Εκπαιδευτικός, ιδάκτωρ Πανεπιστηµίου Αιγαίου

Η Φύση των Μαθηµατικών Η Μαθηµατική Ικανότητα Η ιδασκαλία Τρεις Αιτίες που ίσως Προκαλούν Αρνητική Στάση για τα Μαθηµατικά Χρυσάνθη Σκουµπουρδή Εκπαιδευτικός, ιδάκτωρ Πανεπιστηµίου Αιγαίου Τα µαθηµατικά είναι ένα πολύ σηµαντικό αντικείµενο, που όµως φαίνεται να διαχωρίζει τους ανθρώπους σε δύο στρατόπεδα: από τη µια είναι εκείνοι που µπορούν να κάνουν µαθηµατικά και από την άλλη εκείνοι που δεν µπορούν ή νοµίζουν ότι δεν µπορούν. Όσο περισσότερο άγχος υπάρχει για τα µαθηµατικά, τόσο πιο έντονη προσπάθεια γίνεται για τη µάθησή τους, αλλά κάτω από αυτές τις συνθήκες περιορίζεται η κατανόηση και αυξάνεται το άγχος (Skemp, 1987). Τα µαθηµατικά θεωρούνται, από πολλούς, ότι είναι ένα δύσκολο αντικείµενο που η γνώση του αποτελεί το κλειδί της επιτυχίας στη µελλοντική µας ζωή. Αυτό συµβαίνει γιατί γίνονται όλο και πιο απαραίτητα στη ζωή µας καθώς η τεχνολογική επανάσταση έχει δηµιουργήσει ένα περιβάλλον όπου τα άτοµα που έχουν δυσκολία µε τις µαθηµατικές έννοιες αποκλείονται από µερικές από τις πιο σηµαντικές θέσεις στο χώρο εργασίας. Αυτή η δυσκολία του αντικειµένου και η παράλληλη σηµαντικότητά του, είναι γεγονός ότι προκαλούν αρνητική στάση όχι µόνο στα παιδιά, αλλά και στους δασκάλους και τους γονείς. Εκτός από τις παραπάνω αιτίες πρόκλησης αρνητικής στάσης, υπάρχουν και πολλές άλλες, όπως είναι: η ίδια η φύση των µαθηµατικών, η µαθηµατική ικανότητα που διαθέτουν ή δε διαθέτουν οι µαθητές, η διδασκαλία του αντικειµένου µε άσχηµο τρόπο, η όχι καλή προετοιµασία του µαθητή, η συχνή υποβολή τεστ, όπως επίσης, η στάση του δασκάλου ή του γονέα για το αντικείµενο κ.α. Κάποιες από αυτές τις αιτίες είναι λιγότερο ή περισσότερο ουσιαστικές και άρα µπορούν ή όχι να αντιµετωπιστούν. Η αρνητική στάση για τα µαθηµατικά, που εµφανίζεται κυρίως στην ηλικία των 9-11 ετών (σύµφωνα µε έρευνες), είναι πολύ δύσκολο να αλλάξει και είναι πιθανό να υπάρχει και µέχρι την ενήλικη ζωή, γιατί από τη στιγµή που εµφανίζεται, κρατάει το µαθητή πολύ πίσω στη γνωστική διαδικασία, αφού εµποδίζει την ανάπτυξη της γνωστικής του ικανότητας. Από τις πολλές αιτίες που ίσως δηµιουργούν αρνητική στάση στα µαθηµατικά ξεχωρίσαµε και θα ασχοληθούµε µε το άγχος που προκαλείται: 1) από την ίδια τη φύση των µαθηµατικών, 2) από ελλείψεις σε κάποια από τα στοιχεία που απαρτίζουν τη µαθηµατική ικανότητα, 3) από µια ακατάλληλη ή ανεπαρκή διδασκαλία. Επίσης, θα αναφερθούµε στις συνέπειες που µπορεί να έχει αυτό το άγχος και η αρνητική στάση καθώς και σε κάποιες λύσεις για την άρση του φαινοµένου. Τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των Μαθηµατικών Τα µαθηµατικά παρουσιάζουν τρία κύρια χαρακτηριστικά που τα διακρίνουν από άλλους τοµείς της ανθρώπινης γνώσης. Τα χαρακτηριστικά αυτά, συγκροτούν την ιδιοµορφία τους και παράλληλα αποτελούν πηγή προέλευσης νοητικών δυσκολιών για τη συγκρότησή τους από τα παιδιά και όχι µόνο. Συγκεκριµένα: 1. Τα µαθηµατικά αφορούν αφηρηµένες µορφές γνώσης σε µεγαλύτερο βαθµό από πολλούς άλλους τοµείς µελέτης και οπωσδήποτε σε µεγαλύτερο βαθµό από τους περισσότερους τοµείς που έρχονται σε επαφή τα παιδιά. Συνήθως οι καθηµερινές

µας γνώσεις µαθαίνονται άµεσα από το περιβάλλον µας και οι έννοιες που εµπλέκονται δεν είναι πολύ αφηρηµένες. Το πρόβληµα (αλλά παράλληλα και η δύναµη) των µαθηµατικών βρίσκεται στο ότι είναι αφηρηµένη έννοια, στη γενικότητά της. Σύµφωνα µε το Χασάπη (2000), οι µαθηµατικές έννοιες από τη βάση τους, δεν αντανακλούν και εποµένως δεν αναφέρονται σε χαρακτηριστικά ή ιδιότητες που ενυπάρχουν στα στοιχεία της αισθητής πραγµατικότητας και αποκαλύπτονται µέσα από την ανθρώπινη φυσική και νοητική δραστηριότητα. Οι µαθηµατικές έννοιες αναφέρονται σε χαρακτηριστικά ή ιδιότητες και κυρίως σε σχέσεις µεταξύ χαρακτηριστικών ή ιδιοτήτων, που δηµιουργούνται ως νοητικές κατασκευές και εισάγονται από τον άνθρωπο στα στοιχεία της πραγµατικότητας µε στόχο τη νοητική της οργάνωση. Οι µαθηµατικές έννοιες δηλαδή, είναι προϊόντα ανθρώπινης επινόησης ή εφεύρεσης και όχι ανακάλυψης. Αφού εποµένως οι µαθηµατικές έννοιες δεν αναφέρονται άµεσα σε αισθητά χαρακτηριστικά ή ιδιότητες των στοιχείων της πραγµατικότητας, δεν µπορεί κατά συνέπεια να είναι και εµπειρικά επαληθεύσιµες. Η επαλήθευση ή η διάψευση των µαθηµατικών θεωρηµάτων βασίζεται σε διαδικασίες απόδειξής τους, δηλαδή σε τεκµηρίωση της αλήθειας τους ή µη, στη βάση της λογικής αναγκαιότητας και όχι σε διαδικασίες εµπειρικής επαλήθευσης ή διάψευσης. Ο ιδιόµορφος αυτός χαρακτήρας των µαθηµατικών εννοιών καθιστά τη νοητική συγκρότησή τους από τα παιδιά ένα όχι εύκολο εγχείρηµα, γιατί εξαιτίας της ηλικίας τους λειτουργούν νοητικά µε βάση τα συγκεκριµένα στο χώρο και το χρόνο στοιχεία της πραγµατικότητας,. Αυτός που µαθαίνει σήµερα µαθηµατικά, πρέπει να ασχοληθεί όχι µε ακατέργαστες πληροφορίες, αλλά µε τα επεξεργασµένα συστήµατα των υπαρχουσών µαθηµατικών. Το ότι ένας ικανός µαθητής µπορεί να έρθει σε επαφή µε ιδέες χρόνων που πήραν αιώνες προσπάθειας στο παρελθόν για να αναπτυχθούν, είναι από τη µια µεριά πλεονέκτηµα, αλλά από την άλλη τον εκθέτει και σε κίνδυνο. Τα µαθηµατικά δεν µπορούν να µαθευτούν άµεσα από το καθηµερινό περιβάλλον, αλλά µόνο έµµεσα από άλλους µαθηµατικούς. Το γεγονός αυτό προκαλεί µεγάλη εξάρτηση από το µαθηµατικό και εκθέτει κάποιον στην πιθανότητα να αποκτήσει ένα µακρόχρονο φόβο και µια απέχθεια για τα µαθηµατικά (Skemp, 1987). 2. Η µαθηµατική γνώση συνδέεται στενά µε µια εξειδικευµένη τυπική γλώσσα που επιβάλλει περιορισµούς στη µαθηµατική λογική και ταυτόχρονα της δίνει ασυνήθιστη δύναµη. Αν και είναι δυνατό να κάνει κανείς συλλογισµούς για ορισµένα ποσοτικά χαρακτηριστικά χωρίς να χρησιµοποιήσει ένα σύστηµα γραπτών συµβόλων, υπάρχουν ωστόσο πολύ αυστηρά όρια στους συλλογισµούς που µπορούν να γίνουν χωρίς τη χρήση φορµαλισµών. Για παράδειγµα, η γνώση που απαιτείται για να χρησιµοποιήσουµε τη µέτρηση, για τον ποσοτικό προσδιορισµό οµάδων αντικειµένων, είναι ότι υπάρχει µια τυποποιηµένη σειρά από όρους που πρέπει να χρησιµοποιηθούν σε µια συγκεκριµένη σειρά, χωρίς παραλείψεις και ότι αυτοί οι όροι πρέπει να αντιστοιχηθούν σε αντικείµενα σύµφωνα µε αυστηρούς περιορισµούς. εν υπάρχουν εναλλακτικοί όροι, ούτε παραλλαγές τους που εκφράζουν διαφορετικές νοηµατικές αποχρώσεις ή που επηρεάζονται από το εννοιολογικό πλαίσιο µέσα στο οποίο χρησιµοποιούνται (Resnick et al., 1995). Παραδοσιακά τα µαθηµατικά περιλαµβάνουν προφορικά και γραπτά σύµβολα που παίζουν ένα ιδιαίτερο ρόλο. Ανάµεσα στις λειτουργίες των συµβόλων µπορούµε να διαχωρίσουµε: την επικοινωνία, την κωδικοποίηση της γνώσης, τη δηµιουργία πολλαπλών ταξινοµήσεων, την ανάκτηση πληροφορίας και κατανόησης κ.α. (Skemp, 1987). Επίσης µε τα σύµβολα εκτός του ότι κατανοούµε, δίνουµε και στους άλλους να καταλάβουν έννοιες όπως: ποσότητα, µέγεθος, σειρά, σχέσεις, χώρο,

σχήµα, απόσταση, χρόνο. Επειδή τα µαθηµατικά έχουν σύµβολα, σχήµατα και λέξεις και όχι µια συγκεκριµένη γλώσσα, προκαλούν σύγχυση στο παιδί (Νικολάου, Νέλλας, 1992) Έτσι σε όλους τους τοµείς των µαθηµατικών η µάθηση και η απόδοση εξαρτώνται από τη σωστή χρήση ενός τυπικού συστήµατος, που γίνεται όλο και πιο πολύπλοκο όσο προχωράει κανείς σε πιο πολύπλοκα επίπεδα µαθηµατικής ανάπτυξης. 3. Η τυπική γλώσσα των µαθηµατικών παίζει ένα διπλό ρόλο σηµαίνοντος σηµαινόµενου, λειτουργώντας ταυτόχρονα ως όργανο της λογικής και ως αντικείµενο της λογικής. Σε όλη την έκταση των µαθηµατικών, οι όροι και οι παραστάσεις του τυπικού συµβολαίου, έχουν τόσο τυπικές όσο και αναφορικές λειτουργίες. Σαν αναφορικά σύµβολα αναφέρονται σε αντικείµενα ή σε γνωστικές οντότητες χωρίς φορµαλισµό. Σαν τυπικά σύµβολα είναι στοιχεία ενός συστήµατος που υπακούει σε δικούς του κανόνες και µπορούν να λειτουργούν χωρίς συνεχή αναφορά στα µαθηµατικά αντικείµενα όπου αντιστοιχούν (π.χ. οι µετρητικές λέξεις παίζουν διττό ρόλο, όπου ονοµάζουν τα αντικείµενα σύµφωνα µε τους περιορισµούς αντιστοίχησης και ταυτόχρονα αναφέρονται στον πληθικό αριθµό ολόκληρου του συνόλου των µετρούµενων αντικειµένων) (Resnick et al., 1995). Το πρώτο πράγµα που πρέπει να µάθει το παιδί στο σχολείο είναι να κινείται µέσα στα όρια του να αναγνωρίζει σηµάδια που το προειδοποιούν ποια καταγραφή (ή µέσο µέτρησης) χρησιµοποιείται τη συγκεκριµένη στιγµή. Αυτά τα σηµάδια δεν είναι συµβατικά και ρητά παρουσιασµένα, αν και έτσι µπορεί να φαίνεται στο δάσκαλο. Είναι κοινά χρησιµοποιούµενες λέξεις, οι οποίες σηµαίνουν κάτι διαφορετικό στα µαθηµατικά, που τα παιδιά πρέπει να µαντέψουν από µόνα τους. Για παράδειγµα στα µαθηµατικά µεγάλος αριθµός δεν είναι ο αριθµός που είναι γραµµένος µε τεράστια γράµµατα στο βιβλίο. Το οριζόντιο και το κάθετο δεν αναφέρονται σε διαστάσεις στο χώρο που µας περιβάλει, αλλά στην κατεύθυνση που αφορά σε ένα κοµµάτι χαρτί. Το ρήµα κάνει χρησιµοποιείται στην καθοµιλουµένη όπως στην έκφραση κάνει ένα κέικ, όµως στα µαθηµατικά σηµαίνει κάτι διαφορετικό το δύο φορές το δύο κάνει τέσσερα κ.λ.π. (Sierpinska, 1994). Πολλά λάθη στην αναγνώριση τέτοιων σηµείων, είναι άλλη µια πηγή άγχους, αβεβαιότητας και τελικά σχολικής αποτυχίας. Η µαθηµατική ικανότητα Το 1918 στη δουλειά του Rogers A. διαχωρίστηκαν δύο θέµατα µαθηµατικής ικανότητας: το αναπαραγωγικό (που σχετίζεται µε τη λειτουργία της µνήµης) και το παραγωγικό (που σχετίζεται µε τη λειτουργία της σκέψης). Ο Betz όρισε τη µαθηµατική ικανότητα ως την ικανότητα να έχουµε µια ξεκάθαρη επίγνωση των εσωτερικών συνδέσεων των µαθηµατικών σχέσεων και να σκεφτόµαστε µε ακρίβεια χρησιµοποιώντας µαθηµατικές αντιλήψεις. Ο Wenzl την όρισε ως την ικανότητα να εγκαθιδρύσουµε στο µαθηµατικό υλικό, συνδέσεις µε σηµασία. Ο Lietzmann σηµειώνει ότι είναι η ικανότητα να αιτιολογούµε µια συγκεκριµένη κατάσταση µε τη χρήση των συµβόλων από τη µαθηµατική γλώσσα. Ο Φιλανδός ψυχολόγος Meinander µιλάει για τη µαθηµατική ικανότητα ότι είναι ένα περίπλοκο προσόν που περιλαµβάνει τη νοηµοσύνη, τη µνήµη και το ενδιαφέρον (Krutetskii, 1976). Ο γνωστός ψυχολόγος Revesz στο βιβλίο του Τalent und Genie (1952) εξετάζει δύο βασικούς τύπους της µαθηµατικής ικανότητας: την εφαρµοστικότητα (applicative) (την ικανότητα να βρίσκουµε τις µαθηµατικές σχέσεις γρήγορα, χωρίς προηγούµενες

δοκιµές κα να εφαρµόζουµε την κατάλληλη πληροφορία σε ανάλογες καταστάσεις) και την παραγωγικότητα (productive) (την ικανότητα να αποκαλύπτουµε σχέσεις που δεν προέρχονται άµεσα από τη διαθέσιµη πληροφορία) (Krutetskii, 1976). Ο πιο σηµαντικός και εκτενής ορισµός για τη σχολική µαθηµατική ικανότητα κατά τη γνώµη της Krutetskii (1976), είναι του Σουηδού Ingvar Werdelin όπου περιληπτικά αναφέρει ότι αφορά στην ικανότητα των µαθητών να κατανοούν, να θυµούνται και να εφαρµόζουν τα µαθηµατικά σύµβολα και τις µαθηµατικές µεθόδους. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι δεν υπάρχει ένας συγκεκριµένος ορισµός για τη µαθηµατική ικανότητα που να µπορεί να ικανοποιήσει τον καθένα. Για το µόνο πράγµα που θα µπορούσαν να συµφωνήσουν οι ερευνητές είναι ότι πρέπει να γίνει διαχωρισµός µεταξύ της σχολικής ικανότητας και µεταξύ της δηµιουργικής µαθηµατικής ικανότητας που σχετίζεται µε την ανεξάρτητη δηµιουργία ενός γνήσιου προϊόντος που έχει κοινωνική αξία. Υπάρχει ποιοτική διαφορά µεταξύ δύο ειδών µάθησης: της µάθησης από συνήθεια (habit learning) ή αποµνηµόνευση ρουτίνας (rote memorizing) και της µάθησης που εµπεριέχει κατανόηση που την ονοµάζουµε έξυπνη µάθηση (intelligent learning). Η δεύτερη είναι η µάθηση που κάνει τον άνθρωπο να ξεχωρίζει από τα άλλα είδη (Skemp, 1987). Όταν δίνεται ένα µαθηµατικό πρόβληµα µερικοί άνθρωποι είναι σε θέση να βρουν µια σωστή απάντηση, ενώ άλλοι δεν τα καταφέρουν. Γιατί όµως µερικοί µαθητές µπορούν να λύσουν µαθηµατικά προβλήµατα, ενώ άλλοι δεν µπορούν; Γιατί, παρά τα χρόνια µαθηµατικής εκπαίδευσης, µερικά άτοµα αντιµετωπίζουν τα µαθηµατικά προβλήµατα µε φόβο, διαµαρτυρίες και λανθασµένες απαντήσεις; Τι διαθέτουν οι καλοί λύτες προβληµάτων που δεν το διαθέτουν οι κακοί; Πολύ συχνά στα µαθηµατικά πρέπει να έχουµε την (µαθηµατική) ικανότητα να κατανοήσουµε το πρόβληµα. Αυτό βέβαια είναι κάτι αµφιλεγόµενο. Το πρόβληµα µπορεί να είναι ένα απλό σχολικό πρόβληµα και η κατανόησή του µπορεί να αποτελείται από την αναγνώριση του τι δίνεται, του τι πρέπει να βρεθεί και ίσως σε ποια κατηγορία προβληµάτων ανήκει (Sierpinska, 1994). Για να πετύχουµε την ανάπτυξη της µαθηµατικής ικανότητας, πρέπει να κατανοήσουµε πιο καθαρά τη φύση της για την οποία υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις: η ψυχοµετρική προσέγγιση και η προσέγγιση της επεξεργασίας πληροφοριών (ή πληροφοριο επεξεργαστική προσέγγιση). Η ψυχοµετρική προσέγγιση ορίζει τη µαθηµατική ικανότητα ως αυτό που µετρά ένα µαθηµατικά τεστ. Έτσι, η µαθηµατική ικανότητα είναι η ικανότητα του µαθητή να τα καταφέρνει καλά στα τεστ. Όµως ο ψυχοµετρικός ορισµός είναι κυκλικός. Παρέχει ένα εξαιρετικό τρόπο µέτρησης της µαθηµατικής ικανότητας, αλλά δε µας δίνει µια ανεξάρτητη περιγραφή για το τι είναι αυτό που µετράµε µε τα τεστ. Αντίθετα η προσέγγιση της επεξεργασίας πληροφοριών βασίζεται στην ανάλυση του έργου. Κάθε µαθηµατικό πρόβληµα µπορεί να αναλυθεί σε επιµέρους τµήµατα, δηλαδή σε απλές νοητικές διεργασίες, δεξιότητες και γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη λύση του προβλήµατος οπότε η µαθηµατική ικανότητα ορίζεται ως η ικανότητα για όλες τις γνωστικές διεργασίες, δεξιότητες και γνώσεις που αποτελούν συστατικά µέρη των µαθηµατικών προβληµάτων. Η επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων µπορεί να αναλυθεί σε δύο κύρια τµήµατα: στην αναπαράσταση του προβλήµατος, δηλαδή στη µετατροπή του από λέξεις σε µια εσωτερική απεικόνιση και στην επίλυση του προβλήµατος, δηλαδή στην εφαρµογή των αποδεκτών µαθηµατικών τελεστών επί της εσωτερικής αναπαράστασης ώστε να καταλήξουµε σε µια τελική απάντηση. Τα είδη των γνώσεων που µπορεί να χρειαστούν για την αναπαράσταση και την επίλυση προβληµάτων είναι:

1. η γλωσσική γνώση, αναφέρεται στη γνώση της γλώσσας, όπως είναι ο διαχωρισµός µιας πρότασης σε µέρη του λόγου ή η αναγνώριση της σηµασίας των διαφόρων λέξεων, 2. η πραγµατολογική γνώση, αναφέρεται στη γνώση πληροφοριών που αφορούν τον κόσµο, όπως είναι οι µονάδες µέτρησης, 3. η γνώση υποδειγµάτων, αναφέρεται στη γνώση διάφορων τύπων προβληµάτων 4. η στρατηγική γνώση, αναφέρεται στη γνώση της ανάπτυξης και παρακολούθησης ενός σχεδίου επίλυσης και 5. η αλγοριθµική γνώση, αναφέρεται σε µια διαδικασία για την εκτέλεση µιας προσχεδιασµένης διεργασίας, όπως για παράδειγµα η εκτέλεση µιας διαίρεσης - Η γλωσσική και η πραγµατολογική γνώση χρειάζεται στη µετάφραση του προβλήµατος. για να µπορέσει ο λύτης να µεταφράσει όλες τις προτάσεις ενός προβλήµατος χρειάζεται κάποια γνώση της γλώσσας και κάποια γνώση του κόσµου. - Η γνώση των υποδειγµάτων χρειάζεται στην ολοκλήρωση του προβλήµατος. Για να µπορέσει ο λύτης να ολοκληρώσει ή να κατανοήσει το πρόβληµα πρέπει να έχει κάποιες γνώσεις πάνω στους διάφορους τύπους προβληµάτων π.χ. προβλήµατα σύγκρισης. - Η στρατηγική γνώση χρειάζεται στο σχεδιασµό της λύσης. Το επόµενο βήµα στην επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων είναι η επινόηση ενός σχεδίου λύσης. Για να επινοήσει ο λύτης ένα τέτοιο σχέδιο πρέπει να έχει κάποια γνώση ευρετικής στην επίλυση προβληµάτων (δηλαδή στρατηγική γνώση). - Και η αλγοριθµική γνώση χρειάζεται στην εκτέλεση της λύσης. Η εκτέλεση της λύσης απαιτεί από το λύτη να είναι σε θέση να εκτελεί πράξεις, όπως υπολογισµούς. Για να εκτελέσει ο λύτης τις λύσεις των προβληµάτων, χρειάζεται κάποια γνώση των διαδικασιών επίλυσης, δηλαδή γνώση του αλγόριθµου. Άλλες πιθανές πηγές ατοµικών διαφορών στην ικανότητα επίλυσης µαθηµατικών προβληµάτων (Mayer, 1995, Resnick & Ford, 1984), είναι η χωρητικότητα της µνήµης, η ταχύτητα µε την οποία µπορούν να εκτελεστούν οι νοητικές διεργασίες, οι διαφορές στα γνωστικά συστήµατα (π.χ. η οικειότητα που υπάρχει µε τις καταστάσεις που περιγράφονται, τα άγνωστα αντικείµενα και τα στοιχεία χωρίς ουσία που ίσως εµφανίζονται), το ενδιαφέρον που έχει το πρόβληµα, η κατανόηση του λεξιλογίου, ο τρόπος παρουσίασης του προβλήµατος (π.χ. ως δηλωτικές προτάσεις ή ως ερωτήσεις), ο αριθµός των διαφορετικών αριθµητικών πράξεων που χρειάζονται για να βρεθεί η λύση, το µήκος του προβλήµατος δηλαδή ο αριθµός των λέξεων και η σύνταξή τους, η γραµµατική πολυπλοκότητα του λεκτικού µέρους κ.α. Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω οι µαθητές µπορεί να διαφέρουν µεταξύ τους ως προς την ικανότητά τους: o να µεταφράζουν σωστά τις προτάσεις των προβληµάτων και να κατανοούν γλωσσικές εκφράσεις. Αυτές οι διαφορές µπορεί να έχουν σχέση µε τη γλωσσική και την πραγµατολογική γνώση, o να ολοκληρώνουν σωστά τα προβλήµατα και αυτές οι διαφορές µπορεί να έχουν σχέση µε τη γνώση υποδειγµάτων. Μπορεί δηλ να διαφέρουν ως προς τη λεπτοµέρεια των γνώσεών τους γύρω από τα διάφορα είδη προβληµάτων, o να επινοούν σωστά σχέδια επίλυσης και αυτές οι διαφορές µπορεί να έχουν σχέση µε τη στρατηγική γνώση. Μπορεί δηλαδή να διαφέρουν στις γενικές στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων, o να εκτελούν πράξεις και αυτές οι διαφορές µπορεί να έχουν σχέση µε γνώσεις του αλγόριθµου. Μπορεί δηλαδή να διαφέρουν ως προς το πόσο

πολύπλοκοι, σωστοί και αυτόµατοι είναι οι αλγόριθµοί τους για τις βασικές πράξεις, όπως η πρόσθεση και η αφαίρεση. ιδασκαλία των Μαθηµατικών Υποστηρίζεται συχνά ότι οι δυσκολίες που έχουν οι µαθητές στα µαθηµατικά είναι περιβαλλοντικές και όχι προσωπικές ανεπάρκειες. Στις περιβαλλοντικές δυσκολίες περιλαµβάνεται και η αναποτελεσµατική ή η ανεπαρκής διδασκαλία (Νικολάου, Νέλλας, 1992). 1. Η φοβία για τα µαθηµατικά (αριθµοφοβία) µπορεί να δηµιουργηθεί και από τη διδασκαλία όπου ο δάσκαλος χρησιµοποιεί δύσκολα ή ακατάλληλα παραδείγµατα. Για παράδειγµα σε µια τάξη τέταρτου επιπέδου ( τάξη του δηµοτικού) ο δάσκαλος εξηγεί: κύκλος είναι η θέση των σηµείων σε ένα επίπεδο τα οποία βρίσκονται σε ίδια απόσταση από ένα εσωτερικό σηµείο που ονοµάζεται κέντρο. Ο καλός µαθητής γράφει αυτή τη φράση στο πρόχειρο και ο κακός µαθητής ζωγραφίζει φατσούλες στο τετράδιό του, αλλά κανένας από τους δύο δεν καταλαβαίνει. Μετά ο δάσκαλος παίρνει την κιµωλία και σχηµατίζει ένα κύκλο στον πίνακα. Α!, σκέφτονται τα παιδιά, αν έλεγε κατευθείαν ότι κύκλος είναι ένα στρογγυλό εµείς θα είχαµε καταλάβει (Sierpinska, 1994). 2. Επίσης µπορεί να δηµιουργηθεί από την παραδοσιακή διδασκαλία που δε στηρίζεται στην επικοινωνία, όπου το µάθηµα θα καταντήσει µάθηµα ρουτίνας όπου τα παιδιά θα αποµνηµονεύουν τους κανόνες και αυτό θα φαίνεται σα να τα πηγαίνουν καλά στα µαθηµατικά. Το πρόβληµα όµως θα εµφανιστεί αργότερα όπου τα µαθηµατικά δυσκολεύουν, γίνονται περίπλοκα και δεν αποµνηµονεύονται. Έτσι η επιτυχία αρχίζει να εγκαταλείπει τους µαθητές, όπου οι προσπάθειες που κάνουν είναι προς τη λανθασµένη κατεύθυνση γιατί προσπαθούν να αποµνηµονεύσουν όλο και περισσότερους κανόνες και µεθόδους και µαθαίνουν τα µαθηµατικά ως ξεχωριστά γεγονότα που τα ανακαλούν ανεξάρτητα και αν δεν µπορούν να θυµηθούν κάποιο από αυτά, πανικοβάλλονται και αγχώνονται. Με αυτό τον τρόπο ο µαθητής παράγει πολύ µικρό αποτέλεσµα µετά από µεγάλη προσπάθεια και έτσι δεν υπάρχει ουσιαστική πρόοδος µε αποτέλεσµα να αρχίσει να εµφανίζεται το άγχος και η φοβία (Skemp, 1987). 3. Άλλος λόγος είναι οι προσδοκίες που έχει ο δάσκαλος. Όταν ένας δάσκαλος ή καθηγητής των µαθηµατικών λέει οι µαθητές µου δεν κατάλαβαν (για παράδειγµα) τα κλάσµατα, αυτό δε σηµαίνει ότι οι µαθητές δεν έχουν εµπειρίες κατανόησης των κλασµάτων. Απλά σηµαίνει ότι δεν τα έχουν κατανοήσει σύµφωνα µε τις προσδοκίες του συγκεκριµένου δασκάλου. Οι µαθητές ίσως νοµίζουν ότι κατά κάποιο τρόπο έχουν κατανοήσει τα κλάσµατα, αλλά για το δάσκαλο δεν ήταν αρκετά καλός αυτός ο τρόπος (Sierpinska, 1994). 4. Στην έλλειψη µεταδοτικότητας του δασκάλου. Το να ξέρω µαθηµατικά είναι διαφορετικό πράγµα από το να µπορώ να τα διδάξω να τα επικοινωνήσω µε κάποιους που βρίσκονται σε χαµηλότερο εννοιολογικό επίπεδο. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να αποκτούν οι µαθητές µια απέχθεια και ένα φόβο για τα µαθηµατικά. (Skemp, 1987)

Συνέπειες της αρνητικής στάσης για τα µαθηµατικά Όταν, από όποιο αίτιο, δηµιουργηθεί αρνητική στάση για τα µαθηµατικά είναι πολύ δύσκολο να αλλάξει και είναι πιθανό να υπάρχει και µέχρι την ενήλικη ζωή. Αυτό συµβαίνει, γιατί από τη στιγµή που εµφανίζεται αυτή η στάση, κρατάει το µαθητή πολύ πίσω στη γνωστική διαδικασία, αφού ο φόβος εµποδίζει την ικανότητα των ανθρώπων να µάθουν και κάνουν τα µαθηµατικά πιο δύσκολα ύο ψυχολόγοι, οι Mark Ashcraft & Elizabeth Kirk, από το Cleveland State University στις ΗΠΑ έδειξαν ότι το άγχος για τα µαθηµατικά ελαττώνει τη working memory που είναι διαθέσιµη για την επεξεργασία των απαραίτητων δεδοµένων για την ολοκλήρωση ενός µαθηµατικού θέµατος. Εκτός από αυτή την περίπτωση ο φόβος για τα µαθηµατικά δυσκολεύει την προετοιµασία και κάνει τους ανθρώπους να τα αποφεύγουν όσο περισσότερο µπορούν. Συµπεράσµατα και λύσεις Από τις αιτίες που αναφέρθηκαν παραπάνω για την υιοθέτηση αρνητικής στάσης για τα µαθηµατικά, άλλες είναι λιγότερο και άλλες περισσότερο ουσιαστικές και άρα µπορούν ή όχι να αντιµετωπιστούν. Το πρόβληµα της εκµάθησης των µαθηµατικών έχει τεθεί εδώ και πολλά χρόνια. Από τη δεκαετία του 1920 τοποθετούνταν εναντίον της λεγόµενης λογιστικής προσέγγισης γιατί οδηγούσε τα παιδιά να θεωρούν τα µαθηµατικά µάλλον ως ένα σύνολο δεδοµένων και διαδικασιών που δε σχετίζονταν µεταξύ τους. Αργότερα στη δεκαετία του 1960, το κίνηµα των µεταρρυθµίσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών είχε ως στόχο να εισάγει όσο το δυνατό νωρίτερα τις βασικές αρχές της επιστήµης µε τη σκέψη ότι αν αφιερωνόταν επαρκής χρόνος και σκέψη στη διδασκαλία των µαθηµατικών, τότε οι υπολογιστικές δεξιότητες θα αποκτούνταν ευκολότερα. Έτσι υποστηρίχτηκε η νοηµατική αντί της πρακτικής προσέγγισης στη διδασκαλεία των µαθηµατικών. Τα νέα προγράµµατα αντικατέστησαν την έντονη άσκηση µε πράξεις και αποµνηµόνευση µε ένα άλλο είδος µάθησης, που δίνει έµφαση στην κατανόηση. Επινοήθηκαν µέθοδοι που να βοηθούν τα παιδιά να ανακαλύπτουν µόνα τους ορισµένες αρχές και να οδηγούνται σε γενικεύσεις. Οι σύγχρονες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των µαθηµατικών δίνουν ιδιαίτερη σηµασία στην ποιοτική και όχι στην ποσοτική διάσταση της µάθησης τονίζοντας ότι σκοπός της διδασκαλίας είναι η ανάπτυξη θετικών στάσεων έναντι των µαθηµατικών. Το πόσο καλά, για παράδειγµα, ένας µαθητής θα µάθει τις έννοιες των µαθηµατικών αποτελεί πιο σηµαντική παράµετρο από την ποσότητα των γνώσεων και δεξιοτήτων που θα αποκτήσει. Η έρευνα έχει δείξει ότι οι θετικές στάσεις αποκτούνται, όταν οι δάσκαλοι χρησιµοποιούν σύγχρονες µεθόδους διδασκαλίας, όπως είναι η ευρετική µέθοδος, η διερευνητική µέθοδος, η συνεργατική µάθηση. Επίσης θετικές στάσεις αναπτύσσονται όταν οι δραστηριότητες µε τις οποίες ασχολούνται οι µαθητές προσελκύουν το ενδιαφέρον τους, είναι δηµιουργικές και δεν τους κουράζουν µε δύσκολες και ανιαρές πράξεις. Η παιγνιώδης εργασία τονώνει το ενδιαφέρον των µαθητών τόσο ώστε να ασχολούνται πιο πολύ µε τα µαθηµατικά, µε αποτέλεσµα πολλές φορές να κάνουν περισσότερη εξάσκηση απ ότι προηγουµένως, αλλά µε τρόπο που το επιζητούν οι ίδιοι οι µαθητές (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Ένα µεγάλο µέρος του σχολικού προγράµµατος ασχολείται µε τη διδασκαλία των µαθηµατικών και είναι σηµαντικό η διδασκαλία αυτή να γίνεται σωστά για να µειωθεί η σχολική αποτυχία. Σκοπός µιας πετυχηµένης διδασκαλίας είναι η αξιοποίηση των νοητικών µηχανισµών του κάθε παιδιού, έτσι ώστε να µάθει να λογίζεται χωρίς

σπατάλη ενέργειας για να αγαπήσει τη µάθηση. Οι µαθητές να µην αποκτούν συνταγές αλλά να εφοδιάζονται µε το µηχανισµό αυτόνοµης επεξεργασίας της νέας γνώσης µε την εξατοµικευµένη διδασκαλία (Βοσνιάδου, 1995). Έργο του δασκάλου-καθηγητή των µαθηµατικών είναι να εισάγει τους µαθητές στα µαθηµατικά και να τους βοηθήσει να τα καταλάβουν σωστά. Για να ανταποκριθεί στο έργο αυτό ο δάσκαλος, πρέπει αρχικά να κατανοήσει σε βάθος το αντικείµενο διδασκαλίας του και στη συνέχεια να έχει έτοιµες κάποιες τεχνικές που θα δείξουν στο µαθητή το δρόµο για την κατανόηση του αντικειµένου (Φαρµάκη, 1992). Κεντρικό σηµείο στην προετοιµασία για τη διδασκαλία των µαθηµατικών είναι η βαθιά κατανόηση της ύλης του Προγράµµατος Σπουδών και του πώς αυτή η ύλη ενσωµατώνεται στην πειθαρχία των µαθηµατικών. Πολύ συχνά παίρνουµε ως δεδοµένη τη γνώση των δασκάλων για το περιεχόµενο των σχολικών µαθηµατικών από την δική τους εµπειρία και µάθηση από το νηπιαγωγείο µέχρι και το λύκειο. Όµως οι δάσκαλοι χρειάζονται ευκαιρίες για να ξαναθυµηθούν τα θέµατα των σχολικών µαθηµατικών µε τρόπους που θα τους επιτρέψουν την ανάπτυξη βαθιάς κατανόησης των δυσδιάκριτων ιδεών και σχέσεων που εµπλέκονται µεταξύ και κατά µήκος των εννοιών (Schifter & Fosnot, 1993). Για να εξαλειφθούν όλα αυτά µπορούν να παρακολουθήσουν επιµορφωτικά σεµινάρια ή θερινά σχολεία ώστε να προσπαθήσουν να δουν διαφορετικά τα µαθηµατικά και να τα διδαχθούν µε τον ίδιο τρόπο που πρέπει και εκείνοι να διδάξουν (Schifter & Fosnot, 1993). Βιβλιογραφία Νικολάου Γ. Νέλλας Η. (1992) υσκολίες Μάθησης στα Μαθηµατικά του ηµοτικού Σχολείου στο Θέµατα ιδακτικής Μαθηµατικών επιµέλεια Καλαβάσης, Φρ. & Μεϊµάρης, Μ. Εκδόσεις Προτάσεις Καλαβάσης κ.σ. (2002) Το λάθος και το στίγµα: αξιολόγηση λαθών στα µαθηµατικά και πρόληψη σχολικής αποτυχίας στο Πολεµικός, Ν., Καΐλα, Μ. και Καλαβάσης, Φ. (επιµέλεια) Εκπαιδευτική, Οικογενειακή και Πολιτική ψυχοπαθολογία τόµος Γ Αποκλίσεις στο χώρο της εκπαίδευσης Εκδόσεις Ατραπός Φαρµάκη Β. (1992) Μαθηµατικά ιδακτική Μαθηµατικών στο Θέµατα ιδακτικής Μαθηµατικών επιµέλεια Καλαβάσης, Φρ. & Μεϊµάρης, Μ. Εκδόσεις Προτάσεις Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (1995). ιδακτική των Μαθηµατικών Εκδόσεις άρδανος Χασάπης,. (2000). ιδακτική Βασικών Μαθηµατικών Εννοιών Εκδόσεις Μεταίχµιο Krutetskii, V. (1976). The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren The University of Chicago Press Mayer, R. (1995). Μαθηµατική Ικανότητα στο Βοσνιάδου, Σ. (επιµ) Η Ψυχολογία των Μαθηµατικών Εκδόσεις Gutenberg Resnick, L. & Ford, W. (1984). The Psychology of Mathematics for Instruction Lawrence Erlbaum Associates, Publishers London Resnick, L., et al. (1995) Η Κατανόηση της Άλγεβρας στο Βοσνιάδου, Σ. (επιµ.) Η Ψυχολογία των Μαθηµατικών Εκδόσεις Gutenberg Schifter, D. & Fosnot, C. (1993). Reconstructing Mathematics Education Stories of Teachers Meeting the Challenge of Reform Teachers College Press Sierpinska, A. (1994) Understanding in Mathematics The Falmer Press Skemp R. (1987) The Psychology of Learning Mathematics Penguin Books http://plus.maths.org/issue16/editorial Fear of Maths (11/10/2002) http://www.mathsyear2000.org/thesum/issue9/page3.html 11/10/2002 Nervous about Numbers?

http://www.dcps.wcape.school.za/maths/winter_school.html 11/10/2002 Bishops Winter School 2001 Maths: How can you help?