ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της εισαγωγής είναι η παρουσίαση βασικών στοιχείων της θεωρίας μετρήσεων και σφαλμάτων που είναι απαραίτητα α) για την λήψη και παρουσίαση σωστών πειραματικών μετρήσεων και β) για την προσεκτική και ολοκληρωμένη εκμετάλλευση τους με στόχο εξαγωγή χρήσιμων και συνάμα αξιόπιστων συμπερασμάτων για το προς μελέτη φαινόμενο. 1. ΜΕΤΡΗΣΗ, ΑΠΟΛΥΤΟ και ΣΧΕΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ Μέτρηση ορίζεται η σύγκριση της ποσότητας ενός μεγέθους με την ποσότητα που έχει οριστεί ως μονάδα μέτρησης του. Αποτέλεσμα της σύγκρισης είναι η αριθμητική τιμή του μεγέθους στην συγκεκριμένη μονάδα μέτρησης. Όταν η μέτρηση γίνεται με χρήση ενός οργάνου μέτρησης τότε καλείται άμεση μέτρηση. Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να μετρήσουμε με ένα χάρακα το πλάτος του βύσματος USB μιας φορητής κάρτας μνήμης ("φλασάκι"). Το μετρητικό όργανο είναι ο χάρακας. Ο χάρακας μετράει αποστάσεις σε εκατοστά του μέτρου (cm) άρα αυτή είναι η μονάδα μέτρησης με την οποία θα γίνει σύγκριση του πλάτους του USB. Τοποθετώντας σωστά τον χάρακα καταγράφουμε την αριθμητική τιμή της σύγκρισης που είναι 1.2 cm. Χρησιμοποιούμε ένα σύμβολο για αποδώσουμε στο χαρτί, το προς μέτρηση μέγεθος, δηλαδή το πλάτος του USB. Έστω W Γράφουμε ότι το αποτέλεσμα της μέτρησης μας είναι W = 1.2 cm. Ο κατασκευαστής της κάρτας μνήμης αναγράφει στα τεχνικά χαρακτηριστικά της συσκευής ότι το κατασκευαστικό πλάτος του βύσματος είναι 1.17 cm. Αυτή είναι η αληθινή τιμή για το συγκεκριμένο μέγεθος την οποία προσπαθούμε να επιτύχουμε με την άμεση μέτρηση που κάνουμε! Ο λόγος που δεν καταφέρνουμε να πετύχουμε ακριβώς το ίδιο νούμερο είναι η πεπερασμένη ακρίβεια του δικού μας οργάνου μέτρησης. Ο χάρακας μπορεί να μετρήσει αν το πλάτος είναι 1.1 ή 1.2 ή 1.3 cm δηλαδή αν το προς μέτρηση μέγεθος συμπίπτει (ή βρίσκεται όσο το δυνατόν κοντύτερα) με μία από τις υποδιαιρέσεις της κλίμακας του. Το κάνει δείχνοντας στον παρατηρητή την ένδειξη 1.2 cm. Δεν μπορεί όμως να δείξει το 1.17 cm γιατί η τιμή αυτή βρίσκεται εντός της μικρότερης υποδιαίρεσης του που είναι το 0.1 cm. Καθώς δεν υπάρχει μικρότερη υποδιαίρεση από αυτή δεν είναι δυνατόν να γίνει διακριτή από το όργανο η αληθινή τιμή του πλάτους του USB. Η διακριτική ικανότητα του οργάνου επιτρέπει όμως στον παρατηρητή να πει με βεβαιότητα ότι: α) η αληθινή τιμή του πλάτους USB δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 1.1 cm ούτε να είναι μεγαλύτερη από 1.3 cm και β) ότι η τιμή που είναι πιθανότερο να είναι κοντύτερα στην αληθινή τιμή του πλάτους USB είναι η 1.2 cm. -1-
Συμπεραίνουμε ότι βασικό χαρακτηριστικό της "μέτρησης" είναι ότι αποτελεί την πιθανότερη τιμή για ένα μέγεθος άρα εμπεριέχει εγγενώς αβεβαιότητα ως προς την επίτευξη της αληθινής ή πραγματικής τιμής του μεγέθους αυτού. Η αβεβαιότητα αυτή ονομάζεται απόλυτο σφάλμα της μέτρησης. Το απόλυτο σφάλμα συμβολίζεται με το γράμμα "δ" μπροστά από το σύμβολο του μεγέθους. Στην περίπτωση μιας άμεσης μέτρησης το απόλυτο σφάλμα ισούται με την μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας μέτρησης του οργάνου που χρησιμοποιείται. Άρα στο παράδειγμα μας θα γράφαμε το απόλυτο σφάλμα της μέτρησης του πλάτους USB βύσματος ως: δw = 0.1 cm. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε κάποια αναλογικά όργανα, δηλαδή όργανα με ορατή όλη την κλίμακα βαθμονόμησης (όπως είναι και ο χάρακας), είναι δυνατόν η μικρότερη υποδιαίρεση να είναι τόσο μεγάλη ώστε να είναι ορατό από τον παρατηρητή αν το μέγεθος προς μέτρηση βρίσκεται εντός του μισού μιας υποδιαίρεσης. Σε αυτή την ειδική περίπτωση μπορεί ως απόλυτο σφάλμα να ληφθεί το μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης του οργάνου. ΟΜΩΣ για να μην μπαίνει ο φοιτητής στην διαδικασία μιας τέτοιας απόφασης για το σφάλμα, που μπορεί να αποδειχθεί και σοβαρά λανθασμένη (καθώς είναι πολλές φορές θέμα υποκειμενικό), θα ακολουθείται σαν σύμβαση στα πλαίσια του παρόντος εργαστηριακού μαθήματος ότι το απόλυτο σφάλμα άμεσης μέτρησης οργάνου είναι εξ ορισμού ίσο με την μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας του. Μπορούμε σε μία συμβολική σχέση να αποδώσουμε ταυτόχρονα την μέτρηση και το απόλυτο σφάλμα της ως εξής: W = (1.2 ± 0.1) cm (0.1) γράφοντας δηλαδή με αυτόν τον τρόπο ότι αναμένουμε την αληθινή τιμή να είναι εντός των ορίων του διαστήματος: [1.2-0.1 cm.. 1.2 + 0.1 cm] όπως ισχύει ακριβώς στην περίπτωση του παραδείγματος μας. Ο σωστός τρόπος παρουσίασης μιας μέτρησης είναι η παραπάνω συμβολική σχέση. Τις πιο πολλές φορές όμως είτε από παράλειψη είτε χάριν συντομίας απαλείφεται η πληροφορία για το απόλυτο σφάλμα και γράφεται μόνο η τιμή με την μονάδα. Θα δούμε στην συνέχεια ότι το ίδιο το νούμερο της τιμής μιας μέτρησης δίδει μια στοιχειώδη πληροφορία για το απόλυτο σφάλμα της ακόμα και αν η ακριβής τιμή του σφάλματος δεν αναφέρεται ρητά. Προσέξτε τώρα ότι το απόλυτο σφάλμα δίνει ένα μέτρο της αβεβαιότητας με την οποία προσεγγίζει η μέτρηση την αληθινή τιμή αλλά δεν δίνει ένα μέτρο της ακρίβειας με την οποία γίνεται η μέτρηση άρα και της καταλληλότητας του χρησιμοποιούμενου οργάνου για μέτρηση του συγκεκριμένου μεγέθους. Αυτό φαίνεται στο εξής παράδειγμα: ο ίδιος χάρακας που μέτρησε πριν το μέγεθος W (πλάτος USB βύσματος) χρησιμοποιείται τώρα για την μέτρηση του ύψους Η μιας σελίδας Α4. Το ύψος βρίσκεται ίσο Η = (29.7 ± 0.1) cm (0.2) Αφού και οι δύο μετρήσεις γίνονται με το ίδιο όργανο αναγκαστικά οι σχέσεις (0.1) και (0.2) έχουν το ίδιο απόλυτο σφάλμα. Σε ποια περίπτωση όμως θα έλεγε κανείς ότι η μέτρηση είναι πραγματικά ακριβέστερη; Ο μόνος τρόπος είναι η αναλογική αναγωγή των δύο μετρήσεων στην -2-
ίδια ποσότητα του μετρούμενου μεγέθους με επακόλουθη αναλογική αναγωγή και των απολύτων σφαλμάτων τους και τελικά η σύγκριση των ανηγμένων σφαλμάτων. Δηλαδή για την σχέση (0.1), αν την ανάγαμε σε 100 μονάδες του μεγέθους (cm) τι τιμή και τι απόλυτο σφάλμα θα παίρναμε; τιμή 100cm και σφάλμα (100/1.2) 0.1cm = 8cm. Έτσι η συμβολική σχέση της ανηγμένης μέτρησης W θα ήταν (100 ± 8) cm. Αντίστοιχα για τη σχέση (0.2) η ανηγμένη τιμή 100 cm για την μέτρηση Η θα είχε ανηγμένο σφάλμα (100/29.7) 0.1cm = 0.3cm. Έτσι η συμβολική σχέση της ανηγμένης μέτρησης Η θα ήταν (100.0 ± 0.3) cm. Η σύγκριση της σχετικής ακρίβειας μεταξύ των ανηγμένων μεγεθών είναι πλέον δυνατή γιατί γίνεται με βάση την ίδια τιμή (100 cm) και αναδεικνύει ότι η μέτρηση του H είναι σχετικά ακριβέστερη της μέτρησης του W καθώς έχει πολύ μικρότερο ανηγμένο απόλυτο σφάλμα (0.3 cm έναντι 8 cm). Άρα ο χάρακας είναι πολύ καταλληλότερος για μέτρηση του ύψους της σελίδας Α4 από ότι για την μέτρηση του πολύ μικρότερου πλάτους του USB βύσματος, για το οποίο θα έπρεπε ίσως να αναζητηθεί ένα ακριβέστερο όργανο όπως για παράδειγμα ένα παχύμετρο! Γενικά δεν πρέπει ποτέ να μετράμε σε κλίμακα στην οποία η μέτρηση είναι μικρότερη από το 10% της μέγιστης ένδειξης της κλίμακας αλλά θα πρέπει να αναζητούμε είτε ακριβέστερο όργανο ή να αλλάζουμε σε πιο ευαίσθητη κλίμακα αν υπάρχει διαθέσιμη! Με βάση το προηγούμενο παράδειγμα εισάγεται το σχετικό σφάλμα ως μέτρο της ακρίβειας μιας μέτρησης. Ορίζεται σε γενική μορφή ως ο επί της εκατό λόγος του απολύτου σφάλματος της μέτρησης μεγέθους δμ προς την τιμή του μεγέθους Μ: Έτσι το σχετικό σφάλμα για τις μετρήσεις W και Η θα είναι αντίστοιχα ΣW = 8% και ΣH = 0.3%. Παρατηρείστε ότι σαν νούμερα, τα σχετικά σφάλματα ταυτίζονται με τα απόλυτα σφάλματα των μετρήσεων που έχουν αναχθεί στις 100 μονάδες του αντιστοίχου μεγέθους! 2. ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Έστω ότι κάποιος κάνει μια μέτρηση ηλεκτρικής τάσης με ένα βολτόμετρο Α και την παρουσιάζει συμβολικά ίση με (3.6 ± 0.1) Volts και κάποιος άλλος μετρά την ίδια τάση με ένα βολτόμετρο Β και την παρουσιάζει ίση με (3.624 ± 0.002) Volts. Η προφανής διαφορά είναι ότι το όργανο Β προσφέρει μικρότερη αβεβαιότητα στην μέτρηση σε σχέση με το όργανο Α, όπως δείχνει το απόλυτο σφάλμα του. Αν κάποιος παρουσίαζε την μέτρηση Β απλά 3.624 Volts τότε ο αναγνώστης θα κάνει την προφανή σκέψη ότι για να μπορεί το όργανο Β να δείξει 3.624 Volts σημαίνει ότι η μικρότερη υποδιαίρεση του (δηλαδή το απόλυτο σφάλμα του) είναι σίγουρα μικρότερη από 0.01 Volts καθώς σε άλλη περίπτωση ο χρήστης του θα ήταν αδύνατον να διαβάσει τα 0.004 Volts της μέτρησης. Αντίστοιχα αν κάποιος παρουσίαζε την μέτρηση Α απλά 3.6 Volts τότε ο αναγνώστης θα κάνει την προφανή σκέψη ότι για να μπορεί το όργανο Α να δείξει 3.6 Volts σημαίνει ότι η μικρότερη υποδιαίρεση του είναι σίγουρα μικρότερη από 1 Volt καθώς σε άλλη περίπτωση ο χρήστης του θα ήταν αδύνατον να διαβάσει τα 0.6 Volts της μέτρησης. Κατ' αντιστοιχία αν κάποιος παρουσιάσει ένα μήκος 15 cm και κάποιος άλλος το ίδιο μήκος 15.0 cm τότε ο πρώτος έχει -3-
μετρήσει με όργανο υποδιαίρεσης μικρότερης των 10 cm και ο δεύτερος με όργανο υποδιαίρεσης μικρότερης των 1 cm. Επομένως τo.0 της δεύτερης μέτρησης αποτελεί σημαντικό ψηφίο της δεύτερης μέτρησης και δεν πρέπει να απαλειφθεί κατά την παρουσίαση της αλλιώς θα θεωρηθεί από τον αναγνώστη το μεγαλύτερο σφάλμα της πρώτης μέτρησης. Ορίζουμε ως αριθμό σημαντικών ψηφίων μιας μέτρησης για την οποία ΔΕΝ αναφέρεται ρητά το απόλυτο σφάλμα: το πλήθος των ψηφίων της τιμής της μέτρησης ξεκινώντας από το αριστερότερο μη μηδενικό ψηφίο της και μετρώντας όλα τα ψηφία προς τα δεξιά, συμπεριλαμβανομένων των μηδενικών εντός ή στο τέλος της. Έτσι τα 3.6, 3.624, 15 και 15.0 έχουν αντίστοιχα 2, 4, 2 και 3 σημαντικά ψηφία. Όπως δείξαμε ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων μιας μέτρησης δίδει μια στοιχειώδη πληροφορία για το απόλυτο σφάλμα όταν αυτό δεν αναφέρεται ρητά από τον χρήστη του οργάνου. Έστω τώρα ότι οι δύο προηγούμενες μετρήσεις τάσης έπρεπε να μετατραπούν σε mv. H γρήγορη απάντηση θα ήταν ότι του βολτομέτρου Α θα γινόταν 3600 mv και του βολτoμέτρου Β: 3624 mv. Αν έβλεπε ο αναγνώστης το αποτέλεσμα αυτό για τις δύο μετρήσεις θα ανέμενε, με την ίδια λογική, ότι και οι δύο πάρθηκαν με όργανα που είχαν υποδιαίρεση μικρότερη των 10 mv. Άρα η αλλαγή μονάδας της μέτρησης αλλάζει (μικραίνει), ενώ δεν θα έπρεπε, το αναμενόμενο απόλυτο σφάλμα του πρώτου οργάνου που είπαμε ότι είναι μικρότερο από 1 Volt. Επειδή η παρουσίαση της μετατροπής μονάδων με αυτόν τον τρόπο δημιουργεί λανθασμένη εντύπωση για το σφάλμα του οργάνου Α θα πρέπει να την κάνουμε με δύναμη του 10 δηλαδή: 3.6 Volts 3.6 10 3 mvolts Τότε ο αναγνώστης καταλαβαίνει την υποδιαίρεση του οργάνου Α μικρότερη από 1 10 3 mvolts που ισούται με το 1 Volt όπως θα έπρεπε. Ο συλλογισμός αυτός υποδηλώνει επίσης ότι: η δύναμη του 10 που ακολουθεί την μέτρηση ΔΕΝ συμπεριλαμβάνεται στον αριθμό των σημαντικών ψηφίων της ή αλλιώς οποιαδήποτε αλλαγή δύναμης του 10 στην μέτρηση θα πρέπει να αφήνει ανεπηρέαστο τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων της. Επομένως τόσο το 3.6 Volts όσο και το 3.6 10 3 mvolts έχουν το ίδιο αριθμό σημαντικών ψηφίων, δηλαδή δύο στην περίπτωση μας. Όλη η προηγούμενη συζήτηση σχετικά με την προσοχή που θα πρέπει να δίδεται στην διατήρηση των σημαντικών ψηφίων κατά την μετατροπή σε κάποια υποδιαίρεση η πολλαπλάσιο μιας μονάδας δεν χρειάζεται εφόσον είναι γνωστό το σφάλμα της μέτρησης. Πράγματι οι συμβολικές σχέσεις (3.6 ± 0.1) Volts και (3600 ± 100) mvolts αποδίδουν το ίδιο σωστά τόσο την πιθανότερη τιμή του μεγέθους όσο και το αναμενόμενο απόλυτο σφάλμα του. Τα επιπλέον μηδενικά της τιμής της μέτρησης 3600 στην σχέση (3600 ± 100) mvolts δεν είναι πλέον σημαντικά όπως αποδεικνύεται από το απόλυτο σφάλμα της. Από όλη την παρούσα ενότητα θα διαπιστώσατε ότι: MSPAN -4-
το απόλυτο σφάλμα άμεσης μέτρησης γράφεται γενικά με ένα μη μηδενικό ψηφίο και ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων της τιμής μιας μέτρησης είναι πάντοτε ίσος με τον αντίστοιχο αριθμό του απολύτου σφάλματος της στην ίδια μονάδα μέτρησης (ή στο ίδιο πολλαπλάσιο της ή στην ίδια υποδιαίρεση της). Οι διαπιστώσεις αυτές αποτελούν κανόνα γραφής που πρέπει να έχουμε πάντοτε στο μυαλό μας για την αποφυγή λαθών στην παρουσίαση μετρήσεων, όπως για παράδειγμα: (42.37 ± 0.2) 103Ω ή (0.3 ± 0.0052)nF!!! 3. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ - ΑΛΗΘΙΝΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ Ο πραγματικός σκοπός μιας μέτρησης είναι η εύρεση της πιθανότερης τιμής ενός μεγέθους για το οποίο δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή η αληθινή του τιμή. Αν η αληθινή τιμή όμως είναι γνωστή τότε η μέτρηση έχει νόημα είτε για τον έλεγχο της βαθμονόμησης του οργάνου μέτρησης (θα αναφερθούμε στην επόμενη ενότητα στο θέμα αυτό) είτε για την επαλήθευση της αληθινής τιμής. Στην δεύτερη περίπτωση κοιτάμε κατά πόσο επαληθεύεται η αληθινή τιμή υπολογίζοντας την εκατοστιαία διαφορά των δύο τιμών. Για μέγεθος Μ η εκατοστιαία διαφορά συμβολίζεται Μ%. Αν η αληθινή τιμή του μεγέθους είναι Μtrue και η μετρημένη τιμή είναι Μ τότε η σχέση ορισμού της εκατοστιαίας διαφοράς είναι: Έτσι για παράδειγμα στην περίπτωση μέτρησης του πλάτους βύσματος USB της ενότητας 1 όπου η μέτρηση είναι W = (1.2 ± 0.1) cm και η αληθινή τιμή είναι Wtrue = 1.17 cm, η εκατοστιαία διαφορά προκύπτει 2.6%. Προσέξτε ότι πάντοτε κρατάμε την εκατοστιαία διαφορά με το πολύ ένα δεκαδικό ψηφίο. Η ερώτηση που έρχεται αβίαστα είναι: άρα επαληθεύεται η αληθινή τιμή του μετρούμενου μεγέθους ή όχι; Αυτό στην πραγματικότητα εξαρτάται από την γενικότερη ακρίβεια των χρησιμοποιούμενων οργάνων, την ορθότητα και επαναληψιμότητα την πειραματικής διαδικασίας αλλά και από το κατά πόσο υφίστανται επιπλέον σφάλματα στις μετρήσεις μας για τα οποία θα μιλήσουμε στην επόμενη ενότητα. Για τις ανάγκες γενικά των Εργαστηριών Φυσικής του Τμήματος: η αληθινή τιμή θεωρείται ότι επαληθεύεται αν η εκατοστιαία διαφορά της από την μέτρηση είναι μικρότερη ή ίση του 10%. Αν υπολογιστεί μεγαλύτερη του 10 % τότε δεν είναι αποδεκτή και θα πρέπει ο πειραματιστής να αναζητήσει αιτιολογημένα τους λόγους για τους οποίους δεν υπάρχει επαλήθευση. Πριν όμως από αυτή την, επίπονη πολλές φορές, αναζήτηση θα πρέπει ο πειραματιστής να ελέγξει αν η αληθινή τιμή καλύπτεται από την αβεβαιότητα της μέτρησης δηλαδή αν είναι εντός των ορίων που επιβάλει το απόλυτο σφάλμα της. Στην περίπτωση του παραδείγματος με το USB, η αληθινή τιμή 1.17 είναι σαφώς εντός του διαστήματος [1.2-0.1 cm.. 1.2 + 0.1 cm] που επιβάλει το απόλυτο σφάλμα. Αυτός ο έλεγχος ΣΥΝΗΓΟΡΕΙ στην ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ της αληθινή τιμής του μεγέθους -5-
ακόμα και αν η εκατοστιαία διαφορά είναι μεγαλύτερη του 10%. Υπάρχουν δηλαδή περιπτώσεις που το απόλυτο σφάλμα που προκύπτει από την πειραματική διαδικασία είναι αναγκαστικά μεγάλο, δηλαδή δεν μπορούμε να το κάνουμε μικρότερο. Άρα το γεγονός ότι η αληθινή τιμή δεν επαληθεύεται από την εκατοστιαία διαφορά ΟΦΕΙΛΕΤΑΙ σε αυτό το μεγάλο απόλυτο σφάλμα και ο τελευταίος έλεγχος που περιγράψαμε είναι αυτός που θα το αποδεικνύει. Στην περίπτωση που μετράται μέγεθος για το οποίο δεν υπάρχει αληθινή τιμή αλλά διατίθεται μια τιμή από άλλη πειραματική διαδικασία / μέτρηση τότε δεν τίθεται θέμα επαλήθευσης αλλά μπορεί να τεθεί θέμα συμφωνίας των δύο τιμών του ίδιου μεγέθους μεταξύ τους. Ο έλεγχος γίνεται πάλι αρχικά με χρήση της εκατοστιαίας διαφοράς και κατά πόσο πληροί το κριτήριο του 10%max. Καθώς δεν υπάρχει αληθινή τιμή στον παρονομαστή της σχέσης (0.4) τοποθετείται η ακριβέστερη των δύο μετρήσεων δηλαδή αυτή με το μικρότερο απόλυτο σφάλμα. Αν και οι δύο διαθέσιμες μετρήσεις έχουν το ίδιο απόλυτο σφάλμα τότε είναι ισοδύναμες και το σωστό είναι να μπει ο μέσος όρος τους στον παρονομαστή της σχέσης (0.4). Αν δεν υπάρχει συμφωνία μεταξύ δύο μετρημένων τιμών με χρήση εκατοστιαίας διαφοράς τότε ελέγχουμε αν οι δύο τιμές συμφωνούν μεταξύ τους στα όρια των πειραματικών σφαλμάτων τους. Για να υπάρχει ικανοποιητική συμφωνία θα πρέπει τουλάχιστον η ακριβέστερη τιμή να είναι εντός του διαστήματος που επιβάλλει η αβεβαιότητα της λιγότερο ακριβούς τιμής. Για παράδειγμα μετράται το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό σωληνοειδούς ίσο με (10.5 ± 0.5) mt. Χρησιμοποιώντας άμεσες μετρήσεις μήκους, αριθμού σπειρών και ρεύματος του σωληνοειδούς λαμβάνουμε μια επιπλέον πειραματική τιμή για το πεδίο στο εσωτερικό του ίση με (12 ± 2) mt. Ελέγχουμε την εκατοστιαία διαφορά τους χρησιμοποιώντας ως "αληθή" τιμή την πρώτη, που είναι ακριβέστερη και την βγάζουμε 14 %. Άρα δεν υπάρχει συμφωνία βάση εκατοστιαίας διαφοράς. Παρατηρούμε όμως ότι η ακριβέστερη τιμή 10.5 mt είναι μέσα στο διάστημα 10 mt έως 14 mt που ορίζει το απόλυτο σφάλμα της λιγότερο ακριβούς δεύτερης τιμής. Επομένως οι δύο μετρήσεις συμφωνούν μεταξύ τους στα όρια του πειραματικού σφάλματος. Αν και αυτό το κριτήριο συμφωνίας αποτύχει τότε θα πρέπει ο πειραματιστής να αναζητήσει αιτιολογημένα τους λόγους για τους οποίους δεν υπάρχει η αναμενόμενη συμφωνία μεταξύ των δύο τιμών του ίδιου μεγέθους. 4. ΠΗΓΕΣ ΠΟΥ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΥΞΑΝΟΥΝ ΤΟ ΑΠΟΛΥΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΜΙΑΣ ΑΜΕΣΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ. Στην πρώτη ενότητα ορίσαμε το απόλυτο σφάλμα της τιμής μέτρησης ενός μεγέθους από ένα όργανο ισούται με την μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας του οργάνου που χρησιμοποιείται. Υπάρχουν όμως πολλές φορές πηγές σφαλμάτων που μπορεί να αυξάνουν την αβεβαιότητα επίτευξης μετρούμενη τιμής κοντά στην αληθινή τιμή του μεγέθους. Για κάποιες από αυτές μπορούν να γίνουν έλεγχοι για να διαπιστωθεί η ύπαρξη τους και ή δυνατόν να αναιρεθεί η επίδραση τους στην μέτρηση, για άλλες είναι φύσει αδύνατον να γίνει αυτό. Τις κατατάσσουμε σε πηγές συστηματικών σφαλμάτων και πηγές τυχαίων ή στατιστικών σφαλμάτων. Πηγές Συστηματικών Σφαλμάτων MSPAN -6-
Πηγές συστηματικών σφαλμάτων καλούνται εκείνες που απομακρύνουν την μετρούμενη τιμή μεγέθους ενός οργάνου από την αληθινή τιμή συστηματικά προς μια κατεύθυνση. Δηλαδή το όργανο σε τμήμα μιας κλίμακας μέτρησης ή ακόμα και σε όλο το εύρος της δείχνει τιμές συστηματικά μεγαλύτερες των αληθινών ή τιμές συστηματικά μικρότερες των αληθινών. Μια πολύ συνηθισμένη τέτοια πηγή είναι η λεγόμενη μετάθεση μηδενός. Αν κάποιος ζυγίζεται σε αναλογική ζυγαριά μπάνιου θα πρέπει πάντα να βλέπει τι δείχνει η ζυγαριά όταν δεν είναι κανείς επάνω της! Αν για παράδειγμα δείχνει 2 Kg, ενώ φυσικά θα έπρεπε να δείχνει μηδέν, αυτό σημαίνει ότι όποια μέτρηση πάρει αυτή η ζυγαριά θα είναι αυξημένη κατά 2 Kg της πραγματικής. Αυτή είναι μετάθεση μηδενός και διορθώνεται: είτε ρυθμίζεται η ζυγαριά να δείχνει 0 Kg όταν είναι άδεια (με την αντίστοιχη ροδέλα) είτε αφαιρείται από την μετρούμενη τιμή η ένδειξη του οργάνου στο μηδέν του. Αν πχ. ένα αμπερόμετρο όταν είναι ασύνδετο δείχνει - 0.2 ma και χρησιμοποιείται "μετρώντας" ρεύμα σε κύκλωμα ίσο με 3.4 ma τότε η μετρούμενη τιμή θα πρέπει άμεσα να διορθωθεί με την σωστή 3.4mA - (-0.2mA) = 3.6 ma. Ο πειραματιστής θα πρέπει πάντα να παρατηρεί τι δείχνει ένα όργανο για μηδενική τιμή ΣΤΗΝ ΚΛΙΜΑΚΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙ (καθώς κάθε κλίμακα ενός οργάνου μπορεί παρουσιάζει διαφορετική τιμή μετάθεσης) και να δρα ανάλογα. Υπάρχει όμως και περίπτωση να μην μπορέσει να το αντιληφθεί. Αν για παράδειγμα μετράμε με ένα αναλογικό θερμόμετρο τοίχου την θερμοκρασία περιβάλλοντος τότε εξαρτόμαστε απόλυτα από το αν ο κατασκευαστής του έχει τοποθετήσει σωστά την κλίμακα θερμοκρασιών πίσω από την στήλη διαστολής. Αν είναι πιο χαμηλά από το σωστό όλες οι θερμοκρασίες θα βγαίνουν μεγαλύτερες των αληθινών και το αντίστροφο. Αυτή την μετάθεση μηδενός όμως είναι δύσκολο να την εντοπίσουμε άμεσα καθώς κανονικά θα έπρεπε να τοποθετήσουμε το θερμόμετρο εντός τήγματος θρυμματισμένου πάγου που γνωρίζουμε ότι ευρίσκεται σε θερμοκρασία 0 ο C για να γίνει αντιληπτό. Αυτό όμως δεν μπορεί να γίνει στην πράξη. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η μετάθεση μηδενός που διορθώνεται δεν έχει πλέον επίδραση στο απόλυτο σφάλμα του οργάνου που παραμένει η μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας του! Η δεύτερη και σοβαρότερη πηγή συστηματικού σφάλματος είναι η λανθασμένη βαθμονόμηση του οργάνου. Για να γίνει κατανοητή παρατηρήστε την εικόνα 0.1 που δείχνει τη σχέση μεταξύ αληθινής και μετρούμενης τιμής σε όργανο χωρίς λανθασμένη βαθμονόμηση (συμπαγής γραμμή) και σε όργανα με διάφορους τύπους προβληματικής βαθμονόμησης (διακεκομμένες γραμμές). Η λανθασμένη βαθμονόμηση μπορεί να δίδει συστηματικά μεγαλύτερες ή συστηματικά μικρότερες τιμές από τις αληθινές ή και να εναλλάσσεται μεταξύ των δύο καταστάσεων εντός μιας κλίμακας. Όμως δεν μπορεί να αναιρεθεί καθώς οι καμπύλες του διαγράμματος 0.1 δεν είναι εκ των προτέρων γνωστές (αν ήταν θα τις χρησιμοποιούσαμε για αναγωγή της τιμής που κάθε φορά δείχνει το όργανο σε αυτήν που πραγματικά μετράει). Επίσης ο μόνος τρόπος να ανιχνευθεί από τον πειραματιστή είναι με επαλήθευση της αληθινής τιμής γνωστού μεγέθους όπως είχαμε αναφέρει σε προηγούμενη ενότητα. Εφόσον η άμεση μέτρηση και το απόλυτο σφάλμα της με το όργανο δίδουν διάστημα αβεβαιότητας το οποίο ΔΕΝ περιλαμβάνει την αληθινή τιμή τότε θα πρέπει να αποφευχθεί η χρήση του συγκεκριμένου οργάνου καθώς είναι πιθανόν να παρουσιάζει MSPAN -7-
Εικόνα 0.1: Σχέση ένδειξης και πραγματικής μέτρησης για σωστά (συμπαγής γραμμή) και λάθος (διακεκομμένες γραμμές) βαθμονομημένα όργανα. λανθασμένη βαθμονόμηση. Παράδειγμα: γνωστή τάση με αληθινή τιμή 5.0 kv μετράται ίση με (4.8 ± 0.1) kv από όργανο χωρίς μετάθεση μηδενός. Το όργανο αυτό παρουσιάζει σφάλμα βαθμονόμησης. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γενικά για όλα τα ηλεκτρικά όργανα (που τροφοδοτούνται από ρεύμα δικτύου ή μπαταρίες) είναι συνήθης πρακτική να ενεργοποιούνται (power on) από 10 λεπτά έως μισή ώρα πριν την χρήση τους. Αυτό γίνεται γιατί το κύκλωμα τους μπορεί να δώσει σφάλματα βαθμονόμησης αν δεν έχει φτάσει πρώτα σε σωστή θερμοκρασία λειτουργίας. Αυτό από τους κατασκευαστές αναφέρεται ως "startup time for rated accuracy". Πηγές Τυχαίων ή Στατιστικών Σφαλμάτων Το βασικό χαρακτηριστικό του τυχαίου σφάλματος είναι ότι: η επανάληψη της μέτρησης ενός μεγέθους δίδει διαφορετικό αποτέλεσμα για την τιμή του παρά το γεγονός ότι μετράται το ίδιο ακριβώς μέγεθος με το ίδιο ακριβώς όργανο από τον ίδιο ακριβώς παρατηρητή! Υπάρχουν τρεις βασικές πηγές τυχαίων σφαλμάτων: α) η φυσιολογικά περιορισμένη ικανότητα παρατήρησης του αισθητηρίου του πειραματιστή που παίρνει την μέτρηση β) οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τον τρόπο με τον οποίο μετρά ένα όργανο και γ) η ύπαρξη τυχαίων και αναπόφευκτων αλλά μετρήσιμων διακυμάνσεων του ίδιου του μετρούμενου μεγέθους. MSPAN -8-
Συνηθισμένο παράδειγμα της πρώτης πηγής είναι η μέτρηση ενός μήκους με ένα κοινό χάρακα στον οποίον διαβάζουμε τιμή μεταξύ δύο υποδιαιρέσεων του δηλαδή για παράδειγμα ανάμεσα στο 30.5 cm και το 30.6 cm. Επαναλαμβάνοντας τη μέτρηση με τον ίδιο χάρακα την μια φορά θα την διαβάζουμε κοντύτερα στο 30.5 και την άλλη κοντύτερα στο 30.6 καθώς το μάτι αδυνατεί να αποφασίσει με βεβαιότητα τι από τα δύο πραγματικά ισχύει. Αντίστοιχη περίπτωση είναι η περίπτωση μέτρησης μιας περιόδου ταλάντωσης εκκρεμούς με χρονόμετρο. Είναι πρακτικά αδύνατον το ανθρώπινο μάτι να συγχρονίσει το λήξη του χρονομέτρου με το τέλος της ταλάντωσης με αποτέλεσμα κάθε μέτρηση να είναι πάντα διαφορετική από την προηγούμενη. Συνηθισμένο παράδειγμα της δεύτερης πηγής τυχαίου σφάλματος είναι τα όργανα που κάνουν εσωτερικά ενίσχυση της τιμής του μετρούμενου μεγέθους προκειμένου να γίνει δυνατή η μέτρηση του όπως για παράδειγμα κάποια πολύ ευαίσθητα φωτόμετρα. Σε αυτά για να μετρηθούν πολύ χαμηλές εντάσεις φωτός ενισχύεται ηλεκτρονικά το ρεύμα που παράγει ο ανιχνευτής φωτός. Επειδή κάθε στάδιο ενίσχυσης εισάγει αναγκαστικά θόρυβο στο μετρούμενο σήμα, όσο πιο μεγάλη είναι η ενίσχυση τόσο πιο πολύς είναι και ο θόρυβος ή αλλιώς η αστάθεια στην τελική ένδειξη που δίνει το όργανο κατά την μέτρηση του μεγέθους. Η αστάθεια αυτή παράγει διαφορετικές τιμές σε κάθε επανάληψη της ίδιας φωτομέτρησης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της τρίτης πηγής τυχαίου σφάλματος είναι η επαναλαμβανόμενη μέτρηση της θερμοκρασίας ενός αντικειμένου ή του περιβάλλοντος με ένα πολύ ευαίσθητο θερμόμετρο (πχ με ένα θερμόμετρο υπερύθρου IR) ακρίβειας 0.1 ο C. Η τιμή που λαμβάνεται από ένα τέτοιο όργανο θα είναι κάθε στιγμή διαφορετική καθώς το ίδιο το μετρούμενο μέγεθος παρουσιάζει διακυμάνσεις που οφείλονται για παράδειγμα σε διακυμάνσεις τις πυκνότητας και της ροής του περιβάλλοντος αέρα, διακυμάνσεις της έντασης της περιβάλλουσας ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, αδυναμία τοποθέτησης/εστίασης του αισθητήρα κάθε φορά ακριβώς στο ίδιο σημείο του χώρου ή του αντικειμένου κ.ο.κ. Αυτό σημαίνει ότι παράμετροι της μέτρησης που θεωρούνται σταθεροί στην πραγματικότητα δεν είναι, επηρεάζοντας με τυχαίο συνήθως τρόπο, την αληθινή τιμή που προσπαθούμε να μετρήσουμε! Η πρώτη πηγή τυχαίου σφάλματος μπορεί να μην αλλάζει το απόλυτο σφάλμα της μέτρησης όπως γίνεται κατανοητό από το πρώτο παράδειγμα που δόθηκε. Είτε γράψει ο παρατηρητής ως τελικό αποτέλεσμα το (30.5 ± 0.1) cm είτε το (30.6 ± 0.1) cm η αληθινή τιμή κείται σίγουρα εντός του διαστήματος αβεβαιότητας που προβάλει τόσο η μια όσο και η άλλη συμβολική σχέση άρα όποια τιμή επιλεγεί δεν αλλοιώνει το πραγματικό μετρητικό αποτέλεσμα. Όλες οι άλλες περιπτώσεις όμως οδηγούν σε μετρήσεις του ίδιου μεγέθους που διαφέρουν η μια από την άλλη πολύ περισσότερο από την μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου που χρησιμοποιείται. Σε αυτή την περίπτωση ποια θα πρέπει να ληφθεί ως η μετρούμενη τιμή του μεγέθους δηλαδή η κοντύτερη στην αληθινή του τιμή και ποιο ως απόλυτο σφάλμα της μέτρησης; Η σωστή διαδικασία μέτρησης μεγέθους Μ με τυχαίο σφάλμα ξεκινά με την επανάληψη της μετρητικής διαδικασίας πολλές φορές (ή την ανάγνωση του οργάνου που μετρά το μέγεθος πολλές διαδοχικές, ισαπέχουσες χρονικά, στιγμές) και αντίστοιχη καταγραφή πολλών τιμών M i του μεγέθους αυτού. Η διαδικασία ονομάζεται δειγματοληψία καθώς λαμβάνεται ένα μεγάλο δείγμα τιμών που όλες αντιπροσωπεύουν με το ίδιο βάρος την πιθανή τιμή. Έστω λοιπόν ότι λαμβάνονται MSPAN -9-
δειγματοληπτικά συνολικά N τιμές. Όλες θα κείτονται σε διάστημα με εύρος μεταξύ μιας ελάχιστης μετρημένης τιμής Mmin και μιας μέγιστης Mmax. Αν χωρίσουμε το διάστημα αυτό σε ισομεγέθη κομμάτια, δmj, μπορούμε να υπολογίσουμε το πλήθος των τιμών Nj που εμπίπτουν σε κάθε κομμάτι, j, και στη συνέχεια διαιρώντας το Nj με το συνολικό πλήθος N της δειγματοληψίας να καταγράψουμε την πιθανότητα εμφάνισης Pj των τιμών κάθε κομματιού j. Η πειραματική τιμή που είναι λογικότερο να ληφθεί ως η πιθανότερη να αντιπροσωπεύει την αληθινή τιμή του μεγέθους, αναμένεται να βρίσκεται εντός του κομματιού εκείνου με την μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης και αποδεικνύεται ότι δεν είναι άλλη από την μέση τιμή της δειγματοληψίας, : Στην συνέχεια αν παρατηρούσαμε τα κομμάτια δmj γύρω από εκείνο που περιλαμβάνει την μέση τιμή, θα βλέπαμε την Pj να ελαττώνεται συμμετρικά τόσο προς μικρότερες όσο και προς μεγαλύτερες τιμές της. Για πολύ μεγάλο πλήθος δειγματοληψίας αποδεικνύεται ότι μέσα στο - σμ έως + σμ, όπου σμ η λεγόμενη τυπική απόκλιση των μετρήσεων διάστημα τιμών από της δειγματοληψίας, θα ευρίσκονταν περίπου το 70% του πλήθους Ν των μετρημένων τιμών ή αλλιώς ότι η αληθινή τιμή του μετρούμενου μεγέθους έχει πιθανότητα περίπου 70% να ευρίσκεται εντός του συγκεκριμένου διαστήματος! Υπ' αυτήν την έννοια η τυπική απόκλιση σμ αποτελεί ένα μέτρο της αβεβαιότητας μιας μέτρησης με τυχαίο σφάλμα και για αυτό το σμ ορίζεται ως το απόλυτο σφάλμα της μέτρησης. Επομένως όταν για ένα μέγεθος λαμβάνεται δειγματοληψία μετρήσεων τότε ως πιθανότερη τιμή του καταγράφεται η μέση τιμή της δειγματοληψίας και ως απόλυτο σφάλμα της μέτρησης η τυπική απόκλιση της: Όλα όσα περιγράφηκαν και ορίστηκαν στις ενότητες 1, 2 και 3 του παρόντος κεφαλαίου ισχύουν και για μέγεθος με στατιστικό σφάλμα. Η δειγματοληπτική μέτρηση θεωρείται άμεση μέτρηση όπως την εισάγαμε στην αρχή του παρόντος κεφαλαίου και τα αποτελέσματα της (τιμή και σφάλμα) είναι τόσο πιο αξιόπιστα όσο μεγαλύτερο είναι το πλήθος των δειγματοληπτικών τιμών που λαμβάνονται. Στην πράξη και στα πλαίσια όλων των προπτυχιακών εργαστηριακών μαθημάτων, όποτε ζητείται δειγματοληψία, το μέγιστο πλήθος δεν μπορεί να ξεπεράσει τις 20 μετρήσεις (με πιο σύνηθες τις 10 μετρήσεις) με επόμενο το αποτέλεσμα να είναι μεν αποδεκτό αλλά με μέτριο βαθμό εμπιστοσύνης. Στο πνεύμα αυτό θα συνεχίσουμε να διατηρούμε και εδώ τον κανόνα παρουσίασης των μετρήσεων της ενότητας 2 δηλαδή ότι η τυπική απόκλιση, ως απόλυτο σφάλμα, θα παρουσιάζεται τροποποιημένη στο αμέσως μεγαλύτερο νούμερο ώστε να -10-
έχει ένα μη μηδενικό ψηφίο και ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων της μέσης τιμής θα στρογγυλεύεται ίσος με τον αντίστοιχο αριθμό της στρογγυλεμένης τυπικής απόκλισης. Παράδειγμα: Δειγματοληψία θερμοκρασίας δωματίου, Θi (10 μετρήσεις σε oc): 25.13 25.09 25.11 25.22 25.17 25.15 25.15 25.19 25.10 25.13 25.144 oc και Αποτελέσματα δειγματοληψίας: Σωστή παρουσίαση: δ = 0.05 oc και 0.0409 oc 25.14 oc και Θ = (25.14 ± 0.04) oc. ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης δώσει ποτέ αποτέλεσμα μικρότερο του απολύτου σφάλματος του οργάνου που χρησιμοποιείται (δηλαδή της μικρότερης υποδιαίρεσης κλίμακας) τότε αυτομάτως λαμβάνεται ως απόλυτο σφάλμα της μέτρησης της μέσης τιμής η μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου και ΟΧΙ η τυπική απόκλιση της δειγματοληψίας. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ υπάρχει διακύμανση της τιμής του μεγέθους που διαβάζεται από ένα ψηφιακό όργανο εντούτοις δεν ζητείται ή δεν υπάρχει διαθέσιμος χρόνος να πραγματοποιηθεί η διαδικασία της δειγματοληψίας. Τότε η πιο πρακτική διαδικασία μέτρησης είναι η καταγραφή του μεγίστου και του ελαχίστου μεταξύ των τιμών που δείχνει το όργανο για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα παρατήρησης οπότε ως τελική τιμή της μέτρησης λαμβάνεται ο μέσος όρος των ακροτάτων αυτών και ως απόλυτο σφάλμα της μέτρησης το μισό της διαφοράς μεταξύ τους. Εφόσον το ίδιο μέγεθος μετράται ξανά (πχ με αλλαγή κάποιας παραμέτρου του πειράματος) είναι απαραίτητο να μετρηθεί ξανά ακριβώς με τον ίδιο τρόπο για ακριβώς το ίδιο χρονικό διάστημα παρατήρησης. 5. ΕΜΜΕΣΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ - ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ - ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΙΘΑΝΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Έως τώρα αναφερθήκαμε σε άμεσες μετρήσεις, στις οποίες η πιθανότερη τιμή ενός μεγέθους προκύπτει άμεσα από την μέτρηση της τιμής του με ένα όργανο μέτρησης. Μπορεί αυτό όμως να μην είναι πάντοτε δυνατόν. Για παράδειγμα αν θέλουμε να μετρήσουμε την τιμή μιας ηλεκτρικής αντίστασης R και δεν διαθέτουμε το αντίστοιχο όργανο μέτρησης που ονομάζεται ωμόμετρο τότε θα πρέπει να καταφύγουμε στην γνώση ότι η τιμή της αντίστασης δίδεται από τον νόμο του Ohm: R = U / I και αφού μετρήσουμε άμεσα το ρεύμα Ι που την διαρρέει κατά την εφαρμογή άμεσα μετρήσιμης διαφοράς δυναμικού U στα άκρα της, να υπολογίσουμε με χρήση του νόμου την πιθανότερη τιμή της αντίστασης R. Η διαδικασία αυτή καθιστά την μέτρηση της αντίστασης R έμμεση μέτρηση: Ως έμμεση μέτρηση καλείται εκείνη που υπολογίζει την τιμή ενός μεγέθους από μια ή περισσότερες άμεσες μετρήσεις άλλων μεγεθών με χρήση συναρτησιακής σχέσης που συνδέει τα μεγέθη αυτά μεταξύ τους. Από την στιγμή που θα υπολογιστεί μια έμμεση μέτρηση το ερώτημα που γεννάται είναι ποιο θα είναι το απόλυτο σφάλμα της μέτρησης αυτής δηλαδή πως θα οριστεί ένα μέτρο της αβεβαιότητας της έμμεσης μέτρησης το οποίο αναμένεται να προσδιορίζει σωστά την αληθινή τιμή του μετρούμενου μεγέθους. Για να γίνει κατανοητός ο ορισμός αυτός θα δώσουμε ένα παράδειγμα προσδιορισμού του απόλυτου σφάλματος σε βήματα για μια πολύ απλή περίπτωση. Έστω ότι -11-
μετράμε με ένα συνηθισμένο χάρακα των 30cm έναν άξονα αλουμινίου και βρίσκουμε τιμή L1 = (28.4 ± 0.1) cm και με τον ίδιο χάρακα ένα άλλο αξονάκι αλουμινίου το οποίο βρίσκουμε ίσο με L2 = (5.7 ± 0.1) cm. Στην συνέχεια κολλάμε τους άξονες σε σειρά, με συγκολλητικό υλικό αμελητέου πάχους, και θέλουμε να γνωρίζουμε την τιμή και το απόλυτο σφάλμα του συνολικού μήκους L = L1 + L2 το οποίο δεν μπορούμε να μετρήσουμε άμεσα με τον χάρακα που διαθέτουμε. Η πιθανότερη τιμή της έμμεσης μέτρησης L θα ισούται φυσικά με 28.4 + 5.7 = 34.1 cm. Καθώς βάσει απολύτου σφάλματος οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές που μπορεί να πάρουν οι αληθινές τιμές των L1 και L2 είναι 28.5cm και 5.8cm οι μέγιστες και 28.3cm και 5.6cm οι ελάχιστες αντίστοιχα, τότε - η απολύτως μέγιστη τιμή που θα μπορούσε να χαρακτηρίζει την αληθινή τιμή του μεγέθους L θα ισούται αναγκαστικά με το άθροισμα των μεγίστων των L1, L2 δηλαδή 34.3cm - η απολύτως ελάχιστη τιμή που θα μπορούσε να χαρακτηρίζει την αληθινή τιμή του μεγέθους L θα ισούται αναγκαστικά με το άθροισμα των ελαχίστων των L1, L2 δηλαδή 33.9cm Εφόσον η αβεβαιότητα του μεγέθους L θα καθορίζεται από το διάστημα 33.9cm έως 34.3cm με πιθανότερη τιμή τα 34.1cm τότε η συμβολική σχέση που θα το περιγράφει είναι L = (34.1 ± 0.2) cm. Παρατηρείστε ότι το απόλυτο σφάλμα των άμεσων μετρήσεων L1, L2 διαδόθηκε προς την έμμεση μέτρηση L με ταυτόχρονη αύξηση από 0.1cm σε 0.2cm. Η διαδικασία που περιγράφηκε υποδηλώνει ότι για έμμεση μέτρηση που ισούται με άθροισμα δύο αμέσων μετρήσεων, το απόλυτο σφάλμα της θα ισούται με το άθροισμα των απολύτων σφαλμάτων τους, δηλαδή δl = δl1+δl2. Στην πράξη αποδεικνύεται στατιστικά ότι είναι ιδιαίτερα απίθανο οι αληθινές τιμές των L1, L2 να ισούται με τις μέγιστες ή τις ελάχιστες τιμές και των δύο μεγεθών ταυτόχρονα άρα το δl υπερεκτιμάται ως άθροισμα των δl1 και δl2. Σωστότερη προσέγγιση του δl αποδεικνύεται να είναι το άθροισμα των τετραγώνων των δl1 και δl2 βάση της σχέσης: δl2 = δl12 + δl22 που δίδει μια τιμή ίση με 0.14cm για το απόλυτο σφάλμα δl της έμμεσης μέτρησης. Η περίπτωση του αθροίσματος που περιγράψαμε είναι μέρος μια γενικότερης θεώρησης για τον υπολογισμού του απόλυτου σφάλματος έμμεσης μέτρησης που καλείται μέθοδος του πιθανού σφάλματος και ορίζει ότι: η τιμή ενός έμμεσα μετρούμενου μεγέθους Ε που εξαρτάται από τα άμεσα μετρούμενα μεγέθη Α1, Α2, Α3, Αν βάση μιας γενικής συναρτησιακής σχέσης: Ε = f (Α1, Α2, Α3, Αν) αναμένεται να έχει απόλυτο σφάλμα δε που προσεγγίζεται από τις τιμές των Α1, Α2, Α3, Αν και τα απόλυτα σφάλματα τους δα1, δα2, δα3, δαν μέσω της σχέσης: Όταν η συνάρτηση f που περιγράφει την έμμεση μέτρηση περιλαμβάνει βασικές αριθμητικές πράξεις τότε η σχέση 0.8 απλοποιείται ως εξής: -12-
α) αν η έμμεση μέτρηση Ε ισούται με άθροισμα, διαφορά ή συνδυασμό των πράξεων αυτών μεταξύ αμέσων μετρήσεων Α1, Α2, Α3, Αν τότε το τετράγωνο του απολύτου σφάλματος της ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των απολύτων σφαλμάτων τους, δε2 = δα12 + δα22 + + δαν2 (0.9) β) αν η έμμεση μέτρηση Ε ισούται με γινόμενο, λόγο ή συνδυασμό των πράξεων αυτών μεταξύ αμέσων μετρήσεων Α1, Α2, Α3, Αν τότε το τετράγωνο του σχετικού σφάλματος της ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των σχετικών σφαλμάτων τους, γ) αν η έμμεση μέτρηση Ε συνδέεται με άμεσο μέγεθος Α με σχέση δύναμης: Ε = c An, όπου c σταθερά, τότε το σχετικό σφάλμα της ισούται με n φορές το σχετικό σφάλμα του Α: Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει για παράδειγμα και τις ν-οστές ρίζες οι οποίες γράφονται και ως σχέση δύναμης με εκθέτη 1/ν, αλλά και τις αντιστροφές (όπως μια σχέση της μορφής 1/Α3 που γράφεται σε σχέση δύναμης σαν Α-3). Από την στιγμή που υπολογίζεται το απόλυτο σφάλμα μιας έμμεσης μέτρησης τότε παρουσιάζεται, όπως αναφέραμε και σε προηγούμενη ενότητα, τροποποιημένο προς την αμέσως μεγαλύτερη τιμή που περιλαμβάνει μόνο ένα μη μηδενικό ψηφίο και η τιμή της έμμεσης μέτρησης στρογγυλοποιημένη στον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων με εκείνα του τροποποιημένου απολύτου σφάλματος (στις ίδιες πάντα μονάδες μέτρησης). Παράδειγμα: Ζητείται η τιμή της διαφοράς ΔR δύο ηλεκτρικών αντιστάσεων R1 και R2, ΔR = R1 - R2 και του απολύτου σφάλματος της δδr. Η τιμή της δεύτερης αντίστασης είναι άμεσα μετρημένη με ωμόμετρο και δίδεται από την συμβολική σχέση R2 = (2.109 ± 0.001) kω. Αντίθετα εμείς μπορούμε να μετρήσουμε έμμεσα την τιμή της R1 συνδέοντας την σε κύκλωμα και βρίσκοντας ότι επιβάλλοντας διαφορά δυναμικού U1 = (4.4 ± 0.2) V (μετρημένη με αναλογικό βολτόμετρο) διαρρέεται από ρεύμα Ι1 = (0.727 ± 0.001) ma (που μετράμε με ψηφιακό αμπερόμετρο). Αρχικά αναλύεται και γράφεται η τελική συναρτησιακή σχέση που δίδει την έμμεση μέτρηση συναρτήσει των αμέσων μετρήσεων που στην περίπτωση μας είναι: Στην συνέχεια λύνεται συμβολικά και αναγράφεται αναλυτικά η ακριβής σχέση από την οποία θα υπολογιστεί το απόλυτο σφάλμα της έμμεσης μέτρησης που στην περίπτωση μας είναι: -13-
Αντικαθιστώντας στην σχέση για την τιμή της έμμεσης μέτρησης ΔR βρίσκουμε με τον υπολογιστή τσέπης το νούμερο 3943.269601 Ω και αντίστοιχα για το απόλυτο σφάλμα της έμμεσης μέτρησης δδr (από τα απόλυτα σφάλματα δu1 = 0.2V, δι1 = 10-6Α και δr2 = 1Ω) βρίσκουμε το νούμερο 275.2309143 Ω. Καθίσταται προφανές ότι ενώ μπορούμε και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τα νούμερα αυτά ως έχουν σε επιπλέον πράξεις που ακολουθούν για τον υπολογισμό των τιμών τυχόν άλλων έμμεσων μεγεθών όπως για παράδειγμα της διαφοράς ισχύος ΔP (και του απολύτου σφάλματος της, δδρ) που καταναλώνεται μεταξύ των δύο αντιστάσεων όταν διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα Ι, ΔP = I2 ΔR, ΔΕΝ είναι δυνατόν να παρουσιάσουμε τα νούμερα αυτά ως τελικά αποτελέσματα για την έμμεση μέτρηση ΔR και το απόλυτο σφάλμα της καθώς δεν μπορούν σε καμία περίπτωση να αντιπροσωπεύσουν την πραγματική αβεβαιότητα που εισάγει στην μετρούμενη τιμή η μετρητική διαδικασία μας. Το απόλυτο σφάλμα δδr θα πρέπει να τροποποιηθεί στο νούμερο 300 Ω ή 0.3 kω που είναι το αμέσως μεγαλύτερο με ένα μη μηδενικό ψηφίο. Η μέτρηση θα πρέπει αντιστοίχως να γραφεί στρογγυλεμένη στον κοντινότερο αριθμό με τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων με το σφάλμα άρα 3900 Ω (όχι 3943 Ω γιατί αυτό θα υποδήλωνε μικρότερο απόλυτο σφάλμα όπως τονίσαμε σε προηγούμενη ενότητα) ή 3.9 kω. Επομένως η τελική μέτρηση σε συμβολική μορφή που πρέπει να παρουσιαστεί για το ΔR θα ήταν: ΔR = (3900 ± 300) Ω ή ισοδύναμα ΔR = (3.9 ± 0.3) kω Τέλος θα πρέπει να αναφερθεί τι γίνεται όσον αφορά την γραφή του αποτελέσματος μιας έμμεσης μέτρησης στην περίπτωση που δεν αναφέρονται ρητά (ή δεν είναι γνωστά γενικότερα) τα απόλυτα σφάλματα των αμέσων μετρήσεων που υπεισέρχονται στην συνάρτηση της. Σε αυτήν την περίπτωση κρατάμε τον αριθμό των ψηφίων ακολουθώντας τους ακόλουθους εμπειρικούς κανόνες στρογγυλοποίησης: α) σε αθροίσματα, διαφορές ή συνδυασμούς των πράξεων αυτών μεταξύ αμέσων μετρήσεων στην ίδια μονάδα μέτρησης, το αποτέλεσμα θα πρέπει να διατηρεί αριθμό δεκαδικών ψηφίων όσα έχει η μέτρηση με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία από όλες β) σε γινόμενα, λόγους, σχέσεις δύναμης ή συνδυασμούς των πράξεων αυτών μεταξύ αμέσων μετρήσεων το αποτέλεσμα θα πρέπει να διατηρεί αριθμό σημαντικών ψηφίων όσα έχει η μέτρηση με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία από όλες. Οι εμπειρικοί κανόνες δεν μπορούν να εγγυηθούν ότι βάσει ψηφίων το τελικό αποτέλεσμα για την έμμεση μέτρηση θα εκφράζει 100% την πραγματική αβεβαιότητα που επιβάλει το πείραμα όσον αφορά την προσέγγιση της αληθινής τιμής του εμμέσου μεγέθους (όπως το κάνει εξ ορισμού η -14-
μέθοδος του πιθανού σφάλματος). Όμως αποτελούν την καλύτερη προσέγγιση για μια ορθολογιστική παρουσίαση του τελικού αποτελέσματος. Ας εφαρμόσουμε τους κανόνες στο παράδειγμα μας για να δούμε σε τι αποτέλεσμα θα οδηγούσαν για το ΔR. Έστω λοιπόν ότι απλά δίδονται οι μετρήσεις R 2 = 2.109 kω, U 1 = 4.4 V και Ι 1 = 0.727 ma χωρίς τα σφάλματα τους. Στη σχέση ΔR = U 1 /I 1 - R 2 ο λόγος U 1 /I 1 δίδει αποτέλεσμα με τον υπολογιστή τσέπης 6052.269601 Ω. Επειδή η τιμή του U 1 έχει δύο σημαντικά ψηφία και του Ι 1 τρία σημαντικά, ο λόγος U 1 /I 1 θα πρέπει να κρατηθεί στα δύο σημαντικά ψηφία. Ο καλύτερος τρόπος είναι αρχικά να τον γράψουμε με σχέση δύναμης 6.052269601x10 3 Ω ή 6.052269601kΩ φέρνοντας τον στην ίδια μονάδα μέτρησης με το R 2 και να σκεφτούμε ότι τα δύο σημαντικά ψηφία σε αυτό το νούμερο ταυτίζονται με ένα δεκαδικό ψηφίο, στην συγκεκριμένη μονάδα μέτρησης 10 3 Ω ή kω. Καθώς το R 2 έχει τρία δεκαδικά ψηφία στην ίδια μονάδα μέτρησης (δηλαδή σε kω) και ο λόγος U 1 /I 1 θα πρέπει να έχει μόνο ένα δεκαδικό, η διαφορά μεταξύ U 1 /I 1 και R 2, δηλαδή το τελικό αποτέλεσμα για το ΔR, θα πρέπει να γραφεί με ένα δεκαδικό ψηφίο, σε kω. Κάνουμε την διαφορά 6.052269601 kω - 2.109 kω = 3.943269601 kω και στρογγυλοποιούμε το αποτέλεσμα στο ένα δεκαδικό ψηφίο όπως μας καθόρισαν οι εμπειρικοί κανόνες. ΠΡΟΣΟΧΗ: Κατά την στρογγυλοποίηση ενός αριθμού στο ν-οστό σημαντικό ή δεκαδικό του ψηφίο κοιτάμε το ν+1 ψηφίο του: αν αυτό είναι 0,1,2,3 ή 4, το ν-οστό ψηφίο παραμένει ως έχει ενώ αν το ν+1 ψηφίο είναι 5,6,7,8 ή 9, το ν-οστό ψηφίο ανεβαίνει κατά μία μονάδα. Επειδή το τρίτο σημαντικό ψηφίο (δεύτερο δεκαδικό) της διαφοράς ΔR είναι το 4, το δεύτερο σημαντικό ψηφίο (πρώτο δεκαδικό) παραμένει ως έχει κατά την στρογγυλοποίηση δηλαδή ίσο με 9 και το τελικό αποτέλεσμα για το ΔR γράφεται στρογγυλοποιημένο στο ένα δεκαδικό ψηφίο ως 3.9 kω. Έτσι οι εμπειρικοί κανόνες μας έδωσαν στην περίπτωση αυτή ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα για την έμμεση μέτρηση με αυτό που έδωσε με αυστηρό τρόπο η μέθοδος του πιθανού σφάλματος! 6. ΠΗΓΗ ΠΟΥ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΥΞΗΣΕΙ ΤΟ ΑΠΟΛΥΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΜΙΑΣ ΕΜΜΕΣΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Ειδικά όταν πρόκειται για έμμεσες μετρήσεις υπάρχει μια επιπλέον πηγή συστηματικού σφάλματος που μπορεί να απομακρύνει την μετρούμενη από την αληθινή τιμή του αντίστοιχου μεγέθους. Η πηγή αυτή είναι η χρήση προσεγγιστικής συναρτησιακής σχέσης που συνδέει το έμμεσο μέγεθος με τις άμεσες μετρήσεις και η οποία είναι σωστή όσο διατηρούνται οι συνθήκες βάση των οποίων προκύπτει. Αν όμως χρησιμοποιηθεί ενώ δεν ικανοποιούνται οι συγκεκριμένες συνθήκες τότε οδηγεί σε λανθασμένο αποτέλεσμα με συστηματικό τρόπο (είτε υποτιμώντας συνεχώς είτε υπερτιμώντας συνεχώς την μετρούμενη τιμή). Για παράδειγμα αναφέρουμε την περίπτωση που δίδει την ελκτική ηλεκτροστατική δύναμη που ασκείται μεταξύ ίσα και αντίθετα φορτισμένων παραλλήλων πλακών επίπεδου πυκνωτή. Με την παραδοχή ότι ο πυκνωτής είναι ιδανικός αποδεχόμαστε ότι η διάμετρος κάθε πλάκας είναι απείρως μεγαλύτερη από την απόσταση των πλακών μεταξύ τους και η σχέση που συνδέει την MSPAN -15-
δύναμη F με την επιφάνεια Α και την διάμετρο D κάθε πλάκας, την απόσταση d και την διαφορά δυναμικού U μεταξύ τους είναι: Αν όμως δεν ισχύει η προσέγγιση της ιδανικότητας τότε η σωστότερη σχέση που δίδει τη δύναμη είναι: Αν επομένως θέλουμε να υπολογίσουμε έμμεσα την τιμή της δύναμης από τις άμεσες μετρήσεις των d, D και U και χρησιμοποιούμε την σχέση για ιδανικό πυκνωτή ενώ η διάμετρος είναι συγκρίσιμη με την απόσταση των πλακών, οπότε δεν ισχύει η συνθήκη ιδανικότητας, τότε θα υποεκτιμάμε συστηματικά την δύναμη κατά τον παράγοντα 2d/D. Το λάθος που γίνεται θα μεγαλώνει όσο ο λόγος d/d μεγαλώνει δηλαδή όσο αποκλίνει η πραγματική πειραματική διάταξη από την ιδανική. Η λύση για διόρθωση τέτοιων συστηματικών σφαλμάτων εμμέσων μετρήσεων είναι φυσικά η χρήση των σωστών συναρτησιακών σχέσεων δηλαδή εκείνων που συνάδουν με τις πραγματικές συνθήκες του διεξαγόμενου πειράματος! ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Δίδονται οι διαδοχικές τιμές (δειγματοληψία) του ρεύματος Ι που διαρρέει έναν λαμπτήρα πυρακτώσεως σε ma όπως έγιναν με αμπερόμετρο ακρίβειας ± 0,1 ma: 78.7 74.0 73.8 73.5 77.1 73.8 72.9 72.5 75.4 74.6 Κατασκευάστε και συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ii (οc) Ii - (ma) -16- (Ii - )2 (ma2)
όπου η μέση τιμή του ρεύματος. Να βρείτε αυτή τη μέση τιμή καθώς και την τυπική απόκλιση των μετρήσεων. Να γράψετε το τελικό αποτέλεσμα σε συμβολική μορφή διατηρώντας τον σωστό αριθμό ψηφίων. 2) Γράψτε με το σωστό αριθμό ψηφίων τις παρακάτω μετρήσεις και απόλυτα σφάλματα: 2.803537728 ± 0.0210 149.4 ± 0.6818277 4488.5989 ± 6.56 0.08746 ± 0.00048 0.006 ± 0.05478 10002.94921 ± 28.2698928x10 2 0.005517794 ± 0.000000157 661.08 ± 3 1 ± 0.12247x10-2 3) Μετατρέψτε τις παρακάτω μετρήσεις στις ζητούμενες μονάδες διατηρώντας αναλλοίωτο τον αριθμό σημαντικών ψηφίων. Γράψτε δίπλα από κάθε μέτρηση πόσα σημαντικά ψηφία έχει. 76.2 mm = cm 24.187 kv = V 0.00035 ms = μs 3159.92 mw = MW 0.01035 m 2 = cm 2 379.079 Ω = kω 0.110 MHz = Hz 5.3768 ml = lt 7.2 pf = μf 65 kwh = J MSPAN -17-
4) Τροφοδοτούμε μια λάμπα με συνεχή τάση, U, και με τη βοήθεια ενός αμπερομέτρου μετράμε το ρεύμα, Ι, που ρέει μέσα από αυτήν. Δίνονται: U = (8.835 ± 0.005) V και I = (97.4 ± 0.02) ma α) Υπολογίστε σε Ω και παρουσιάστε σε συμβολική μορφή την τιμή και το απόλυτο σφάλμα της φαινόμενης ωμικής αντίστασης της λάμπας, R, χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm: R = U / I. β) Υπολογίστε σε Watts και παρουσιάστε σε συμβολική μορφή την τιμή και το απόλυτο σφάλμα της στιγμιαίας ηλεκτρικής ισχύος, P, που καταναλώνει η λάμπα χρησιμοποιώντας τη σχέση: P = U I. γ) Υπολογίστε σε Joule και παρουσιάστε σε συμβολική μορφή την τιμή και το απόλυτο σφάλμα της ηλεκτρικής ενέργειας, Ε, που αναμένεται να καταναλώσει η λάμπα για χρόνο t μιας ώρας, χρησιμοποιώντας τη σχέση: Ε = Ι2 R t. 5) Έστω οι παρακάτω συναρτησιακές σχέσεις σύνδεσης του έμμεσου μεγέθους z από τα άμεσα μεγέθη, x, y. Να βρείτε μια έκφραση για το απόλυτο σφάλμα δz συναρτήσει των απολύτων σφαλμάτων δx και δy σε κάθε περίπτωση: όπου α και c αριθμητικές σταθερές. -18-