ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ρ. Μανόλης Κρητικός Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1
ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Η Συνάρτηση κόστους ορίζει το συνολικό κόστος C σαν µία συνάρτηση του αριθµού των µονάδων x. ηλαδή, το C (x) παριστά το συνολικό κόστος των x µονάδων. Ησυνάρτηση οριακού κόστους είναι η παράγωγος C (x) της συνάρτησης κόστους C (x) και µετράει το ρυθµό µεταβολής του κόστους σε σχέση µε τοx. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ_1 Έστω ότι το κόστος παραγωγής µιας ηλεκτρονικής µονάδας είναι Cx ( ) = 150000 + 20x 0.0001x 2 όπου x ο αριθµός των µονάδων που παράγονται. Να υπολογίσετε την συνάρτηση οριακού κόστους C (x) και να την χρησιµοποιήσετε για να εκτιµηθεί το κόστος παραγωγής της 50001 µονάδας. 2
ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.2 Το οριακό κόστος είναι C '( x) = 2 0 0.0 0 0 2 x Το κόστος της 50001 µονάδας είναι το ποσό που το συνολικό κόστος θα αυξηθεί εάν αυξήσουµε την παραγωγή από 50000 στις 50001. Κατά συνέπεια χρειάζεται να γνωρίσουµε τον ρυθµό µε τον οποίο το συνολικό κόστος αυξάνει καθώς εµείς αυξάνουµε την παραγωγή. Ορυθµός αυτός της µεταβολής µετράται µε την παράγωγο στο 50000. Η C (50000)=10 ανά µονάδα. ηλαδή η 50001 µονάδα θα κοστίζει 10 Το ακριβές κόστος είναι C(50001)-C(50000)=9.99. Παρατηρούµε ότι το οριακό προσεγγίζει το πραγµατικό, καλή προσέγγιση. Η εφαπτοµένη είναι ουσιαστικά δυσδιάκριτη από το γράφηµα της συνάρτησης στο διάστηµα εκατέρωθεν του 50000. 3
Clear@c D ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.3 c@x_d = 150000+ 20 x 0.0001 x 2 1 10 6 900000 c1 = D@c@xD,xD 800000 40000 50000 60000 70000 Plot@c@xD, 8x, 30000, 70000<D Plot@c1, 8x, 30000, 70000<D 14 12 Απαντήσεις του Mathematica : 10 8 150000 + 20 x 0.0001 x 2 40000 50000 60000 70000 20 0.0002 x 4
ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ_2 Εταιρεία προϊόντων υψηλής τεχνολογίας καθορίζει ότι το ετήσιο κέρδος σε δίνεται από την συνάρτηση p( n) = 200000 + 400000n 4600n 10n όπου n το πλήθος των εργατών που χρησιµοποιούνται στη παραγωγή. 2 3 α) Να υπολογιστεί το dp / dn το οποίο ονοµάζουµε οριακό προϊόν στο επίπεδο απασχόλησης των n εργαζοµένων. β) Να υπολογιστεί το p(10) και dp/dn µε n=10 και να δοθεί ερµηνεία του αποτελέσµατος. Γ) Η εταιρεία απασχολεί 10 εργαζοµένους και θέλει να απολύσει κάποιους από αυτούς. Τι θα συµβουλεύατε την εταιρεία. 5
ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.5 dp 400000 9200n 30n dn = 2 2 3 p (10) = 200000 + 400000(10) 4600(10) 10(10) = 3330000 Άρα η εταιρεία θα παράγει ετήσιο κέρδος των 3330000 αν απασχολεί 10 εργαζοµένους dp = = dn = n 10 2 400000 9200(10) 30(10) 305000 305000 κέρδος της προσθέτει ο επιπλέον εργαζόµενος 6
ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.6 Άρα στο επίπεδο των 10 εργαζοµένων, το ετήσιο κέρδος είναι αυξανόµενο µερυθµό 305000 ανά επιπρόσθετο εργαζόµενο. Άρα την εταιρεία την συµφέρει να προσλάβει Και όχι να απολύσει προσωπικό!!! ΕΡΩΤΗΣΗ Πόσους επιπρόσθετους εργαζόµενους πρέπει η εταιρεία να προσλάβει ώστε να επιτύχει το µέγιστο ετήσιο κέρδος ; Κάνοντας χρήση πακέτου Mathematica : 7
ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.7 Clear@ pd p@n_d = 200000 + 400000 n 4600 n 2 10 n 3 Plot@ p@nd, 8n, 0, 80<D 200000 + 400000 n 4600 n 2 10 n 3 8 10 6 6 10 6 4 10 6 2 10 6-2 10 6 ίνοντας τις εντολές στο Mathematica : Η απάντηση του πακέτου είναι : 20 40 60 80 To σχήµα δείχνει το γράφηµα τηςp(n) για 0 n 80, παρατηρούµε ότι 0 P 800000. Για n=40 η κλίση είναι µηδέν άρα µέγιστο όφελος. Για µεγαλύτερο από 40 ο ρυθµός κέρδους αρχίζει να µειώνεται 8
ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Το οριακό προϊόν είναι µηδέν και το κέρδος µέγιστο, άρα η εταιρεία πρέπει να απασχολεί προσεγγιστικά 40 εργαζοµένους για να επιτύχει το µέγιστο κέρδος, δηλαδή πρέπει να προσλάβει ακόµα 30 εργαζοµένους. Από το γράφηµα προκύπτει ότι η εταιρεία αρχίζει να έχει ζηµιά στο επίπεδο απασχόλησης από 75 εργαζοµένων και πάνω. 9
ΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ 1.1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ_1 Το κόστος παραγωγής σε ηλεκτρονικών συσκευών µουσικής δίνεται από την συνάρτηση 3 x C ( x) = 150000 + 20x 10000 όπου x ο αριθµός των µονάδων που παράγονται. Να βρεθεί το µέσο κόστος ανά µονάδα εάν έχουν παραχθεί 50000 µονάδες. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το συνολικό κόστος παραγωγής 50000 µονάδων δίνεται από το C(50000)=900000 Το µέσο κόστος είναι 900000 C (50000) = = 18 50000 Άρα αν έχουν παραχθεί 50000 µονάδες το µέσο κόστος τους είναι 18 ανά κοµµάτι. 10
ΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ 1.2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΟ ΑΣΚΗΣΗ: C C ( x ) 150000 x ( x ) = = + 2 0 x x 10000 ΕΡΩΤΗΣΗ : ΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΩΣ ΣΧΕΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟ ΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ ; Σύµφωνα µε τους υπολογισµούς µας το κόστος παραγωγής των 50000 πρώτων κοµµατιώνήτανκατάµέσο όρο 18 ενώ το κόστος του 50001 κοµµατιού για να παραχθεί κοστίζει µόνο 10 (η παράγωγο). 11
ΑΣΚΗΣΗ Το ετήσιο κέρδος δίνεται από την συνάρτηση P ( q) = 200000 + 4000q 0.46q 0.0001q 2 3 Όπου q ο αριθµός µονάδων υψηλής τεχνολογίας που παράγονται κατά την διάρκεια του Έτους. Ο αριθµός των µονάδων εξαρτάται από τον αριθµό τωνεργαζοµένων που Απασχολούνται και δίνεται από την εξίσωση q=100n. Να υπολογιστεί το οριακό προϊόν dp/dn. 12
ΑΣΚΗΣΗ Έστω ότι το εβδοµαδιαίο εισόδηµα µιας εταιρείας R δίνεται σαν µια συνάρτηση της τιµής P, και ότι το P αντίστοιχα δίνεται σαν µια συνάρτηση των εβδοµαδιαίων πωλήσεων q (εξίσωση ζήτησης ). Εάν dr dp q = 1000 = 40 ανά 1 αύξηση της τιµής, και dp dq q = 1000 = 20 ανά 1 πρόσθετη πωλούµενη ποσότητα την εβδοµάδα Να υπολογιστεί το οριακό εισόδηµαότανοιπωλήσειςείναι1000 µονάδες ανά βδοµάδα. 13