ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

Transcript

1 Ε_ΜλΓ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: P( A B) = P( A) P( A B) Α Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής στο Α; A Τι λέγεται ιστόγραµµα συχνοτήτων και πώς κατασκευάζεται; Μονάδες 7 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει: g = ' g g ( ( ( ))) (( ( ))) ( ) β) Αν οι συναρτήσεις και g ορίζονται σε ένα σύνολο Α τότε το πηλίκο ( ) R= µε R ( ) = ορίζεται στο Α g g( ) γ) Η διάµεσος των παρατηρήσεων είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από την τιµή αυτήν δ) Σε µια κατανοµή συχνοτήτων, αν,,, Χ µε συχνότητες ν, ν,, κ σχέση: κ είναι οι τιµές της µεταβλητής ν αντίστοιχα, τότε η µέση τιµή ορίζεται από τη k v = = ε) Για την πιθανότητα του κενού συνόλου ισχύει ότι: ( ) = P Μονάδες 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

2 Ε_ΜλΓ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνάρτηση ( ) = a + β +, όπου α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί, και ο δειγµατικός χώρος Ω = { 4,,,0,,, } που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόµενα Θεωρούµε τα σηµεία Μ ( κ, ( κ) ) της καµπύλης της συνάρτησης και τα σηµεία Ν ( λ, ( λ) ) της καµπύλης της συνάρτησης Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σηµείο Α(,5) και η εφαπτοµένη της στο σηµείο Α έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε, τότε: Β Να αποδείξετε ότι = α και β = Β Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο (, ( ) ) Β Μονάδες 6 Β Να µελετήσετε την συνάρτηση ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι ( 0) < (04) Μονάδες 5 Β4 Αν Α = { κ Ω / η εφαπτοµένη της C στο Μ παράλληλη στον } και Β = { λ Ω / η εφαπτοµένη της καµπύλης της παραγώγου, στο Ν να έχει ΘΕΜΑ Γ θετική κλίση } είναι ενδεχόµενα του Ω Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α, Β και την πιθανότητα του ενδεχοµένου: Nα µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α και Β Μονάδες 0 Μια εταιρεία παραγωγής παιχνιδιών έχει δύο εργοστάσια, σε δύο διαφορετικές πόλεις της Ελλάδας την Α και την Β Στην εταιρεία απασχολούνται σήµερα 00 υπάλληλοι µε µέσο χρόνο εργασίας,6 έτη Γ Στο εργοστάσιο της πόλης Α εργάζονται v A= 40 υπάλληλοι όπου τα χρόνια υπηρεσίας τους, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Χρόνια v N F Εργασίας [-) 6 0, [-) 0,6 [ -) 8 [-) ΣΥΝΟΛΟ v= 40 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

3 Ε_ΜλΓ(ε) α) Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα β) Να βρεθεί η πιθανότητα επιλέγοντας τυχαία έναν υπάλληλο από το εργοστάσιο της πόλης Α να έχει εργαστεί τουλάχιστον χρόνια στο εργοστάσιο αυτό γ) Να βρεθεί η µέση τιµή και η διακύµανση των χρόνων εργασίας των υπαλλήλων στην πόλη Α Γ Στην πόλη Β εργάζονται οι υπόλοιποι υπάλληλοι της εταιρείας Αν τα χρόνια εργασίας τους στο εργοστάσιο της πόλης Β ακολουθούν περίπου την κανονική κατανοµή: α) Να δειχθεί ότι ο µέσος χρόνος εργασίας στο εργοστάσιο αυτό είναι 4 έτη β) Αν το πλήθος των υπαλλήλων που έχει τουλάχιστον έτη εργασίας είναι 4, να δειχθεί ότι η τυπική απόκλιση είναι 4 S Β = Γ α) Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δυο οµάδες των υπαλλήλων στα εργοστάσια των πόλεων Α και Β ΘΕΜΑ β) Στην διάρκεια των 4 επόµενων ετών η εταιρεία έχει στόχο στο εργοστάσιο της πόλης Α να απολύσει όσους υπάλληλους έχουν σήµερα τουλάχιστον χρόνια εργασίας και ταυτόχρονα να προσλάβει νέους υπαλλήλους ίσου πλήθους µε αυτούς που απολύθηκαν Να βρεθεί στο τέλος της τετραετίας ο νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων και στα δύο εργοστάσια της εταιρείας Μονάδες 5 a + e + + αν 8, 0 ίνονται οι συναρτήσεις ( ) =, α IR και a 6 a, αν = 0 g( ) = + ( e) e και ο δειγµατικός χώρος Ω = {,0,,,,4 } Για τα απλά ενδεχόµενα του Ω ισχύει ότι: P( ) = P(0) = P() = P() = P() = P(4) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

4 Ε_ΜλΓ(ε) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο = 0 0 να βρείτε την τιµή του α Να βρεθούν οι πιθανότητες όλων των απλών ενδεχοµένων του Ω Λαµβάνοντας υπόψη ότι a = να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα Αν Α, Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω µε: { 0, κ, y 4 } Β = + όπου '( ) κ = lm e 6 + α) Να βρείτε την τιµή του y IR ώστε να ισχύει: Α Β = {,} β) Για την τιµή του y που βρήκατε να αποδείξετε ότι: να βρείτε τις πιθανότητες: Α = {, y 4y + 5, 4}, Μονάδες P ( A) =, P( B) = και 9 9 P( A B) και P( A B) 4 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης της η : y= e + 7 g που είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) ( ) β) Θεωρούµε το σύνολο των παρατηρήσεων E = { P( A), P( A B), P( A B)} µε τα στοιχεία του Ε όπως βρέθηκαν στο Αν Μ ν ( ν, yν ) µε ν =,, είναι σηµεία της εφαπτοµένης (ε) και τα ν E, να υπολογίσετε την µέση τιµή των τεταγµένων y ν Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 4

5 Ε_ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Σχολικό σελ 5 Α Σχολικό σελ 6 Α Σχολικό σελ 7 Α4 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Για την ( ) = a + β + έχουµε Β Αφού ( ) ( ) '( ) a β = + Α,5 C = 5 8a + 4β + = 5 8a + 4β = 4 α + β = () Αφού η εφαπτοµένη στο Α έχει συντελεστή διεύθυνσης πρέπει: '() = α + 4β = α + β = () Από την () και () προκύπτουν: α= και β= Έτσι έχουµε ( ) = + και '( ) = 6 6 Β Έστω ( ε ) :y= λ+ κ η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης τότε: λ= '( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) B, ( ) ε Β, 4 ε 4 = λ + κ 4 = + κ κ = 8 Άρα ( ε ) : y= + 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

6 Ε_ΜλΓ(α) Β ( ) '( ) = = 0 6 = 0 = 0 ή = Για (,0] η είναι γνησίως αύξουσα Για [0,] η είναι γνησίως φθίνουσα Για [, + ) η είναι γνησίως αύξουσα Στο = 0 η έχει τ µέγιστο το (0) = Στο = η έχει τ ελάχιστο το () = 0 Αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και 0 < 04 (0) < (04) Β4 Έχω ( ) = + άρα ( ) =6 6 και ( ) = 6 Η εφαπτοµένη της ( ) C παράλληλη του κ = 0 6κ 6κ = 0 κ = 0 ή = άρα {,,} Ν Ν ( Ω) = 7, ( ) ( Α) P Α = = και P ( Β) Ν( Ω) 7 κ αλλά κєω άρα το Α = { 0,} Η εφαπτοµένη της C έχει κλίση θετική ( λ) > 0 λ 6 > 0 λ >, λ Ω Β = Ν( Β) = = Ν( Ω) 7 Το ενδεχόµενο Γ: Να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από Α και Β τότε Γ =( Α Β) '( ) Το Α Β = { 0,,, } άρα ( Α Β) = { 4,, } άρα ( Α Β) P = 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

7 Ε_ΜλΓ(α) ΘΕΜΑ Γ Γ α) Χρόνια v N F Εργασίας , 8 0, ,4 4 0, , 8 0, v ( ) , ΣΥΝΟΛΟ v= β) Έστω το ενδεχόµενο Γ: «Υπάλληλος µε τουλάχιστον χρόνια εργασίας στο εργοστάσιο Α» Θεωρώντας ότι οι τιµές σε κάθε κλάση είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες έχουµε: γ) N( Γ) 4 0 P( Γ ) = = = = N( Ω) A 4 v = 480 = = = v 40 ( ) 4 v = 800 S A = = = 0 v 40 Γ α) Στο εργοστάσιο της πόλης Β εργάζονται: ν Β =ν-ν Α =00-40=60 υπάλληλοι Θεωρώντας y µε =,,60 τα έτη εργασίας του καθενός από αυτούς στο εργοστάσιο της πόλης Β έχουµε: y 40 A + 60 B =,6 =,6 =, B = B = 40 B = 4 = = 4 β) Οι 4 υπάλληλοι αποτελούν το: 00% =,5% των εργαζοµένων στο 60 εργοστάσιο της πόλης Β Λόγω της κανονικής κατανοµής ξέρουµε ότι τουλάχιστον B+ S αποτελεί το,5% των εργαζοµένων Άρα + S = 4 + S = S = 4 B B B B B v ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

8 Ε_ΜλΓ(α) Γ α) ΘΕΜΑ S A CVA= = = = A 6 SB 4 CVB= = = B 4 7 Ισχύει CVA> CVB Α φού : > > > Άρα στο εργοστάσιο της Β πόλης έχουµε µεγαλύτερη οµοιογένεια, ως προς το χρόνο εργασίας β) Στο εργοστάσιο της πόλης Α θα απολυθούν: 4+ = 6 υπάλληλοι Ο νέος πίνακας συχνοτήτων στο τέλος της επόµενης τετραετίας θα είναι: Χρόνια v v Εργασίας ΣΥΝΟΛΟ v= 40 6 Ο νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων της πόλης Α είναι: 40 v = 6 ' A= = = 8, Στο εργοστάσιο της πόλης Β, αφού δεν έχουµε αλλαγές στο εργατικό δυναµικό, στο τέλος της τετραετίας ο νέος µέσος χρόνος εργασίας είναι: ' B= B+ 4= 4+ 4= 8 (χρήση εφαρµογής σχολικού) Άρα ο ολικός νέος µέσος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων της εταιρείας θα είναι: y = = va ' A+ vb ' B 40 8, ' = = = = = = = 6,08 έτη 00 Ισχύει: P( ) = P(0) = P() = P() = P() = P(4) = κ κ Άρα P( ) = P(0) = P() = και P() = P() = P(4) = κ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

9 Ε_ΜλΓ(α) Αφού η είναι συνεχής στο = 0 0 πρέπει: lm ( ) = 0 (0) () (0) = a 6a () a + lm ( ) = lm( e + + 8) = + 8= 9 () 0 0 Έτσι από (), (), () έχουµε: α 6α = 9 α + 6α + 9 = 0 ( α + ) = 0 α = Αφού P( Ω ) = P( ) + P(0) + P() + P() + P() + P(4) = 9 κ + κ + κ + κ + κ + κ = κ + κ = κ = κ = 9 Άρα: α) Για > 0 έχουµε: P( ) = P(0) = P() = και 9 ( ) P() = P() = P(4) = '( ) = e = e ( + ) 6 + = = ( 6 + ) e Έτσι = ( 6 + ) ( e + + ) + '( ) ( 6 + ) ( e + lm e = lm e = ( e + e ) = e + e = = lm Έτσι: { 0,, y 4} Β = + Αφού: {, y 4y 5, 4} Α = + και {,} Α Β =, πρέπει το να περιέχεται και στα δύο σύνολα Έτσι πρέπει: y+ 4= () και y 4y+ 5= () Από () : y = y = και () : y 4y + = 0 y = ή y = Άρα πρέπει y= ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

10 Ε_ΜλΓ(α) β) Για y= τα σύνολα γίνονται: Α = {,,4}, { 0,,} Β = 5 Έτσι: P( A) = P() + P() + P(4) = + + = P( B) = P(0) + P() + P() = + + = Αφού: Α Β = { 0,,,4} έχουµε P( A B) = P(0) + P() + P() + P(4) = = 9 Αφού: A B= {4} έχουµε P( A B) = P(4) = 9 4 α) Έχουµε g' ( ) = + e Έστω ( ε ) : y= a+ β η εξίσωση της ζητούµενης εφαπτοµένης της C g στο σηµείο της, g( )) Τότε ισχύουν: ( 0 0 Αφού ε // η λ = λ α = e () ε η () g '( ) = a + e = a + e = e = = 0 0 o 0 0 ( ) ( ε) g() = e + β + e e = e + β e = e + β β = e () Έτσι χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (), () έχουµε για εφαπτοµένη την (ε ) : y= ( e) e β) Έχουµε 5 Ε =,, 9 9 Για τα σηµεία Μ, y ), µε ν =,, της εφαπτοµένης (ε) έχουµε: ν ( ν ν 5 6 4e 5 5 5e 6 4e Μ,, αφού y = ( e) e = e = e 6 e e Μ,, αφού y = ( e) e = e = Μ, e, αφού y = ( e) e = e e = e y Άρα y= + y+ y 6 4e e 5e + = e = = 7 e ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6