Εστερική- Εξτερική ακτίνα κυκλικής τροχιάς. Τα σώματα του σχήματος και m έχουν μάζα =m =m. Το σώμα βρίσκεται πάν σε ένα οριζόντιο κυκλικό τραπέζι το οποίο μπορεί να περιστρέφεται με τη βοήθεια ενός μηχανισμού. Οι δύο οριζόντιες πλευρές του έχουν την ιδιαιτερότητα η μια να είναι λεία και η άλλη τραχιά. Τοποθετούμε τη λεία επιφάνεια πάν στο τραπέζι και βάζουμε το μηχανισμό περιστροφής του τραπεζιού σε λειτουργία, έτσι ώστε αυτό να στρέφεται με γνιακή ταχύτητα =5rad/sec. Παράλληλα με την έναρξη περιστροφής του τραπεζιού, δίνουμε και κατάλληλη ώθηση στο σώμα ώστε να αρχίσει και αυτό να περιστρέφεται με την ίδια γνιακή ταχύτητα. Το σώμα m είναι δεμένο με το με ένα σχοινί το οποίο περνάει από μια μικρή οπή στο κέντρο του τραπεζιού, όπς φαίνεται στο σχήμα. Α) Να βρεθεί η ακτίνα περιστροφής της κυκλικής κίνησης του σώματος πάν στο τραπέζι. Β) Σταματάμε τη κίνηση του τραπεζιού τοποθετούμε το σώμα με την τραχιά του επιφάνεια πάν στο τραπέζι και θέτουμε ξανά το μηχανισμό σε λειτουργιά έτσι ώστε το τραπέζι να στρέφεται και πάλι με γνιακή ταχύτητα =rad/s. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του σώματος και του δαπέδου είναι μ s =0,5. Να βρεθεί: i) η μέγιστη (εξτερική) ii) και η ελάχιστη ακτίνα (εστερική) της κυκλικής τροχιάς που μπορεί να διαγράψει το σώμα μάζας πάν στο τραπέζι, χρίς να ολισθαίνει πάν σε αυτό. Γ) Αν =m =m=0,1kg και η ενέργεια που προσφέρουμε στο σύστημα για να μεταβεί το σώμα από την εστερική ακτίνα ( min.) στην εξτερική ακτίνα ( max. ) της κυκλικής τροχιάς του είναι 1J, να βρεθεί η θερμότητα που παράχθηκε στο σύστημα κατά την παραπάν διαδικασία. Δίνεται για τις πράξεις ότι g=10m/s. υ γρ. m 1 Κάτοψη
Απάντηση: Α) F Στην περίπτση αυτή το εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας r με την τάση του σχοινιού να εκτελεί χρέη κεντρομόλου δύναμης. Για το σώμα m έχουμε: Για το σώμα έχουμε: ΣF 0 mg (Σχέση 1) mυ mυ υ mg ΣF m r mg m r x r r g 10 r r r 0, 4m 5 Β)Υπάρχουν δύο περιπτώσεις να ολισθήσει το σώμα πάν στο οριζόντιο επίπεδο. Η πρώτη περίπτση είναι, όταν το έχει την τάση να κινηθεί προς το εστερικό της κυκλικής διαδρομής με αποτέλεσμα το m να έχει τη τάση να κινηθεί προς τα κάτ. Η δεύτερη περίπτση όταν το σώμα έχει την τάση να κινηθεί προς τα εξτερικά της κυκλικής διαδρομής με αποτέλεσμα τo m να έχει την τάση να κινηθεί προς τα πάν. m
i) 1 η περίπτση: Όταν το τείνει να κινηθεί προς τα εστερικά, (εστερική ακτίνα- ελάχιστη ακτίνα). F T στ m Στην περίπτση αυτή η στατική τριβή μεταξύ του και του δαπέδου είναι προς τα εξτερικά της κυκλικής τροχιάς. Για το σώμα m έχουμε: Για το σώμα έχουμε: ΣF 0 mg (Σχέση 1) ΣF 0 F m g (Σχέση ) y Η συνισταμένη της Ν και της Τ στ. εκτελεί χρέη κεντρομόλου δύναμης. mυ mυ υ x στ. στ. στ. ΣF T T m T m Η στατική τριβή δεν είναι μια σταθερή δύναμη το μέτρο της κυμαίνεται: ( Σχέση 3) max 0 T T 0 T μf στ. στ. στ. ( Σχέση ) ( Σχέση 1) T μf m μm g m g m μm g στ. ( Σχέση 3 ) 10 0, 5 10 0, m 5 Άρα η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι min =0,m. g μg 3
ii) η περίπτση: Όταν το τείνει να κινηθεί προς τα εξτερικά, (εξτερική ακτίνα- μέγιστη ακτίνα). F T στ Στην περίπτση αυτή η στατική τριβή μεταξύ του και του δαπέδου είναι προς τα εστερικά της κυκλικής τροχιάς. Για το σώμα m έχουμε: m ΣF 0 mg Για το σώμα έχουμε: ΣF 0 F m g (Σχέση 4) y Η συνισταμένη της Ν και της Τ στ. εκτελεί χρέη κεντρομόλου δύναμης. mυ mυ υ x στ. στ. στ. ΣF T T m T m Όπς και στην προηγούμενη περίπτση θα πρέπει να ισχύει ότι T μf. στ. ( Σχέση 5) ( Σχέση 4 ) ( Σχέση 1) T μf m μm g m m g μm g g μg στ. ( Σχέση 5 ) 10 0, 5 10 15 0, 6m 5 5 Άρα η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι mαχ =0,6m. Σχόλια. 1) Παρατηρούμε ότι η ακτίνα της κυκλικής κίνησης όταν δεν υπάρχουν τριβές έχει τιμή (r=0,4m) μεγαλύτερη από τη εστερική ( min =0,m) και μικρότερη από την εξτερική ακτίνα ( max =0,6m) όταν έχουμε τριβές. 4
) Το ίδιο ακριβώς πρόβλημα θα είχαμε αν η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς παραμένει σταθερή και μεταβάλλοντας την τιμή της γνιακής ταχύτητας ζητάγαμε να υπολογιστεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της έτσι ώστε το να μην ολισθήσεις πάν στο τραπέζι. Γ) min max m Δh Εφαρμόζοντας Θ.Μ.Κ.Ε για το σύστημα τν δύο σμάτν έχουμε: W Κ Κ W W W Κ Κ W m gδh W Κ Κ Ολ. Τελ. Αρχ. F W T Τελ. Αρχ. F T Τελ. Αρχ. Δh Δ 0,4 m 1 1 W m gδ W m υ m υ υ Τ ελ. m ax 3 m / s F T Τ ελ Αρχ. υ Τ ελ. m in 1m / s 0,1 3 0,1 1 1 0,1 10 0, 4 W 1 0, 4 W 0, 45 0, 05 W 0, J T T T Άρα η θερμότητα που παράχθηκε είναι Q W 0, J. T 5