ΗΙΗ ΗΟΑΙΑ ΑΙΗΙΟ ΗΗ Εφαοα Μαα Εόηαμ Μγαδ Αυη ο Α Μαα Καφε α Επ α εχοογα ώ
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 1 Μα αυ Μ Α Πχ 1 Μα α α α π υ ααπα Οδ ηδΰαδεκέ αλδγηκέ έθαδ ηδα πϋεαβ κυ υθσζκυ πθ πλαΰηαδευθ αλδγηυθ. Μ βθ δαΰπΰά κυμ απκεκτθ θσβηα ιδυδμ βμ ηκλφάμ 4 0, βζαά απκεκτθ θσβηα κδ λέαμ πθ αλθβδευθ αλδγηυθ. Οδ λέαμ πθ αλθβδευθ αλδγηυθ κθκηϊακθαδ φαθαδεκέ αλδγηκέ εαδ έθαδ πκζζαπζϊδα βμ φαθαδεάμ «ηκθϊαμ», πκυ υηίκζέααδ η i εαδ κλέααδ πμ i 1. Έθαμ ηδΰαδεσμ αλδγησμ,, έθαδ, θ ΰΫθδ, Ϊγλκδηα θσμ πλαΰηαδεκτ εαδ θσμ φαθαδεκτ αλδγηκτ. ΓλΪφκυη x iy ά ( x, y), σπκυ κ x ζϋΰαδ πλαΰηαδεσ ηϋλκμ κυ εαδ υηίκζέααδ πμ Re() εαδ κ y ζϋΰαδ φαθαδεσ ηϋλκμ κυ εαδ υηίκζέααδ πμ Im(). Οδ ηδΰαδεκέ αλδγηκέ ξλβδηκπκδκτθαδ υλταα πκζζκτμ πδβηκθδεκτμ εζϊκυμ εαδ ΰδα βθ πλδΰλαφά πκζζυθ φυδευθ φαδθκηϋθπθ, σππμ, π.ξ., βθ ευηαδεά γπλέα, β δϊκβ γλησβαμ, εκε, θυ ίλέεκθαδ β γηζέπβ βμ είαθκηβξαθδεάμ, πκυ απκζέ β ίϊβ ΰδα β φυδεά πθ υζδευθ. πκζζϋμ πλδπυδμ β ξλάβ κυμ ΰέθαδ απζϊ ΰδα δυεσζυθβ πθ πλϊιπθ (π.ξ. πκζζϊ κζκεζβλυηαα πλαΰηαδευθ υθαλάπθ υπκζκΰέακθαδ πκζτ υεκζσλα η ξλάβ ηδΰαδεάμ κζκεζάλπβμ), θυ Ϊζζμ β ξλάβ κυμ έθαδ πδίίζβηϋθβ απσ κ έδκ κ πλσίζβηα. Γπηλδεά αθαπαλϊαβ ηδΰαδεκτ αθαζκΰέα η βθ αθαπαλϊαβ πθ πλαΰηαδευθ αλδγηυθ πϊθπ ηδα υγέα (υγέα πθ πλαΰηαδευθ), ηδα υθάγβμ αθαπαλϊαβ ηδΰαδεκτ έθαδ Ϋθα Ϋθα x-y δϊΰλαηηα κυ πδπϋκυ (ΰθπσ πμ δϊΰλαηηα Argand), σπκυ κ ηδΰαδεσμ x iy αθαπαλέααδ πμ Ϋθα βηέκ η εαλδαθϋμ υθαΰηϋθμ x, y. ΣηβηΫθβ, x, έθαδ κ πλαΰηαδεσ ηϋλκμ κυ ηδΰαδεκτ αλδγηκτ εαδ αΰηϋθβ, y, κ φαθαδεσ ηϋλκμ κυ (ίζ. ξάηα 1α). ξ. 1α: Γπηλδεά αθαπαλϊαβ κυ ηδΰαδεκτ =x+iy (δϊΰλαηηα Argand). ξ. 1ί: Γπηλδεά αθαπαλϊαβ ηδΰαδεκτ, σπκυ έξθαδ κ ηϋλκ εαδ κ σλδηα κυ ηδΰαδεκτ. 1 Σα πλδσλα απσ α ξάηαα Ϋξκυθ αθδΰλαφέ απσ κ ίδίζέκ ΜαγβηαδεΫμ ΜΫγκκδ Φυδεάμ Ι, Ι.. Ϋλΰακυ, ΠαθπδβηδαεΫμ εσδμ Κλάβμ.
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α Οδ αλδγηκέ x=re(), y=im(), πλκδκλέακυθ πζάλπμ κ βηέκ κ πέπκ. Έθαμ Ϊζζκμ λσπκμ ΰδα θα πλκδκλέκυη πζάλπμ κ βηέκ κ πέπκ, Ϊλα εαδ κθ ηδΰαδεσ αλδγησ, έθαδ αθέ ΰδα δμ εαλδαθϋμ κυ υθαΰηϋθμ θα υκυη δμ πκζδεϋμ υθαΰηϋθμ, r εαδ γ (r έθαδ κ ηϋλκ κυ δαθτηακμ πκυ ιεδθϊδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ εαδ εααζάΰδ κ βηέκ εαδ γ έθαδ β ΰπθέα πκυ ξβηαέαδ κ δϊθυηα αυσ η κθ Ϊικθα πθ x). Σκ r σ ζϋΰαδ ηϋλκ κυ ηδΰαδεκτ αλδγηκτ, εαδ υηίκζέααδ η, εαδ κ γ ζϋΰαδ σλδηα κυ, εαδ υηίκζέααδ η arg(). Όππμ ηπκλέ θα δ εαθέμ τεκζα απσ κ δϊΰλαηηα Argand (ίζ. ξ. 1ί), αθ ηδα ΰπθέα γ έθαδ σλδηα θσμ ηδΰαδεκτ, σ εϊγ ΰπθέα γ+kπ, σπκυ k αεϋλαδκμ, γα έθαδ πέβμ σλδηα κυ. Σκ σλδηα θσμ ηδΰαδεκτ αλδγηκτ βζαά θ έθαδ ηκθκάηαθα κλδηϋθκ. πσ σζμ δμ υθαϋμ ΰπθέμ πκυ ηπκλκτθ θα γπλβγκτθ σλδηα κυ ηδΰαδεκτ, β ΰπθέα γ ΰδα βθ κπκέα δξτδ 0 ζϋΰαδ ίαδεσ σλδηα κυ εαδ υηίκζέααδ η Arg(). Ιξτδ βζαά arg( ) Arg( ) k. (1) Οδ πκζδεϋμ υθαΰηϋθμ θσμ ηδΰαδεκτ υθϋκθαδ η δμ εαλδαθϋμ ηϋπ πθ ξϋπθ: 1 y r x y, arg( ) tan ( ), () x κδ κπκέμ ηπκλκτθ θα ιαξγκτθ τεκζα απσ λδΰπθκηλέα. θέλκφα, κδ εαλδαθϋμ υθαΰηϋθμ εφλϊακθαδ ηϋπ πθ πκζδευθ πμ xrcos( ), y rsin( ). (3) Έξκυη σ i xiy rcos irsin re. (4) Σκ ζυαέκ ηϋζκμ βμ δσβαμ (4) πλκετπδ απσ κθ πκζτ βηαθδεσ πο ου Euler, τηφπθα η κθ κπκέκ i e cos isin. (5) Ο τπκμ αυσμ ηπκλέ θα απκδξγέ τεκζα η αθϊπυΰηα Taylor βμ εγδεάμ υθϊλββμ. Όππμ έξθαδ βθ ι. (4), κ ηπκλέ θα ΰλαφέ ηϋπ πθ πκζδευθ υθαΰηϋθπθ r εαδ γ πμ re e i iarg( ). (6) Ο λσπκμ αυσμ ΰλαφάμ κυ (βζ. ηϋπ πθ r εαδ γ), ζϋΰαδ πκζδεά ΰλαφά κυ. Εφαογ: Τπκζκΰέ κ ηϋλκ εαδ κ σλδηα πθ ηδΰαδευθ i,, i,4,4 i i. Τπκζκΰέ κ πλαΰηαδεσ εαδ κ φαθαδεσ ηϋλκμ πθ αλδγηυθ i/ i/3 i e, e, e. Π α Έπ κδ ηδΰαδεκέ αλδγηκέ 1 x1 iy1, x iy. Ισβα ηδΰαδευθ: Οδ ηδΰαδεκέ 1 εαδ έθαδ έκδ αθ εαδ ησθκ αθ x1 xεαδ y1 y.
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 3 Οδ πλϊιδμ ΰθδεΪ ηαιτ ηδΰαδευθ ηπκλκτθ θα ιαξγκτθ τεκζα ηϋπ πθ πλϊιπθ ηαιτ πλαΰηαδευθ. ΠαλαεΪπ αθαφϋλκθαδ υθκπδεϊ κδ ίαδεϋμ πλϊιδμ. Άγλκδηα ηδΰαδευθ: 1 ( x1x) i( y1 y) (ηπκλέ θα δξγέ τεκζα ξλβδηκπκδυθαμ πλσγβ πλαΰηαδευθ). Η ΰπηλδεά αθαπαλϊαβ κυ αγλκέηακμ έξθαδ κ ξάηα α. ξ. α: Γπηλδεά αθαπαλϊαβ κυ αγλκέηακμ ηδΰαδευθ. ξ. ί: Γπηλδεά αθαπαλϊαβ κυ ΰδθκηΫθκυ ηδΰαδευθ. ξ. ΰ: Γπηλδεά αθαπαλϊαβ κυ υαυΰκτμ ηδΰαδεκτ. Γδθσηθκ η πλαΰηαδεσ: k1 kx1 iky1, σπκυ k πλαΰηαδεσμ. Μκθαδαέκ κδξέκ κυμ ηδΰαδεκτμ έθαδ κ πλαΰηαδεσμ αλδγησμ 1 (δξτδ 1 ΰδα εϊγ x iy ). Μβθδεσ κδξέκ έθαδ κ αλδγησμ ηβϋθ (δξτδ 0 0 ΰδα εϊγ x iy ). (βηδυ σδ σκ κδ πλαΰηαδεκέ αλδγηκέ σκ εαδ κδ φαθαδεκέ απκζκτθ υπκτθκζα κυ υθσζκυ πθ ηδΰαδευθ.) Γδθσηθκ ηδΰαδευθ: 1 ( x1iy1)( xiy) ( x1y 1xy) ixy ( 1 xy1). Άεββ: Τπκζκΰέ κ ηϋλκ εαδ κ σλδηα κυ ΰδθκηΫθκυ 1 υθαλάδ πθ εαλδαθυθ υθαΰηϋθπθ πθ 1 εαδ. i1 i ΓλΪφκθαμ κυμ αλδγηκτμ 1 εαδ πκζδεά ηκλφά, 1 re 1, re, κ ΰδθσηθκ 1 ηπκλέ i( 1 ) θα ΰλαφέ πμ 1 rre 1. πσ β ξϋβ αυά ΰέθαδ φαθλσ σδ κ ηϋλκ κυ ΰδθκηΫθκυ 1 έθαδ έκ η κ ΰδθσηθκ πθ ηϋλπθ πθ ηδΰαδευθ 1 εαδ, εαδ κ σλδηα κυ ΰδθκηΫθκυ έθαδ κ Ϊγλκδηα πθ κλδηϊπθ πθ 1,, βζαά 1 1, arg( 1 ) arg( 1) arg( ). (7) Η ΰπηλδεά αθαπαλϊαβ κυ ΰδθκηΫθκυ έξθαδ κ ξάηα ί. υαυΰάμ ηδΰαδεκτ: Γδα εϊγ ηδΰαδεσ x iy κλέααδ κ υαυΰάμ ηδΰαδεσμ,, πμ κ αλδγησμ κ κπκέκμ Ϋξδ έδκ πλαΰηαδεσ ηϋλκμ η κθ εαδ αθέγκ φαθαδεσ. βζαά xiy x iy. (8) Άεββ: Τπκζκΰέ κ ηϋλκ εαδ κ σλδηα κυ * εαδ έι σδ εαδ arg( ) arg( ).
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 4 Άλα, αθ i re, σ re i Παλαβλά σδ σκ βθ εαλδαθά σκ εαδ βθ πκζδεά ΰλαφά κτ κ * ίλέεαδ τεκζα η βθ αθδεαϊαβ κυ i απσ i. ΓθδεΪ, κπκδαάπκ ηκλφά εαδ αθ έθαδ ΰλαηηΫθκμ κ αλδγησμ, κ υαυΰάμ κυ ηπκλέ θα ίλγέ πκζτ τεκζα αθδεαγδυθαμ σζα α i η i. Ο υαυΰάμ θσμ ηδΰαδεκτ παλδϊθαδ ΰλαφδεΪ σππμ έξθαδ κ ξ. ΰ. ΓλΪφκθαμ κθ εαδ κθ υαυΰά κυ εαλδαθά ηκλφά, ηπκλκτθ θα απκδξγκτθ τεκζα κδ ιάμ ξϋδμ: x y (9) (παλαβλά σδ κ πκζζαπζαδαησμ η κθ υαυΰά κβΰέ πλαΰηαδεσ αλδγησ). Re( ) x, Im( ) y. (10) i Αθέλκφκμ ηδΰαδεκτ: Γδα εϊγ ηδΰαδεσ, ηβ ηβθδεσ, κλέααδ κ αθέλκφκμ, 1/, απσ β ξϋβ (1 / ) 1. Σκ πλαΰηαδεσ εαδ κ φαθαδεσ ηϋλκμ κυ αθδλσφκυ υπκζκΰέακθαδ τεκζα ηϋπ πκζζαπζαδαηκτ η κθ υαυΰά κυ παλκθκηαά, βζαά θ κ έαδ πκζδεά ηκλφά, 1 1 1 x iy x iy x y i xiy xiy xiy x y x y x y i re, σ i 1 1 re 1 i e. (1) i i re re r. (11) Οδ ξϋδμ (1) έξθκυθ σδ κ ηϋλκ κυ αθδλσφκυ έθαδ κ αθέλκφκ κυ ηϋλκυ κυ εαδ κ σλδηϊ κυ έθαδ κ αθέγκ κυ κλέηακμ κυ. Εφαληκΰά: θ Ϋξκυη Ϋθαθ ηδΰαδεσ αλδγησ η ηϋλκ ηκθϊα υπκζκΰέ κθ αθέλκφκ εαδ κθ υαυΰά κυ. Σδ παλαβλέ; Τπκζκΰέ κθ αθέλκφκ εαδ κθ υαυΰά κυ i. Λσΰκμ ηδΰαδευθ: Ο ζσΰκμ τκ ηδΰαδευθ, 1/, δκυθαηέ η πκζζαπζαδαησ κυ 1 η κθ αθέλκφκ κυ. (δμ πλδσλμ πλδπυδμ σπκυ Ϋξκυη δαέλβ ηδΰαδευθ, έθαδ πκζτ ίκζδεσ θα πκζζαπζαδϊαδ εαθέμ αλδγηβά εαδ παλκθκηαά η κθ υαυΰά κυ παλκθκηαά, υ θα απαζέφκθαδ κδ φαθαδεκέ αλδγηκέ απσ κυμ παλκθκηαϋμ.) ΕφαληκΰΫμ: πκέι σδ ( ) * * * 1 1 λέ κθ υαυΰά κυ ( ) 43i (3 i). * * * 1 1 Τπκζκΰέ κ πλαΰηαδεσ εαδ φαθαδεσ ηϋλκμ κυ ( / ) /. * * * 1 1 i e i 3 (3 ) εαδ κυ 1 3 i i3 e. i Χλβδηκπκδυθαμ κθ τπκ κυ Euler ΰδα κ e i εαδ κ e, εφλϊ κ βηέκθκ εαδ κ υθβηέκθκ ηϋπ εγδευθ. Θα πλϋπδ θα εααζάι α:
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 5 πο ου de Moivre πσ βθ δσβα ( e ) πλκετπδ τεκζα σδ e i n in i i i i e e e e cos( ) εαδ sin( ). i, αθαπτκθαμ εαδ α τκ ηϋζβ τηφπθα η κθ τπκ κυ Euler, n [cos( ) isin( )] cos( n ) isin( n. ) Ο παλαπϊθπ τπκμ, ΰθπσμ πμ τπκμ κυ de Moivre, ηαμ ζϋδ σδ κ σλδηα βμ n-άμ τθαηβμ ηδΰαδεκτ δκταδ η n φκλϋμ κ σλδηα κυ ηδΰαδεκτ. Ο τπκμ κυ de Moivre έθαδ πκζτ ξλάδηκμ ΰδα κθ υπκζκΰδησ υθϊηπθ λδΰπθκηλδευθ υθαλάπθ ηϋπ λδΰπθκηλδευθ υθαλάπθ πκζζαπζϊδπθ σιπθ, εαδ αθέλκφα. Εφαληκΰά: Χλβδηκπκδά κθ τπκ κυ de Moivre ΰδα θα εφλϊ κ sin(γ) εαδ κ cos(γ) υθαλάδ πθ sin(γ) εαδ cos(γ). γω αηα Γδα εϊγ ηδΰαδεκτμ αλδγηκτμ 1 εαδ ηπκλέ θα απκδξγέ σδ 1 1 εαδ 1 1, ά, πδκ υθπυΰηϋθα, 1 1 1. Η δπζά αυά αθδσβα έθαδ ΰθπά πμ λδΰπθδεά αθδσβα εαδ ηπκλέ θα απκδξγέ τεκζα υπκζκΰέακθαμ κ εαδ υΰελέθκθϊμ κ, π.ξ. ΰδα κ τλκ ηϋζκμ, η κ ( ). 1 1
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 6 υα α α αθαζκΰέα η δμ πλαΰηαδεϋμ υθαλάδμ, f(x), κδ κπκέμ αθδκδξέακυθ/απδεκθέακυθ Ϋθαθ πλαΰηαδεσ αλδγησ x, πκυ αθάεδ δϊβηα [α,ί] (κ κπκέκ ζϋΰαδ πέκ κλδηκτ βμ υθϊλββμ), κθ αλδγησ y=f(x), κλέακθαδ εαδ κδ ηδΰαδεϋμ υθαλάδμ. Οδ ηδΰαδεϋμ υθαλάδμ, π.ξ. f(), εϊγ ηδΰαδεσ αλδγησ/ηαίζβά =x+iy αθδκδξέακυθ κθ ηδΰαδεσ αλδγησ (ά κυμ ηδΰαδεκτμ αλδγηκτμ) w=f(), κ κπκέκμ ζϋΰαδ δεσθα κυ. Πέκ κλδηκτ βμ υθϊλββμ ηπκλέ θα έθαδ εϊγ πλδκξά κυ ηδΰαδεκτ πδπϋκυ ά εϊγ εαηπτζβ πϊθπ κ ηδΰαδεσ πέπκ. θ =x+iy, σ β f() ηπκλέ θα ΰλαφέ πμ f()=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y), σπκυ η u υηίκζέααδ κ πλαΰηαδεσ ηϋλκμ βμ f εαδ η v κ φαθαδεσ. Π.ξ. ΰδα f()= =(x+iy), u(x,y)=x -y εαδ v(x,y)=xy. θέγα η β ΰπηλδεά απδεσθδβ πλαΰηαδευθ υθαλάπθ, β κπκέα ηπκλέ θα ΰέθδ Ϋθα πέπκ δϊΰλαηηα σπκυ κ πέκ κλδηκτ (τθκζκ πθ υθαυθ δηυθ βμ ηαίζβάμ x) απδεκθέααδ κθ κλδασθδκ Ϊικθα εαδ κ πέκ δηυθ (κ τθκζκ πθ αθέκδξπθ δεσθπθ) κθ εααεσλυφκ Ϊικθα, ΰδα βθ ΰπηλδεά απδεσθδβ ηδΰαδευθ υθαλάπθ ξλβδηκπκδκτη τκ δαΰλϊηηαα Argand - Ϋθα ΰδα βθ απδεσθδβ κυ πέκυ κλδηκτ (πέπκ ) εαδ Ϋθα ΰδα βθ απδεσθδβ κυ πέκυ δηυθ (πέπκ w), σππμ φαέθαδ κ ξάηα 3. ξ. 3: Η υθϊλββ w=f() απδεκθέαδ ηδα πλδκξά κυ ηδΰαδεκτ πδπϋκυ (ΰλαηηκεδαηΫθβ πλδκξά κ πέπκ ) ηδα Ϊζζβ πλδκξά (ΰλαηηκεδαηΫθβ πλδκξά κυ πδπϋκυ w=f()). οχ υα Οδ ηδΰαδεϋμ υθαλάδμ, αθαζκΰέα η δμ πλαΰηαδεϋμ, ηπκλκτθ θα ΰλαφκτθ πμ υθυαηκέ κδξδπυθ υθαλάπθ, κδ ευλδσλμ απσ δμ κπκέμ έθαδ κδ υθϊηδμ, β εγδεά υθϊλββ, κδ λδΰπθκηλδεϋμ υθαλάδμ εαδ κδ υπλίκζδεϋμ υθαλάδμ. υϋμ κλέακθαδ πμ ιάμ: Ύοπβ τθαηβ: n,...(n-φκλϋμ). xiy x iy x Εεγδεά υθϊλββ: e e e e e (cos y isin y). Γδα κ ζυαέκ ηϋλκμ βμ δσβαμ ξλβδηκπκδάγβε κ τπκμ κυ Euler. Οδ λδΰπθκηλδεϋμ υθαλάδμ κυμ ηδΰαδεκτμ κλέακθαδ ηϋπ βμ εγδεάμ υθϊλββμ, πμ ιάμ:
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 7 e cos i e i i i e e, sin, i sin tan, cos cos 1 cot sin tan. (13) ΤπλίκζδεΫμ υθαλάδμ : Οδ υπλίκζδεϋμ υθαλάδμ κλέακθαδ σππμ κυμ πλαΰηαδεκτμ, ηϋπ βμ εγδεάμ υθϊλββμ, πμ ιάμ: e cosh e e e, sinh, sinh tanh, cosh cosh 1 coth sinh tanh. (14) Χλβδηκπκδυθαμ κθ κλδησ πθ εγδευθ εαδ λδΰπθκηλδευθ υθαλάπθ, ηπκλκτθ θα απκδξγκτθ πκζτ τεκζα κδ παλαεϊπ ξϋδμ (απκέι δμ): cos( i) cosh, sin( i) i sinh, cosh sin 1. (15) Π υα Όζμ κδ υθαλάδμ πκυ κλέβεαθ παλαπϊθπ εϊγ αλδγησ αθδκδξέακυθ Ϋθα ησθκ f(), ΰδα αυσ εαδ ζϋΰκθαδ ηκθσδημ. ΤπΪλξκυθ σηπμ εαδ υθαλάδμ κδ κπκέμ εϊγ αθδκδξέακυθ πλδσλα απσ Ϋθα f(). Οδ υθαλάδμ αυϋμ κθκηϊακθαδ πζδσδημ. Οδ ίαδεϋμ πζδσδημ υθαλάδμ έθαδ β λέαα, κ ζκΰϊλδγηκμ εαδ β τοπβ ηδΰαδεκτ αλδγηκτ τθαηβ η εγϋβ ηδΰαδεσ. Ρέαα ΛΫη σδ Ϋθαμ αλδγησμ w έθαδ λαΰπθδεά λέαα κυ ηδΰαδεκτ, εαδ ΰλΪφκυη 1/ w f( ), αθ κ w δεαθκπκδέ βθ ιέπβ w. Η ιέπβ αυά έθαδ Ϋθα πκζυυθυηκ τλκυ ίαγηκτ πμ πλκμ w, εαδ, τηφπθα η κ Θηζδυμ Θυλβηα δμ Άζΰίλαμ 3, Ϋξδ τκ ζτδμ, βζαά υπϊλξκυθ τκ αλδγηκέ w κδ κπκέκδ έθαδ λαΰπθδεϋμ λέαμ κυ (πσμ θδκϋμ λέαμ γα Ϋξδ κ ;). Γδα θα ίλκτη δμ λέαμ (εϊγ Ϊιβμ) θσμ ηδΰαδεκτ, ΰλΪφκυη κθ αλδγησ βθ πδκ ΰθδεά i ik πκζδεά ηκλφά, βζαά re, σπκυ r έθαδ ηϋλκ κυ, γ κ πλπτκθ σλδηϊ κυ εαδ k αεϋλαδκμ πκυ παέλθδ δμ δηϋμ 0,1,,3 Σσ, n 1/ n iik 1/ n i/ ni k/ n ( ). (16) w re re Γδα δμ λαΰπθδεϋμ λέαμ κ τπκμ (16) έθδ w re re 1/ iik 1/ i/ik ( ). Παλαβλά σδ β λέαα κυ ηδΰαδεκτ θ έθαδ ηκθαδεά, αζζϊ ιαλϊαδ απσ βθ δηά κυ k. Οδ υθαλάδμ αυϋμ ζϋΰκθαδ υπλίκζδεϋμ ΰδαέ κ τθκζκ πθ βηέπθ (cos( ),sin( )), (, ), t t t ξβηαέαδ κ ιδσ ηϋλκμ υπλίκζάμ. 3 Σκ Θηζδυμ Θυλβηα βμ Άζΰίλαμ ζϋδ σδ εϊγ πκζυυθυηκ n ίαγηκτ Ϋξδ n λέαμ (κ τθκζκ πθ ηδΰαδευθ).
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 8 Γδα k 0 ww0 re k 1 w w re i/ i( / ) 1 i( / ) k w w re w0 i( /3 ) k 3 w w3 re w1... Παλαβλκτη βζαά σδ Ϋξκυη τκ δαφκλδεϋμ λαΰπθδεϋμ λέαμ κυ, υηφπθέα η κ Θηζδυμ Θυλβηα βμ Άζΰίλαμ. Όηκδα, κδ λέμ λέαμ θσμ ηδΰαδεκτ γα έθαδ λέμ, εαδ κδ θδκϋμ λέαμ γα έθαδ n κ πζάγκμ. θ φαλησκυη α παλαπϊθπ ΰδα θα υπκζκΰέκυη δμ λέμ λέαμ βμ ηκθϊαμ γα Ϋξκυη w e e 1/3 1/3 /3 1 ( ik ik ) => Γδα k ww e 3 i/3 k 1 w w1 1 e 3 k w w 1 e 3 0 0 0 1 1 4 i/3 Οδ λέαμ αυϋμ απδεκθέακθαδ ΰλαφδεΪ σππμ έξθαδ κ ξ. 4. ξ. 4: Γλαφδεά απδεσθδβ πθ αλδγηυθ πκυ απκζκτθ δμ λέμ λέαμ βμ ηκθϊαμ. Εφαληκΰά: Τπκζκΰέ δμ Ϋαλμ λέαμ βμ ηκθϊαμ εαδ δμ λαΰπθδεϋμ λέαμ κυ i. ΛκΰΪλδγηκμ ηδΰαδεκτ εσμ απσ β λέαα, Ϊζζβ βηαθδεά πζδσδηβ υθϊλββ έθαδ κ ζκΰϊλδγηκμ θσμ ηδΰαδεκτ, w f ( ) ln( ). Γδα θα υπκζκΰέκυη κ ζκΰϊλδγηκ εαδ πϊζδ ιεδθϊη απσ βθ πκζδεά ηκλφά κυ. ΓλΪφκυη iik iik w ln( ) ln( re ) ln r ln e ln r i ik, k=0,1,, (17) (ξλβδηκπκδάαη κ ΰΰκθσμ σδ κ ζκΰϊλδγηκμ εαδ κ εγδεσ έθαδ αθέλκφμ υθαλάδμ). Παλαβλά σδ κ ζκΰϊλδγηκμ ιαλϊαδ απσ βθ δηά κυ αεϋλαδκυ αλδγηκτ k. Γδα εϊγ δηά κυ k κ ζκΰϊλδγηκμ έθαδ δαφκλδεσμ, εαδ υπϊλξκυθ Ϊπδλμ υθαϋμ δαφκλδεϋμ δηϋμ. Παλαβλά πέβμ σδ κυμ ηδΰαδεκτμ εαδ κδ αλθβδεκέ αλδγηκέ Ϋξκυθ ζκΰϊλδγηκ. Σκθ ζκΰϊλδγηκ πκυ αθδκδξέ k=0 κθ κθκηϊακυη πκζζϋμ φκλϋμ εαδ ίαδεσ ζκΰϊλδγηκ, εαδ κθ υηίκζέακυη η Ln, βζαά Ln( ) ln ri, 0. (18) Λσΰπ βμ πζδσδηβμ φτβμ κυ ζκΰαλέγηκυ, ίαδεϋμ δδσβμ κυ ζκΰαλέγηκυ πκυ ιϋλκυη απσ κυμ πλαΰηαδεκτμ αλδγηκτμ κυμ ηδΰαδεκτμ θ δξτκυθ. βζαά ΰδα 1, ηδΰαδεκτμ
ΣΕΣΤ ΕφαληκηΫθα ΜαγβηαδεΪ Μδΰαδεά ΑθΪζυβ Α 9 ln( ) ln ln, 1 1 ln( ) nln. n 1 1 Οδ παλαπϊθπ ξϋδμ θ δξτκυθ κτ εαδ ΰδα κθ ίαδεσ ζκΰϊλδγηκ (έθαδ τεκζκ, π.ξ., θα δ 4 εαθέμ σδ Ln( i ) 4Ln i). Άζζβ πζδσδηβ υθϊλββ έθαδ β τοπβ τθαηβ η εγϋβ ηδΰαδεσ, βζαά β υθϊλββ t η t εαδ ηδΰαδεκτμ. Η υθϊλββ αυά κλέααδ ηϋπ βμ εγδεάμ εαδ ζκΰαλδγηδεάμ υθϊλββμ πμ ιάμ: t e. (0) ln t (19) βηέκ δαεζϊπβμ πζδσδηβμ υθϊλββμ. ΣΪιβ βηέκυ δαεζϊπβμ. θϊ υθηϋθβ η βθ Ϋθθκδα βμ πζδσδηβμ υθϊλββμ έθαδ β Ϋθθκδα κυ βηέκυ δαεζϊπβμ. ΛΫη σδ Ϋθα βηέκ 0 έθαδ βηέκ δαεζϊπβμ βμ πζδσδηβμ υθϊλββμ f() αθ ηδα πζάλβμ πλδλκφά κυ ΰτλπ απσ κ 0 θ φϋλθδ β υθϊλββ f() βθ αλξδεά βμ δηά. Π.ξ., ΰδα β υθϊλββ f ( ) βηέκ δαεζϊπβμ έθαδ κ 0 =0. Μδα πζάλβμ πλδλκφά κυ ΰτλπ απσ κ ηβϋθ, σππμ έαη πδκ πϊθπ, θ παθαφϋλδ β λέαα κυ βθ αλξδεά βμ δηά. Γδα βθ λαΰπθδεά λέαα, θ κτκδμ, ηδα τλβ πλδλκφά ΰτλπ απσ κ ηβϋθ παθαφϋλδ β υθϊλββ βθ αλξδεά βμ δηά. Σκ ηβϋθ σ ζϋΰαδ βηέκ δαεζϊπβμ Ϊιβμ 1. ΓθδεΪ, Ϋθα βηέκ δαεζϊπβμ 0 βμ υθϊλββμ f() ζϋη σδ έθαδ Ϊιβμ n αθ κ ζϊξδκμ αλδγησμ πλδλκφυθ κυ ΰτλπ απσ κ 0 πκυ απαδκτθαδ ΰδα θα παθϋζγδ β υθϊλββ f() βθ αλξδεά βμ δηά έθαδ n+1. Οδ δαφκλδεϋμ δηϋμ ηδα πζδσδηβμ υθϊλββμ κθκηϊακθαδ εαδ εζϊκδ βμ υθϊλββμ. βηέκ δαεζϊπβμ βμ λέααμ έθαδ πέβμ εαδ κ 0. (βηδυ σδ, αθέγβ η κυμ πλαΰηαδεκτμ, κυμ ηδΰαδεκτμ υπϊλξδ ησθκ Ϋθα Ϊπδλκ. Η υηπλδφκλϊ ηδαμ υθϊλββμ f() κ Ϊπδλκ πλκδκλέααδ απσ β υηπλδφκλϊ βμ 1/f() κ ηβϋθ.) Γδα θα απκφτΰκυη βθ παλκυέα πκζζαπζυθ δηυθ ΰδα ηδα υθϊλββ εαδ θα ηπκλκτη θα β ξδλδασηα πμ ηκθσδηβ, κλέακυη β ζΰσηθβ κηά ηδΰαδεάμ υθϊλββμ. Σκηά ηδΰαδεάμ υθϊλββμ έθαδ εϊγ ΰλαηηά πκυ θυθδ τκ βηέα δαεζϊπβμ. Π.ξ., ΰδα β λέαα κηά ηπκλέ θα έθαδ κπκδαάπκ ΰλαηηά πκυ θυθδ κ ηβϋθ εαδ κ Ϊπδλκ. Σβθ κηά υθάγπμ β υηίκζέακυη ξβηαδεϊ η ηδα ευηακδά ΰλαηηά. Ολέακθαμ ΰδα ηδα πζδσδηβ ηδΰαδεά υθϊλββ ηδα κηά εαδ απαΰκλτκθαμ β ηαίζβά θα δαξέδ αυά βθ κηά, ηπκλκτη θα ιαφαζέκυη β ηκθκδηέα βμ f(). Η δαδεαέα αυά ζϋΰαδ ηκθκβηαθκπκέββ πζδσδηβμ υθϊλββμ. Γδα θα πλκδκλέκυη πκδκμ αελδίυμ εζϊκμ βμ υθϊλββμ πδζϋΰαδ αλεέ θα υκυη, εσμ απσ κθ τπκ βμ υθϊλββμ, βθ δηά βμ ΰδα εϊπκδκθ, κπκδκθάπκ, ηδΰαδεσ αλδγησ. Εφαληκΰά: Τπκζκΰέ βθ λαΰπθδεά λέαα θσμ ηδΰαδεκτ πδζϋΰκθαμ κθ εζϊκ ΰδα κθ i /4 κπκέκ i e, αθ πμ κηά κλδέ κ πλαΰηαδεσμ γδεσμ βηδϊικθαμ.
Σηώαα Σηωα ααφοά Copyright απ Κ, Μαα Καφέ «φαα Μααέ Μα υ»έ Έμ 1έίέ Η βί1ηέ α απ υα υμ https://opencourses.uoc.gr/courses/course/view.php?id=337 Σηωα Αοόηη πα υ αα υ υ α χ Creative Commons αφ, Μ π Χ, Όχ α Έ ζέί [1] α, Έέ αα α αυ α πέχέ φαφ, ααα έέπέ, α πα πχα αυ α α πα ααφα α υ υ χ υ «α Χ Έ»έ [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ω Μη πο α χμ πυ πα φ απ χ υ υ, α αα υ υ α αχ πυ πα υαα ππ α χ πα πυ ππ αα υ υ α αχ φ (πέχέ αφ) απ π υ υ αυα π αχ π α παχ αχ χ α α χπ α π χ, φ αυ υ έ αηη Σηωάω παπ ααπαα αυ υ υ α ππ α υπαμ α αφ α α α υ υυυ υπυυέ
Χηαοόηη πα παυ υ χ ααπυχ α παα υ παυ υ υ αέ «αα Μααα απ Κ» χ χα αααφ υ παυ υέ υπα πα υ πχα α «παυ α α υ Μ» α υχαα απ υπα Έ (υπα Κ α) α απ πυέ