Παράδειγµα (2) s t Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) w x Ορέστης Τελέλης z y tllis@unipi.r v u Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Ο κόµβος (αριστερά) είναι ϐαθµού 2. εποµένως µπορεί να αντιστοιχηθεί µε κάποιον από τους t, u, x, y (δεξιά). Οµως ο έχει µόνο γείτονες ϐαθµού 3 (, ). Καθένας από τους t, u, x, y έχει έναν γείτονα ϐαθµού 2. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 1 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 2 / 21 Παράδειγµα (3) Παράδειγµα (4) v5 v 5 Είναι ισόµορφα. Ενας ισοµορφισµός είναι: ( ) =, ( ) =, ( ) = v 5 ( ) =, ( ) = εν είναι ισόµορφα. Το γράφηµα στα δεξιά έχει έναν κόµβο ϐαθµού 4 (τον ), ενώ όλοι οι κόµβοι στο γράφηµα στα αριστερά έχουν ϐαθµό το πολύ 3. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 3 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 4 / 21
Παράδειγµα (5) Μονοπάτια, Κυκλώµατα και Κύκλοι Μονοπάτι µήκους n σε (µη κατευθ.) γράφηµα G(V, E) από u V στον v V: ακολουθία ακµών 1, 2,..., n ή κόµβων x 0 = u, x 1,..., x n = v, ώστε: i = { x i 1, x i }, για i = 1,..., n. v 5 Κύκλωµα: x 0 = x n (δηλαδή u = v). Απλό Μονοπάτι / Κύκλωµα: δεν διασχίζει την ίδια ακµή > 1 ϕορές. Στοιχειώδες Κύκλωµα (Κύκλος): απλό και δεν περνά από ίδιο κόµβο > 1 ϕορές. Είναι ισόµορφα. Ενας ισοµορφισµός είναι: ( ) =, ( ) = v 5, ( ) =, ( ) =, ( ) = Μονοπάτι Κύκλωµα Απλό Κύκλωµα,,,,,,,,,,,,,,,,, Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 5 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 6 / 21 Συνδετικότητα (Συνεκτικότητα) Συνδεδεµένο (συνεκτικό) µη κατευθυνόµενο γράφηµα G(V, E): Εχει µονοπάτι µεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόµβων u, v V. ιαφορετικά το γράφηµα είναι ασύνδετο / µη συνεκτικό. Ασύνδετο γράφηµα µε τρεις συνδεδεµένες συνιστώσες. Συνδεδεµένη Συνιστώσα: µεγιστικό (mximl) συνδεδεµένο υπογράφηµα. (συµπερίληψη επιπλέον κόµβου η ακµής µε τα άκρα της δίνει ασύνδετο) Θεώρηµα Σε συνδεδεµένο γράφηµα κάθε δύο κόµβοι συνδέονται µε απλό µονοπάτι. Συνδετικότητα (Συνεκτικότητα) Σε συνδεδεµένο (µη κατευθυνόµενο) γράφηµα G(V, E): Κόµβος Αποκοπής (Cut Vrtx): η διαγραφή του (µε τις προσκείµενες ακµές) αφήνει ασύνδετο υπογράφηµα. Ακµή Αποκοπής / Γέφυρα (Cut E / Bri): η διαγραφή της αφήνει ασύνδετο υπογράφηµα. Ενα πλήρες γράφηµα δεν έχει κόµβους αποκοπής ή γέφυρες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 7 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 8 / 21
Παράδειγµα Συνδετικότητα Κόµβων και Ακµών Σε (µη κατευθυνόµενο) γράφηµα G(V, E): Υποσύνολο Κόµβων ιαχωρισµού V V: Το G V είναι ασύνδετο. Συνδετικότητα Κόµβων (Vrtx Conntivity) κ(g): Ποιοί είναι οι κόµβοι αποκοπής και οι γέφυρες του γραφήµατος; Κόµβοι Αποκοπής:,,. Γέφυρες: {, }, {, } η ελάχιστη πληθυκότητα ενός υποσυνόλου κόµβων διαχωρισµού. κ(g) = min{ V : V V και G V είναι ασύνδετο } Υποσύνολο Ακµών ιαχωρισµού E E: Το G E είναι ασύνδετο. Συνδετικότητα Ακµών (E Conntivity) λ(g): η ελάχιστη πληθυκότητα ενός υποσυνόλου ακµών τοµής. λ(g) = min{ E : E E και G E είναι ασύνδετο } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 9 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 10 / 21 Παραδείγµατα Παραδείγµατα Ο κόµβος είναι κόµβος αποκοπής. Εποµένως, κ(g) = 1. Το γράφηµα δεν έχει γέφυρες. Υποσύνολο ακµών διαχωρισµού: { {, }, {, } }. Εποµένως, λ(g) = 2. Το γράφηµα δεν έχει κόµβους αποκοπής. Οµως το {, } είναι υποσύνολο κόµβων διαχωρισµού. Οµοίως, τα {, } και {, }. Εποµένως, κ(g) = 2. Το γράφηµα δεν έχει γέφυρες. Εχει υποσύνολο ακµών διαχωρισµού: { {, }, {, } }. Εποµένως, λ(g) = 2. Υποσύνολο κόµβων διαχωρισµού: {, } εν έχει κόµβο αποκοπής, άρα, κ(g) = 2. Το γράφηµα δεν έχει Ϲεύγος ακµών διαχωρισµού ή γέφυρα. Εχει υποσύνολο ακµών διαχωρισµού: { {, }, {, }, {, } }. Εποµένως, λ(g) = 3. Υποσύνολο κόµβων διαχωρισµού: {,, } εν έχει Ϲεύγη κόµβων διαχωρισµού. Εποµένως, κ(g) = 3. εν έχει γέφυρες ή Ϲεύγη ακµών διαχωρισµού. Οµως, αφαίρεση των {, }, {, }, {, } το αποσυνδέει. Εποµένως, λ(g) = 3. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 11 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 12 / 21
Συνδετικότητα Κόµβων κ() Συνδετικότητα Ακµών λ() εν ορίζεται σε πλήρη γραφήµατα: δεν έχουν κόµβους αποκοπής! εν ορίζεται στο K 1 (διότι δεν έχει ακµές). και κάθε υπογράφηµά τους ως προς υποσύνολο κόµβων είναι πλήρες! Ορίζουµε λ(k 1 ) = 0. Ισχύει επίσης λ(g) = 0 αν G ασύνδετος. Ορίζουµε κ(k n ) = n 1 για πλήθος κόµβων n 1. Εποµένως, σε κάθε γράφηµα G µε n κόµβους, 0 κ(g) n 1. Τότε, κ(g) = 0 αν και µόνο αν G = K 1 ή G είναι ασύνδετο. Εποµένως, σε κάθε γράφηµα G µε n κόµβους, 0 λ(g) n 1. Ν Ο λ(g) = n 1 αν και µόνο αν G = K n. κ(g) λ(g) n 1 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 13 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 14 / 21 Απόδειξη (1/2): λ(g) = n 1 G = K n Απόδειξη (2/2): G = K n λ(g) = n 1 Αν G = K n : Αν λ(g) = n 1: Κάθε δυνατό υποσύνολο ακµών διαχωρισµού έχει n 1 ακµές. Αρα, και το σύνολο ακµών που διαχωρίζει κάθε κόµβο u από τους άλλους. Αρα, ο u έχει τουλάχιστον n 1 γείτονες στο G, και, εποµένως, ακριβώς n 1 γείτονες. Εστω αυθαίρετη διαµέριση του V στα σύνολα X και Y. Κάθε κόµβος του X έχει y = Y γείτονες στο Y, διότι το γράφηµα είναι πλήρες Αρα, αν x = X, υπάρχουν xy = x(n x) ακµές διαχωρισµού των X,Y. Για 1 x n, η ποσότητα αυτή είναι τουλάχιστον n 1 λ(g). Εποµένως το G είναι το πλήρες γράφηµα των n κόµβων. xn x 2 παραβολή µε τα κοίλα προς τα κάτω, τα ελάχιστά της συµβαίνουν για x = 1 ή x = n 1. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 15 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 16 / 21
Συνδετικότητα (Κόµβων / Ακµών) Να προσδιοριστεί η συνδετικότητα κ (κόµβων) και λ (ακµών) του γραφήµατος Συνδετικότητα Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων Ισχυρά Συνδεδεµένο (Συνεκτικό) κατευθυνόµενο γράφηµα G(V, E): Εχει κατευθυνόµενο µονοπάτι µεταξύ οποιωνδήποτε δύο κόµβων u, v V. ιαφορετικά: είτε ασύνδετο (µη συνεκτικό), είτε ασθενώς συνδεδεµένο. Ασθενώς Συνδεδεµένο κατευθυνόµενο γράφηµα G(V, E): Το «υποκείµενο» µη κατευθυνόµενο γράφηµα είναι συνδεδεµένο. κ = 1, διότι ο είναι κόµβος αποκοπής, λ = 3, διότι: το { {, }, {, }, {, } } είναι υποσύνολο ακµών διαχωρισµού, ο διαχωρισµός οποιουδήποτε από τα υπογραφήµατα µε σύνολα κόµβων {,,, } ή {,,, } απαιτεί αποµάκρυνση 4 ακµών, ο διαχωρισµός του ενός υπογραφήµατος από το άλλο απαιτεί αποµάκρυνση ακριβώς 3 ακµών: των {, }, {, }, {, }. ιαφορετικά: το γράφηµα G είναι ασύνδετο (µη συνεκτικό). Ισχυρά Συνδεδεµένο Ασθενώς συνδεδεµένο Ασύνδετο Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 17 / 21 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 18 / 21 Συνδετικότητα Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων Μονοπάτια / Κυκλώµατα και Ισοµορφισµός Σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα, δύο διαφορετικοί κόµβοι ανήκουν: είτε στην ίδια ισχυρά συνδεδεµένη συνιστώσα, ή σε δύο διαφορετικές (ξένες) ισχυρά συνδεδεµένες συνιστώσες. Μονοπάτι ή απλό κύκλωµα συγκεκριµένου µήκους ϑα πρέπει να επιβιώνει του ισοµορφισµού ως αναλλοίωτη ιδιότητα. Αν υφίσταται στο ένα γράφηµα και όχι στο άλλο, δε µπορούν να είναι ισόµορφα. u 6 u 6 G 1 G 2 Το G 1 είναι ισχυρά συνδεδεµένο. Το G 2 είναι ασθενώς συνδεδεµένο: δεν υπάρχει µονοπάτι από. Τρεις ισχυρά συνδεδεµένες συνιστώσες: {}, {}, {,, }. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 19 / 21 Μη ισόµορφα: το δεξιό γράφηµα έχει απλό κύκλο µήκους 3 (π.χ.,,, u 6, ), αλλά το αριστερό όχι. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 20 / 21
Μονοπάτια / Κυκλώµατα και Ισοµορφισµός v 5 Ελεγχος Αναλλοίωτων: Ιδιο πλήθος κόµβων, ίδιο πλήθος ακµών. 2 κόµβοι ϐαθµού 3 και στα δύο γραφήµατα (, και, αντίστοιχα). 3 κόµβοι ϐαθµού 2 και στα δύο γραφήµατα. Απλοί κύκλοι µε µήκη 3, 4, 5 και στα δύο γραφήµατα. Ισως να είναι ισόµορφα. Πράγµατι, ένας ισοµορφισµός είναι: ( ) =, ( ) =, ( ) =, ( ) = v 5, ( ) = Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (2) 21 / 21