Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 [8] παρονομαστής αλλά δεν είναι ακέραιες αναλυτικές αφού δεν είναι αναλυτικές στα σημεία που μηδενίζεται ο παρονομαστής. Οι συναρτήσεις e, sin, cos, sinh, cosh είναι ακέραιες αναλυτικές συναρτήσεις. Γενικότερα, το άθροισμα, το γινόμενο, και η σύνθεση αναλυτικών συναρτήσεων είναι αναλυτική συνάρτηση. Επίσης το πηλίκο αναλυτικών συναρτήσεων είναι αναλυτική στα σημεία που δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής. Μια έννοια πολύ χρήσιμη στις εφαρμογές στην φυσική είναι η έννοια της αρμονικής συνάρτησης που ορίζεται ως εξής: Μια πραγματική συνάρτηση δύο πραγματικών μεταβλητών θα λέγεται αρμονική σε κάποιο χωρίο του επιπέδου x,y αν σε αυτό το χωρίο έχει συνεχείς δεύτερες μερικές παραγώγους και ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace. Έστω f( ) = uxy (, ) + ivxy (, ) μια συνάρτηση αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου. Τότε το πραγματικό της μέρος uxy (, ) και το φανταστικό της μέρος vxy (, ) είναι αρμονικές συναρτήσεις. Ειδικότερα, η vxy (, ) λέγεται αρμονική συζυγής της uxy. (, ) Αν μια συνάρτηση uxy (, ) είναι αρμονική σε ένα ειδικού τύπου χωρίο που λέγεται απλά συνεκτικό, τότε σε αυτό το χωρίο πάντα υπάρχει η αρμονική συζυγής της vxyη (, ) οποία ορίζεται μονοσήμαντα εκτός από μια αυθαίρετη προσθετική σταθερά. Το μέτρο f( ) μιας αναλυτικής συνάρτησης f( ) ορισμένης σε κλειστή και φραγμένη περιοχή του μιγαδικού επιπέδου δεν μπορεί να λαμβάνει ακρότατο στο εσωτερικό αυτής της περιοχής. 4. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση την σχέση e, ή exp( ) όπως εναλλακτικά συμβολίζεται, ορίζεται από x e = e (cos y+ isin y) (4.1) όπου = x + iy. Όταν = iy τότε ο ανωτέρω τύπος παίρνει την μορφή iy e = cos y+ isin y (4.2) και είναι γνωστός ως τύπος του Euler. Οι βασικές της ιδιότητες είναι οι ακόλουθες: x Μέτρο: e = e 0, C Εκθετική ιδιότητα: e e = e,, C. 1 2 e 1 =. e Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους

4 [9] Παράγωγος: n n ( e ) = e, όπου n= 0, ± 1, ± 2,... de e d = (4.3) + 2πi 2πi Περιοδικότητα: e = ee = e, δηλαδή φανταστική περίοδος 2π i. Η e ως απεικόνιση: Η λουρίδα y0 y< y0 + 2π i στο -επίπεδο απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα στο w-επίπεδο από το οποίο έχει αφαιρεθεί το σημείο w = 0. y v x Σχήμα 3.1 u Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, οι cos, sin, tan, cot, ορίζονται μέσω της εκθετικής συνάρτησης από τους ακόλουθους τύπους i i e + e cos = 2 (4.4) i i e e sin = 2i (4.5) sin 1 tan = = i 2i cos 1+ 2i e (4.6) cos 1 cot = = i+ 2i (4.7) 2i sin e 1 Δυνάμει του τύπου του Euler όταν η μεταβλητή παίρνει πραγματικές τιμές οι ανωτέρω συναρτήσεις ταυτίζονται με τις γνωστές μας τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής και ως εκ τούτου αποτελούν την γενίκευσή τους στο σύνολο C. Όταν η μεταβλητή παίρνει καθαρά φανταστικές τιμές είναι σαφές από τους ανωτέρω ορισμούς ότι οι sin, cos (και επομένως και οι tan, cot ) εκφράζονται άμεσα από τις αντίστοιχες πραγματικές υπερβολικές συναρτήσεις sin( iy) = i sinh y, cos( iy) = cosh y. (4.8) Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους

5 [10] Περιοδικότητα: Οι sin και cos έχουν περίοδο 2π. Οι tan και cot έχουν περίοδο π. Συμμετρίες: Οι sin, tan, cot είναι περιττές. Η cos είναι άρτια. Ρίζες: π π sin( kπ) = tan( kπ) = cos kπ + = cot kπ + = 0, όπου k Z. (4.9) 2 2 Ταυτότητες: Όλες οι γνωστές μας τριγωνομετρικές ταυτότητες στο R συνεχίζουν να ισχύουν με την ίδια μορφή και για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με μιγαδική μεταβλητή. Έτσι π.χ. ισχύουν οι τύποι sin( + ) = sin cos + cos sin, (4.10) cos( + ) = cos cos sin sin, (4.11) sin cos 1 + =. (4.12) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της sin μπορεί να βρεθεί αμέσως αν στην (4.10) θέσουμε 1 = x, 2 = iy και χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (4.8). Έτσι βρίσκουμε ότι sin = sin xcosh y+ icos xsinh y, (4.13) όπου = x + iy. Εντελώς ανάλογα προκύπτει και η αντίστοιχη σχέση για το cos cos = cos xcosh y isin xsinh y. (4.14) Βασιζόμενοι στις (4.13) και (4.14) μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το μέτρο των sin και cos. Βρίσκουμε τις σχέσεις sin = sin x+ sinh y (4.15) cos = cos x+ sinh y. (4.16) Εδώ βλέπουμε μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στις συναρτήσεις sin και cos ορισμένες στο R και στην γενίκευσή τους στο C. Δηλαδή ότι οι συναρτήσεις sin και cos δεν είναι φραγμένες (διότι δεν είναι φραγμένη η sinh y ), σε αντίθεση με τις sin x και cos x που είναι φραγμένες αφού παίρνουν τιμές μόνο στο διάστημα [-1,1]. Όσον αφορά την παραγωγισιμότητά τους οι συναρτήσεις sin και cos είναι ακέραιες αναλυτικές αφού είναι γραμμικοί συνδυασμοί της εκθετικής συνάρτησης. Οι παράγωγοί τους προκύπτουν άμεσα από τους τύπους ορισμού, (4.4), (4.5) και την (4.3) και έχουν την ίδια μορφή με αυτή των αντίστοιχων συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, δηλαδή d d (sin ) = cos, (cos ) = sin. (4.17) d d Η συνάρτηση tan είναι αναλυτική σε όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου εκτός από τα σημεία που μηδενίζουν το cos. Παρόμοια, η cot δεν είναι αναλυτική μόνο στα σημεία που μηδενίζουν το sin. Εύκολα βρίσκουμε ότι οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων είναι Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους

6 [11] d 1 d 1 (tan ) =, (cot ) =. (4.18) 2 2 d cos d sin Οι υπερβολικές συναρτήσεις Οι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται μέσω των τύπων e + e cosh =, 2 (4.19) e e sinh =, 2 (4.20) sinh 2 tanh 1 2 cosh 1 e, (4.21) cosh 2 coth = = 1+ 2 sinh e 1 (4.22) Οι βασικές ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων μπορούν να εξαχθούν από αντίστοιχες ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων αν παρατηρήσουμε ότι οι πρώτες συνδέονται με τις δεύτερες μέσω των σχέσεων cosh = cos( i), sinh = i sin( i). (4.23) Περιοδικότητα: Οι sinh και cosh έχουν φανταστική περίοδο 2πi. Οι tanh και coth έχουν περίοδο πi. Συμμετρίες: Οι sinh, tanh, coth είναι περιττές. Η cosh είναι άρτια. Ρίζες: Οι ρίζες των υπερβολικών συναρτήσεων είναι καθαρά φανταστικές και δίνονται από τις σχέσεις sinh( kπi) = tanh( kπi) = 0, k Z, (4.24) 1 1 cosh k πi coth + = k+ πi = 0, k 2 2 Z. (4.25) Ταυτότητες: Έχουν την ίδια μορφή με τις αντίστοιχες ταυτότητες στο R, έτσι π.χ. sinh( 1+ 2) = sinh 1cosh 2 + cosh 1sinh 2 (4.26) cosh( 1+ 2) = cosh 1cosh 2 sinh 1sinh 2 (4.27) 2 2 cosh sinh = 1. (4.28) Οι υπερβολικές συναρτήσεις δεν είναι φραγμένες. Τα μέτρα των sinh και cosh δίνονται από τους τύπους όπου = x + iy sinh = sinh x+ sin y (4.29) cosh = sinh x+ cos y (4.30) Οι συναρτήσεις sinh και cosh είναι ακέραιες αναλυτικές με παραγώγους d d (sinh ) = cosh, (cosh ) = sinh. (4.31) d d Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους

7 [12] Η tanh είναι αναλυτική παντού όπου cosh 0, ενώ η coth είναι αναλυτική παντού όπου sinh 0. Εύκολα βρίσκουμε ότι οι παράγωγοί τους είναι οι d 1 d 1 (tanh ) =, (coth ) =. (4.32) cosh sinh 2 2 d d Η συνάρτηση λογάριθμος Η συνάρτηση λογάριθμος, που συμβολίζουμε με το log, ορίζεται ως η αντίστροφη συνάρτηση της e μέσω της σχέσης: log e = με 0. (4.33) i Αν εισάγουμε πολικές συντεταγμένες θέτοντας = re θ και π <Θ π όπου Θ η κύρια τιμή του arg, τότε από την (4.33) προκύπτει αμέσως ότι log = ln r+ i( Θ+ 2 nπ ), με 0 και n= 0, ± 1, ± 2, (4.34) Η συνάρτηση αυτή είναι πλειότιμη λόγω του πλειότιμου χαρακτήρα του ορίσματος. Μπορεί να γίνει μονότιμη και αναλυτική αν περιορίσουμε το όρισμα της μεταβλητής έτσι ώστε α < arg < α + 2π. Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα χωρίο Π(α) που περιλαμβάνει όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου εκτός από τα σημεία της ακτίνας θ = α που ξεκινά από την αρχή Ο και σχηματίζει γωνία α με τον πραγματικό άξονα 1. Η ευθεία αυτή λέγεται εγκοπή κλάδου για την συνάρτηση ενώ η έτσι ορισμένη συνάρτηση λέμε ότι αποτελεί ένα κλάδο της συνάρτησης λογάριθμος. Η παράγωγος της log στο χωρίο Π(α) είναι d 1 (log ) =. (4.35) d Η κύρια τιμή Log της συνάρτησης λογάριθμος ορίζεται με τον τύπο Log = ln r+ iθ, όπου π <Θ π και 0. (4.36) Η συνάρτηση Log είναι μονότιμη. Αν θέσουμε π <Θ< π, (εδώ α = Θ ) τότε λαμβάνουμε τον κύριο κλάδο της συνάρτησης λογάριθμος. Η αντίστοιχη εγκοπή κλάδου συνίσταται από τα σημεία του αρνητικού πραγματικού άξονα. Οι βασικές σχέσεις που ικανοποιεί η συνάρτηση λογάριθμος στο R δηλαδή log( 1 2) = log 1+ log 2 (4.37) 1 log = log 1 log 2 (4.38) 2 συνεχίζουν να ισχύουν και στο C αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η συνάρτηση log είναι πλειότιμη. Έτσι η ισότητα στις (4.37), (4.38) πρέπει να εννοείται ως εξής: Αν σε κάθε μια από τις (4.37), (4.38) έχουμε καθορίσει την τιμή στους δύο από τους τρείς όρους που εμπλέκονται σε αυτή τότε υπάρχει τιμή για τον τρίτο όρο τέτοια ώστε να ικανοποιείται η ισότητα. Προσοχή όμως! Οι (4.37), (4.38) δεν ικανοποιούνται από 1 Είναι σαν να κάναμε μια τομή στο μιγαδικό επίπεδο κατά μήκος αυτής της ακτίνας. Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους

8 [13] την μονότιμη συνάρτηση Log. Επίσης λόγω του πλειότιμου χαρακτήρα της log θα έχουμε ενώ log e = + 2 nπ i, όπου n= 0, ± 1, ± 2,... (4.39) Loge =. (4.40) c Η συνάρτηση f( ) =. Ορισμός: c clog = e αν 0 (4.41) όπου c είναι ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός. Αν στον ανωτέρω ορισμό n θέσουμε c = 1 n όπου n N τότε λαμβάνουμε άμεσα τις ρίζες της εξίσωσης = 1: 1/ n n Θ k Θ k = r cos( + 2 π) + isin( + 2 π) n n n n, (4.42) όπου π <Θ π και k = 0,1, 2,, n 1. Είναι σαφές από τον ορισμό (4.41) ότι η c συνάρτηση είναι πλειότιμη. Αν καθορίσουμε ένα συγκεκριμένο κλάδο για την c log ώστε αυτή να γίνει μονότιμη τότε γίνεται μονότιμη και η. Στο πλαίσιο ενός τέτοιου κλάδου μπορούμε να γράψουμε c1+ c2 c1 c2 c = (σε καθορισμένο κλάδο της ) (4.43) cc 1 2 c1 c2 c = ( ) (σε καθορισμένο κλάδο της ) Η συνάρτηση «τετραγωνική ρίζα του» λαμβάνεται από την (4.42) για n = 2 και γράφεται Θ i 2 1/2 re για k = 0 = (4.44) Θ i 2 re για k = 1 (1 2)Log Η τιμή στον ανωτέρω τύπο αποτελεί τον κύριο κλάδο e της συνάρτησης 12 που είναι δίτιμη. 5. ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η έννοια του δρόμου Η συνάρτηση = () t = x() t + iy(), t με t [ a, b] R (5.1) όπου οι συναρτήσεις x () t και y () t είναι συνεχείς στο διάστημα [ ab, ] λέμε ότι παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο μια ομαλή (ή λεία) καμπύλη. Η καμπύλη αυτή είναι προσανατολισμένη. Δηλαδή καθώς η πραγματική παράμετρος t διατρέχει το διάστημα [ ab, ] κινούμενη από το a προς το b το σημείο t () διατρέχει την καμπύλη Χ. Κολάσης. Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους

9 Τέλος Ενότητας

10 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

11 Σημειώματα

12 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. id=1348.

13 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος. «Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί. ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=1348.

14 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] by-sa/4.0/.