ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 1 Δομή Σύγχρονης Ηλεκτρικής Μηχανής Μαγνητικά Πεδία σε ΣΗΜ Επαγόμενες Τάσεις και αλληλεπίδραση μαγνητικών Πεδίων Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ

Πρόβλημα 1. Έστω ότι ο στάτης μιας σύγχρονης μηχανής είναι όπως στο σχήμα. Στην φάση α υποθέτουμε ότι υπάρχουν 8 πηνία πλήρους βήματος καθένα από τα οποία έχει nc σπείρες. Επειδή στην φάση α αντιστοιχούν (4, +4) αυλάκια, κάθε αυλάκι περιέχει δύο πηνία. Συνολικά στο στάτη υπάρχουν 24 αυλάκια και επομένως η απόσταση μεταξύ των αυλακιών είναι 360 /24=15. Υποθέτουμε ότι η γωνία θ στο χώρο μετριέται από τον μαγνητικό άξονα της φάσης α. Τα τέσσερα επάνω αυλάκια της φάσης α βρίσκονται στις θέσεις 67,5, 82,5, 97,5 και 112,5. Τα τέσσερα κάτω αυλάκια της φάσης α βρίσκονται στις θέσεις -112,5, -97,5, -82,5 και -67,5 αντίστοιχα. Το ρεύμα στο τύλιγμα της φάσης α είναι ia.

Πρόβλημα 1. Διανεμημένο τύλιγμα Πλήρους βήματος 2 στρώσεων/αυλάκι ΜΕΔ που πλησιάζει ημίτονο

Πρόβλημα 1. α) Να γραφεί μια έκφραση για την θεμελιώδη αρμονική της ΜΕΔ που παράγεται από τα δύο πηνία που βρίσκονται στα αυλάκια θ=112,5 και θ=-67,5 ΛΥΣΗ Ο μαγνητικός άξονας του ζεύγους αυλακιών (112,5,-67,5 ) είναι στην γωνία θ=(112,5-67,5)/2=22,5 και οι αμπεροστροφές στα αυλάκια είναι 2n c i a. Η θεμελιώδης αρμονική της ΜΕΔ που δημιουργείται από αυτά πηνία σε αυτά τα αυλάκια είναι: 112,5 o μαγνητικός άξονας του ζεύγους αυλακιών (112,5,-67,5 ) Για ένα συγκεντρωμένο τύλιγμα πλήρους βήματος ισχύει: F a1 = 4 π (Ni P ) cos P 2 θ -67,5 o ca F cos 22,5 a1 22.5 4 2ni 2

Πρόβλημα 1. β) Να γραφεί μια έκφραση για την θεμελιώδη αρμονική της ΜΕΔ που παράγεται από τα δύο πηνία που βρίσκονται στα αυλάκια θ=67,5 και θ=-112,5 ΛΥΣΗ Αυτό το ζεύγος πηνίων δημιουργεί την ίδια ΜΕΔ με το προηγούμενο με την διαφορά ότι ο μαγνητικός του άξονας είναι στις θ=-22,5. Έτσι, 67,5 o ca F cos 22,5 a1 22.5 4 2ni 2-112,5 o μαγνητικός άξονας του ζεύγους αυλακιών (-112,5,67,5 )

Πρόβλημα 1. γ) Να γραφεί μια έκφραση για την θεμελιώδη αρμονική της ΜΕΔ που παράγεται από όλο το τύλιγμα της φάσης α. ΛΥΣΗ Αναλογικά με αποτελέσματα στα α) και β) έχουμε θ=112,5 και θ=-67,5 (F a1 ) +22,5 = 4 π 2n c i a 2 cos (θ 22,5 ο ) θ=-112,5 και θ=67,5 (F a1 ) 22,5 = 4 π 2n c i a 2 cos (θ + 22,5 ο ) Θ=-97,5 και θ=82,5 (F a1 ) 7,5 = 4 π 2n c i a 2 cos (θ + 7,5 ο ) Μαγν. Άξονας-> -7,5 ο Θ=97,5 και θ=-82,5 (F a1 ) +7,5 = 4 π 2n c i a 2 cos (θ 7,5 ο ) F F F F F a1 a1 22,5 a1 7,5 a1 7,5 a1 22,5 Μαγν. Άξονας-> 7,5 ο 4 2ni ca cos 22,5 cos 7,5 cos 22,5 cos 7,5 2 4 7,66nc ia cos 4,88ncia cos 2

Πρόβλημα 1. δ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής τυλίγματος k w για αυτό το διανεμημένο τύλιγμα. a1 ΛΥΣΗ Γενικά, η θεμελιώδης αρμονική της ΜΕΔ που παράγεται από ένα διανεμημένο τύλιγμα μιας μηχανής με P πόλους και N ph σπείρες ανά φάση είναι: F 4 kn w ph P iacos P 2 (2.4) Για το συνολικό τύλιγμα της φάσης α είναι N ph =8n c (F a1 ) ολικ = 4 π 7,66n c 2 n c =N ph /8 i a cos (θ) F a1 4 0,958N ph i 2 a cos οπότε, συγκρίνοντας με την (2.4), προκύπτει ότι kw=0,958.

Πρόβλημα 2. Μια τετραπολική σύγχρονη γεννήτρια με ομοιόμορφο διάκενο έχει στον δρομέα ένα διανεμημένο τύλιγμα με 263 σπείρες συνδεδεμένες εν σειρά. Ο συντελεστής τυλίγματος είναι 0,935 και το μήκος του διακένου είναι 0,7mm. Να υπολογισθεί το ρεύμα που πρέπει να διαρρέει το τύλιγμα του δρομέα έτσι ώστε η μέγιστη τιμή της θεμελιώδους αρμονικής της πυκνότητας της μαγνητικής ροής στο διάκενο να είναι 1.6Τ.

Πρόβλημα 2. ΛΥΣΗ H ένταση Η ag του μαγνητικού πεδίου στο διάκενο καθορίζεται από τις εξισώσεις του Maxwell: H dl = Jda c s H ag g ΜΕΔ: F=N I (για συγκεντρωμένο τύλιγμα) N i=h ag g H ag = N i g = F g Γενικά η θεμελιώδης αρμονική της ΜΕΔ σε μηχανή Ρ πόλων, με διανεμημένο τύλιγμα στο δρομέα είναι: F a1 = 4 π (k rν r P )I rcos P 2 θ

Πρόβλημα 2. Και η μέγιστη τιμή της: F a1 peak = 4 π (k rν r P )I r Άρα η μέγιστη τιμή της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι: H ag1 peak = 4 π (k rν r g P )I r Η μέγιστη τιμή της πυκνότητας της μαγνητικής ροής στο διάκενο θα είναι: B H kn I g P 4 r r ag1 max 0 ag1 max 0 r Θέτοντας στην παραπάνω σχέση, (B ag1 ) max =1.6T, k r =0.935, N r =263, P=4, μ 0 =4π10-7 βρίσκουμε I r =11.39A.

Πρόβλημα 3. Μια διφασική σύγχρονη μηχανή έχει δύο τυλίγματα στο στάτη με κάθετους μεταξύ τους μαγνητικούς άξονες. Τα τυλίγματα διαρρέονται από συμμετρικά ρεύματα, δηλαδή ρεύματα που έχουν ίδιο πλάτος και διαφορά φάσης 90. Να βρεθεί μια έκφραση για το συνιστάμενο πεδίο των ρευμάτων του στάτη. Τύλιγμα Φάσης α ΛΥΣΗ F α είναι το πλάτος του κύματος της ΜΕΔ της φάσης α. Τα τυλίγματα των φάσεων είναι διανεμημένα. H F α έχει ημιτονοειδή χωρική κατανομή στο διάκενο. Άρα η συνεισφορά της φάσης α σε κάθε θέση θ είναι: F a cosθ

Πρόβλημα 3. Το F α όπως προαναφέρθηκε εξαρτάται από την στιγμιαία τιμή του ρεύματος της φάσης α. Έτσι, εάν i a =I m cosωt, θα είναι: 4 kn w ph Fa Imcost Fmax cost P και η συνεισφορά της ΜΕΔ της φάσης α στην συνισταμένη ΜΕΔ στην θέση θ είναι: F (, t) F cost cos a max Τύλιγμα Φάσης β Επειδή οι μαγνητικοί άξονες απέχουν 90 στο χώρο και τα ρεύματα 90 στο χρόνο, οι ΜΕΔ του τυλίγματος της φάσης β θα είναι: F β (θ, ωt) = F max cos θ 90 cos ωt 90 = F max sin θ sin (ωt)

Πρόβλημα 3. Άρα θα έχουμε: F a = F max cos θ cos ωt F β = F max sin θ sin ωt = F max [cos θ ωt + cos (θ + ωt)] 2 = F max [cos θ ωt cos (θ + ωt)] 2 Η συνιστάμενη ΜΕΔ θα είναι: F total = F a + F β = F max cos (θ ωt)

Πρόβλημα 4. Σε μια τριφασική διπολική σύγχρονη μηχανή χρησιμοποιείται στο τύλιγμα του στάτη κλασματικό βήμα 5/6. Να βρεθεί η μείωση της πεπλεγμένης με το στάτη ροής στην 1 η, 3 η και 5 η αρμονική χώρου. ΛΥΣΗ

Πρόβλημα 4. Η συνολική πυκνότητα της πεπλεγμένης μαγνητικής ροής θα είναι το άθροισμα των πυκνοτήτων των επιμέρους αρμονικών χώρου. Έτσι, Br Bncos( n ) B r : συνολική πυκνότητα της μαγνητικής ροής στο διάκενο B n : πυκνότητα της n στης αρμονικής της μαγνητικής ροής στο διάκενο. n Η μαγνητική ροή που αντιστοιχεί στην πυκνότητα B n, μπορεί να βρεθεί από το ολοκλήρωμα της Β n σε όλη την επιφάνεια του τυλίγματος: Κλασματικό βήμα: β/2 β/2 Φ κλ = B n cos nθ l r dθ = l r B n cos nθ dθ β/2 β/2 Πλήρες βήμα: π/2 Φ πλ = B n cos nθ l r dθ π/2 π/2 = l r B n cos nθ dθ π/2

Πρόβλημα 4. Έτσι η αναλογία της μαγνητικής ροής σε πλήρες και κλασματικό βήμα θα είναι: Φ κλ Φ πλ = l r B n l r B n β 2 β 2 π 2 π 2 cos nθ dθ cos nθ dθ = β 2 β 2 π 2 π 2 cos nθ dθ cos nθ dθ = sin nβ 2 Για β=5π/6 και για n=1, 3, 5 από την παραπάνω σχέση παίρνουμε n=1, sin(β/2)=0,97 n=3, sin(3β/2)=0 n=5, sin(5β/2)=0,26 Παρατηρούμε λοιπόν ότι το κλασματικό τύλιγμα έχει σαν αποτέλεσμα την σημαντική μείωση αρμονικών χώρου της μαγνητικής ροής και επομένως των αρμονικών τάσης που θα επαχθούν στον στάτη!

Πρόβλημα 5. Μια διπολική σύγχρονη γεννήτρια κυλινδρικού δρομέα έχει τα τυλίγματα του στάτη συνδεδεμένα σε αστέρα. Το τύλιγμα του δρομέα είναι διανεμημένο με N r =68 σπείρες και συντελεστή τυλίγματος k r =0.945. Η ακτίνα του δρομέα είναι r=0.53m. Κάθε ένα από τα τυλίγματα του στάτη είναι επίσης διανεμημένο με N ph =18 σπείρες εν σειρά και k w =0.933. Το μήκος του στάτη είναι l=3.8m και το μήκος το διακένου είναι 4,5cm. Ο δρομέας οδηγείται από έναν στρόβιλο στις 3000rpm. Η γεννήτρια λειτουργεί εν κενώ. Εάν το ρεύμα διέγερσης είναι I r =720A να υπολογισθούν:

Πρόβλημα 5. (α) η μέγιστη τιμή της θεμελιώδους αρμονικής της ΜΕΔ που παράγεται από το ρεύμα του δρομέα ΛΥΣΗ r r 4 F I r1 max 4 kn 4 0.945 68 r 720 2.94 10 A-στροφές/πόλο P 2 (β) η μέγιστη τιμή της θεμελιώδους αρμονικής της πυκνότητας μαγνητικής ροής στο διάκενο ΛΥΣΗ (B ag1 ) max = μ ο Η ag1 max = μ ο F r1 max g = 0.821T

Πρόβλημα 5. (γ) η μαγνητική ροή ανά πόλο. / P P 2 p cos 2 / P peak r l r dr peak l r 2 P (4.5) 2 2 1 2(0.821)(3.8)(0.53) 3.31 Wb p ag lr P max (δ) η rms τιμή της τάσης που επάγεται στο στάτη. ΛΥΣΗ Επειδή η μηχανή στρέφεται με 3000rpm και είναι διπολική θα επάγει τάση συχνότητας f e =50Hz. Από την (4.11) είναι E 2 f k N 2 (50)(0.933)(18)(3.31) 12.35kV rms e w ph p Επειδή η μηχανή είναι συνδεδεμένη σε αστέρα αυτή είναι η φασική τάση. Η πολική θα είναι Ε πολ = 3Ε rms =21.4 kv

Πρόβλημα 6. Στο σχήμα ο στάτης έχει ένα τύλιγμα με 100 στροφές. Το πεδίο που παράγεται από τον δρομέα έχει ημιτονοειδή κατανομή στο χώρο με μέγιστη πυκνότητα της μαγνητικής ροής 0,85 Τ όταν το ρεύμα του δρομέα είναι 15 Α. Θεωρούμε ότι το μαγνητικό κύκλωμα είναι γραμμικό. Η εσωτερικής διάμετρος του στάτη είναι 10cm και το μήκος του 20cm. Ο δρομέας στρέφεται με 50 στροφές/sec.

Πρόβλημα 6. Να βρεθεί μια έκφραση για την επαγόμενη στο στάτη τάση εάν θεωρήσουμε σαν αρχή του χρόνου τη στιγμή που οι μαγνητικοί άξονες του στάτη και του δρομέα συμπίπτουν. Ψάχνουμε μία έκφραση της μορφής: ΛΥΣΗ Η ροή ανά πόλο είναι: v t = ±V max cos ωt φ ο Φ p = 2 P 2 B ag1 max l r B ag1max =0,85 T l=20 cm r=5 cm p 2 ag lr 2(0.85)(0.2)(0.05) 0.017 Wb 1 max

Πρόβλημα 6. Ο δρομέας στρέφεται με 50r/sec=3000r/min, και επομένως η επαγόμενη τάση θα έχει συχνότητα 50 Hz. Η μέγιστη τιμή της επαγόμενης τάσης θα είναι V max = 2 E rms = 2 2πf e NΦ p V max = 2πf e ΝΦ p = 100π 100 0.017 = 534 V Η πεπλεγμένη με το τύλιγμα του στάτη ροή είναι μέγιστη όταν t=0 αφού τότε είναι ευθυγραμμισμένοι οι μαγνητικοί άξονες. Επειδή η επαγόμενη τάση έπεται της ροής κατά 90, η έκφραση της τάσης θα είναι v t = ±V max cos ωt 90 = ±534sinωt