Οι αρχικές αριθμητικές ικανότητες των παιδιών όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο.

1 Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ το 2001. Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Χ. Λεμονίδης (2001). Οι αρχικές αριθμητικές ικανότητες των παιδιών όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ. Τεύχος 55 σσ. 5-21. Οι αρχικές αριθμητικές ικανότητες των παιδιών όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο. Χαράλαμπος Λεμονίδης Αναπληρωτής καθηγητής Διδακτικής των Μαθηματικών στο Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας του Α.Π.Θ. Περίληψη Η σημερινή διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών γνώσεων στην Ελλάδα δεν ανταποκρίνεται στον τρόπο σκέψης του παιδιού, στις προϋπάρχουσες και άτυπες γνώσεις του καθώς και στις πραγματικές καθημερινές καταστάσεις που αντιμετωπίζει. Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε δεδομένα από έρευνες του Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας, για να δείξουμε τις αρχικές αριθμητικές ικανότητες των παιδιών όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο. Τα ευρήματα αυτά θέτουν σε αμφισβήτηση τη σημερινή λογική της διδασκαλίας που βασίζεται στη λογική της θεωρίας των συνόλων και δείχνουν το δρόμο για μια εντελώς διαφορετική

2 διδασκαλία που βασίζεται στις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. Ι. Εισαγωγή Τα παιδιά όταν έρχονται στο σχολείο δεν είναι κενά από γνώσεις και ικανότητες προτού εισαχθούν στα διάφορα τυπικά περιεχόμενα των σχολικών μαθηματικών. Αυτή βέβαια είναι μια πολύ παλιά διαπίστωση, για παράδειγμα, ο Froebel, ο Piaget και άλλοι υποστήριζαν τη μάθηση του ατόμου μέσα από την ενεργό δράση. Υπάρχουν αρκετά εμπειρικά δεδομένα για να υποστηριχθεί η άποψη ότι υπάρχει έλλειψη συνέχειας μεταξύ των τυπικών σχολικών μαθηματικών και των γνωστικών δραστηριοτήτων που αυτά συνεπάγονται και της πλούσιας εμπειρικής γνώσης που προκύπτει από την άτυπη λύση προβλημάτων της καθημερινής ζωής. Στον όρο «άτυπα μαθηματικά» αποδίδουμε όχι μόνο τις ικανότητες και τη γνώση που αποκτά το παιδί έξω από το σχολείο, αλλά εμπεριέχει επίσης τις σκέψεις που αναπτύσσει αυτό στο σχολείο χωρίς να διδάσκεται. Έτσι λοιπόν, τα άτυπα μαθηματικά βασίζονται στην κατασκευή με δράση από το υποκείμενο το οποίο ενθαρρύνεται καθώς επίσης πλαισιώνεται από κοινωνικούς και πολιτισμικούς παράγοντες. Είναι σημαντική αυτή η γνώση των παιδιών σε διάφορους μαθηματικούς τομείς, όπως σημαντικές είναι και οι άτυπες στρατηγικές λύσης. Αυτές οι μέθοδοι που αναπτύσσει μόνο του το ίδιο το παιδί μπορεί να βρεθούν σε αντίθεση με αυτές που διδάσκει το σχολείο, ειδικά εάν δεν γίνεται καμία σύνδεση μεταξύ αυτών των δύο. Τα παιδιά συχνά χρησιμοποιούν με μεγάλη επιτυχία αυτές τις άτυπες

3 στρατηγικές λύσης επιπρόσθετα ή ακόμη σε αντικατάσταση των τυπικά διδασκόμενων μεθόδων (Hart 1981, Madell 1985, Olivier, Murray & Human 1990). Σημαντικά ευρήματα σε αυτήν την κατεύθυνση φέρνουν οι έρευνες που πραγματοποιήθηκαν σε παιδιά στη Βραζιλία, πωλητές στους δρόμους που δεν είχαν πάει καθόλου σχολείο. Για παράδειγμα, ένα εννιάχρονο κορίτσι το οποίο κέρδιζε χρήματα πουλώντας φρούτα σε γωνίες δρόμων και καταστημάτων, το πλησίασε ένας πελάτης που ήταν ο ερευνητής. Αυτή έδειξε μια αξιοθαύμαστη ικανότητα να επεξεργάζεται επιδέξια τα ερωτήματα. Για να προσδιορίσει την τιμή των δώδεκα λεμονιών που στοιχίζουν 5 Cruzeiros το ένα, διαχωρίζει δύο λεμόνια κάθε φορά και μετράει δέκα, είκοσι, τριάντα, σαράντα, πενήντα, εξήντα (Nunes, Schliemann & Carraher 1993, p. 24). Είναι πολύτιμη η άτυπη γνώση που διαθέτουν τα παιδιά για αυτό καταρχήν θα πρέπει να προσδιορίζεται και να χρησιμοποιείται ως βάση για τη διδασκαλία και τη μάθηση που πραγματοποιείται στο σχολείο. Η σύνδεση των άτυπων μαθηματικών με τα τυπικά καθιστούν τα σχολικά μαθηματικά πιο ουσιαστικά και οικεία για τους μαθητές. Αυτό τους βοηθάει να έχουν περισσότερη υπευθυνότητα για τη δική τους μάθηση. Για να κινηθούμε όμως προς μια διδασκαλία που λαμβάνει υπόψη της αυτό το στοιχείο είναι προαπαιτούμενο να μάθουμε πολλά πράγματα σχετικά με τον τρόπο που πραγματοποιούν τα παιδιά τα μαθηματικά (Streefland 1991). Οι δάσκαλοι της τάξης και οι μαθητές, στα πλαίσια της σχολικής διδασκαλίας, πραγματοποιούν καθημερινά διάφορες δραστηριότητες. Μπορούν όμως οι δραστηριότητες αυτές να εφαρμοστούν στον έξω κόσμο; Από τη μια πλευρά, οι

4 διάφορες μεταρρυθμίσεις στα σχολικά προγράμματα οδήγησαν στην αλλαγή της σχέσης της σχολικής αριθμητικής με την κανονική καθημερινή ζωή, από την άλλη πλευρά, η κοινωνία η ίδια έχει επίσης αλλάξει και μαζί με αυτήν οι απαιτήσεις για κοινωνικές ικανότητες. Μήπως ο δάσκαλος υποδοχής θα πρέπει να γνωρίζει καλά ότι, η τυπική σχολική αριθμητική δεν συμβάλει στις καθημερινές εξωσχολικές ικανότητες του αριθμού και αντίστροφα; Θα μπορούσε αυτή η άτυπη γνώση που αποκτιέται προτού αρχίσει το σχολείο να χρησιμοποιείται για να υποστηρίζει τη σχολική μάθηση; Σήμερα η λογική της διδασκαλίας των πρώτων αριθμητικών εννοιών στην Ελλάδα, έτσι όπως καταγράφεται στα αναλυτικά προγράμματα και τα βιβλία, δεν έχουν πολύ μεγάλη σχέση με τον τρόπο που σκέφτονται οι μαθητές, τις προϋπάρχουσες γνώσεις τους και τις καθημερινές καταστάσεις που αντιμετωπίζουν (Χ. Λεμονίδης, 1998α). Στην εργασία αυτή θα ερευνήσουμε το χάσμα μεταξύ των άτυπων αριθμητικών γνώσεων του παιδιού και των τυπικών απαιτήσεων των προγραμμάτων της πρώτης τάξης του Δημοτικού σχολείου. Θα βασιστούμε σε ερευνητικά ευρήματα του Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας. Θα πρέπει να σημειώσουμε στο σημείο αυτό ότι στη συνέχεια θα αποκαλούμε άτυπες τις γνώσεις των παιδιών στο νηπιαγωγείο, αν και εκεί υπάρχει κάποια οργανωμένη διδασκαλία τυπικών γνώσεων. Χρησιμοποιούμε αυτόν τον όρο για τις γνώσεις των παιδιών γιατί αυτές ξεπερνούν κατά πολύ τις τυπικά διδασκόμενες έννοιες και η προέλευσή τους δείχνει να είναι έξω από το σχολείο. Οι γνώσεις που παρουσιάζουν οι μαθητές, όπως θα δούμε στη συνέχεια, οι περισσότερες δεν συμπεριλαμβάνονται στη διδασκόμενη ύλη του νηπιαγωγείου.

5 ΙΙ. Οι αρχικές αριθμητικές ικανότητες οι οποίες αναπτύσσονται έξω από το σχολείο Από τις πρώτες εβδομάδες της ζωής τους οι άνθρωποι φαίνεται να έχουν μια θεμελιώδη αίσθηση της ποσότητας. Τα νεογέννητα μπορούν να κάνουν μερικούς "αριθμητικούς διαχωρισμούς, είτε σε μια οπτική παρουσίαση ενός μοντέλου με κουκκίδες είτε σε μια ακουστική παρουσίαση μιας ρυθμικής ακολουθίας. Από 18 μηνών, ωστόσο, τα παιδιά φαίνεται να αναγνωρίζουν τις διατακτικές σχέσεις, δηλαδή, αναγνωρίζουν ότι τρία αντικείμενα είναι περισσότερα από δύο και αντίστροφα. Οι έρευνες των Strauss & Curtis (1981), σε βρέφη, καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι τα παιδιά γεννιούνται διαθέτοντας κάποιους μηχανισμούς και ικανότητες που τους επιτρέπουν να παίρνουν τις αριθμητικές πληροφορίες του περιβάλλοντος. Με το πέρασμα του χρόνου και πριν ακόμη το παιδί πάει στο σχολείο, μαθαίνει τους αριθμούς-λέξεις, αρχίζει να συνδέει τη γλώσσα των αριθμών με την υπάρχουσα σημασία των αριθμών. Η ικανότητα απαγγελίας της ακολουθίας των αριθμών αναπτύσσεται από πολύ νωρίς στα παιδιά (Fuson, K. C., Richards, J. and Briars, D. J., 1982, Fuson, K., & Hall, J.W., 1983, Γαγάτσης, Α., Λεμονίδης, Χ., 1994., κ.ά). Το παιδί αναπτύσσει επίσης μια εκτίμηση του τρόπου με τον οποίο οι αριθμολέξεις μπορεί να χρησιμοποιηθούν για απαρίθμηση και μέτρηση. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, επεκτείνει αυτή τη γνώση από μικρές σε μεγάλες ποσότητες και την εφαρμόζει σε ένα ολοένα αυξανόμενο

6 πεδίο δραστηριοτήτων και κοινωνικών πλαισίων. Η άμεση εκτίμηση μικρών ποσοτήτων (subitizing), είναι επίσης μια διαδικασία που εμφανίζεται από πολύ νωρίς και είναι συμπληρωματική της απαρίθμησης. Με βάση την άμεση εκτίμηση γίνεται για παράδειγμα η απαρίθμηση ανά δύο, τρία κτλ. ή η αναγνώριση ποσοτήτων σε οργανωμένη μορφή όπως η μορφή του ζαριού των δακτύλων κ.ά. (Gelman, R. & Gallistel, C.R., 1978, Gelman, R., & Meck E., 1983, Fuson, K.C., 1988, Fischer, J.P.,1992, Λεμονίδης, Χ., Χατζηλιαμή, Μ., 1999, κ.ά) Το περιβάλλον μέσα στο οποίο ζει ο σύγχρονος άνθρωπος μπορούμε να πούμε ότι είναι ψηφιακό. Έτσι τα παιδιά από πολύ νωρίς αποκτούν σημαντικές ικανότητες σχετικές με την ανάγνωση και τη γραφή των αριθμών. (Meljac, Cl., 1979, Kamii, M., 1982, Hughe Martin, 1996, Λεμονίδης, Χ., Χατζηλιαμή, Μ., 1999, κ.ά). Πολλές έρευνες έδειξαν ότι τα παιδιά πριν από οποιαδήποτε οργανωμένη διδασκαλία, έχουν ήδη αναπτύξει διάφορες δικές τους άτυπες στρατηγικές, με βάση τις οποίες μπορούν να λύνουν απλά προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Οι άτυπες αυτές στρατηγικές αρχικά βασίζονται στην υλική αναπαράσταση των προβλημάτων και στη χρήση υλικών αντικειμένων ή δακτύλων για τον υπολογισμό των προσθέσεων και αφαιρέσεων. (Ginsburg, H. P., 1977, Carpenter, Τ. P., Moser, J. M.,1982, Steffe, L.P., Cobb, P., 1988, Λεμονίδης, Χ., 1998β). Οι έρευνες του Steffe (1988, 1994) έδειξαν ότι αρχικά οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης βασίζονται στο σχήμα των σύνθετων μονάδων, δηλαδή των μονάδων των οποίων η πληθικότητα είναι μεγαλύτερη από ένα. Αρχικά οι μαθητές αριθμούν τα στοιχεία

7 της σύνθετης μονάδας ανά ένα, τα οποία είναι συγκεκριμένα εμπειρικά αντικείμενα. Στη συνέχεια, αριθμούν απευθείας σύνθετες μονάδες τις οποίες τις θεωρούν ως «ένα πράγμα». Αργότερα, τα παιδιά μπορούν να συνεχίσουν την αρίθμηση σύνθετων μονάδων από κάποιο σημείο της ακολουθίας και μετά, ενώ διατηρούν στο μυαλό τους τον αριθμό των επαναλήψεων της σύνθετης μονάδας. Μελέτες πάνω στη διαίρεση έχουν δείξει, ότι παιδιά προσχολικής ηλικίας μπορούν να εκτελούν πλήθος δραστηριοτήτων σχετικών με τη διαίρεση. Ήδη από την ηλικία των 4 ετών τα παιδιά μπορούν να μοιράζουν δίκαια μεταξύ τους αντικείμενα, όπως καραμέλες, μολύβια κ.ά. Ακόμα και όταν το μοίρασμα μιας ποσότητας γίνεται από μια κούκλα τα παιδιά μπορούν εύκολα να κρίνουν, αν οι κανόνες του μοιράσματος τηρούνται ή αν η κούκλα κάνει κάποιο λάθος (Frydman, O., & Bryant, P. 1988). ΙΙΙ. Η σημερινή διδασκαλία Σήμερα το αναλυτικό πρόγραμμα της πρώτης τάξης εισάγει και παρουσιάζει τις αριθμητικές έννοιες με βάση τη θεωρία των συνόλων μέσα στα πλαίσια της στρουκτουραλιστικής προσέγγιση της διδασκαλίας. Η διδασκαλία των αριθμών αρχίζει με τις προαριθμητικές έννοιες (αντιστοιχίσεις, διατάξεις, ταξινομήσεις κτλ.), οι οποίες, σύμφωνα με τη λογική του προγράμματος, προετοιμάζουν λογικά το παιδί για να δεχτεί στη συνέχεια τις αριθμητικές έννοιες. Αυτή η διδασκαλία αναπτύσσεται με βάση την επιστημονική μαθηματική θεώρηση των αριθμητικών εννοιών όπως αυτές αποδίδονται με τη θεωρία των συνόλων. Δεν λαμβάνεται υπόψη ο κόσμος του παιδιού,

8 ο τρόπος σκέψης του και οι προϋπάρχουσες εμπειρίες και γνώσεις του. Η λογική του προγράμματος αυτού θεωρεί ότι το παιδί δεν ξέρει απολύτως τίποτε σχετικά με τους αριθμούς γι αυτό και ξεκινά εντελώς από την αρχή. Στο ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα δεν διαφοροποιείται η διδασκαλία των αριθμών, ως προς το μέγεθός τους, από τις πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Δηλαδή, διδάσκονται οι αριθμοί μέχρι το 20 και παρουσιάζονται οι πράξεις με αριθμούς μέχρι το 20. Όπως θα δούμε στη συνέχεια οι μαθητές γνωρίζουν πολύ περισσότερα για τους αριθμούς από ότι θεωρείται ότι γνωρίζουν μέσα στο αναλυτικό πρόγραμμα. Έτσι λοιπόν μπορεί να διδαχτούν πολύ μεγαλύτεροι αριθμοί και η διδασκαλία των αριθμών να είναι διαφοροποιημένη από αυτήν των πράξεων όσον αφορά το μέγεθος των αριθμών. Η αριθμητική που χρησιμοποιείται στο περιβάλλον έξω από το σχολείο παρουσιάζεται με αντικείμενα τα οποία είναι χειροπιαστά. Επίσης, όπως είδαμε προηγουμένως, οι μαθητές χρησιμοποιούν άτυπες στρατηγικές στη λύση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης που βασίζονται στη χρήση υλικών αντικειμένων και δακτύλων. Αλλά στο νηπιαγωγείο και την πρώτη τάξη δεν δείχνεται και δεν διδάσκεται ειδικά η χρήση των δακτύλων και η αναπαράσταση με υλικά αντικείμενα των δεδομένων του προβλήματος. Μια άλλη ένδειξη της μη εκμετάλλευσης και χρήσης των ικανοτήτων και γνώσεων των μαθητών και του χάσματος σχολικών και μη σχολικών μαθηματικών είναι ότι δεν παρουσιάζονται στους μαθητές προβλήματα προτού διδαχτεί η αντίστοιχη πράξη. Δηλαδή τα προβλήματα που αναφέρονται στις τέσσερις πράξεις παρουσιάζονται κάθε

9 φορά ως εφαρμογή μετά την εισαγωγή της πράξης. Θεωρείται ότι οι μαθητές που δεν γνωρίζουν να εκτελούν τις τυπικές πράξεις δεν έχουν κανένα μέσο να αντιμετωπίσουν προβλήματα που αναφέρονται σε αυτές τις πράξεις. Αυτό βέβαια δεν ισχύει σύμφωνα με τα δεδομένα που παρουσιάσαμε προηγουμένως. Τελικά η αριθμητική έξω από το σχολείο παρουσιάζεται με φυσικά αντικείμενα που σχετίζονται με το πρόβλημα. Αντίθετα, τα σχολικά μαθηματικά αναπαριστώνται με ένα νέο λεξιλόγιο, νέες δραστηριότητες και πράξεις και νέα υλικά και συνήθως γίνεται περιορισμένη διδασκαλία της σχέσης αυτών με την υπάρχουσα γνώση των παιδιών. Τα παιδιά λοιπόν θα πρέπει να είναι ικανά να χειρίζονται καινούργιες καταστάσεις σαν να ήταν ήδη γνωστές. Εάν η νέα γνώση έχει λίγη σχέση με την υπάρχουσα γνώση και ιδέες, θα είναι δύσκολο να δημιουργηθούν νέες σχέσεις και να αποκτηθεί καινούργια γνώση. ΙV. Τι ξέρουν τα παιδιά όταν έρχονται στο σχολείο Για να διερευνήσουμε τις αρχικές γνώσεις των παιδιών που έρχονται στο δημοτικό σχολείο προτού αρχίσει η τυπική διδασκαλία, πραγματοποιήσαμε έρευνες στα πλαίσια του προγράμματος νέα πρόταση διδασκαλίας των μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου του Παιδαγωγικού Τμήματος της Φλώρινας. Οι έρευνες αυτές στις οποίες θα αναφερθούμε εδώ πραγματοποιήθηκαν τόσο σε μαθητές Α τάξης στην αρχή του δημοτικού σχολείου δηλαδή το μήνα Σεπτέμβριο, όσο και σε νήπια στο τέλος του νηπιαγωγείου κατά το μήνα Μάιο. Η εξέταση των παιδιών

10 από τους ερευνητές, πραγματοποιόταν με τη μορφή της ατομικής συνέντευξης του κάθε μαθητή χωριστά. Ο ερευνητής έθετε ερωτήσεις οικείες στο παιδί χρησιμοποιώντας μια γλώσσα κατανοητή από αυτό. Σε αρκετές δραστηριότητες υπήρχαν αντικείμενα από τον κόσμο του παιδιού τα οποία μπορούσε να χρησιμοποιήσει το κάθε παιδί για να απαντήσει. Καταγράφονταν κάθε φορά οι γνώσεις των παιδιών και οι στρατηγικές που χρησιμοποιούσαν στις απαντήσεις τους. Η κύρια έρευνα στην οποία θα αναφερόμαστε εδώ πραγματοποιήθηκε κατά το μήνα Σεπτέμβριο σε 60 μαθητές της πρώτης τάξης του Δημοτικού από δύο σχολεία της πόλης της Φλώρινας 1. Στην αρχή της πρώτης τάξης επίσης πραγματοποιήθηκε έρευνα με 72 μαθητές τριών σχολείων του νομού Καρδίτσας. Τα σχολεία αυτά βρίσκονταν στο κέντρο της πόλης, σε συνοικία της πόλης και στην περιφέρεια του νομού. Παίρνουμε στοιχεία επίσης από δύο έρευνες σε νήπια. Μια πρώτη έρευνα πραγματοποιήθηκε σε 85 νήπια του νομού Φλώρινας στο επίπεδο «μεγάλα νήπια». Μια δεύτερη έρευνα πραγματοποιήθηκε σε 20 παιδιά, 10 προνήπια από την περιοχή της Φλώρινας και 10 νήπια από την Αθήνα. Η εξέταση των παιδιών στις αριθμητικές τους ικανότητες αναφέρονταν σε τρεις περιοχές: 1) Ικανότητες σχετικές με την έννοια του αριθμού, 2) Ικανότητες σχετικές με την εκτέλεση πράξεων, 3) Ικανότητες σχετικές με τη λύση προβλήματος. Ικανότητες σχετικές με την έννοια του αριθμού 1 Τα δεδομένα τα οποία παρουσιάζουμε εδώ αναφέρονται κυρίως στη πρώτη έρευνα. Όταν παρουσιάζουμε στοιχεία από τις άλλες έρευνες αυτό θα σημειώνεται.

11 Προφορική αρίθμηση Για να διερευνήσουμε την ικανότητα των παιδιών στην απαγγελία της ακολουθίας των αριθμών «προφορική αρίθμηση» τους ρωτούσαμε «Μέχρι που ξέρεις να μετράς; Μέτρα όσο ξέρεις.». Τα παιδιά μετρούσαν δύο φορές και από αυτές τις δύο μετρήσεις έβγαινε το συμπέρασμα για το μέχρι ποιον αριθμό ξέρει να μετράει το κάθε παιδί. Η προφορική αρίθμηση των παιδιών φτάνει σε αριθμούς από πέντε μέχρι 200, με μέσο όρο των αριθμών μέχρι τους οποίους γνωρίζουν να μετρούν το 44. Το 95% των παιδιών ξέρει να μετράει προφορικά παραπάνω από το 10. Το 76,5% των μαθητών μετράει από το 20 και πάνω. Το 50% των μαθητών ξέρει να μετράει πάνω από 30 και το 15% των μαθητών μετράει πάνω από 100. Καταμέτρηση αντικειμένων Παρόμοιες επιδόσεις των παιδιών παρουσιάζονται στην καταμέτρηση (απαρίθμηση) αντικειμένων. Οι μαθητές καλούνται να απαριθμήσουν πλαστικά κυβάκια που παρουσιάζονται μπροστά τους. Ο αριθμός από τα κυβάκια είναι ανάλογος με τις δυνατότητες του παιδιού. Κάθε παιδί πραγματοποιεί τουλάχιστον δύο μετρήσεις. Το πλήθος από τα κυβάκια που μπορούν να μετρήσουν οι μαθητές κυμαίνεται από πέντε μέχρι εκατό και ο μέσος όρος είναι 29,7. Ποσοστό 90% των μαθητών ξέρει να μετράει παραπάνω από 10 κυβάκια. Το 56,5% των μαθητών γνωρίζει να μετράει από 20 κυβάκια και πάνω. Το 25% των μαθητών ξέρει να μετράει από 30 και πάνω και το 8,5% των μαθητών μετράει πάνω από 100 κυβάκια. Στους 72 μαθητές του νομού Καρδίτσας ζητήθηκε να αριθμήσουν 5, 12 και 20 κυβάκια σε τυχαία διάταξη. Το

12 96% των μαθητών αυτών πετυχαίνει να μετρήσει σωστά τα πέντε κυβάκια, το 58,5% των μαθητών μετράνε σωστά τα 12 κυβάκια και το 40% τα 20 κυβάκια. Επίδειξη δακτύλων Μια μορφή απαρίθμησης του παιδιού είναι και η ικανότητα μέτρησης των δακτύλων του. Ζητούσαμε λοιπόν στα παιδιά να δείξουν 2, 4, 5, 6, 8 και 10 από τα δάκτυλά τους. Καταγράφονταν ο τρόπος με τον οποίο το παιδί εμφάνιζε τα δάκτυλά του, αν δηλαδή τα έδειχνε αμέσως ή αν τα μετρούσε ένα προς ένα για να βρει το πλήθος τους. Αριθμός δακτύλων Επιτυχία Διαδικασία: Αμέσως Διαδικασία: Μέτρηση 1-1 2 58 (96,5%) 57 (98,5%) 1 (1,5%) 4 57 (95%) 46 (80,5%) 11 (19,5%) 5 58 (96,5%) 52 (89,5%) 6 (10,5%) 6 53 (88,5%) 33 (62,5%) 20 (37,5%) 8 54 (90%) 20 (37%) 34 (63%) 10 56 (93,5%) 46 (82%) 10 (18%) Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας και διαδικασίες στην επίδειξη δακτύλων Σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα1 παρατηρούμε ότι τα παιδιά γνωρίζουν πολύ καλά να δείχνουν αριθμούς μέχρι το 10 με τα δάκτυλά τους. Δεν υπάρχει μεγάλη διαφοροποίηση στην επιτυχία των μαθητών μεταβάλλοντας τον αριθμό των δακτύλων, το χαμηλότερο ποσοστό επιτυχίας παρουσιάζεται στα έξι δάκτυλα 88,5%. Αντίθετα διαφοροποίηση παρουσιάζεται, ανάλογα με τον αριθμό των δακτύλων, στον

13 τρόπο επίδειξή τους. Σχεδόν όλοι οι μαθητές (ποσοστό 98,5%) για να δείξουν δύο δάκτυλα τα βγάζουν αυτόματα και τα δύο μαζί. Η πλειοψηφία των μαθητών (80% με 90%) όταν δείχνουν 5, 10 και 4 δάκτυλα τα δείχνουν αμέσως και μόνο ένα 10% με 20% των μαθητών τα μετράει ένα προς ένα. Για την επίδειξη των έξι δακτύλων τα ποσοστά των διαδικασιών που χρησιμοποιούν οι μαθητές κάπως εξισορροπούνται, περίπου 60% των μαθητών δείχνουν αμέσως τα έξι δάκτυλα, ενώ 40% τα μετρούν ένα προς ένα. Αντίθετα στην επίδειξη οκτώ δακτύλων τα ποσοστά αντιστρέφονται, τώρα μόνο 37% των μαθητών δείχνουν αμέσως τα δάκτυλά τους ενώ το 63% τα μετρούν ένα προς ένα. Διαδοχή αριθμών Μεγάλο ποσοστό παιδιών μπορεί να βρίσκει τους αριθμούς που βρίσκονται πριν και μετά από ένα δεδομένο αριθμό μέχρι το πέντε. Το 86% και 89,5% των παιδιών αντίστοιχα μπορεί να βρίσκει ποιος αριθμός βρίσκεται πριν και μετά το τρία, και 69% και 72,5% αντίστοιχα πριν και μετά το πέντε. Παρόμοια και στην έρευνα των νηπίων παρατηρούμε ότι σχεδόν τα μισά νήπια είναι ικανά να βρίσκουν τους αριθμούς πριν και μετά από το 5 και το 10, ενώ το ένα τρίτο των νηπίων βρίσκουν τους αντίστοιχους αριθμούς για το 19. Δεν παρουσιάζεται διαφορά δυσκολίας μεταξύ του «πριν» και του «μετά» σε όλους τους αριθμούς που προτάθηκαν. Γραφή αριθμών

14 Όταν ζητήσαμε από τα παιδιά, στην αρχή της πρώτης τάξης, να γράψουν τα ψηφία των αριθμών που γνωρίζουν αυτοί έγραψαν κατά μέσο όρο 8,5 ψηφία. Το 6,5% των παιδιών δεν ήξεραν να γράφουν κανένα ψηφίο και 10% των παιδιών έγραψαν δύο ή τρία ψηφία. Το 18,5% των παιδιών έγραψαν από 4 μέχρι και 6 ψηφία και το 35% έγραψαν από 7 μέχρι 10 ψηφία. Το 30% των παιδιών έγραψαν πάνω από 11 ψηφία. Η πλειοψηφία των παιδιών έκανε λάθη κατά την γραφή των ψηφίων ως προς τον προσανατολισμό των ψηφίων (κατοπτρικά λάθη, π.χ. 3 ε). Στην έρευνα στα μεγάλα νήπια ζητήθηκε να γράψουν σε μία λευκή κόλα χαρτί τους αριθμούς: 3, 5, 7, 9, 10 και 16 «π.χ. Γράψε τον αριθμό 3». Τα μισά σχεδόν νήπια ήξεραν να γράφουν τους μονοψήφιους αριθμούς 3 και 5 καθώς και τον διψήφιο αριθμό 10. Λιγότερα νήπια (γύρω στο 40%) γνώριζαν να γράφουν τους αριθμούς 7 και 9 και ακόμη λιγότερα (23,5%) τον διψήφιο αριθμό 16. Το 21% των νηπίων έκαναν λάθος ή δεν απαντούσαν σε καμία από της ερωτήσεις. Ανάγνωση αριθμών Σύμφωνα με τις ικανότητες των παιδιών ο εξεταστής σχημάτιζε αριθμούς με ψηφία από χαρτόνι και ζητούσε από τα παιδιά να αναγνωρίσουν και να διαβάσουν κάθε φορά τους αριθμούς. Οι μαθητές ταξινομήθηκαν στις παρακάτω κατηγορίες: 1. Αναγνωρίζουν κάποιους μονοψήφιους και κάποιους όχι. Δεν αναγνωρίζουν διψήφιους αριθμούς. 2. Αναγνωρίζουν τους μονοψήφιους αλλά δεν αναγνωρίζουν διψήφιους αριθμούς.

15 3. Αναγνωρίζουν διψήφιους μέχρι το 20. 4. Αναγνωρίζουν διψήφιους μεγαλύτερους από το 20. Κατηγορίες μαθητών 1 2 3 4 12 20% 17 28,5% 18 30% 13 21,5% Πίνακας 2: Ποσοστά επιτυχίας στην ανάγνωση των αριθμών Στα δεδομένα του πίνακα 2 παρατηρούμε ότι το 20% των παιδιών μπορούν να διαβάσουν μερικούς μόνο από τους μονοψήφιους αριθμούς και κάποιους δεν μπορούν να τους διαβάσουν, αυτοί οι μαθητές δεν αναγνωρίζουν τους διψήφιους αριθμούς. Το 28,5% των παιδιών διαβάζουν τους μονοψήφιους αριθμούς αλλά δεν μπορούν να διαβάσουν τους διψήφιους. Τους διψήφιους αριθμούς μπορούν να τους διαβάσουν το 51,5% των παιδιών και μάλιστα από αυτούς το 30% διαβάζουν τους διψήφιους μέχρι το 20 και το 21,5% διαβάζουν αριθμούς μεγαλύτερους από το 20. Παρόμοια αποτελέσματα είχαμε στα μεγάλα νήπια όταν ρωτήθηκαν για να αναγνωρίσουν συγκεκριμένους αριθμούς (1 έως 13, 16, 19, 20). Ένα πολύ μεγάλο ποσοστό των νηπίων (πάνω από 86%) αναγνώρισε τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 5. Σχεδόν τα μισά νήπια αναγνώρισε τους διψήφιους αριθμούς 12, 16, 19 και 20. Τη μικρότερη επιτυχία συγκέντρωσε ο αριθμός 12 (ποσοστό 41,1%). Το 27% των νηπίων αναγνωρίζουν σωστά όλους, και τους 16, αριθμούς που τους προτάθηκαν. Θα πρέπει να σημειώσουμε στο σημείο αυτό ότι σήμερα, σύμφωνα με το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα, στην πρώτη τάξη διδάσκονται οι αριθμοί μέχρι το 20. Επίσης η διδασκαλία των αριθμών αρχίζει σχεδόν μετά από δύο με

16 τρεις μήνες από την έναρξη του σχολικού έτους γιατί προηγείται η διδασκαλία των λεγόμενων προαριθμητικών εννοιών. Η φιλοσοφία της σημερινής διδασκαλίας και ο τρόπος διάρθρωσης της ύλης θεωρούν ότι οι μαθητές δεν γνωρίζουν τίποτε σχετικά με τους αριθμούς. Ικανότητες σχετικές με την εκτέλεση πράξεων Πρόσθεση και αφαίρεση Στην αρχή της πρώτης τάξης στους μαθητές της Φλώρινας μη γνωρίζοντας τις πραγματικές ικανότητές τους στο να εκτελούν προσθέσεις και αφαιρέσεις προτείναμε εύκολες πράξεις στην πρώτη πεντάδα, τρεις προσθέσεις (1+1, 2+2 και 3+1) και δύο αφαιρέσεις (3-1 και 2-1). Οι ερωτήσεις ήταν προφορικές και είχαν τη μορφή: «μ και ν πόσο κάνουν;», «από το μ αν βγάλουμε το ν πόσο μας μένει;». Δεν χρησιμοποιούσαμε τις λέξεις «συν» και «μείον» και δεν δείχναμε γραπτά σύμβολα. Τα παιδιά είχαν μπροστά τους κυβάκια τα οποία μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν στους υπολογισμούς των πράξεων. Η επιτυχία των μαθητών στις παραπάνω πράξεις ήταν πολύ μεγάλη, πάνω από 90%. Στους μαθητές της Καρδίτσας στην αρχή της πρώτης τάξεις προτάθηκαν πράξεις και με μεγαλύτερους αριθμούς. Εδώ ο διδάσκων της τάξης εκφωνούσε τις πράξεις σε κάθε ένα παιδί ατομικά, μερικά παιδιά τα παρότρυναν να σκεφτούν και να χρησιμοποιήσουν τα δάκτυλά τους για να βρουν τις λύσεις. Σε αυτήν την δοκιμασία τα παιδιά δεν είχαν αντικείμενα μπροστά τους. Οι πράξεις που προτάθηκαν στους μαθητές και τα αντίστοιχα ποσοστά επιτυχίας ήταν τα

17 εξής: 2+2 (89%), 2+1 (90,5%), 3+2 (64%), 3+3 (46%), 4+4 (34,5%), 4-2 (44,5%), 5-3 (32%) και 6-4 (23,5%). Παρόμοια αποτελέσματα βρίσκουμε και στο τέλος του νηπιαγωγείου. Εδώ τα παιδιά έχουν στη διάθεσή τους αντικείμενα για να υπολογίσουν. Τα μισά νήπια υπολογίζουν σωστά το άθροισμα 2+1, ενώ τα διπλά αθροίσματα 2+2, 3+3, 5+5, αλλά και το άθροισμα 3+2 το υπολογίζουν σωστά περίπου το 40% των νηπίων. Όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί τόσο οι προσθέσεις γίνονται δυσκολότερες για τα παιδιά, έτσι στις πράξεις 4+5 και 6+5 τα ποσοστά επιτυχίας πέφτουν στο 17,5% και 14% αντίστοιχα. Όσον αφορά την αφαίρεση, η μεγαλύτερη επιτυχία σημειώθηκε στην πράξη 5-3 (με ποσοστό 41,1%), ενώ στις αφαιρέσεις 2-2, 4-2 και 8-4 έχουμε επιτυχία γύρω στο 30% και τέλος στην πράξη 9-4 συναντάμε τις λιγότερες σωστές απαντήσεις (ποσοστό 23,5%). Διαδικασίες στην πρόσθεση και αφαίρεση Όσον αφορά τις διαδικασίες που χρησιμοποιούν τα νήπια για να εκτελέσουν τις πράξεις, μπορούμε να παρατηρήσουμε καταρχάς ότι τα νήπια δεν χρησιμοποιούν σε μεγάλο ποσοστό τα αντικείμενα (κυβάκια) ή τα δάχτυλά τους για να βρουν αθροίσματα ή διαφορές. Σύμφωνα με το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα δεν προβλέπεται η διδασκαλία των πράξεων με αριθμούς. Μπορούμε να πούμε λοιπόν ότι τα νήπια δεν χρησιμοποιούν αυθόρμητα τις διαδικασίες με υλικά και χρειάζεται παρέμβαση της διδασκαλίας. Η διαδικασία που χρησιμοποιείται περισσότερο από τα νήπια στις προσθέσεις και αφαιρέσεις και ειδικά όταν υπάρχουν μικροί αριθμοί ή διπλά αθροίσματα είναι η διαδικασία της

18 άμεσης ανάκλησης. Δηλαδή, ξέρουν απέξω το αποτέλεσμα της πράξης και το λένε αυτόματα. Όμως, υπάρχει γενικά η τάση στα νήπια που εξετάσαμε, συμπεριλαμβανομένων και αυτών που απαντούν με λάθος αποτέλεσμα, να δίνουν αμέσως ως απάντηση έναν αριθμό. Τα νήπια που απαντούν εσφαλμένα έχουν κυρίως τη τάση να δίνουν ως απάντηση έναν τυχαίο ή σχετικό αριθμό. Δηλαδή, δεν πρόκειται ακριβώς για τη διαδικασία ανάκλησης από τη μνήμη μακράς διάρκειας του αποτελέσματος μιας πράξης, αλλά για μια τυχαία απάντηση που δίνεται εκείνη τη στιγμή. Ωστόσο, ένα σημαντικό ποσοστό νηπίων (40% για το 2+2 και 5+5 και 30% για το 3+3) γνωρίζει απέξω τα διπλά αθροίσματα. Διαπιστώνουμε επίσης, πράγμα που ήταν αναμενόμενο, ότι τα νήπια δεν χρησιμοποιούν τη διαδικασία της ανάκλησης πράξης. Δηλαδή, δεν είναι ακόμη σε θέση να πραγματοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς συνδυάζοντας και ανακαλώντας από τη μνήμη τους κάποιες γνωστές πράξεις. Ικανότητες σχετικές με τη λύση προβλήματος Προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης Προτείναμε στην αρχή της πρώτης τάξης και στο τέλος του νηπιαγωγείου προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης με εύκολη σημασιολογική δομή. Για παράδειγμα, προβλήματα θετικού ή αρνητικού μετασχηματισμού με άγνωστη την τελική κατάσταση: - Η Μαρία έχει τρία μπαλόνια. Η μητέρα της έδωσε ακόμη δύο. Πόσα μπαλόνια θα έχει η Μαρία όλα μαζί και με αυτά που της έδωσε η μητέρα της;

19 - Η Ελένη έχει πέντε καραμέλες. Χαρίζει στην αδελφή της τρεις καραμέλες. Πόσες καραμέλες θα της μείνουν; Τα προβλήματα αυτού του είδους τα αντιμετωπίζουν με ευκολία οι μαθητές στην αρχή της πρώτης τάξης αλλά και στο νηπιαγωγείο. Στην αρχή της πρώτης τάξης οι μαθητές της Καρδίτσας πέτυχαν στο πρώτο πρόβλημα της πρόσθεσης κατά 72%, ενώ στο δεύτερο πρόβλημα της αφαίρεσης πέτυχαν κατά 46%. Αντιμετώπισαν το πρόβλημα της πρόσθεσης πιο εύκολα από αυτό της αφαίρεσης. Παρόμοιας δομής προβλήματα θέσαμε και στο τέλος του νηπιαγωγείου και μεταβάλαμε το μέγεθος των αριθμών. Θέσαμε ένα πρόβλημα πρόσθεσης που κατάληγε στην πράξη 3+2 και ένα δεύτερο στην πράξη 6+5, επίσης ένα πρόβλημα αφαίρεσης 4-2 και ένα δεύτερο 9-4. Η μεταβολή του μεγέθους των αριθμών δημιούργησε, όπως ήταν αναμενόμενο, διαφορετικά επίπεδα επιτυχίας στα προβλήματα πρόσθεσης (54% επιτυχία στο πρόβλημα 3+2 και 13% επιτυχία στο 6+5). Αντίθετα στα προβλήματα αφαίρεσης δεν παρουσιάζεται διαφορά στην επιτυχία λόγω του μεγέθους των αριθμών. Τα νήπια αντιμετώπισαν μεγαλύτερη δυσκολία σε προβλήματα αφαίρεσης με μικρούς αριθμούς (πρόβλημα 4-2) από ότι σε προβλήματα πρόσθεσης με μικρούς αριθμούς (πρόβλημα 3+2). Υπάρχουν 36 νήπια (42,4%) που δεν είναι ικανά να λύσουν σωστά κανένα πρόβλημα πρόσθεσης και 30 (35,5%) νήπια που δεν λύνουν σωστά κανένα πρόβλημα αφαίρεσης. Καταστάσεις μοιρασιάς και επανάληψης με υλικά

20 Όταν θέτουμε καταστάσεις μοιρασιάς ή επανάληψης με υλικά αντικείμενα ακόμη και μικρότεροι μαθητές ανταποκρίνονται. Πράγματι, προτείναμε τις παρακάτω δραστηριότητες σε 20 παιδιά (10 προνήπια με μέση ηλικία 4,5 έτη και 10 νήπια με μέση ηλικία 5,6 έτη). 1 η Δραστηριότητα: Δώσαμε στα παιδιά 9 μπισκότα, τα οποία έπρεπε να μοιράσουν ίσα σε τρεις κούκλες. Τα παιδιά έπρεπε να ορίσουν, πότε οι δύο κούκλες είχαν ίσα μέρη. Οι κούκλες ήταν πραγματικές, οικείες στα παιδιά αφού υπήρχαν στο χώρο του νηπιαγωγείου. Και τα μπισκότα, επίσης ήταν πραγματικά. Οι κούκλες η μία δίπλα στην άλλη, μπροστά από τα παιδιά και τα μπισκότα επίσης μπροστά από τα παιδιά, σε μια ευθεία κάτω από τις κούκλες, ώστε να μπορούν με ευκολία να κάνουν τους υπολογισμούς και τις αντιστοιχίες. 2 η Δραστηριότητα: Αφαιρέσαμε την τρίτη κούκλα και αυτή τη φορά τα παιδιά έπρεπε να μοιράσουν 12 μπισκότα στις δύο κούκλες. Ζητούνταν ξανά δικαιολόγηση για τα ίσα μέρη από τα παιδιά. Ίσχυαν τα ίδια με την προηγούμενη δραστηριότητα. Οι κούκλες και τα μπισκότα ήταν πραγματικά και βρίσκονταν πάλι σε μια ευθεία μπροστά από τα παιδιά με την ίδια διάταξη. 3 η Δραστηριότητα: Εμφανίσαμε στα παιδιά μια κανάτα γεμάτη νερό και τους είπαμε ότι αυτή γεμίζει δύο ποτήρια νερό. Ζητήσαμε να μας πουν πόσα ποτήρια γεμίζουν οι δύο κανάτες. Την πρώτη δραστηριότητα την πέτυχε η πλειοψηφία των παιδιών (19 παιδιά (95%), 10 νήπια και εννιά προνήπια). Η μέθοδος που εφάρμοσαν τα περισσότερα παιδιά, ήταν μια συστηματική στρατηγική, κατά την οποία τα μπισκότα δίνονταν ένα-ένα κυκλικά στις κούκλες,

21 ωσότου τελειώσουν (11 παιδιά (55%), 2 νήπια και 9 προνήπια). Παρατηρήθηκαν, επίσης, παραλλαγές σ αυτή τη μέθοδο. Έξι παιδιά (όλα νήπια) έδιναν τρία μπισκότα σε κάθε κούκλα και στο τέλος συνειδητοποιούσαν ότι όλες οι κούκλες είχαν ίσο αριθμό. Δεν είμαστε σίγουροι αν αυτή η στρατηγική ακολουθήθηκε συνειδητά ή αν τα παιδιά τυχαία έκαναν τη μοιρασιά. Δύο νήπια έδωσαν στην πρώτη και τη δεύτερη κούκλα από τέσσερα μπισκότα και βλέποντας ότι μένει ένα μπισκότο μόνο για την τελευταία, αφαιρούσαν ένα-ένα μπισκότο από τις άλλες δύο, ώσπου επιτεύχθηκε η ισότητα. Περίπου τα μισά παιδιά, που έδωσαν στις κούκλες ίσα μέρη, δεν έδωσαν καθόλου σημάδια, ότι ήξεραν την ισότητα που επιτεύχθηκε, διότι δε μπορούσαν να δικαιολογήσουν την απάντησή τους. Μια πιθανή εξήγηση για το ότι τα παιδιά δε μπορούσαν να εξηγήσουν γιατί λειτούργησαν κατ αυτό τον τρόπο, είναι ότι οι γλωσσικές τους δεξιότητες δεν ήταν αρκετά ανεπτυγμένες, ώστε να τους επιτρέψουν να εξηγήσουν την κατάσταση. Η δεύτερη δραστηριότητα που περιλάμβανε τη διαίρεση των 12 μπισκότων σε δύο κούκλες εκμαίευε μια μεγαλύτερη ποικιλία απαντήσεων. Πέτυχαν τα 18 παιδιά (90%), 10 νήπια, και 8 προνήπια. Η επικρατέστερη μέθοδος διαίρεσης ήταν μια συστηματική στρατηγική διανομής, είτε αυτή ήταν η διανομή 1-1 (9 παιδιά, 1 νήπιο και 8 προνήπια), είτε 3-3 (5 νήπια). Τα δύο προνήπια που απέτυχαν στη λύση του ζητήματος, ξεκίνησαν με συστηματική διανομή των μπισκότων ανάμεσα στις κούκλες. Το ένα παιδί μπέρδεψε τις στοίβες που έφτιαχνε και έχασε τη σειρά και το άλλο, έπειτα από τη συστηματική διανομή τεσσάρων μπισκότων,

22 διαίρεσε τα υπόλοιπα σε δύο άνισες ομάδες και έδωσε κάθε ομάδα σε μία κούκλα. Στην τρίτη δραστηριότητα, τα εννέα από τα δέκα νήπια απάντησαν αμέσως και απλά το πείραμα έγινε για επαλήθευση της απάντησής τους. Από τα υπόλοιπα παιδιά, τρία παιδιά (ένα νήπιο και δύο προνήπια) απάντησαν αφού πειραματίστηκαν και η απάντησή τους προέκυψε από το αποτέλεσμα του πειράματος, ενώ τα υπόλοιπα οκτώ (όλα προνήπια, συνολικό ποσοστό 40%) δεν απάντησαν. V. Συνέπειες στη διδασκαλία και μάθηση Όπως είδαμε παραπάνω τα παιδιά διαθέτουν μια μεγάλη ποσότητα άτυπων γνώσεων τις οποίες μπορούν να εφαρμόζουν σε καθημερινές καταστάσεις. Αυτές οι γνώσεις και δεξιότητες αποτελούν ένα ουσιαστικό σημείο εκκίνησης για μια διδασκαλία που βασίζεται στις υπάρχουσες γνώσεις του παιδιού. Οι άτυπες γνώσεις του παιδιού θα πρέπει να εναρμονιστούν και να ενταχτούν σε ένα συνεχές δίκτυο γνώσεων και διαδικασιών των σχολικών μαθηματικών τέτοιο ώστε οι σχολικές γνώσεις να μην έχουν τη μορφή απομονωμένων και ασύνδετων τμημάτων πληροφορίας. Σύμφωνα με τα παραπάνω γεννιέται το εξής ερώτημα: Μπορούν να αναπτυχθούν αναλυτικά προγράμματα τα οποία να κινούνται στην κατεύθυνση της μείωσης του χάσματος μεταξύ σχολικών και μη σχολικών μαθηματικών, να οργανώνουν και να αναπτύσσουν τη διδασκαλία λαμβάνοντας υπόψη την άτυπη γνώση του παιδιού; Πράγματι εμείς στο Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας εφαρμόσαμε ένα πρόγραμμα νέας διδασκαλίας

23 των μαθηματικών στις δύο πρώτες τάξεις του Δημοτικού (Α. Καψάλης, Χ. Λεμονίδης 1999, Χ. Λεμονίδης 2001). Στα πλαίσια αυτού του προγράμματος έγιναν έρευνες σε μικρούς μαθητές για να διαγνωστούν οι αρχικές και άτυπες γνώσεις των παιδιών. Στη συνέχεια εφαρμόστηκε μια διδασκαλία της οποίας κάποιες βασικές αρχές ήταν οι εξής: 1) Οι μαθητές κατασκευάζουν από μόνοι τους τη μαθηματική γνώση. Μέσα στην τάξη δημιουργείται ένα περιβάλλον επικοινωνίας και αλληλεπίδρασης. 2) Η διδασκαλία αναπτύσσεται με βάση τις αντιλήψεις και τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. 3) Οι μαθητές βρίσκονται αντιμέτωποι με καταστάσεις προβληματισμού, οι οποίες είναι όσο το δυνατόν κοντύτερα στον κόσμο του παιδιού, το προβληματίζουν και το κάνουν να ανακαλύψει μόνο του τη νέα γνώση. Η νέα αυτή πειραματική διδασκαλία αξιολογήθηκε και συγκρίθηκε με τη σημερινή διδασκαλία. Οι επιδόσεις των μαθητών των πειραματικών τάξεων ήταν ασυγκρίτως καλύτερες από αυτές των σημερινών τάξεων. Η διαφορές στους δύο πληθυσμούς των μαθητών δεν περιορίζονταν μόνο σε επιδόσεις σε συγκεκριμένα θέματα αλλά επεκτείνονταν και σε αλλαγή της γενικότερης συμπεριφοράς σε μαθηματικά θέματα όπως στη λύση προβλήματος, την εκτέλεση νοερών υπολογισμών, κ.ά. Βέβαια η βελτίωση της διδασκαλίας και μάθησης των αριθμητικών εννοιών δεν μπορεί να περιοριστεί μόνο στην ανάλυση των ικανοτήτων των παιδιών, αλλά επεκτείνεται και στον τρόπο διδασκαλίας και τις γνώσεις των ίδιων των εκπαιδευτικών. Για παράδειγμα, οι εκπαιδευτικοί μας σήμερα στην πρώτη τάξη είναι γνώστες των άτυπων

24 γνώσεων που φέρουν οι μαθητές που έρχονται στο σχολείο; Τα αποτελέσματα μιας πρόσφατης έρευνας (Χ. Λεμονίδης, κ.ά, 2001, υπό-δημοσίευση) σε αυτό το θέμα δείχνουν ότι οι εκπαιδευτικοί δεν γνωρίζουν όσο θα έπρεπε τις αριθμητικές ικανότητες των μαθητών που έρχονται στην πρώτη τάξη. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - Carpenter, T.P. - Moser, J.M.,1982, The development of addition and substraction problem-solving skills. In Carpenter, T.P. - Moser, J.M. - Romberg, T.P. (Ed.). Addition and Sustraction. A cognitive perspective. Hillsdale, Erlbaum. - Γαγάτσης, Α., Λεμονίδης, Χ. (1994). Προφορική Αρίθμηση : Μια βασική και χρήσιμη γνώση που η διδασκαλία την αγνοεί. Διάσταση 4, σ.σ. 30-40. - Fischer, J.P. (1992). Apprentissages numeriques. Nancy: Presses Universitaires de Nancy. - Frydman, O., & Bryant, P. (1988). Sharing and the understanding of number equivalence by young children. Cognitive Development, 3, 323-339 - Fuson, K.-C. (1988). Children's counting and concepts of number. New-York: Springer-verlag. - Fuson, K., & Hall, J.W. (1983). The acquisition of early number word meaning: A conceptual analysis and review. In H.P. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking. New-York: Academic Press. - Fuson, K. C, Richards, J. and Briars, D. J. (1982). The acquisition and elaboration of the nomber word sequence. In C. Brainerd (Ed), Progress in cognitive development. (Vol

25 1). Children's logical and mathematical cognition. New- York: Springer-Verlag. - Gelman, R. & Gallistel, C.R. (1978). The child s understanding of number. Cambridge : Harvard University Press. - Gelman, R., & Meck E. (1983). Preschooler's counting: Principles before skill. Cognition, 13, 343-359. - Ginsburg, H. P. (1977). Children s arithmetic: The learning process. New York: D. Van Nostrand. - Hart, K. M.: 1981, Children's Understanding of Mathematics: 11-16, John Murray, London. - Hughe Martin, (1996). Τα παιδιά και η έννοια των αριθμών. Εκδόσεις Gutenberg, Αθήνα. - Kamii, M. (1982). Children's graphic representation of numerical concepts: a development study. Ph.D. Thesis, Harvard University, 1982. - Καψάλης, Α., Λεμονίδης, Χ. (1999). Σύγχρονες τάσεις της διδακτικής των μαθηματικών. ΜΑΚΕΔΝΟΝ, Περιοδική επιστημονική έκδοση της Παιδαγωγικής Σχολής Φλώρινας του Α.Π.Θ. Τεύχος 6, σσ. 95-115. - Λεμονίδης, Χ. (1998α). Διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών, Τεύχος 3. Έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. σσ. 87-122. - Λεμονίδης, Χ. (1998β). Διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Α τάξης του Δημοτικού σε πράξεις και προβλήματα προσθετικού τύπου. Συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πρακτικά 1 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών, Ρέθυμνο, σ.σ. 11-24.

26 - Λεμονίδης, Χ. (2001). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα Μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. THEMES in Education. Έκδοση Leader Books (υπόδημοσίευση). - Λεμονίδης, Χ., Χατζηλιαμή, Μ., (1999). Έρευνα στις γνώσεις των νηπίων σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες. Πρακτικά Πανελλήνιου Συνεδρίου με θέμα: Η έρευνα στην προσχολική εκπαίδευση. Ρέθυμνο, Οκτώβριος 1999. (υπό δημοσίευση). - Λεμονίδης, Χ., Διαμαντής, Α., Τριανταφυλλίδου, Ε., (2001). Πόσο γνωρίζουν οι δάσκαλοι τις αριθμητικές ικανότητες των παιδιών που έρχονται στο σχολείο; ΜΑΚΕΔΝΟΝ, Περιοδική επιστημονική έκδοση της Παιδαγωγικής Σχολής Φλώρινας του Α.Π.Θ (υπό δημοσίευση). - Madell, R.: 1985, 'Children's Natural Processes', Arithmetic Teacher 32,20-22. - Meljac, Cl. (1979). Decrire, agir et compter. Paris: P.U.F. - Nunes, T., Schliemann, A. & Carraher, D.: 1993, Street Mathematics and School Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge-New York-Oakleigh. - Olivier, A., Murray, H. & Human, P.: 1990, 'Building on Young Children's Informal Arithmetical Knowledge', in G. Booker, P. Cobb & T. Mendicuti (eds.). Proceedings of PME-14, Vol. 3, Unversidad, Mexico City, 3-10. - Steffe, L.P., Cobb, P., (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag. - Steffe L.P., (1994). Children s Multiplying Schemes. In G. Harel & J. Confrey (Eds). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics pp. 3-39. State University of New York Press.

27 - Streefland, L.: 1991. Realistic Mathematics Education in Primary School On the Occasion of the Opening of the Freudenthal Institute, Freudenthal Institute, Utrecht. ABSTRACT Today s teaching of early arithmetic knowledge in Greece doesn t correspond with the way that a child thinks, the preexisted and informal knowledge and the real daily situations that a child faces. This article present data of studies which been conducted in the Florina Faculty of Education in order to show the first arithmetic abilities that children have when then come to primary school. These findings call the nowadays logic of group theory in question and indicate the way for a totally different instruction based on the preexisted knowledge of children.