορμή κάθε σώματος, γ ασκούνται ισχυρές δυνάμεις για μικρό χρονικό διάστημα και αλλάζει απότομα η ορμή των σωμάτων 12 Σε μία πλαστική κρούση δεν ισχύει: α η ΑΔΟ β η ΑΔΕ γ η ΑΔΜΕ 13 Ένα σώμα μάζας, συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 και το σώμα συνεχίζει να κινείται στην ίδια κατεύθυνση Αυτό σημαίνει ότι: α = m 2 β > m 2 γ < m 2 δ << m 2 14 Η κρούση των σωμάτων του σχήματος είναι: α μετωπική (κεντρική), β έκκεντρη, γ πλάγια 15 Δύο σώματα 1 και 2 από τα οποία το 2 είναι ακίνητο και το 1 έχει ορμή p 1 συγκρούονται μεταξύ τους Μετά την κρούση αντί των 1 και 2 προκύπτουν δύο νέα σωματίδια 3 και 4 με ορμές p 3 και p 4 αντίστοιχα Ποιο από τα σχήματα είναι πιθανότερο να παριστάνει τις τελικές ορμές των σωμάτιων 3 και 4; 16 Τα σώματα του σχήματος συγκρούονται Ποιο από τα παρακάτω διανύσματα χαρακτηρίζει την ορμή του συστήματος μετά τη κρούση; 17 Τα σώματα του σχήματος συγκρούονται 51

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις ελαστικά Ποια από τις σχέσεις είναι σωστή; β γ F 1 <F2 F 1 =F2 α υ 1 +υ 1=υ 2 +υ 2 β υ 1 -υ 1=υ 2 -υ 2 γ υ 1-υ 1 =υ 2-υ 2 δ 2 2 2 2 1 1 2 2 υ υ υ υ 18 Το μπαλάκι του σχήματος συγκρούεται ελαστικά με τον τοιχο Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος είναι: α mυ β 2mυ γ μηδέν 19 Δύο σώματα συγκρούονται Στο διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια του συστήματος με το χρόνο α η κρούση είναι ελαστική β η κρούση είναι σίγουρα πλαστική γ η κρούση είναι ανελαστική 110 Δύο σώματα Α και Β συγκρούονται Στη διάρκεια της κρούσης το σώμα Α δέχεται δύναμη από το σώμα Β και ασκεί στο Β F 1 δύναμη Για τα μέτρα των δυνάμεων, F 2 ισχύει: α F 1 >F 2 111 Δύο σώματα Α και Β συγκρούονται Για τη μεταβολή της ορμής του Α και τη μεταβολή της ορμής του Β, είναι: α Δp A = ΔpB β Δp A = -ΔpB γ εξαρτάται από το είδος της κρούσης 112 Σε μια κρούση δυο σφαιρών (ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;) α Το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών τους μετά από την κρούση β Οι διευθύνσεις των ταχυτήτων των σφαιρών πριν και μετά από την κρούση βρίσκονται πάντα στην ίδια ευθεία γ Το άθροισμα των ορμών των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των ορμών τους μετά από την κρούση δ Το άθροισμα των ταχυτήτων των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των ταχυτήτων τους μετά από την κρούση (Πανελλήνιες εξετάσεις 2006) 113 Σκέδαση ονομάζουμε κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου κατά το οποίο τα συγκρουόμενα σωματίδια: α αλληλεπιδρούν με σχετικά μικρές δυνάμεις για μεγάλη χρονική διάρκεια β έρχονται σε επαφή για πολύ μικρή χρονική διάρκεια\ γ αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για αμελητέα χρονική διάρκεια δ μεταβάλλουν απότομα την κινητική τους κατάσταση, χωρίς να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους 114 Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι η σωστή; α Κάθε ανελαστική κρούση είναι και πλαστική β Κάθε πλαστική κρούση είναι ανελαστική γ Σε κάθε ανελαστική κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει 52

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 σταθερή δ Σε κάθε πλαστική κρούση η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή 115 Μια κρούση λέγεται πλάγια όταν: α Δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρηση της ορμής β Δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρηση της ενέργειας γ Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν τυχαία διεύθυνση δ Οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι παράλληλες 116 Δύο σφαίρες (1) και (2) με ίσες μάζες κινούνται στην ίδια ευθεία και προς την ίδια φορά με ταχύτητες μέτρου υ 1 = 20 m/s και υ 2 = 10 m/s αντίστοιχα Αν μετά την κρούση η σφαίρα (1) έχει ταχύτητα μέτρου υ 1= 12 m/s, τότε το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας (2) μετά την κρούση ισούται με: α 20 m/s β 42 m/s γ 12 m/s δ 18 m/s 117 Ένα σώμα μάζας κινείται με ταχύτητα και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 Αν ο λόγος των μαζών είναι Ένα σώμα μάζας κινείται με ταχύτητα και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 Αν ο λόγος των μαζών είναι = λ m 2, τότε η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση έχει μέτρο ίσο με: α λυ β υ λ γ λυ λ +1 δ (λ+1)υ 118 Μια σφαίρα Α μάζας m κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητη σφαίρα Β μάζας m 2 Η ταχύτητα του συσσωματώματος που προκύπτει από την κρούση έχει μέτρο υ κ = υ/3 Η σφαίρα Β έχει μάζα: α m 2 = 3m β m 2 = 3m/2 γ m 2 = 4m δ m 2 = 2m 119 Ένα σώμα μάζας m έχει κινητική ενέργεια Κ 0 και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με άλλο ακίνητο σώμα Β ίσης μάζας Μετά την κρούση το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος είναι ίσο με: α mk0 β 2mK0 γ 2 mk0 δ mk 0 2 120 Κατά την κεντρική πλαστική κρούση δύο σφαιρών με διαφορετική μάζα, κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών μετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε θερμότητα Οι σφαίρες πριν την κρούση είχαν: α ίσες ταχύτητες β αντίθετες ορμές γ ίσες κινητικές ενέργειες δ αντίθετες ταχύτητες 121 Σώμα μάζας m, το οποίο έχει κινητική ενέργεια Κ, συγκρούεται πλαστικά με σώμα μάζας 4m Μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο Η μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση, είναι: α (5/4)Κ, β Κ, γ (7/4)Κ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Πανελλήνιες εξετάσεις2005 Eπαν) 122 Σφαίρα Σ 1 κινούμενη προς ακίνητη σφαίρα Σ 2, ίσης μάζας με την Σ 1, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αυτήν Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Σ 1 που 53

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις μεταβιβάζεται στη Σ 2 κατά την κρούση είναι: α 50% β 100% γ 75% Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ( Πανελλήνιες εξετάσεις 2006) 123 Ένα αυτοκίνητο Α μάζας Μ βρίσκεται σταματημένο σε κόκκινο φανάρι Ένα άλλο αυτοκίνητο Β μάζας m, ο οδηγός του οποίου είναι απρόσεκτος, πέφτει στο πίσω μέρος του αυτοκινήτου Α η κρούση θεωρείται κεντρική και πλαστική Αν αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει το 1/3 της κινητικής ενέργειας που είχε αμέσως πριν την κρούση, τότε ο λόγος m/m ισούται με: α 1/6 β 1/2 γ 1/3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Πανελλήνιες εξετάσεις 2007) 124 Δύο σώματα Α και Β με μάζες m Α και m Β αντίστοιχα, συγκρούονται μετωπικά Οι ταχύτητές τους πριν και μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα υ(m/s) 6 4 2 0-2 Α Β πριν Α μετά Δt κρουσης αμελητέα t(s) Ο λόγος των μαζών m Α και m Β είναι: α 3/5 β 1/2 γ 2/3 δ 3/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Πανελλήνιες εξετάσεις 2007 Επαναλ) 125 Δύο σφαίρες Α και Β που έχουν αντίστοιχα μάζες m Α =2kg, m B =3kg και ταχύτητες υ Α =2m/s, υ Β =1m/s, κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις και συγκρούονται πλαστικά Η ορμή του συσσωματώματος έχει μέτρο (σε kg m/s) ίσο με: Β α 5 β 10 γ 1 δ 7 126 Δύο σφαίρες (1) και (2) με ίσες μάζες κινούνται στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά και με ταχύτητες μέτρου υ 1 =30 m/s και υ 2 =10 m/s αντίστοιχα Μετά την κεντρική τους κρούση η σφαίρα (1) έχει ταχύτητα μέτρου υ 1 =12 m/s, ενώ η σφαίρα (2) έχει ταχύτητα μέτρου υ 2 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; α είναι ελαστική β είναι πλαστική γ είναι ανελαστική δ δεν επαρκούν τα στοιχεία για να χαρακτηρίσουμε το είδος της κρούσης 127 Ανάμεσα σε δύο παράλληλους τοίχους ΑΓ και ΒΔ, υπάρχει λείο οριζόντιο δάπεδο Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετα στους τοίχους Σφαίρα Σ 1 κινείται πάνω στο δάπεδο, με σταθερή ταχύτητα, μέτρου υ, παράλληλη στους τοίχους, και καλύπτει τη διαδρομή από το ΑΒ μέχρι το ΓΔ σε χρόνο t 1 Στη συνέχεια δεύτερη σφαίρα Σ 2 που έχει Α Σ1 Σ2 Β 60 ο υ υ ταχύτητα μέτρου υ συγκρούεται ελαστικά με τον ένα τοίχο υπό γωνία φ=60 ο και, ύστερα από διαδοχικές ελαστικές κρούσεις με τους τοίχους, καλύπτει τη διαδρομή από το ΑΒ μέχρι το ΓΔ σε χρόνο t 2 Οι σφαίρες εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση Tότε θα ισχύει: α t 2 = 2t 1 β t 2 = 4t 1 γ t 2 = 8t 1 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Γ Δ 54

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Δίνονται: ημ60 ο = 3 /2, συν 60 ο = 1/2 (Πανελλήνιες εξετάσεις 2012) 131 Η κρούση του σχήματος θα μπορούσε να γίνει, αν είναι p A = -p B 128 Δύο σώματα με μάζες =2 kg και m 2 =3 kg κινούνται χωρίς τριβές στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες υ 1 =4 m/s και υ 2 =2 m/s (όπως στο σχήμα) και συγκρούονται πλαστικά m1 υ1 m2 Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος είναι: α 5 J β 10 J γ 20 J υ2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας (Πανελλήνιες εξετάσεις 2010) Στις παρακάτω ερωτήσεις ποιες προτάσεις είναι σωστές, ποιες λάθος και γιατί 129 Μία σφαίρα Α κινείται με υ 1 και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με δεύτερη σφαίρα Β, η οποία αρχικά είναι ακίνητη α Η σφαίρα Α θα γυρίσει προς τα πίσω αν είναι m A <m B β H μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να αποκτήσει η σφαίρα Β μετά την κρούση είναι η υ 1, αν είναι m A =m B γ Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α που μεταβιβάζεται στη Β, είναι ανεξάρτητη της υ 1 130 Σε ελαστική κρούση δύο σφαιρών είναι: ΔΚ Α =- ΔΚ Β 132 Η σφαίρα Α αφήνεται από τη θέση (1) Μετά την ελαστική της κρούση με τη σφαίρα Β εκτρέπεται κατά γωνία θ=φ Τότε ισχύει ότι: m A <<m B ή m A >>m B 133 Δύο σώματα συγκρούονται Στο διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια του συστήματος με το χρόνο Η κρούση είναι ελαστική 134 Τα σώματα του σχήματος συγκρούονται ανελαστικά, χωρίς να γίνει συσσωμάτωμα α Μετά τη κρούση η ταχύτητα του σώματος Α δεν άλλαξε β Στον κατακόρυφο άξονα δεν ισχύει η ΑΔΟ 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις γ Η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται δ Ισχύει ότι: Δp A = -ΔpB 135 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Όταν δύο σώματα συγκρούονται: α Η κινητική κατάσταση των συγκρουόμενων σωμάτων δε μεταβάλλεται β Η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα γ Οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωμάτων που συγκρούονται κατά τη διάρκεια της επαφής τους είναι πολύ ασθενείς δ Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των συγκρουόμενων σωμάτων είναι κάθε χρονική στιγμή ίσες κατά μέτρο 136 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; α Η κρούση είναι ένα φαινόμενο κατά το οποίο τα συγκρουόμενα σώματα έρχονται οπωσδήποτε σε επαφή β Στην κεντρική κρούση δύο σφαιρών, οι ταχύτητες των σωμάτων πριν και μετά την κρούση βρίσκονται στην ίδια ευθεία γ Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των σωμάτων που συγκρούονται υπακούουν στο νόμο δράσης - αντίδρασης δ Αν οι ταχύτητες δυο σφαιρών που συγκρούονται έχουν τυχαίες διευθύνσεις, η κρούση χαρακτηρίζεται ως έκκεντρη 137 Στην τελείως ελαστική κεντρική κρούση ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις ισχύουν; α ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής πάντα β ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας πάντα γ το μέτρο της ορμής του ενός σώματος αυξάνεται ενώ του άλλου μειώνεται πάντα δ τα σώματα ανταλλάσουν πάντα ταχύτητες ε η ελάττωση της κινητικής ενέργειας του ενός σώματος ισούται πάντα με την αύξηση της κινητικής ενέργειας του αλλού στ αν υ 1, υ 2 είναι τα μέτρα της ταχύτητας πριν από την κρούση και αντίστοιχα υ 1, υ 2 μετά την κρούση, τότε ισχύει πάντα: 1 2 2 1 ±υ - ±υ = ±υ - ±υ 138 Οι σφαίρες (1) και (2) του σχήματος συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; 2m υ 2υ 1 2 α Οι ορμές των σφαιρών μετά την κρούση τους είναι αντίθετες β Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας (1) έχει διπλάσιο μέτρο από τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας (2) γ Αμέσως μετά την κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών μηδενίζεται δ Εξαιτίας της κρούσης οι ταχύτητες των δύο σφαιρών αλλάζουν κατεύθυνση χωρίς να μεταβάλλεται το μέτρο τους Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις 139 Στην ελαστική κρούση η ολική κινητική ενέργεια των σωμάτων πριν την κρούση είναι με την ολική κινητική ενέργειά τους μετά την κρούση Στη διάρκεια της κρούσης ένα μέρος της κινητικής ενέργειας των σωμάτων γίνεται παραμόρφωσης 140 Στην ανελαστική κρούση η ολική κινητική ενέργεια των σωμάτων πριν την κρούση είναι από την ολική κινητική ενέργειά τους μετά την κρούση Δηλαδή > 141 Κατά τη μετωπική ελαστική κρούση, δύο σωμάτων που έχουν ίσες μάζες, τα σώματα τις ταχύτητές τους 142 Τα σώματα του σχήματος συγκρούονται ελαστικά και κεντρικά Μετά τη κρούση οι ταχύτητές τους έχουν μέτρα: υ 1= υ 2= m 56

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 143 Τα σώματα του σχήματος συγκρούονται πλαστικά Αν είναι, μετά τη κρούση m1 m 2 η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι: υ Κ = 145 Τα σώματα του σχήματος συγκρούονται ελαστικά και κεντρικά 144 Δύο σφαίρες και m 2 έχουν ταχύτητες υ και υ αντίστοιχα και συγκρούονται 1 2 Να αντιστοιχίσετε το είδος της κρούσης με τις προϋποθέσεις Α κεντρική α υ 1 / / υ2 Β έκκεντρη β υ 1, υ2 συγγραμμικές Γ πλαστική γ Κ ολ(πριν) = Κολ(μετα) 146 Πότε ένα σύστημα σωμάτων λέγεται μονωμένο; Διατυπώστε την αρχή διατήρησης της ορμής 147 Ποιό φαινόμενο ονομάζουμε κρούση; Πως ταξινομούμε τις κρούσεις με κριτήριο: α αν διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος, β τη διεύθυνση των ταχυτήτων; Δ ελαστική δ Κ ολ(πριν) > Κολ(μετα) Ε πλάγια ε υ 1, υ2 σε διαφορετικές διευθύνσεις Κ 148 Θεωρείστε δύο σφαίρες ίδιας ακτίνας με μάζες, m 2 που κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο προς την ίδια κατεύθυνση < Κ στ ολ(πριν) ολ(μετα) Να αντιστοιχίσετε τη σχέση των μαζών με τη σχέση ταχυτήτων μετά τη κρούση Α = m 2 α υ1 υ1 και υ 2 2υ1 Β << m 2 β υ 1=0 και υ 2 =υ1 Γ >> m 2 γ υ1 υ1 και υ 2 0 Η m 2 προηγείται της και οι ταχύτητές τους είναι υ 1, υ 2 (υ 1 >υ 2 ) Οι σφαίρες συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά Να βρείτε τις ταχύτητές τους μετά την κρούση Ποιά συμπεράσματα προκύπτουν: α για = m 2 β για = m 2, υ 2 = 0 γ για << m 2, υ 2 = 0 δ για >> m 2, υ 2 = 0 υ υ και υ2 υ1 δ 1 1 149 Δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά Το ένα έχει μάζα m 2 και είναι 57

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις ακίνητο, ενώ το άλλο έχει μάζα και ταχύτητα μέτρου υ 1 Να δείξετε ότι η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση, είναι μικρότερη από την ολική κινητική τους ενέργεια πριν την κρούση Η κίνηση γίνεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο 150 Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει ορμή μηδέν και ολική κινητική ενέργεια διάφορη του μηδενός; Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια ίση με μηδέν και ολική ορμή διάφορη του μηδενός; 151 Nα δείξετε ότι σε σύστημα δύο σωμάτων που συγκρούονται, οι μεταβολές των ορμών των σωμάτων είναι αντίθετες 152 Από τις παρακάτω κρούσεις ποιες δεν μπορούν να γίνουν και γιατί; 153 Για ένα υλικό σημείο ποια από τα παρακάτω ισχύουν; α Μπορεί η κινητική του ενέργεια να μένει σταθερή ενώ μεταβάλλεται η ορμή του β Μπορεί να μένει σταθερή η ορμή του ενώ μεταβάλλεται η κινητική του ενέργεια 154 Αν η ολική ορμή συστήματος δυο σωμάτων μένει σταθερή τότε η ολική μηχανική του ενέργεια μένει σταθερή; 155 Δύο σφαίρες με μάζες και m 2 κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες μέτρου υ 1 και υ 2 αντίστοιχα Οι σφαίρες έχουν αντίθετες ορμές και συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά Να αποδείξετε ότι μετά την κρούση κάθε σφαίρα κινείται με ταχύτητα αντίθετη της ταχύτητας που είχε πριν την κρούση 156 Ένα σώμα μάζας κινείται με κάποια ταχύτητα και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 Να βρείτε τη σχέση που δίνει το ποσοστό % της αρχικής κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το ένα σώμα στο άλλο Για ποια σχέση ανάμεσα στις δύο μάζες, το σώμα μάζας m 2 θα αποκτήσει τη μέγιστη κινητική ενέργεια; 157 Μια σφαίρα με μάζα κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m 2 =λ Να αποδείξετε ότι το ποσοστό % της ελάττωσης της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας 4λ υπολογίζεται από τη σχέση: 2 λ +1 100% 158 Ένα σώμα μάζας κινείται με κάποια ταχύτητα και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 Για ποια σχέση ανάμεσα στις δυο μάζες, το σώμα μάζας θα ακινητοποιηθεί; 58

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ελαστική κρούση 159 Μια σφαίρα μάζας m κινείται με ταχύτητα υ 1 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα, μάζας 2m, που είναι αρχικά ακίνητη α Προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί μετά την κρούση η πρώτη σφαίρα; β Ποια είναι η μεταβολή της ορμής της; γ Ποιο ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειάς της έχει απομείνει στην πρώτη σφαίρα; 160 Δύο σφαίρες Α και Β με μάζες m και 3m πλησιάζουν η μια προς την άλλη με την ίδια ταχύτητα υ 0 Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά α Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση β Να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας κάθε σφαίρας 161 Δύο σφαίρες Α και Β με μάζες m Α =3m και m Β =m κινούνται στην ίδια κατεύθυνση με τη σφαίρα Β να προηγείται Οι ταχύτητες των δυο σφαιρών είναι υ Α = 10 m/s και υ Β = 5 m/s και η σύγκρουσή τους κεντρική και ελαστική Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δυο σφαιρών μετά την κρούση 162 Σφαίρα Α μάζας κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας m 2 m Να βρείτε το λόγο m 1 2 ώστε μετά τη κρούση η σφαίρα Α να έχει ταχύτητα μέτρου υ 1 /3: α με κατεύθυνση ίδια με την αρχική, β με κατεύθυνση αντίθετη της αρχικής 163 Mικρή σφαίρα Α μάζας κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας m 2 Να βρείτε: α Τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση σε συνάρτηση με το λόγο λ= m1 m ταχύτητα υ 1 2 και την β Το λόγο των κινητικών ενεργειών των σφαιρών μετά την κρούση σε συνάρτηση με το λόγο λ γ Για ποιά τιμή του λ ολόκληρη η κινητική ενέργεια της σφαίρας Α μεταβιβάζεται στη σφαίρα Β Πανελλήνιες εξετάσεις 1982 164 Δύο σφαίρες A και Β με μάζες =2 kg και m 2 =4 kg αφήνονται να ολισθήσουν πάνω σε μιά λεία διαδρομή όπως φαίνεται στο σχήμα Η κρούση είναι μετωπική και ελαστική Να βρείτε: α Τις ταχύτητες των σφαιρών λίγο πριν τη κρούση β Το ύψος στο οποίο θα ανεβεί κάθε σφαίρα μετά από την κρούση γ Πόση από την ενέργεια της σφαίρας Β μεταβιβάζεται στη σφαίρα Α; (g=10 m/s 2 ) 165 Δύο ελαστικές σφαίρες με μάζες = 2m και m 2 = m και με μικρές ακτίνες είναι δεμένες στις άκρες κατακόρυφων νημάτων μήκους L= 2 m το καθένα με τρόπο που να εφάπτονται και τα κέντρα τους να βρίσκονται πάνω στην ίδια οριζόντια ευθεία Εκτρέπουμε τη σφαίρα μάζας m 2 σε θέση που να σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ=60 ο Να βρείτε σε ποιο ύψος από το επίπεδο ηρεμίας θα φτάσει κάθε σφαίρα μετά την ελαστική τους κρούση 166 Σφαίρα μάζας =1kg κρέμεται με νήμα μήκους 1,25m από ακλόνητο σημείο Εκτρέπουμε τη σφαίρα, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο, και την εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα υ 0 = 5 3 m / s Στο κατώτερο σημείο της τροχιάς της, η σφαίρα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα Σ μάζας 59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις m 2, που είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο Μετά την κρούση, η σφαίρα επανέρχεται στην αρχική της θέση, όπου το νήμα είναι οριζόντιο, με μηδενική ταχύτητα ενώ το σώμα Σ διανύει διάστημα s= 5 m πάνω στο επίπεδο μέχρι να σταματήσει, λόγω τριβής Να υπολογίσετε: α την ταχύτητα της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση β την τιμή της μάζας m 2 του σώματος Σ γ τον συντελεστή τριβής του σώματος Σ με το επίπεδο Δίνεται g=10m/s 2 167 Δυο σφαιρίδια Σ 1 και Σ 2 έχουν μάζες αντίστοιχα και m 2 και κρέμονται από δύο σημεία με νήματα ίσου μήκους 1,5m, ώστε στη θέση ισορροπίας τα νήματα να είναι κατακόρυφα και τα σφαιρίδια να εφάπτονται Ανυψώνουμε το σφαιρίδιο Σ 1 σε ύψος h και όταν το αφήνουμε ελεύθερο αυτό συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σφαιρίδιο Σ 2 Μετά την κρούση το σφαιρίδιο Σ 1 ανυψώνεται σε ύψος h 1 = 20 cm προς την ίδια κατεύθυνση με την αρχική ανύψωση, ενώ το σφαιρίδιο Σ 2 ανυψώνεται σε ύψος h 2 = 45 cm Να υπολογίσετε: α Τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σφαιρών αμέσως μετά την κρούση β Το λόγο /m 2 των μαζών των δύο σφαιριδίων γ Το ύψος h δ Το κλάσμα της αρχικής δυναμικής ενέργειας του σφαιριδίου Σ 1 που μεταβιβάστηκε στο σφαιρίδιο Σ 2 κατά την κρούση Δίνεται g=10m/s 2 168 Σφαίρα Α μάζας κινείται ευθύγραμμα σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 =20 m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σφαίρα Β μάζας m 2 =2 που κινείται αντίθετα α Να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών Α και Β μετά την κρούση, στις εξής περιπτώσεις: i Οι σφαίρες αρχικά έχουν αντίθετες ορμές ii Οι σφαίρες αρχικά έχουν κινητικές ενέργειες Κ 1 =0,5 Κ 2 β Αν η κρούση διαρκεί Δt=0,1 s, πόση είναι η μέση επιτάχυνση που δέχεται κάθε σφαίρα στη διάρκεια της κρούσης; Να απαντήσετε και για τις δύο περιπτώσεις 169 Σφαίρα μάζας =2 kg κρέμεται με νήμα μήκους l=3,6 m από σταθερό σημείο, όπως στο σχήμα Αρχικά το νήμα σχηματίζει γωνία φ=60 ο με την κατακόρυφη και μετά αφήνεται ελεύθερο Στο κατώτερο σημείο της διαδρομής της η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 =4 kg το οποίο μπορεί να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο, που έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ= 0,5 Να υπολογίσετε: α Τη μέγιστη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφη μετά την κρούση και το μέτρο της τάσης του νήματος αμέσως μετά την κρούση β Πόσο τοις % της κινητικής της ενέργειας έχασε η σφαίρα κατά τη κρούση; γ Το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μέχρι να σταματήσει (g = 10 m/s 2 ) 170* Ανελκυστήρας κινείται προς τα πάνω σ ένα φρεάτιο με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 4 m/s Τη χρονική στιγμή t=0, από την κορυφή του φρεατίου αφήνεται να πέσει ελεύθερα μία μικρή σφαίρα Τη στιγμή αυτή ο ανελκυστήρας απέχει Η=28 m από την κορυφή του φρεατίου Η σφαίρα συγκρούεται ελαστικά με τον ανελκυστήρα 60

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 α Να υπολογίσετε το ύψος στο οποίο θα φθάσει η σφαίρα σε σχέση με το σημείο που αφέθηκε, μετά την αναπήδησή της λόγω της ελαστικής κρούσης β Να απαντήσετε στο ίδιο ερώτημα, αν ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω με ταχύτητα ίδιου μέτρου (g=10 m/s 2 ) 173 Σώμα μάζας κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου υ 1 =15 m/s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου υ 1 =9 m/s 171 Ολες οι κρούσεις που συμβαίνουν είναι ελαστικές Αν είναι <m 2, να βρείτε το λόγο των μαζών /m 2, ώστε τελικά η μεταξύ τους απόσταση να παραμένει σταθερή Το δάπεδο είναι λέιο 172* Μια σφαίρα Α μάζας =3m κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ 1 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλη μικρή σφαίρα Β μάζας m 2 =m που είναι ακίνητη στο ίδιο επίπεδο Τα κέντρα των δυο σφαιρών ορίζουν ευθεία που είναι κάθετη σε κατακόρυφο τοίχωμα, το οποίο απέχει απόσταση d=6m από τη σφαίρα Β, όπως στο σχήμα Μετά τη σύγκρουση των δυο σφαιρών, η σφαίρα Β συγκρούεται επίσης ελαστικά με το τοίχωμα Α υ1 Β α Να υπολογίσετε τις ταχύτητες των δυο σφαιρών μετά τη σύγκρουσή τους, σε συνάρτηση με την ταχύτητα υ 1 β Να προσδιορίσετε την απόσταση από το τοίχωμα, στην οποία θα συγκρουστούν οι δυο σφαίρες για δεύτερη φορά γ Για ποια τιμή του λόγου /m 2 των μαζών και m 2 των δυο σφαιρών, μετά τη σύγκρουσή τους και τη σύγκρουση της σφαίρας Β με το τοίχωμα, η απόσταση των δυο σφαιρών παραμένει σταθερή; Οι σφαίρες να θεωρηθούν σαν υλικά σημεία d m1 υ1 m2 α Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών / m 2 β Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m 2 αμέσως μετά την κρούση γ Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m 2 λόγω της κρούσης δ Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι μ=0,1 Δίνεται g=10 m/s 2 Πανελλήνιες Εξετάσεις 2008 174 Σφαίρα μάζας m = 1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 1 = 20 m/s και συσπειρώνει ελατήριο σταθεράς k = 32000 Ν/m Το σώμα μάζας Μ = 4 kg αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Να βρείτε: α Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου β Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της σφαίρας που αποθηκεύεται στο ελατήριο γ Τη μέγιστη επιτάχυνση του σώματος μάζας Μ κατά τη διάρκεια της κρούσης Το ελατήριο θεωρείται ιδανικό 175 Δύο ελαστικές σφαίρες έχουν μάζες και m 2 και ταχύτητες υ 1 και υ 2 που έχουν 61

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 τον ίδιο φορέα και ίδια φορά και είναι υ 1 >υ 2 Οι σφαίρες συγκρούονται, οπότε παραμορφώνεται προσωρινά και στη συνέχεια ξαναπαίρνουν το αρχικό τους σχήμα α Πόση είναι η δυναμική ενέργεια εξαιτίας της παραμόρφωσης τη στιγμή που η παραμόρφωση είναι μέγιστη; β Ποιες είναι οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών; Κρούσεις ημισφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R = 32 cm Αν δίνεται ότι η σφαίρα m 2 εκτελεί οριακά ανακύκλωση στο εσωτερικό της επιφάνειας, ποια είναι η ταχύτητα της σφαίρας μάζας πριν την κρούση; (Δ) 175 Ένα νετρόνιο σ έναν αντιδραστήρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο πυρήνα Ηe (m He =4 m n ) α Πόσο τοις % της ενέργειας του νετρονίου μεταφέρεται στον πυρήνα του Ηe; β Αν η αρχική κινητική ενέργεια του νετρονίου είναι 100 ev, πόσες διαδοχικές κρούσεις πρέπει να κάνει το νετρόνιο, ώστε η ενέργειά του τελικά να γίνει 1 ev; 9 log = -0,05 25 176 Στο σχήμα φαίνεται ένα κομμάτι ξύλου μάζας m 2 =2 kg που ισορροπεί δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l=0,9 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Σφαίρα μάζας =1 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με το ξύλο Το ξύλο μόλις που μπορεί να κάνει ανακύκλωση Να υπολογίσετε: α την ελάχιστη ταχύτητα υ 1 της σφαίρας, β το ποσοστό της ενέργειας της σφαίρας μάζας που μεταβιβάζεται στο ξύλο κατά τη κρούση Δίνεται g=10m/s 2 177 Οι σφαίρες του σχήματος έχουν μάζες = 2 kg και m 2 =5 kg Η σφαίρα μάζας συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με την αρχικά ακίνητη σφαίρα μάζας m 2 η οποία μπορεί να ολισθαίνει, χωρίς να κυλά και χωρίς τριβές, στο εσωτερικό της m1 (A) υ1 m2 K (B) R (Γ) Δίνεται g=10m/s 2 Οι ακτίνες των σφαιρών θεωρούνται αμελητέες 178 Δυο σφαίρες αμελητέων ακτίνων με μάζες και m 2, όπου = m 2, αφήνονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h 1 =18m επί οριζοντίου επιπέδου Οι σφαίρες κινούνται πάνω στην ίδια κατακόρυφο Αφήνεται πρώτα η σφαίρα μάζας προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω Μόλις αποχωριστεί από το επίπεδο, συγκρούεται κεντρικά με την κατερχόμενη σφαίρα μάζας m 2 Να βρεθεί το ύψος h 2 στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα μάζας m 2 Να θεωρηθεί ότι όταν οι σφαίρες συγκρούονται, έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση h 1 από το σημείο εκκίνησης Όλες οι κρούσεις είναι απολύτως ελαστικές και η αντίσταση του αέρα αμελητέα (Πανελλήνιες εξετάσεις1990) 179 Ένα νετρόνιο κινείται με ταχύτητα υ 1 =και συγκρούεται με ακίνητο πυρήνα Ηλίου Μετά την κρούση το νετρόνιο κινείται με ταχύτητα υ 1 = 5 10 5 m/s που σχηματίζει γωνία 60 ο με την αρχική του ταχύτητα Να προσδιοριστεί η ταχύτητα που αποκτά ο πυρήνας του ηλίου αν η κρούση είναι ελαστική Μαζικός αριθμός He=4 και νετρονίου=1 180 Μια μικρή ατσάλινη μπίλια που κινείται με ταχύτητα υ 0 στην θετική φορά άξονα Οx, συγκρούεται τελείως ελαστικά και όχι κεντρικά με μια πανομοιότυπη μπίλια που είναι αρχικά ακίνητη Μετά την κρούση, η 62

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 πρώτη μπίλια κινείται με ταχύτητα υ 1 σχηματίζοντας γωνία +θ 1 με τον άξονα των x, ενώ η δεύτερη κινείται με ταχύτητα υ 2 σε γωνία -θ 2 με τον άξονα των x, στο τέταρτο τεταρτημόριο α Γράψετε τις εξισώσεις διατήρησης της ορμής κατά μήκος των αξόνων Οx και Οy β Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η κρούση είναι τελείως ελαστική και αποδείξτε ότι θ 1 +θ 2 =π/2 (Έχετε έτσι αποδείξει ότι αυτή η σχέση ισχύει σε κάθε ελαστική κρούση ανάμεσα σε δυο σώματα ίσων μαζών, όταν το ένα είναι αρχικά ακίνητο) 181 Ένας δίσκος του χόκεϊ Β, είναι ακίνητος πάνω σε μια λεία επιφάνεια πάγου και συγκρούεται με έναν άλλο δίσκο Α, που έχει την ίδια μάζα με τον Β Ο δίσκος Α, που έχει αρχική ταχύτητα 30 m/s, αποκλίνει κατά 30 ο από την αρχική του κατεύθυνση Υποθέστε ότι η κρούση είναι τελείως ελαστική Βρείτε την τελική ταχύτητα του κάθε δίσκου και την κατεύθυνση του Β μετά την κρούση 182 Μία σφαίρα Α μάζας m κινείται με ταχύτητα υ 1 = 5 3 m/s και συγκρούεται έκκεντρα και ελαστικά με αρχικά ακίνητη σφαίρα μάζας 2m Μετά την κρούση η σφαίρα Α κινείται σε διεύθυνση κάθετη προς την αρχική της διεύθυνση α Να προσδιορίσετε τη διεύθυνση κίνησης της σφαίρας Β μετά την κρούση β Να υπολογίσετε τις ταχύτητες των δυο σφαιρών μετά την κρούση 183 Σφαίρα Α μάζας κινείται με ταχύτητα μέτρου υ και συγκρούεται έκκεντρα και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, μάζας m 2, που είναι ακίνητη αρχικά Οι σφαίρες μετά την κρούση κινούνται σε κατευθύνσεις που σχηματίζουν με την αρχική διεύθυνση της ταχύτητα γωνίες φ=60 ο και θ=30 ο όπως φαίνεται στο σχήμα Να υπολογιστεί ο λόγος των μαζών των δύο σφαιρών 184 Σώμα μάζας =1kg κινείται με ταχύτητα υ 1 =8 m/s και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με σώμα Β, μάζας m 2 =3 kg, του οποίου η ταχύτητα έχει μέτρο υ 2 =4m/s και φορά αντίθετη της υ 1 Να βρείτε: α Την ορμή του συστήματος των σωμάτων Α και Β πριν και μετά την κρούση β Την ταχύτητα του συσσωματώματος γ Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων 185 Δύο σώματα με μάζες =3 kg και m 2 =1 kg κινούνται στην ίδια ευθεία προς αντίθετες κατευθύνσεις, με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ 1 = 4 m/s και υ 2 = 8 m/s, αντίστοιχα Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά Να υπολογίσετε: α Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας β Το κλάσμα της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση 186 Ξύλινος κύβος, μάζας Μ = 1,8 Kg είναι ακίνητος πάνω σε οριζόντιο επίπεδο Ο συντελεστής ολίσθησης μεταξύ κύβου και επιπέδου ισούται με μ=0,2 Ένα βλήμα, μάζας m= 0,2 kg, κινείται οριζόντια και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του κύβου Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και σταματάει, αφού μετατοπιστεί κατά Δx = 16 m Να υπολογίσετε: α το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση β το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος τη στιγμή που προσκρούει στον κύβο γ το επί τοις εκατό ποσοστό της κινητικής ενέργειας που έχασε το σύστημα κατά την κρούση Δίνεται g=10m/s 2 187 Ένα ομογενές σώμα μάζας m=995 g είναι κρεμασμένο με σχοινί από δένδρο και ισορροπεί Σφαίρα μάζας m1=5g χτυπάει οριζόντια το σώμα με ταχύτητα υ=200 m/s και σφηνώνεται σε αυτό Να βρείτε το ποσοστό (%) της ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση (Πανελλήνιες εξετάσεις 1990) 188 Σφαίρα μάζας =0,1 kg εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ 1 =300 m/s εναντίον ξύλινου κιβωτίου μάζας m 2 =2 kg που 63

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο Η σφαίρα βγαίνει από το κιβώτιο με ταχύτητα υ = 100 m/s Αν το κιβώτιο ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο και σταματάει μετά από μετατόπιση 20 m, να βρείτε: α τον συντελεστή τριβής μεταξύ το κιβωτίου και του επιπέδου β την ενέργεια που χάνεται κατά την κρούση Δίνεται g=10m/s 2 189 Δύο σώματα Α και Β με μάζες = 5 kg και m 2 =1,8 kg αντίστοιχα, είναι ακίνητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, σε απόσταση d= 2 m μεταξύ τους Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των σωμάτων Α και Β με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ=0,4 Βλήμα μάζας m = 0,2 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 0 προσπίπτει στο σώμα Α, εξέρχεται από αυτό με ταχύτητα υ=100 m/s και στη συνέχεια σφηνώνεται στο σώμα Β m υ0 m1 d m2 Μετά τη διέλευση του βλήματος από το σώμα Α, το σώμα αυτό μετατοπίζεται κατά s 1 =2m μέχρι να σταματήσει Να υπολογίσετε: α Την ταχύτητα του σώματος Α, αμέσως μετά την κρούση β Την ταχύτητα υ 0 του βλήματος γ Την τελική απόσταση των δυο σωμάτων δ Τη συνολική απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την διάρκεια του φαινομένου Δίνεται g=10m/s 2 190 Βλήμα μάζας m=0,1 kg κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και σφηνώνεται σε ένα ακίνητο κομμάτι ξύλο μάζας Μ = 1,9 kg με ταχύτητα υ 0 Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ξύλο - βλήμα ανυψώνεται σε ύψος h = 5 m πάνω από την αρχική του θέση Να υπολογίσετε: α Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση β Το μέτρο της ταχύτητας υ 0 του βλήματος γ Την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση δ Το ρυθμό μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση Δίνεται g=10m/s 2 191 Σώμα μάζας =200g το οποίο είναι κρεμασμένο στο άκρο νήματος μήκους l = 100 cm εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία φ=60 ο και αφήνεται ελεύθερο Τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο, κτυπά επάνω του ένα βλήμα μάζας m 2 = 20 g που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 2 = 20 10 m/s κατά την ίδια φορά με το σώμα μάζας Το βλήμα σφηνώνεται στο σώμα μάζας m1 l m2 υ2 φ α Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος μαζας πριν τη κρούση β Να υπολογισθεί η μεταβολή της τάσης του νήματος πριν και αμέσως μετά την πλαστική κρούση Δίνεται g=10m/s 2 192 Ένα σώμα Α μάζας = 5 kg αφήνεται από ένα σημείο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 ο Το σώμα ολισθαίνει στο επίπεδο και αφού μετατοπιστεί κατά s 1 = 3 2m συνεχίζει να κινείται σε οριζόντιο επίπεδο Όταν το σώμα μετατοπιστεί κατά s 2 =0,5m στο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με σώμα Β μάζας m 2 = 2 kg Το συσσωμάτωμα των σωμάτων μετατοπίζεται στη συνέχεια κατά s= 0,2m μέχρι να σταματήσει Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής μ αν είναι ίδιος για όλες τις επιφάνειες Να υπολογιστεί ακόμη ο λόγος της απώλειας της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση προς την απώλεια της μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην τριβή κατά τη διάρκεια υ1 64

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 της ολίσθησης των σωμάτων Δίνεται g=10m/s 2 193 Σφαίρα μάζας m=100 g εκτοξεύεται εναντίον δυο κιβωτίων με =5 kg και m 2 =2,9 kg που αρχικά ηρεμούν πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής 0,1 Η σφαίρα διαπερνά το πρώτο κιβώτιο και σφηνώνεται στο δεύτερο Μετά την κρούση τα δύο κιβώτια μετατοπίζονται κατά d 1 =18m και d 2 =32 m μέχρι να σταματήσουν Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα της σφαίρας Δίνεται g=10m/s 2 194* Μια σφαίρα μάζας = 0,1kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 1 = 200 m/s και σφηνώνεται σε ξύλινη πλάκα μάζας m 2 =1,9 kg που είναι δεμένη στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους L=1 m και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο κύκλο Ζητούνται: m1 υ1 L m2 α Η απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση β Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα θα κανεί ανακύκλωση και να βρείτε την ταχύτητά του στη θέση Α που η γωνία μεταξύ του νήματος και της κατακόρυφης διεύθυνσης είναι 60 ο γ Το μέτρο και η διεύθυνση της επιτάχυνσης του συστήματος (ξύλινη πλάκα - σφαίρα) όταν περνά από τη θέση Α δ Να δειχθεί ότι η διαφορά τάσεων (Τ 1 - Τ 2 ) του νήματος στο κατώτερο και το ανώτερο σημείο της κυκλικής τροχιάς είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας και του μήκους του νήματος και να υπολογισθεί η τιμή της 195 Kάτω από κούνια παιδικής χαράς, ακριβώς επί της κατακορύφου που περνάει από το σημείο εξάρτησης της στέκεται ξένοιαστο νήπιο Ξαφνικά ένα παιδί ξεκινάει χωρίς αρχική ταχύτητα με την κούνια από ύψος h από την επιφάνεια του εδάφους και κατά τη στιγμή της σύγκρουσής του με το νήπιο το αρπάζει και συνεχίζει την πορεία του Να υπολογιστεί το ύψος στο οποίο θα ανέβει η κούνια μετά τη σύγκρουση Δίνονται: μάζα νηπίου m=10 kg, μάζα παιδιού Μ=40 kg, h=2,5 m, g=10 m/s 2 Η κούνια θεωρείται χωρίς μάζα και η εξάρτησή της χωρίς τριβή Οι διαστάσεις του νηπίου και του παιδιού δε λαμβάνονται υπόψη Πανελλήνιες εξετάσεις 1974 196 Σφαίρα πυροβόλου όπλου μάζας m = 20 g κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σ ένα ξύλινο κύβο μάζας Μ=1 kg, ο οποίος είναι κρεμασμένος με νήμα μήκους l=1 m από σταθερό σημείο Ο ξύλινος κύβος όταν σφηνωθεί σε αυτόν η σφαίρα, εκτρέπεται και το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία 60 ο Να βρείτε το ποσό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας, που μετατράπηκε σε θερμότητα Δίνεται g=10m/s 2 Πανελλήνιες εξετάσεις 1966 197 Ξύλινος κύβος μάζας Μ=9 kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο Βλήμα μάζας m=1 kg κινούμενο με ταχύτητα μέτρου υ 1 =50 m/s σφηνώνεται ακαριαία στον κύβο Να βρείτε το διάστημα που διανύει το σύστημα κύβος - βλήμα μέχρι να σταματήσει στις εξής περιπτώσεις : α Το βλήμα κινείται οριζόντια β Το βλήμα κινείται κατά διεύθυνση, που σχηματίζει με την οριζόντια γωνία 60 ο Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κύβου - επιπέδου μ=0,5 και η επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2 198 Βλήμα μάζας m=30 10-3 kg κινείται οριζόντια και σφηνώνεται με ταχύτητα μέτρου υ 0 =300 m/s σε ακίνητο κομμάτι ξύλο μάζας m 2 =29,97 kg Η κρούση θεωρείται μετωπική πλαστική Το συσσωμάτωμα ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο και συμπιέζει ιδανικό ελατήριο τοποθετημένο οριζόντια με τον άξονά του στη διεύθυνση της κίνησης του βλήματος και του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχο Να βρείτε: α Την ταχύτητα του συστήματος βλήμα - ξύλο αμέσως μετά την κρούση β Τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου αν η σταθερά του είναι k = 270 Ν/m Πανελλήνιες Εξετάσεις 1983 65

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις 199 Bλήμα μάζας m=0,2 kg κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα μέτρου υ 0 και αφού διαπεράσει ξύλινο κύβο Α μάζας =5 kg, σφηνώνεται στο κέντρο του ξύλινου κύβου Β μάζας m 2 = 1,8 kg Τα νήματα έχουν μήκος l=3,6 m και αποκλίνουν από την κατακόρυφη, μετά την κρούση, κατά φ=60 ο Να βρείτε: α Το μέτρο υ 0 της ταχύτητας του βλήματος β Το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του βλήματος που έγινε θερμότητα κατά τη πρώτη κρούση Οι κρούσεις είναι ακαριαίες g=10m/s 2 1100 Σώμα μάζας m=1 kg διαγράφει την τροχιά σχήματος τεταρτοκυκλίου ακτίνας R=5 m ξεκινώντας από την ηρεμία Όταν φθάσει στη βάση του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας Μ = 2 kg το οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου, του οποίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος και έχει σταθερά k=600 Ν/m Η κρούση θεωρείται ακαριαία Αν το σώμα μάζας m, λόγω τριβών κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου χάνει το 19% της αρχικής του ενέργειας, να βρείτε: α τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, β το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του σώματος μάζας m που έγινε θερμότητα κατά τη κρούση γ το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του σώματος μάζας m που έγινε θερμότητα σε όλο το φαινόμενο Ο συντελεστής τριβής μεταξύ του συσσωματώματος και του οριζόντιου δαπέδου είναι μ=0,25 (g=10 m/s 2 ) 1101 Το σώμα μάζας Μ=4,5 kg του σχήματος είναι συνδεδεμένο στην άκρη ιδανικού οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=1800 Ν/m και ηρεμεί Το ελατήριο είναι στο φυσικό του μήκος Βλήμα μάζας m=0,5 kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 =50 m/s σε διεύθυνση που σχηματίζει με την οριζόντια γωνία φ (συνφ=0,8) και σφηνώνεται στο σώμα μάζας Μ Η κρούση θεωρείται πλαστική γίνεται ακριαία και το συσσωμάτωμα δεν αναπηδά Αν το ελατήριο συσπειρώνεται κατά x max =0,2 m να βρείτε την τιμή του συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος μάζας Μ και του οριζόντιου δαπέδου (g = 10 m/s 2 ) 1102 Ο ξύλινος κύβος του σχήματος μάζας Μ=1,98 kg, αφήνεται να ολισθήσει από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 ο Όταν έχει διανύσει διάστημα 2,5 m, σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο του βλήμα μάζας m=20 g, το οποίο κινείται παράλληλα στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου, με ταχύτητα μέτρου υ 1 α Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας υ 1, ώστε το συσσωμάτωμα να φθάσει στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα υ=0 β Πόση είναι η θερμότητα που παράγεται κατά τη κρούση; γ Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας υ1, αν αυτή είναι οριζόντια (g=10 m/s 2 ) 66

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 1103* Ξύλινος κύβος μάζας =4,8 kg ηρεμεί πάνω σε βαγόνι μάζας Μ=15 kg που μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιες ευθύγραμμες σιδηροτροχιές Tο μήκος του βαγονιού είναι d=5,5 m Ένα βλήμα μάζας m=0,2 kg που κινείται ευθύγραμμα σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του κύβου με ταχύτητα υ 0 =100 m/s Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κύβου και του δαπέδου του βαγονιού είναι μ=0,4 Να βρείτε: α Την τελική ταχύτητα του συστήματος βαγόνι - κύβος - βλήμα β Την τελική θέση του κύβου πάνω στο βαγόνι γ Το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του βλήματος που έγινε θερμότητα σε όλο το φαινόμενο (g = 10 m/s 2 ) 1104** Tο βαγόνι μάζας Μ=8 kg κινείται ευθύγραμμα πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ=5 m/s Πάνω στο οριζόντιο λείο δάπεδο του βαγονιού βρίσκεται, σε ηρεμία σχετικά με το βαγόνι, σώμα μάζας m 2 =1 kg το οποίο είναι δεμένο στη μία άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 64 10 3 Ν/m Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος Βλήμα μάζας =1 kg που κινείται στην ίδια κατεύθυνση με το βαγόνι, σφηνώνεται ακαριαία σ αυτό με ταχύτητα μέτρου υ Β =45 m/s Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος ( +m 2 ) αμέσως μετά την πλαστική κρούση και τη μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου 1105* Δύο σφαίρες Σ 1, Σ 2, με μάζες αντίστοιχα m/2 και m είναι δεμένες, στα άκρα ιδανικού ελατηρίου Το σύστημα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο Σφαίρα Σ 3 μάζας m/2 κινείται οριζόντια και συγκρούεται ακαριαία μετωπικά και πλαστικά με τη σφαίρα Σ 1 Να βρείτε: α Το ποσοστό επί τοις % της απώλειας της κινητικής ενέργειας του βλήματος κατά την κρούση β Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου Γνωστά: m=1 kg, υ 0 =40 m/s, k=1250 N/m 1106** Ξύλινος κύβος μάζας Μ=2 kg και ακμής d = 0,1 m ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα Ένα βλήμα μάζας m=0,2 kg το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 100 m/s, διαπερνά τον κύβο Το βλήμα μετά την έξοδό του από τον κύβο έχει ταχύτητα μέτρου υ=25 m/s Αν η δύναμη μεταξύ βλήματος - κύβου θεωρείται σταθερή, να βρείτε: α Η ταχύτητα του κύβου μετά την κρούση β Το διάστημα που διανύει ο κύβος μέχρι να βγει η σφαίρα απ αυτόν γ Ο χρόνος κίνησης του βλήματος μέσα στον κύβο δ Η απώλεια μηχανικής ενέργειας 1107 Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η κρούση δύο σωμάτων m και Μ=4m Nα βρείτε: 67

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Το μέτρο της υ 2, το είδος της κρούσης και τη θερμότητα που ελευθερώνεται κατά τη κρούση Κρούσεις β Ποια είναι η ελάχιστη κινητική ενέργεια Κ που πρέπει να έχει το βλήμα, ώστε να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ); γ Για ποια τιμή του λόγου m/m το βλήμα με κινητική ενέργεια Κ = 100 J σφηνώνεται ολόκληρο στο (Σ); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Πανελλήνιες εξετάσεις 2005) Γνωστά: m=1 kg, υ 1 =8 V 2 =1m/s 3 m/s, V 1 =8m/s, 1108 Δυο σφαίρες Α και Β που έχουν την ίδια μάζα m=2kg, κινούνται σε λείο οριζόντιοι επίπεδο με ταχύτητες που είναι κάθετες μεταξύ τους και έχουν μέτρο υ1=10m/s και υ 2 =10 3 m/s, αντίστοιχα Οι σφαίρες συγκρούονται πλαστικά Να βρείτε: α Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος β Τη διεύθυνση της ταχύτητας του συσσωματώματος γ Την απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος 1109 Έστω σώμα (Σ) μάζας Μ = 1 kg και κωνικό βλήμα (β) μάζας m= 0,2 kg Για να σφηνώσουμε με τα χέρια μας ολόκληρο το βλήμα στο σταθερό σώμα (Σ), όπως φαίνεται στο σχήμα, πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια 100 J m Έστω τώρα ότι το σώμα (Σ) που είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, πυροβολείται με το βλήμα (β) Το βλήμα αυτό κινούμενο οριζόντια με κινητική ενέργεια Κ προσκρούει στο σώμα (Σ) και ακολουθεί πλαστική κρούση α Για Κ = 100 J θα μπορούσε το βλήμα να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας M 1110 Σώμα Σ 1 με μάζα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας προς άλλο σώμα Σ 2 με μάζα m 2 = 2, το οποίο αρχικά είναι ακίνητο Έστω υ 0 η ταχύτητα που έχει το σώμα Σ 1 τη στιγμή t 0 = 0 και ενώ βρίσκεται σε απόσταση d = 1 m από το σώμα Σ 2 Αρχικά, θεωρούμε ότι το σώμα Σ 2 είναι ακίνητο πάνω στο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με αμελητέα μάζα και σταθερά ελατηρίου k, και το οποίο έχει το φυσικό του μήκος 0 Το δεύτερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα: m1 m2 υ 0 d k 0 Αμέσως μετά τη κρούση, που είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ 1 αποκτά ταχύτητα με μέτρο υ 1 = 10 m/s και φορά αντίθετη της αρχικής ταχύτητας Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δύο σωμάτων με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ = 0,5 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s 2 Γ1 Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα υ 0 του σώματος Σ 1 Γ2 Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το σώμα Σ 1 στο σώμα Σ 2 κατά την κρούση Γ3 Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος Σ 1 από την αρχική χρονική στιγμή t0 μέχρι να ακινητοποιηθεί τελικά Δίνεται: 10 = 3,2 Γ4 Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, αν δίνεται ότι m 2 = 1kg και k = 105 N/m 68

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και ότι τα δύο σώματα συγκρούονται μόνο μία φορά (Πανελλήνιες εξετάσεις 2013) Ταλάντωση και κρούση τοίχωμα Μετά την κρούση, το σώμα Α κινείται προς αντίθετη κατεύθυνση από την αρχική με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 3 m/s Η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου είναι x max =0,2 m Να υπολογίσετε: 1111 Ο ξύλινος κύβος μάζας Μ= 2kg του σχήματος ισορροπεί συνδεδεμένος στο ένα άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400n/m Το βλήμα μάζας m=1kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ και σφηνώνεται στον κύβο ακαριαία Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας υ του βλήματος, ώστε το σύστημα βλήμα - κύβος να ανυψωθεί: α μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος β μέχρι το ελατήριο να συσπειρωθεί πάνω από το φυσικό του μήκος, κατά το μισό της αρχικής του επιμήκυνσης (g=10 m/s 2 ) 1112 Κατακόρυφο ελατήριο αμελητέας μάζας και σταθερής Κ=7,2 N/m έχει στο άνω άκρο οριζόντιο δίσκο μάζας Μ=90 g ενώ το κάτω άκρο του είναι στερεωμένο Σφαίρα μάζας m=10 g αφήνεται να πέσει πάνω στο δίσκο από ύψος h=1 m Αν η κρούση είναι τελείως ελαστική και η σφαίρα μετά την αναπήδηση απομακρύνεται, να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του δίσκου (g=10m/s 2 ) 1113 Σώμα Α μάζας =1 kg κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 =5 m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλο ακίνητο σώμα Β μάζας m 2 Το σώμα Β ακουμπά σε ελατήριο που είναι στερεωμένο ακλόνητα σε κατακόρυφο k m 2 υ 1 α Την τιμή της μάζας m 2 του σώματος Β β Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Β, αμέσως μετά την κρούση γ Τη σταθερά k ελατηρίου δ Το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Α που αποθηκεύτηκε σαν δυναμική ενέργεια στο ελατήριο κατά τη μέγιστη συσπείρωσή του 1114 Δίσκος μάζας Μ=2kg ισορροπεί συνδεδεμένος στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο Από ύψος h=1,8 m πάνω από το δίσκο, αφήνεται να πέσει ελεύθερα σώμα μάζας m=1kgνα βρείτε το πλάτος ταλάντωσης και τη μέγιστη παραμόρφωση του ελατηρίου, αν η κρούση είναι: α μετωπική και ελαστική, β μετωπική και πλαστική Η κρούση γίνεται ακαριαία g=10m/s 2 1115 Στο σχήμα το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος Συμπιέζουμε το ελατήριο, σπρώχνοντας τη σφαίρα Σ 1 που έχει μάζα ίση με, οπότε το ελατήριο συσπειρώνονται κατά L 1 και ύστερα αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο Η σφαίρα Σ 1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με την ακίνητη αρχικά σφαίρα Σ 2 μάζας m 2 και μετά την κρούση προκαλεί νέα συσπείρωση στο ελατήριο κατά L 2 = L 1 /2 k m1 m2 L 1 ΘΦΜ 69

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κρούσεις Nα βρείτε το λόγο των μαζών /m 2 (Η σφαίρα Σ 1 δεν είναι στερεωμένη στο ελατήριο) 1116 Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλήσης φ=30 ο στερεώνεται με τη βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m 2 =4,5 kg Το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου εκτοξεύεται προς τα πάνω σώμα μάζας =0,5kg, με αρχική ταχύτητα υ 0 =6 m/s, που έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου Τα δυο σώματα συγκρούονται ακαριαία κεντρικά και ελαστικά υ 0 s φ m 2 Μετά την κρούση η ταχύτητα του σώματος m 2 μηδενίζεται στιγμιαία τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος Δεδομένου ότι η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=1,1 m, να βρείτε: α Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, τη στιγμή που συγκρούεται με το σώμα m 2 β Τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση γ Τη σταθερά ελατηρίου Δίνεται g=10m/s 2 1117 Ένα σώμα μάζας m 2 = 2 kg είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου με k = 100 N/m Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι στερεωμένη στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ=30 ο, ώστε το ελατήριο να βρίσκεται πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου που απέχει s=17,5 m από το σώμα m 2 βάλλεται παράλληλα προς το επίπεδο άλλο σώμα μάζας =1 kg με ταχύτητα υ 0 =20 m/s προς τα πάνω α Αν τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος μάζας m 2 και την ταχύτητα που το σώμα μάζας θα επιστρέψει στην αρχική του θέση k β Αν τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά να βρεθεί το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης τους Δίνεται g=10m/s 2 1118 Ένα σώμα μάζας m 2 =2 kg είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου με k = 100 N/m Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι στερεωμένη στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ=30 ο, έτσι ώστε το ελατήριο να βρίσκεται πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο Το σώμα μάζας m 2 εκτελεί αατ με πλάτος Α 2 =10 cm Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου βάλλεται παράλληλα προς το επίπεδο άλλο σώμα μάζας =2 kg με ταχύτητα υ 0 = 6 m/s προς τα πάνω Αν τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά όταν το σώμα m 2 κινείται προς τα κάτω και βρίσκεται σε απόσταση Α 2 από τη θέση ισορροπίας του και κάτω από αυτή, να βρεθούν το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσής τους Η απόσταση που διάνυσε το σώμα μάζας για να συναντήσει το σώμα μάζας m 2 ισούται με d=2 m Δίνεται g=10 m/s 2 1119 Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h=1,8m και γωνίας κλίσης φ=30 ο αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας =1 kg Στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου το σώμα συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο και κινείται μέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m 2 =4 kg Το συσσωμάτωμα κινούμενο συναντά και συσπειρώνει ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 500 Ν/m, το οποίο έχει μόνιμα στερεωμένο το ένα άκρο του Η ευθεία κίνησης του συσσωματώματος ταυτίζεται με τον άξονα του ελατηρίου Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης στο κεκλιμένο επίπεδο είναι μ = 3 / 4, να βρείτε: α Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου β Το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του σώματος μάζας κατά την ολίσθησή του στο πλάγιο επίπεδο γ Τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου Δίνεται g=10 m/s 2 70

Κρούσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 1120 Σώμα μάζας Μ=10 kg έχει συνδεθεί στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=10ν/m Ένα βλήμα μάζας m=10 g βάλλεται κατακόρυφα από κάτω και σφηνώνεται στο σώμα με ταχύτητα μέτρου υ Αν το πλάτος της ταλάντωσης που κάνει το σύστημα "σώμα - βλήμα" είναι Α=10 cm, να βρείτε την ταχύτητα υ Δίνεται g=10m/s 2 1121 Σώμα μάζας M=1,7 kg έχει συνδεθεί στην ελεύθερη άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθερής k=200 Ν/m Ένα βλήμα μάζας m=0,2 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του ελατηρίου συγκρούεται με το σώμα και σφηνώνεται σε αυτό Αν μετά την κρούση του βλήματος το ελατήριο συμπιέζεται κατά d=8 cm, να βρείτε την ταχύτητα του βλήματος Τριβές δεν υπάρχουν 1122 Ένα σώμα κάνει αατ πλάτους Α = 0,2 m και περιόδου Τ=π/5 s πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στην άκρη ελατηρίου Σε απόσταση A/2 από η θέση ισορροπίας συναντάει άλλο ακίνητο σώμα με το οποίο συγκρούεται πλαστικά Να βρείτε τη νέα περίοδο Τ και το νέο πλάτος Α της ταλάντωσης Τα δυο σώματα έχουν ίσες μάζες 1123Σώμα μάζας =2 kg αφήνεται από ύψος h=0,6 m και συγκρούεται πλαστικά με σώμα μάζας m 2 =2 kg που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθερής k=100 Ν/m Αν η διάρκεια της κρούσης είναι ασήμαντη: α Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σύστημα των σωμάτων και τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου β Να βρείτε το έργο του βάρους και της δύναμης του ελατηρίου για το χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης μέχρι να μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα γ Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος των μαζών, μετά από χρονικό διάστημα ίσο με Δt=π/30 s, από τη στιγμή της κρούσης; Θωρήστε θετική φορά προς τα πάνω και g=10m/s 2 1124 Λεπτή σανίδα με μάζα M=8 kg στηρίζεται στα άκρα της σε δύο όμοια ελατήρια σταθεράς k=100ν/m το καθένα και βρίσκεται σε οριζόντια θέση Βλήμα με μάζα m=0,1 kg κινείται κατακόρυφα και συναντά το μέσο της δοκού με ταχύτητα υ 1 =120 m/s Αν το βλήμα βγει από τη σανίδα με υ 2 =80 m/s να βρείτε την περίοδο Τ και το πλάτος της ταλάντωσης που θα κάνει η σανίδα 1125* Στην άκρη νήματος μήκους L=1m δένεται σώμα μάζας M = 990 g, ενώ η άλλη άκρη του δένεται σε σημείο Ο Το σώμα συνδέεται επίσης με την άκρη ελατηρίου σταθεράς k = 90 N/m, του οποίου η άλλη άκρη στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο k Μ m ΘΦΜ Στη θέση ισορροπίας το νήμα είναι κατακόρυφο και το ελατήριο στο φυσικό του μήκος Βλήμα μάζας m=10 g που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ 0 =20 m/s σφηνώνεται στο σώμα μάζας Μ, οπότε εκτελεί ταλαντώσεις πολύ μικρού πλάτους (Α<<L) Να βρείτε: α Τη σταθερά επαναφοράς του συστήματος και την περίοδο των ταλαντώσεων β Την ταχύτητα του συσσωματώματος, όταν αυτό θα απέχει κατά x=0,01 m από τη θέση ισορροπίας Δίνεται g =10 m/s 2 1126 Από την κορυφή λείου πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης φ (ημφ=3/5) είναι εξαρτημένο σώμα μάζας = 1 kg μέσω ελατηρίου σταθεράς k = 16 N/m και ισορροπεί α Αν το σώμα εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας κατά Α = 0,4 m, να δειχθεί ότι θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί η περίοδός του β Τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνσή του και προς το κάτω μέρος του πλαγίου επιπέδου, αφήνεται ελεύθερο από ύψος h πάνω από τη θέση ισορροπίας σώμα ίσης μάζας Αν L υ0 71