Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ"

Transcript

1 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ. * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε περισσότερα του ενός στοιχεία ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ Στις παρακάτω ερωτήσεις όλες οι συναρτήσεις είναι πραγματικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του R., ρητός 3. * Η σχέση f, με τύπο f () =, είναι συνάρτηση., άρρητος Σ Λ 4. * Η σχέση + = όπου, R, είναι συνάρτηση. Σ Λ 5. * Η σχέση g με τύπο g () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 6. * Η σχέση f με τύπο f () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 7. * Η σχέση με τύπο (t) = ± t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ

2 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 8. * Η σχέση f με τύπο f (t) = t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ 9. * Αν για μια συνάρτηση f, που έχει πεδίο ορισμού το Α R, ισχύει f () = f () για κάποια, A, τότε =. Σ Λ. * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση S = f + g ορίζεται στο ίδιο σύνολο. Σ Λ. * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση = g f ορίζεται πάντοτε στο ίδιο ακριβώς σύνολο. Σ Λ. * Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα. Σ Λ 3. * Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής. Σ Λ 4. * Οι συναρτήσεις f () = ημ και g () = συν είναι συνεχείς. Σ Λ 5. * Η συνάρτηση f () =, >, είναι συνεχής. Σ Λ 6. * Η συνάρτηση f () =, <, είναι συνεχής. Σ Λ 7. * Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της. Σ Λ 8. * Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου Α. Σ Λ 9. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, Δ με > ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, Δ με < ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ. * Η παράγωγος f ( ) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι πραγματικός αριθμός.. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης Σ Λ

3 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση συνάρτησης f, στο σημείο (, f( )) αυτής, είναι η παράγωγος της f στο. Σ Λ 3. * Η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της = f (), ως προς, όταν =. Σ Λ 4. * Η παράγωγος f ( ) μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ισούται με το f ( + ) - f ( ), R,. Σ Λ 5. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, όταν και μόνο όταν υπάρχει το f ( + ) - f ( ), R,. Σ Λ 6. * Η συνάρτηση f () = είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =. Σ Λ 7. * Η συνάρτηση f () = είναι συνεχής στο σημείο =. Σ Λ 8. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε το όριο + f ( ) - f ( ),, ισούται με τον συντελε- στη διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο (, f ( )) αυτής. Σ Λ 9. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι f () =. Σ Λ 3. * Η παράγωγος της συνάρτησης g (κ) = κ q, όπου q Q, είναι g (κ) = qκ q-. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f () = ημ και g () = συν είναι αντίστοιχα f () = (ημ) = συν και g () = (συν) = - ημ. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων Ε () = e και L () = ln είναι αντίστοιχα Ε () = (e ) = e και L () = (ln) = Σ Λ. 33. * Αν η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης g είναι η σταθερή συνάρτηση l, τότε η g είναι της μορφής g () = c, c R - {}. Σ Λ 34. * Αν η πρώτη παράγωγος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης 3

4 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση g είναι 4ου βαθμού, τότε η g είναι 5ου βαθμού. Σ Λ 35. * Αν η δεύτερη παράγωγος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης g είναι σταθερή, τότε η g είναι το πολύ ου βαθμού. Σ Λ 36. * Η συνάρτηση f με f () = f ( + ) - f (),, όπου τα σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη, λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f. Σ Λ 37. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται πρώτη παράγωγος της g. Σ Λ 38. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται τρίτη παράγωγος της g. Σ Λ 39. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = 5 είναι f () = 5. Σ Λ 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης s (t) = t είναι s (t) =. Σ Λ 4. ** Θέσεις πιθανών ακρότατων συνάρτησης f ορισμένης και συνεχούς σ ένα διάστημα Δ είναι μόνο τα σημεία στα οποία η f παραγωγίζεται. Σ Λ 4. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, και υπάρχει η παράγωγος f ( ), τότε f ( ) =. Σ Λ 43. ** Αν για συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχή σ ένα διάστημα Δ, υπάρχει η f ( ) και είναι f ( ), με ε- σωτερικό σημείο του Δ, τότε το είναι θέση τοπικού ακρότατου της f. Σ Λ 44. ** Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής σ ένα διάστημα Δ. Τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος ισούται με μηδέν, είναι θέσεις πιθανών τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 45. ** Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής σ ένα διάστημα Δ. Τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος f () ισούται με μηδέν, αποτελούν πάντοτε θέσεις τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 46. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f ( )) είναι παράλληλη στον άξονα. Σ Λ 4

5 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 47. ** Στο σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) ή (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i. Το πεδίο ορισμού της f είναι [-, 7]. ii. Το πεδίο ορισμού της f είναι (-, 7]. iii. Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο διάστημα (, 4) τοπικό μέγιστο, για = 3. iv. Ισχύει ότι f (3). v. Ισχύει f () > για (, 3) και f () > για (3, 4). vi. Στο διάστημα (, 3) η συνάρτηση f είναι αύξουσα. vii. Ισχύει f (5). viii. Οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία (3, f (3)) και (5, f (5)) είναι παράλληλες μεταξύ τους. i. Στο διάστημα (, ) η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για =.. Ορίζεται το f (). Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ. Δ. Ε. 5

6 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ. Δ. Ε. 3. * Το διπλανό διάγραμμα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης, Α. f () =, - < < Β. f () =,, - < < Γ. f () =,, e, Ε. f () =, - < < - < < Δ. f () =,, - < < 4. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, με γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα, είναι Α. [, 3] Β. [, ) Γ. (, 3) Δ. (, + ) Ε. [, 4] 3 4 6

7 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 5. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, με γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα, είναι Α. (-, ) Β. (-, 3] Γ. (-, + ) Δ. (-, 3] Ε. (, 3] * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = - είναι Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ) Δ. (-, ] Ε. (-, + ) 7. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = είναι - Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ) Δ. (-, ] Ε. (-, + ) 8. * Το διάγραμμα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = - Β. f () = Γ. f () = Δ. f () = - Ε. f () = - 9. * Το διάγραμμα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = Β. f () = - Γ. f () = - Ε. f () = Δ. f () = f. * Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α R, τότε η συνάρτηση = g έχει πεδίο ορισμού Α. το σύνολο R Β. τα A: f () Γ. τα A: g () Δ. τα A: f () =, g () Ε. τα A: f () = g () = 7

8 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν Α. ισχύει f ( ) = Β. ισχύει f ( ) Γ. υπάρχει το Δ. ισχύει Ε. ισχύει f () f () = f ( ) f () f ( ). * f( ) σχ. f( ) σχ. f( ) σχ.3 f( ) f( ) σχ.4 σχ.5 Στα παραπάνω σχήματα παρουσιάζονται πέντε γραφικές παραστάσεις ισάριθμων συναρτήσεων. Στη θέση συνεχής είναι η συνάρτηση Α. του σχήματος Β. του σχήματος Γ. του σχήματος 3 Δ. του σχήματος 4 Ε. του σχήματος 5 3. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν Α. υπάρχει το Β. υπάρχει το Γ. υπάρχει το f ( + ) - f (), R, f ( ) - f ( ), R, + f ( ) - f ( ), R, και είναι πραγματικός αριθμός + 8

9 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση Δ. το Ε. το f ( + ) - f ( ) f ( + ) - f ( ) = +, R, = -, R, 4. * Η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, εκφράζει Α. την τιμή της συνάρτησης στη θέση f ( + ) - f ( ) Β. την τιμή του κλάσματος, Γ. το ρυθμό μεταβολής της f () ως προς, όταν = Δ. το ρυθμό μεταβολής της f () ως προς - Ε. κανένα από τα παραπάνω 5. * Παράγωγο f ( ) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ονομάζουμε f ( + ) - f ( ) Α. το πηλίκον, R, Β. το ( f ( + ) - f ( ) ), R, f ( + ) - f ( ) Γ. το, R, f ( Δ. το + ), R, f ( ) Ε. το πηλίκον +, R, 6. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, που κινείται ευθύγραμμα, τότε S (t + ) - S (t ) το κλάσμα, R, εκφράζει Α. τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t = t B. τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Γ. τη μέση τιμή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Δ. τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t = t E. τη διαφορά του διαστήματος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή t + 7. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, που κινείται ευθύγραμμα, τότε η τιμή Α = S (t + ) - S (t ), R, εκφράζει Α. τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t = t 9

10 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση B. τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Γ. τη μέση τιμή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Δ. τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t = t E. τη διαφορά του διαστήματος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή t + 8. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ R και γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η f είναι αρνητική Α. μόνο σ ένα σημείο του Δ B. σε όλα τα εσωτερικά σημεία του Δ Γ. στο σημείο μηδέν Δ. μόνο στα σημεία που μηδενίζουν την f E. κανένα από τα παραπάνω 9. * Αν για συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ, ισχύουν f ( ) = και f ( ) <, με εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το διάστημα Δ Γ. παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = Δ. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * Αν για συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ, ισχύουν f ( ) = και f ( ) >, με εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ Γ. παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = Δ. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * H συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα ανοικτό διάστημα Δ, είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σημείο του Δ B. f () =, για κάθε σημείο του Δ Γ. f () >, για κάθε σημείο του Δ Δ. f () <, για κάθε σημείο του Δ E. κανένα από τα παραπάνω. * Η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα ανοικτό διάστημα Δ, είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σημείο του Δ B. f () =, για κάθε σημείο του Δ Γ. f () >, για κάθε σημείο του Δ Δ. f () <, για κάθε σημείο του Δ

11 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση E. κανένα από τα παραπάνω 3. ** Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ και εσωτερικό σημείο του Δ για το οποίο υπάρχει f ( ). Το εσωτερικό σημείο, είναι σημείο ακροτάτου της f, αν ισχύει Α. f ( ) = B. f ( ) Γ. f ( ) = Δ. f ( ) = και f ( ) E. f ( ) > και f ( ) = 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι (για ) Α. ( + ) B. ( + ) Γ. Δ. E. ( + ) - 5. * Αν ο μεγιστοβάθμιος όρος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης είναι α α, όπου α, α, τότε η παράγωγός της είναι Α. σταθερή συνάρτηση B. τριγωνομετρική συνάρτηση Γ. πολυωνυμική συνάρτηση με μεγιστοβάθμιο όρο τον α α- Δ. πολυωνυμική συνάρτηση με μεγιστοβάθμιο όρο τον α α- E. δεν μπορούμε να το γνωρίζουμε χωρίς τον τύπο της συνάρτησης 6. * Η συνάρτηση () = είναι Α. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = B. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = Γ. άλλη μορφή της συνάρτησης f () = Δ. άλλη μορφή της συνάρτησης f () = E. κανένα από τα παραπάνω 7. * Η συνάρτηση f () = ημ3 είναι Α. άλλη μορφή της συνάρτησης f () = 3ημ B. η παράγωγος της συνάρτησης f () = συν3 Γ. σύνθεση των συναρτήσεων f () = ημ, g () = 3 συν3 Δ. η παράγωγος της συνάρτησης f () = 3 E. κανένα από τα παραπάνω 8. * Αν L () = f (g ()), όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε

12 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση Α. L () = f (g ()) B. L () = f () g () Γ. L () = f () + g () Δ. L () = f (g ()) f () Ε. L () = f (g ()) g () Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α με το διάστημα ή ένωση διαστημάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισμού της. Στήλη Α Στήλη Β f () = f () = 3 - R (, ) (-, ) (, + ) f () = f () = - f () = + (-, - ) (-, + ) (-, ) (, + ) (, ) [, ). * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α με το διάστημα ή ένωση διαστημάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισμού της. Στήλη Α Στήλη Β [, + ) f () = [-, + ) f () = + (-, ) (, + ) (-, - ] [, + )

13 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση f () = f () = + (, + ) (-, ) (, ) (-, + ) 3. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο της συνάρτησης της στήλης Α με τη γραφική της παράσταση στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) (Δ). f () = φ () = 6 (B) (Ε) 3. () = (Γ) 5 (Ζ),5 -,5 5 3

14 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 4. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεμιά από αυτές με τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =c (B) () φ ω = ω ω (3) = (Γ) (Δ) = φ ω 4

15 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 5. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεμιά από αυτές με τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =e (B) () =ln (Γ) 5

16 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 6. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεμιά από αυτές με τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () π = ημ π π π 3π (Β) () π 3π =συν π (Γ) π π π π 6

17 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 7. * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α με τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β f () f () ( - ) 4 (3) 3-8 (3 - ) 6 (3 - )

18 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 8. * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α με τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη B f () f () α α α β β + α α + β α + β α β + γ β β α - β α - β α + β β + α - γ β + α α + β 8

19 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 9. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα υπάρχουν τα πρώτα μέλη ισοτήτων, οι οποίες εκφράζουν τους κανόνες παραγώγισης. Στη στήλη Β υπάρχουν τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων αυτών. Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης Α με εκείνα της στήλης Β ώστε να προκύψουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης. Στήλη Α Στήλη Β f () g () + f () g () (c f ()) = f () g () -f () g () g () (f () + g ()) = (f () g ()) = f () = g () f () + g () c f () f () g () [f (g ())] = f (g ()) g () f () g () Ερωτήσεις συμπλήρωσης - σύντομης απάντησης 9

20 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Να συμπληρώσετε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α) f () = β) f () = γ) f () = A =... + A =... A =... δ) f () = + A =... ε) f () = A = * Αν α) g () = 3 f () - β) g () = - 4 f () f () = -, να βρείτε και να συμπληρώσετε τα γ) g () = ( f ()) f () - δ) g () = 5-3 f () g () =... g () =... g () =... g () =... g (), όταν: ε) g () = 3-8 f () + g () = * Να συμπληρώσετε τα παρακάτω όρια: α) ( ) =... β) γ) δ) ε) στ) 3 + =... 3 (5 6 - ) =... - π [(3 + ) (5-3)] =... [ημ + 3συν] =... [ημ - 4συν] = * Να συμπληρώσετε τα παρακάτω όρια: α) β) = =...

21 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση γ) ( + ) =... δ) = * Να συμπληρώσετε τις τιμές των παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία: α) f () = f () =... β) f () = + f () =... γ) f () = - 3 f (- ) =... δ) f () = ημ π f ( ) =... ε) f () = - f () = * Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία: α) f () = - A (, f ()) =... β) f () = - A (, f ()) =... γ) f () = 3 - A (-, f (- )) =...

22 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 7. * Για κάθε γραφική παράσταση της = f () χαράξτε την αντίστοιχη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της.

23 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 8. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συμπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α f () Στήλη Β f () - ( - ) ( - ) ( - ) 3 ( -) - 3 ( -) 3

24 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 9. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συμπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () ημ ημ συν - ημ συν ημ ημ. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συμπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () - ln e e -3 + ln - 4

25 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τύποι τεσσάρων συναρτήσεων. Να συμπληρώσετε τη στήλη Β με το αντίστοιχο πεδίο ορισμού τους, τη στήλη Γ με την πρώτη παράγωγό τους και τη στήλη Δ και τη δεύτερη παράγωγό τους. Στήλη Α Στήλη Β πεδίο ορισμού Στήλη Γ πρώτη παράγωγος Στήλη Δ δεύτερη παράγωγος () = φ () = - f () = g () = + - Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της, Α β) για ποιες τιμές του Α έχουμε f () = γ) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης g () = ** Δίνεται η συνάρτηση g με g () = +. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = + ii) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης () = + 3. ** Δίνεται η συνάρτηση g με g () = -. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Για ποιες τιμές του R η συνάρτηση g () είναι θετική; γ) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = 5

26 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ii) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης () = iii) το πεδίο ορισμού Γ της συνάρτησης φ () = 4. ** Δίνεται η συνάρτηση g με g () = - 4. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = και g () = 3 -, R. Να βρείτε: α) τον τύπο της συνάρτησης f () + g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Α β) τον τύπο της συνάρτησης 3f () - g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Β γ) τον τύπο της συνάρτησης f () g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Γ f () δ) τον τύπο της συνάρτησης και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Δ g () 6. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = - 3 +, g () = 5 -, R. Να βρείτε: α) το β) το f () και το [f () + g ()] g () 7. ** Δίνεται η συνάρτηση φ με φ () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το φ () γ) το [φ ()] Να βρείτε: ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 6 - α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το f () 3-3. Να βρείτε: 6

27 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 9 ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = , g () = -, R. Να βρείτε: α) τα β) το - - f (), f () g () g () -. ** Αν α) φ () = 3 f () β) φ () = 3 f () - γ) φ () = f f () = -, να βρείτε το 5 f () 3 () - φ (), όταν: δ) φ () = f () - 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: +- α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το - f (). ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το - 3 f () 9 -. Να βρείτε: ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το f () 3-3. Να βρείτε: ** Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f () = των πραγματικών αριθμών; α έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R 5. ** Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f () = σύνολο R των πραγματικών αριθμών; (α + ) έχει πεδίο ορισμού το 6. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α -. Να βρείτε: + 4 7

28 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση β) το f (). γ) Να εξετάσετε, αν η f () είναι συνεχής στη θέση = , 3 7. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () =. α, = 3 α) Για 3 είναι συνεχής η συνάρτηση; β) Για ποια τιμή του α R η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο σημείο = 3; 8. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το f () α,,. Να βρείτε: = β) την τιμή του α R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο =. 9. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το α,,. Να βρείτε: = γ) την τιμή του α R, ώστε η f να είναι συνεχής στο σημείο =. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = , -. Να βρείτε την τιμή του α R, α, = ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο =.. ** Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι δ. Να εκφράσετε, ως συνάρτηση της διαγωνίου δ: α) την περίμετρό του β) το εμβαδό του. ** Οι κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α = 9 ) μεταβάλλονται έτσι ώστε το εμβαδό του να παραμένει σταθερό και ίσο με m. Να εκφράσετε το μήκος της πλευράς ΑΒ, ως συνάρτηση του μήκους της πλευράς ΑΓ. 3. ** Ένας κυκλικός τομέας ακτίνας r έχει εμβαδό 3 cm. Να εκφράσετε την περίμετρό του, ως συνάρτηση της ακτίνας r. 8

29 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) την f (3), R. Να βρείτε: 3 β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f, στο σημείο με = 3 γ) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()) να είναι ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = +, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο με =. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()). 7. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: α) την f () β) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, που είναι παράλληλη στον άξονα. 8. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο (, f ()) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία ** Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η εφαπτομένη της καμπύλης, που είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = στο σημείο ( 4, f ( 4 )). 9

30 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 3. ** Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S (t) = t + t, όπου το t μετριέται σε sec και το S σε μέτρα. Να βρείτε: α) τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [, 4] sec β) τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = sec ( sec μετά την εκκίνησή του). 3. ** Η θέση ενός κινητού, που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση, δίνεται συναρτήσει του χρόνου t (σε sec) από τον τύπο S (t) = 3t - t. Να βρείτε: α) τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [, 4] sec β) τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = 3 sec (3 sec μετά την εκκίνησή του). 3. ** Η ταχύτητα, ενός κινητού, που κινείται ευθύγραμμα, συναρτήσει του χρόνου t (σε sec), δίνεται από τον τύπο υ (t) = 3t - 5. α) Να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = t. β) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = sec ( sec μετά την εκκίνησή του). 33. ** Ένας πληθυσμός μικροβίων Ρ μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύμφωνα με τον τύπο Ρ (t) = 3-5 ( + t) -. α) Να βρείτε τον αρχικό αριθμό μικροβίων (t = ). β) Να βρείτε τον αριθμό των μικροβίων όταν t = 9 ώρες. γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των μικροβίων ως προς το χρόνο, όταν t = 9 ώρες. 34. ** Ο πληθυσμός Α μιας περιοχής δίνεται, συναρτήσει του χρόνου t (σε έτη) από τον τύπο Α (t) = e 4t (σε χιλιάδες). Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού αυτής της περιοχής, ως προς το χρόνο, ύστερα από 5 έτη. 35. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = α) Την πρώτη παράγωγο i) της f και ii) της g. β) Τις παραγώγους i) f () και ii) g (). e 3, g () = e. Να βρείτε: 36. ** Να βρείτε πολυώνυμο Ρ () τρίτου βαθμού, τέτοιο ώστε Ρ () = -, Ρ () = 5, Ρ () =, Ρ () =. 37. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = -. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να αποδειχθεί ότι: ( - ) f () + f () =, για κάθε R. 38. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να δείξετε ότι: f () - f () =, για κάθε R. 3

31 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 39. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e α, α R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την f () γ) Τις τιμές του α, ώστε να ισχύει η σχέση f () + f () = 3f (), για κάθε R. 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = (3 - ) 3 ( + ). Να βρείτε: α) Την f () β) Το f (). 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). e e -. Να βρείτε: +. Να βρείτε: e ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). - ημ - συν. Να βρείτε: 44. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f () β) Τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ αυτήν, είναι παράλληλες στον άξονα. 45. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = ( + ), R. Να βρείτε: α) Την f () β) Το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο με τετμημένη ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f, που σχηματίζει με τον άξονα γωνία ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α ( + ), R, α R. 3

32 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τον α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()) να είναι 4. γ) Να βρείτε την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης ευθείας. 48. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - 4 +, R. α) Να βρείτε την f () β) Να προσδιορίσετε το σημείο Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτομένη της σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. 49. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - α +β, α, β R και η ευθεία = 3 -, R. Να υπολογίσετε τα α, β ώστε η ευθεία = 3 - να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη. 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: 3 α) Την f (). β) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία = ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () =, R,. 4 α) Να δείξετε ότι f (α) = - 3 για κάθε α R, α. α β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο (α, ) της γραφικής παράστασης της f. α 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. α) Να βρείτε την f (). β) Να εξετάσετε τη μονοτονία της. γ) Να προσδιορίσετε τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 53. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους: f () = και g () = 4 - +, R. Να βρείτε: α) i) την f () και ii) την g (). β) Τις θέσεις για τις οποίες οι συναρτήσεις παρουσιάζουν ακρότατο γ) Τις τιμές των ακροτάτων αυτών. 54. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = , R. Να βρείτε: α) Την f () β) Για ποιες τιμές του έχουμε f () = 3

33 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση γ) Ποιες από τις παραπάνω τιμές των είναι θέσεις ακροτάτων για την f δ) Τις τιμές των ακροτάτων. 55. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = κ + λ + 3, R, κ, λ R. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο ίσο με -. β) Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση = ; 56. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3-3, R. Να βρεθούν τα διαστήματα που η f είναι: α) Αύξουσα β) Φθίνουσα 57. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e -. α) Να βρεθούν οι f (), f (). β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία της. γ) Να προσδιοριστούν τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 58. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = ( - ) e, R. α) Να βρεθούν: i) το πεδίο ορισμού της, ii) η f () και η f (). β) Να μελετηθεί η f ως προς: i) τη μονοτονία της, ii) τα ακρότατά της και να εντοπιστούν αυτά, αν υπάρχουν. 59. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = κ 3 + λ + 3 -, R, κ, λ R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε η f να έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία με τετμημένες =, = -. γ) Να βρείτε τις τιμές των ακροτάτων. 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με την ίδια περίμετρο, ποιο είναι εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδό; 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδό 6 m, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει την μικρότερη περίμετρο. 6. ** Να αποδείξετε ότι από όλα τα ισοσκελή τρίγωνα, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο ακτίνας R, το ισόπλευρο έχει μεγαλύτερο εμβαδό. 63. ** Να βρεθούν δύο αριθμοί, με σταθερό άθροισμα, που να έχουν το μεγαλύτερο γινόμενο. 64. ** Η τιμή πώλησης ενός μηχανικού εξαρτήματος είναι. δρχ. Το κόστος του συναρτήσει του χρόνου κατασκευής (σε ώρες) προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Κ (t) = t + 5t - α) Πότε πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος; 33

34 Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση β) Πόσο είναι αυτό; 65. ** Η ενέργεια που καταναλώνει ένας μικροοργανισμός που κινείται μέσα στο αίμα ενός ασθενούς με ταχύτητα υ, προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Ε (υ) = [ (υ - 35) + 75] υ α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί για να καταναλώσει τη μικρότερη ενέργεια; β) Πόση είναι η ελάχιστη ενέργεια; 66. ** Η ενέργεια W (t), που αποδίδεται από ένα πηνίο, μεταβάλλεται με το χρόνο t σύμφωνα με τον τύπο της συνάρτησης: W (t) = 6t - t 4 και μετριέται σε Joules. α) Να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας ως προς το χρόνο (την ισχύ του πηνίου) τη χρονική στιγμή t = t. β) Σε ποια χρονική στιγμή το πηνίο έχει μέγιστη ισχύ; γ) Πόσα Watt είναι η μέγιστη ισχύς; 67. ** Η τιμή εισιτηρίου των αστικών λεωφορείων είναι σταθερή τα τελευταία 8 χρόνια στις δρχ. Το κόστος μεταφοράς ανά επιβάτη στη διάρκεια των 8 χρόνων προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Κ (t) = t 5 + t όπου t (, 8] ο χρόνος. α) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή κατά την οποία πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος. β) Πόσο είναι αυτό το κέρδος; 68. ** Η θετική αντίδραση ενός οργανισμού σ ένα φάρμακο περιγράφεται (δίνεται) από τον τύπο της συνάρτησης f () = (α - ), α > σταθερά και η ημερήσια δόση του φαρμάκου σε mg. Ποια είναι η ενδεδειγμένη ποσότητα δόσης του φαρμάκου ώστε να έχουμε τη μεγαλύτερη θετική αντίδραση του οργανισμού; 69. ** Ένα εργοστάσιο ζαχαροπλαστικής παρασκευάζει μεταξύ άλλων ταψάκια γαλακτομπούρεκου. Υπολογίστηκε ότι η παρασκευή ταψιών την εβδομάδα κοστίζει περίπου ( ) δρχ. Αν η τιμή πώλησης του ταψιού είναι ( - ) δρχ., πόσα ταψάκια γαλακτομπούρεκο πρέπει να παράγει την εβδομάδα, ώστε να έχει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος; 34

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μάθημα Γενικής Παιδείας

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μάθημα Γενικής Παιδείας ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μάθημα Γενικής Παιδείας ΑΘΗΝΑ 001 Ομάδα Σύνταξης Εποπτεία: Παπασταυρίδης Σταύρος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο την ευθεία = α + β, µε α, όταν Α. ( Β. η f είναι συνεχής στο = α R Γ. η f δεν είναι συνεχής στο. το όριο Ε. το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για κάθε α, β R και τη συνάρτηση f () = e εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός αριθµού κ R, ώστε να ισχύει Α. e α-β = e κ (α - β) Β.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Γιώργος Α. Απόκης Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Πάτρα 0 Στην Ισμήνη, στη Μαριάννα και στην Αντιγόνη ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Α : Η έννοια της συνάρτησης Α. - Εισαγωγικές έννοιες 4 Α. Εύρεση πεδίου ορισμού..6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Usus est magister optimus (η χρήση είναι ο καλύτερο δάσκαλο ) y M(,f()) C f A( 0,f( 0 )) M ε O 0 (α) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

= x + στο σηµείο της που

= x + στο σηµείο της που Ασκήσεις στην εφαπτοµένη καµπύλης 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο της που έχει τετµηµένη.. Σε ποια σηµεία της γραφικής παράστασης της

Διαβάστε περισσότερα

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού 4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού Η έννοια της παραγώγου Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ).

0. Η ) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και συμβολίζεται με t ). Είναι δηλαδή : t ) v t ) S t ). Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικές έννοιες

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικές έννοιες ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γενικές έννοιες Συνάρτηση Συνάρτηση ονομάζουμε μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) - f () β) f () δ) f () f () στ) - - - f () f () f () - y

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ 1o ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού της συµπίπτει µε τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

0 είναι η παράγωγος v ( t 0

0 είναι η παράγωγος v ( t 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ενότητα 4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκήσεις για λύση ). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο 0, όταν: i) f ( ), 0 ii) f()=, 0 iii f ). Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ». {,3,5,7,... } { / = ν +, ν Ν} =. = {} 0 3. Αν Α Β τότε Α Β = Α 4. 5 {,3,5,7 } 5. Αν Α= {, 3,7} και Β= {,3} 7, τότε Α=Β 6.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R.

ii) f(x)= iv) f(x)= ii) f(x)= x iv) f(x)= 2x x ii) f(x)= iv) f(x)= x) f(x)= 2ln x ln x να έχει πεδίο ορισμού το R. 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 7 5 8 1 i) f()= ii) f()= 3 5 4 3 4 iii) f()= iv) f()= 3 3 8 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) f()= 5 6 ii) f()= iii) f()= 1

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α). Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Για να υπολογίσει κάποιος την (0 ) χρησιµοποιεί για + προσέγγιση τον αριθµό +, ενώ ένας άλλος τον αριθµό. 3 α) Να εκτιµήσετε ποια από τις δύο προσεγγίσεις δίνει το ελάχιστο (απόλυτο)

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 45 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο ; (, 5) Απάντηση : α) Μια συνάρτηση, με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΚΗΕΙ ΚΕΙΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Α Να βάλετε σε κύκλο την σωστή απάντηση (Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής) Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται η ακτίνα ενός κύκλου είναι,5 cm/sec Με ποιο ρυθμό μειώνεται η επιφάνειά του όταν

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Σπύρος Γλένης, Μαθηματικός Εάν α) 0,, β) να βρείτε τα παρακάτω: t,,, Να βρείτε το ( h) ( ) για τις παρακάτω συναρτήσεις: h i) ii) iii), ρητός 0, άρρητος Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1 Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i) ( ) e ii) ( ) iii) iv) v) () vii) () e ln viii) () ) συν () ημ i) 4 4 ( ) ( ) ( ) 5 vi) () i) () 7 4 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Δίνεται η συνάρτηση i Να

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 67 7 A Οµάδας. H παράγωγος µιας συνάρτησης είναι () = ( ) ( ) ( ) Για ποιες τιµές του η παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο; D = R, όπου και παραγωγίζεται.

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα