ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΝΤΑΣ ΤΗΝ «ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ» - ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ

1 ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΖΟΝΤΑΣ ΤΗΝ «ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ» - ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ Ιωάννης Παπαδόπουλος 1, Josip Slisko 2, Zalkida Hadzibegovic 3 1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, 2 Benemérita Universidad Autónoma da Puebla, México, 3 University of Sarajevo, Bosnia and Herzegovin 1 ypapadop@eled.auth.gr 2 jslisko@fcfm.buap.mx 3 zalkidah@yahoo.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή ερευνά το πρόβλημα του διπλασιασμού του εμβαδού του τετραγώνου μέσα σε ένα πλαίσιο που φιλοδοξεί να αντιμετωπίσει τη λανθασμένη πεποίθηση των μαθητών για την ύπαρξη γραμμικής σχέσης στη μεταβολή των διαστάσεων του τετραγώνου και του εμβαδού του. Τα ευρήματα της πιλοτικής μελέτης σε Ελλάδα και Βοσνία-Ερζεγοβίνη έχουν διπλή ανάγνωση. Από τη μια φαίνεται ότι οι μαθητές στο πλαίσιο αυτό δεν επηρεάζονται από την ψευδαίσθηση της γραμμικότητας. Από την άλλη αν και λύνουν με επιτυχία το πρόβλημα δεν φαίνεται να είναι σε θέση να κάνουν τη σύνδεση ανάμεσα σε αυτό και στο μαθηματικό του περιεχόμενο. 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με τον όρο «ψευδαίσθηση της γραμμικότητας» οι De Bock, Van Dooren, Janssens και Verschaffel (2007) αναφέρονται στην λανθασμένη πεποίθηση ότι αν οι πλευρές ενός σχήματος διπλασιαστούν προκειμένου να παραχθεί ένα όμοιο σχήμα, τότε και το εμβαδόν του (ή ο όγκος του) θα διπλασιαστεί επίσης. Δεν πρόκειται για κάτι νέο αφού τη συναντάμε ήδη από την αρχαιότητα στο περίφημο παράδειγμα του νεαρού δούλου στον Μένωνα, το διάλογο του Πλάτωνα (διπλασιασμός τετραγώνου) ή στο γνωστό Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμός του κύβου). Αυτή η λανθασμένη πεποίθηση μπορεί να αποδοθεί στο γεγονός ότι ο λύτης συνδέεται άμεσα με ένα συγκεκριμένο μαθηματικό πλαίσιο (πχ ένα συγκεκριμένο επίπεδο σχήμα, το εμβαδόν του, οι διαστάσεις του). Όμως, τι θα συμβεί αν ο λύτης εμπλακεί στην ίδια μαθηματική ιδέα χωρίς τη σαφή, άμεσα αναγνωρίσιμη παρουσία του πλαισίου αυτού; Θα είναι σε θέση να πετύχει αποτελέσματα χωρίς να εμποδιστεί από την πεποίθηση αυτή; Και αν ναι, θα είναι σε θέση να κάνει τη σύνδεση ανάμεσα στην κατάσταση επίλυσης προβλήματος και στη συγκεκριμένη μαθηματική ιδέα που αυτή εμπεριέχει; Επιπλέον, πως αυτές οι παραπάνω όψεις επηρεάζονται όταν οι λύτες είναι μαθητές διαφορετικών χωρών (στην περίπτωσή μας Ελλάδα και Βοσνία-Ερζεγοβίνη) γεγονός που σημαίνει διαφορετικές εκπαιδευτικές παραδόσεις; Αυτά είναι και τα ερωτήματα που η εργασία αυτή θα προσπαθήσει να ερευνήσει.

2 2. Η ΚΥΡΙΑΡΧΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Η ερευνητική βιβλιογραφία επιβεβαιώνει την ύπαρξη αυτής της πολύ ισχυρής τάσης των μαθητών να εφαρμόζουν το γραμμικό μοντέλο σε μη-γραμμικά προβλήματα που σχετίζονται με μεγεθύνσεις δισδιάστατων σχημάτων. Οι De Bock κ.α.(2007) στο βιβλίο τους «The Illusion of Linearity» παρουσιάζουν και συζητούν μια σειρά από σχετικές μελέτες πάνω στις λύσεις των μαθητών σε παρόμοια προβλήματα. Η βασική αρχή στα προβλήματα αυτά είναι ότι αν έχουμε μια μεγέθυνση κατά έναν παράγοντα κ, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσω τα μήκη των πλευρών κατά κ και το εμβαδόν κατά κ 2. Αυτό έχει να κάνει αποκλειστικά με τα εμπλεκόμενα μεγέθη (μήκος, εμβαδόν, όγκος) και όχι με το είδος του σχήματος. Οι μελέτες αυτές επιβεβαίωσαν την κυριαρχία του γραμμικού μοντέλου στις λύσεις των μαθητών. Οι ίδιοι ερευνητές (Van Dooren et al., 2004) επιχειρώντας να θεραπεύσουν αυτήν την παρανόηση σε μαθητές της Β Γυμνασίου, ανέπτυξαν μια σειρά από πειραματικά μαθήματα προκειμένου να πετύχουν μια εννοιολογική αλλαγή στους μαθητές. Η ψευδαίσθηση της γραμμικότητας φάνηκε να υποχωρεί στους περισσότερους μαθητές, όμως αυτό δε φάνηκε να καταλήγει σε μια βαθιά εννοιολογική αλλαγή. Οι Modestou, Gagatsis και Pitta-Pantazi (2004) ερεύνησαν την κυριαρχία του γραμμικού μοντέλου σε Κύπριους μαθητές ηλικίας 12-13 ετών κατά την επίλυση προβλημάτων που δεν βασίζονταν στη χρήση αναλογιών σχετικών με το εμβαδόν και τον όγκο ορθογώνιων στερεών. Επιβεβαίωσαν και αυτοί την τάση των μαθητών να εφαρμόζουν αναλογική επιχειρηματολογία σε καταστάσεις επίλυσης προβλήματος που όμως δεν προσφέρονταν για μια τέτοια προσέγγιση. Όμως αυτό που επίσης εντόπισαν ήταν ότι όταν αλλάζει το πλαίσιο του προβλήματος τότε αυτή η τάση φαίνεται να υποχωρεί. Η αλλαγή πλαισίου έχει να κάνει με τον τρόπο που παρουσιάζεται το πρόβλημα (πχ αντί της χρήσης λέξεων όπως διπλασιάζεται ή τριπλασιάζεται, δίνονται απλά τα μήκη των πλευρών). Εμείς στην εργασία αυτή θα κάνουμε χρήση μη τετριμμένων προβλημάτων σε ένα πλαίσιο όχι απλά διαφορετικό στον τρόπο παρουσίασης αλλά που φαινομενικά δεν θα έχει κάποια σχέση με αναλογίες και εμβαδά όμοιων σχημάτων. Προφανώς η μαθηματική ιδέα παραμένει η ίδια (σχέση εμβαδών όμοιων σχημάτων), δεν υπάρχει όμως κάποια ρητή αναφορά σε αυτό στην εκφώνηση του προβλήματος όπως θα φανεί πιο κάτω. 3. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Στην έρευνα αυτή πήραν μέρος τρεις μαθητές (2 αγόρια και 1 κορίτσι) της Στ τάξης από την Ελλάδα (ας τους ονομάσουμε Νικόδημο, Θανάση και Μυρτώ αντίστοιχα) και τρεις μαθητές της Α Γυμνασίου (7 η τάξη, 2 αγόρια και 1 κορίτσι) από τη Βοσνία- Ερζεγοβίνη (ας τους ονομάσουμε Ali, Sven και Mira αντίστοιχα). Κατά τη διάρκεια των σχολικών μαθηματικών τους οι Έλληνες μαθητές είχαν διδαχθεί βασικές έννοιες της γεωμετρίας περιλαμβανομένων των βασικών γεωμετρικών σχημάτων (κυρίως τρίγωνα, τετράπλευρα και κύκλους), κάποιες ιδιότητές τους όπως επίσης και τους τύπους για τον υπολογισμό της περιμέτρου και του εμβαδού τους. Το επίπεδό τους

3 χαρακτηρίστηκε από το δάσκαλό τους πάνω από το μέσο όρο της τάξης. Τα ίδια ισχύουν και για τους μαθητές από τη Βοσνία-Ερζεγοβίνη. Το περιεχόμενο των μαθημάτων τους στη γεωμετρία είναι ανάλογο και οι μαθητές παρουσιάζουν πολύ ψηλή βαθμολογία στα μαθηματικά. Επιπλέον, έχουν διδαχθεί έννοιες όπως η τετραγωνική ρίζα, οι αρνητικοί αριθμοί και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Η εκφώνηση των προβλημάτων είχε ως εξής: Πρόβλημα 1: Χρησιμοποίησε αυτό το μεγάλο τετράγωνο, χάρακα, ψαλίδι και κολλητική ταινία με όποιον τρόπο νομίζεις προκειμένου να δημιουργήσεις δυο μικρότερα ίσα τετράγωνα χωρίς να σου περισσέψει τίποτε. Πρόβλημα 2: Χρησιμοποίησε αυτά τα δυο μικρά ίσα τετράγωνα, χάρακα, ψαλίδι και κολλητική ταινία, με όποιον τρόπο νομίζεις προκειμένου να δημιουργήσεις ένα μεγάλο τετράγωνο χωρίς να σου περισσέψει τίποτε. Τα προβλήματα επιλέχθηκαν κυρίως γιατί διαπραγματεύονται την έννοια του διπλασιασμού του εμβαδού σε όμοια τετράγωνα χωρίς όμως να κάνουν καμιά ρητή αναφορά στην έννοια του εμβαδού και του διπλασιασμού του και χωρίς να δίνουν αριθμητικά στοιχεία (μήκη πλευρών με σχέση 1:2) κάτι που και πάλι θα μπορούσε να λειτουργήσει ως μια νύξη προς την κατεύθυνση του γραμμικού μοντέλου. Στους μαθητές ζητήθηκε να σκέφτονται μεγαλοφώνως (Thinking Aloud protocol) στη βάση της ανάλυσης πρωτοκόλλου (Schoenfeld, 1985). Οι συνεδρίες ηχογραφήθηκαν, μεταγράφηκαν σε κείμενο και στη συνέχεια, τα πρωτόκολλα αναλύθηκαν σε επεισόδια. Στο τέλος κάθε συνεδρίας ακολούθησε μια μικρή συζήτηση με κάθε μαθητή επικεντρωμένη ουσιαστικά στο ερώτημα: «Νομίζεις πως έμαθες κάτι σχετικά με τα μαθηματικά μέσα από τις δραστηριότητες αυτές;». Το ερώτημα τέθηκε για να δούμε κατά πόσο οι μαθητές ήταν σε θέση να συσχετίσουν τις δραστηριότητες με το μαθηματικό τους περιεχόμενο. Τέλος τα δεδομένα κωδικοποιήθηκαν με βάση τα εξής επίπεδα: (1)Να καταγράψουμε το κατά πόσο η αλλαγή πλαισίου εμπόδισε την επίδραση του γραμμικού μοντέλου, (2) Να καταγράψουμε τη μαθηματική διάσταση των δραστηριοτήτων όπως την αντιλήφθηκαν οι μαθητές, και (3) Να καταγράψουμε ομοιότητες και διαφορές ανάμεσα στις δυο εκπαιδευτικές κουλτούρες. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Το κύριο γνώρισμα των μαθητών από την Ελλάδα ήταν ότι η προσέγγισή τους ήταν καθαρά γεωμετρική, χωρίς σχεδόν καθόλου χρήση αριθμών. Η Μυρτώ μετά από μια αποτυχημένη προσπάθεια που βασίστηκε στη διαίρεση του αρχικού τετραγώνου σε δυο ίσα ορθογώνια παραλληλόγραμμα αποφάσισε να διπλώσει το τετράγωνο κατά μήκος όλων των αξόνων συμμετρίας του. Αυτό της επέτρεψε να δημιουργήσει 8 ίσα τρίγωνα που μπόρεσε να τα οργανώσει σε δυο ομάδες των τεσσάρων σχηματίζοντας ένα τετράγωνο με κάθε μια. Προφανώς επρόκειτο για ίσα τετράγωνα αφού αποτελούνταν από τέσσερα ίσα τρίγωνα το καθένα (Εικ.1α,β).

4 Εικόνα 1: Μυρτώ-α, β, γ Για τη δεύτερη δραστηριότητα η μαθήτρια είπε πως θα βασιστεί στην εμπειρία της προηγούμενης δραστηριότητας και ότι θα εργαστεί κατά τρόπο αντίστροφο. Χώρισε καθένα από τα δυο μικρά τετράγωνα σε τέσσερα επιμέρους και δημιούργησε τα 8 τρίγωνα που της ήταν απαραίτητα, οπότε ήταν πια εύκολο να οδηγηθεί στο μεγάλο τετράγωνο (Εικ.1γ). Εύκολο ήταν επίσης να δεχτεί ότι το σχήμα αυτό ήταν τετράγωνο λόγω των ίσων ισοσκελών τριγώνων που το συνέθεταν. Ο Θανάσης ένωσε τα μέσα των πλευρών του μεγάλου τετραγώνου σχηματίζοντας ήδη το πρώτο τετράγωνο στο εσωτερικό του. Το έκοψε και με τα τέσσερα ίσα τρίγωνα που απέμειναν σχημάτισε το δεύτερο ίσο τετράγωνο (Εικ.2α,β). Στη συνέχεια, για τη δεύτερη δραστηριότητα, ακολούθησε και αυτός αντίστροφα την ίδια πορεία προκειμένου να δημιουργήσει το μεγάλο τετράγωνο. Παρόλο που ο βαθμός πολυπλοκότητας ήταν αυξημένος λόγω του μεγάλου αριθμού μερών που δημιουργούσε η προσέγγιση αυτή (5 κομμάτια για κάθε τετράγωνο) εν τούτοις η προσήλωση στην πορεία που ακολούθησε στην πρώτη τον βοήθησε να συνθέσει το μεγάλο τετράγωνο στη δεύτερη (Εικ.2γ). Εικόνα 2: Θανάσης-α, β, γ Τέλος, ο Νικόδημος επέλεξε σε ένα πρώτο βήμα να διαιρέσει το αρχικό τετράγωνο κατά μήκος της μιας διαγωνίου του δημιουργώντας δυο ισοσκελή τρίγωνα και στη συνέχεια διαίρεσε κάθε τρίγωνο σε δυο άλλα επιμέρους τρίγωνα, όλα ίσα μεταξύ τους. Με τέσσερα ίσα τρίγωνα στη διάθεσή του διαπίστωσε πως κάθε ζευγάρι τέτοιων τριγώνων δημιουργούσε ένα τετράγωνο και προφανώς τα δυο τετράγωνα ήταν ίσα (Εικ.3α,β). Αμέσως αναγνώρισε και αυτός την εφαρμοσιμότητα της στρατηγικής του στο πρώτο μέρος προκειμένου να λύσει το δεύτερο. Έκοψε καθένα από τα μικρά τετράγωνα κατά μήκος μιας διαγωνίου τους και συνέθεσε το μεγάλο τετράγωνο με τη χρήση των τεσσάρων τριγώνων (Εικ.3γ)

5 Εικόνα 3: Νικόδημος-α, β, γ Ας δούμε στη συνέχεια τις προσεγγίσεις των μαθητών από τη Βοσνία-Ερζεγοβίνη. Βασικό γνώρισμα και των τριών προσεγγίσεων που εφάρμοσαν οι μαθητές ήταν η έντονη χρήση μετρήσεων, πράξεων, σχέσεων και υπολογισμών. H Mira, η καλύτερη στην τάξη της και πολύ δυνατή στα μαθηματικά, προτίμησε να ξεκινήσει λύνοντας πρώτα το δεύτερο πρόβλημα. Θεωρεί ως α 2 το εμβαδόν κάθε μικρού τετραγώνου και ψάχνει για την πλευρά του μεγάλου τετραγώνου που θα έχει εμβαδόν όσο και τα δυο μαζί, δηλαδή 2α 2. Αυτό την οδηγεί στο να υπολογίσει την πλευρά του τετραγώνου αυτού ως. Πολύ σύντομα διαπιστώνει με τη χρήση του Πυθαγορείου θεωρήματος- ότι είναι η υποτείνουσα του τριγώνου που δημιουργεί σε καθένα από τα μικρά τετράγωνα η χάραξη μιας διαγωνίου τους (Εικ.4α). Στη συνέχεια δημιουργεί αυτό το μήκος -που θα χρησιμοποιήσει ως πλευρά για το μεγάλο τετράγωνο- κόβοντας κάθε μικρό τετράγωνο κατά μήκος της διαγωνίου του και συνθέτοντας τα τέσσερα επί μέρους τρίγωνα (Εικ.4β). Για το επόμενο πρόβλημα ακολουθεί και πάλι την ίδια ιδέα πάντα βασισμένη σε υπολογισμούς και στην εμπειρία που προηγήθηκε. Η διαγώνιος του μεγάλου τετραγώνου πλευράς α είναι, το μισό της είναι και πρόκειται για τις ίσες πλευρές των τεσσάρων τριγώνων που δημιουργούν οι διαγώνιες και που ενωμένα ανά δύο θα μου δώσουν τα ζητούμενα τετράγωνα (Εικ.4γ) Εικόνα 4: Mira-α, β, γ

6 Εικόνα 5: Ali -α, β, γ Ο Ali κόβει το μεγάλο τετράγωνο κατά μήκος της διαγωνίου του, συγκρίνει με επίθεση τα δυο τρίγωνα που δημιουργούνται, φέρει τα ύψη στα δυο τρίγωνα και μετρά τα μήκη τους όπως και τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και της υποτείνουσας. Κόβει το ένα τρίγωνο κατά μήκος του ύψους του και ενώνει τα δυο μικρότερα τρίγωνα κατά μήκος των υποτεινουσών τους (Εικ. 5α,β). Εκτελεί και πάλι μια σειρά από μετρήσεις με το χάρακα για να επιβεβαιώσει τα ίσα μεγέθη των διαστάσεων των τετραγώνων. Και αυτός μεταφέρει εύκολα την ίδια ιδέα στο επόμενο πρόβλημα διαιρώντας τα δυο τετράγωνα κατά μήκος μια διαγωνίου τους και ενώνοντας τα 4 επιμέρους τρίγωνα σε ένα μεγάλο τετράγωνο (Εικ,5γ) O Sven τέλος δεν καταφέρνει να λύσει κανένα από τα δυο προβλήματα. Σχεδιάζει τα επιμέρους βήματά του στο χαρτί, κόβει σε κάποιες περιπτώσεις κατά μήκος μιας διαγωνίου του τετραγώνου, μετρά μήκη πλευρών, προσπαθεί κόβοντας κομμάτια να υλοποιήσει το σχέδιο που έχει συλλάβει στο χαρτί (Εικ. 6α, β), όμως πάντα του περισσεύουν κομμάτια όπως χαρακτηριστικά αναφέρει: «Δεν ξέρω γιατί μου περισσεύει πάντα τόσο αχρησιμοποίητο υλικό». Εντυπωσιακά συχνά χρησιμοποιεί το ρήμα «μετρώ». Στο τέλος παραιτείται εκφράζοντας την απορία του σχετικά με το πως δεν κατέστη δυνατόν να δημιουργηθεί το μεγάλο τετράγωνο είτε τα δυο μικρά με τον τρόπο που τα σχεδίασε. Παραιτήθηκε από την προσπάθεια όχι όμως και από την πεποίθηση ότι η προσέγγισή του ήταν σωστή. Εικόνα 6: Sven -α, β Μετά το πέρας κάθε μαθητής κλήθηκε να συμμετάσχει σε μια συζήτηση επικεντρωμένη στο τι νομίζει πως του πρόσφερε σε μαθηματική γνώση η ενασχόλησή του με τις συγκεκριμένες δραστηριότητες. Έχει σημασία λοιπόν ότι παρόλο που σχεδόν όλοι τους μπόρεσαν να λύσουν με επιτυχία τα προβλήματα και ουσιαστικά να διαπραγματευτούν το θέμα των εμβαδών όμοιων σχημάτων (διπλασιασμός και υποδιπλασιασμός τετραγώνου) χωρίς να αφήσουν περιθώρια στην παρανόηση του γραμμικού μοντέλου να επηρεάσει τη δουλειά τους, εν τούτοις κανένας τους δεν ήταν σε θέση να δει αυτήν τη γεωμετρική ιδέα που ενυπήρχε στα δυο προβλήματα. Οι απαντήσεις τους αποτυπώνονται στα παρακάτω αποσπάσματα: «Πιθανόν θα με βοηθήσει να λύσω αργότερα παρόμοια προβλήματα.στην περίπτωση για παράδειγμα που πρέπει να διαιρέσω ένα σχήμα σε μικρότερα» (Μυρτώ). «Είχα δυο προβλήματα που το ένα ήταν αντίστροφο του άλλου και έμαθα

7 ότι μπορείς να χρησιμοποιείς κάποια σχήματα για να φτιάξεις άλλα» (Θανάσης). «Δεν είχε μαθηματικά με πράξεις. Είναι ένα είδος μαθηματικών που πρέπει να σκέφτεσαι διαφορετικά. Αν μπορείς να καταλάβεις το ένα πρόβλημα τότε είναι ευκολότερο να λύσεις το άλλο. Έμαθα ότι από ένα τετράγωνο μπορείς να κάνεις δυο μικρότερα και το αντίστροφο (Νικόδημος). «Δεν κάνουμε κάτι παρόμοιο στην τάξη. Μου άρεσε που ήταν σαν παζλ. Μου αρέσει γενικά να κάνω πράγματα που φαίνονται κάπως πολύπλοκα (Mira). «Τα μαθηματικά μπορεί να γίνουν πιο ενδιαφέροντα όταν παίρνουν έναν πρακτικό χαρακτήρα. Έμαθα ότι μπορούμε να το κάνουμε αυτό και στα μαθηματικά όπως στη φυσική» (Ali). «Τα προβλήματα παραμένουν για μένα ένα αίνιγμα» (Sven). 5. ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 5.1 «Ψευδαίσθηση της γραμμικότητας» - Εργασία σε διαφορετικό πλαίσιο Το γεγονός ότι δεν υπήρχε στην εκφώνηση του προβλήματος καμιά αναφορά σε έννοιες που πιθανόν να πυροδοτήσουν την παρανόηση του γραμμικού μοντέλου (πχ φτιάξτε ένα τετράγωνο με διπλάσιο ή μισό εμβαδόν) όπως και το ότι δεν δόθηκαν μήκη πλευρών ή εμβαδά έδωσε τη δυνατότητα στους μαθητές να λύσουν το πρόβλημα χωρίς την άμεση αρνητική επίδραση αυτής της λανθασμένης πεποίθησης αξιοποιώντας το εύρος των μαθηματικών γνώσεων που κατείχαν. Η Μυρτώ δείχνει μια γνώση των σχημάτων και των ιδιοτήτων τους. Εύκολα αποδέχεται το γεγονός ότι η διαγώνιος του τετραγώνου το διαιρεί σε δυο ίσα τρίγωνα βασισμένη στη γνώση των ιδιοτήτων των αξόνων συμμετρίας κάτι που αξιοποιεί με το να διαιρέσει το αρχικό τετράγωνο σε 8 μέρη όλα βασισμένα στη χρήση της αξονικής συμμετρίας. Αυτό σήμαινε αυτόματα ότι τα τετράγωνα που δημιουργούνταν από τέτοια τρίγωνα θα ήταν επίσης μεταξύ τους ίσα. Παρόμοια γνώση γεωμετρίας (αν και περισσότερο διαισθητική παρά φορμαλιστική) δείχνει η κίνηση του Θανάση να ενώσει τα μέσα των πλευρών του αρχικού τετραγώνου που σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Φυσικά, για τη συνέχεια είναι εύκολο να δει ότι τα 4 τρίγωνα που περισσεύουν είναι ίσα μεταξύ τους αφού οι κάθετες πλευρές τους είναι το μισό των πλευρών του τετραγώνου. Για αυτό και όταν δημιουργεί το δεύτερο τετράγωνο με βάση τα τρίγωνα προχωρά σε μια σύγκριση μέσω επίθεσης προκειμένου να επαληθεύσει την ισότητα των 2 τετραγώνων. Ο Νικόδημος αξιοποιεί επίσης της γνώση ότι οι διαγώνιες ως άξονες συμμετρίας δημιουργούν τέσσερα ίσα τρίγωνα που συνδυασμένα ανά δύο δίνουν δυο ίσα τετράγωνα. Η Mira ακολουθεί μια κυρίως φορμαλιστική προσέγγιση κάνοντας χρήση εννοιών όπως η τετραγωνική ρίζα και το πυθαγόρειο θεώρημα, βασισμένη σε επί μέρους υπολογισμούς μηκών και εμβαδών. Ο Ali εργάζεται με τρόπο που δείχνει μάλλον αδύναμη γεωμετρική σκέψη. Για παράδειγμα, κόβοντας ένα τετράγωνο κατά

8 μήκος μιας διαγωνίου ελέγχει το κατά πόσο τα δυο τρίγωνα είναι ίσα κάνοντας μετρήσεις (αγνοώντας τη βασική ιδιότητα της αξονικής συμμετρίας). Το ίδιο παρατηρούμε όταν εκφράζει την ανάγκη να χαράξει ύψη στα ισοσκελή τρίγωνα για να τα διαιρέσει σε δυο μικρότερα τρίγωνα. Κάνει πολύ εντατική χρήση μετρήσεων με το χάρακα σε όλη τη διάρκεια της συνεδρίας. Το ίδιο ισχύει και με τον Sven. Ενώ μια γεωμετρική προσέγγιση θα ευνοούσε την εύρεση λύσης (αφού φέρνει τις δυο διαγωνίους του τετραγώνου) η έμφαση που δίνει στις μετρήσεις τον οδηγεί στο να απορρίψει την ιδέα του, η οποία κάτω από το πρίσμα της συμμετρίας ή των ιδιοτήτων ενός τετραγώνου θα διευκόλυνε τη λύση. Αν εξαιρέσουμε λοιπόν τον τελευταίο μαθητή όλοι οι υπόλοιποι διαπραγματεύτηκαν με επιτυχία το πρόβλημα του διπλασιασμού (και υποδιπλασιασμού) του τετραγώνου χωρίς καμιά (τουλάχιστον εμφανώς διακριτή) παρουσία μιας επίδρασης του λανθασμένου γραμμικού μοντέλου. Αυτό οφείλεται κατά την άποψή μας στο ότι το πρόβλημα τέθηκε μέσα σε ένα εντελώς διαφορετικό πλαίσιο που δεν διατηρούσε κανέναν φανερό μαθηματικό δεσμό με όσα θα μπορούσαν να ενεργοποιήσουν τη συγκεκριμένη παρανόηση στη σκέψη των μαθητών. 5.2 Σύνδεση με τη μαθηματική ιδέα του προβλήματος Γενικά η έρευνα στη διδακτική των μαθηματικών θεωρεί ότι η επίλυση μη τετριμμένων προβλημάτων έχει θετική επίπτωση στη χρήση στρατηγικών από μέρους των μαθητών όπως και στην σε βάθος επίγνωση του πώς έλυσαν το πρόβλημα. Αυτό φάνηκε καθαρά στην περίπτωση των πέντε από τους έξι μαθητές που όλοι τους ήταν σε θέση να έχουν επίγνωση της στρατηγικής που εφάρμοσαν στο αρχικό πρόβλημα σε σημείο που να παρουσιάζουν ένα είδος μεταγνώσης από τη στιγμή που αντιλαμβάνονται την εφαρμοσιμότητά της και υλοποιούν τη μεταφορά της σε μια νέα κατάσταση επίλυσης προβλήματος (δεύτερο πρόβλημα). Αυτό όμως που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι παρά τα παραπάνω, κανένας μαθητής δεν ήταν σε θέση να κάνει τη σύνδεση ανάμεσα στο πρόβλημα που έλυσε και στις μαθηματικές ιδέες που κρυβόταν από πίσω (διατήρηση του εμβαδού, μη αναλογική σχέση ανάμεσα στα εμβαδά όμοιων σχημάτων και στις διαστάσεις τους). Ακόμη και η Mira που με τους υπολογισμούς της ήρθε σε επαφή με στοιχεία που καταδεικνύουν τέτοια συμπεράσματα (υπολόγισε αλγεβρικά μήκη και εμβαδά) επιδεικνύοντας ένα μεγάλο εύρος δεξιοτήτων και γνώσεων δεν κατάφερε να κάνει την πιο πάνω σύνδεση. Αρχικά ευρήματα σε μια άλλη έρευνα που εμπλέκει φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος επιβεβαιώνει την ιδέα ότι οι λύτες μπορεί να είναι επιτυχείς στην επίλυση προβλήματος χωρίς όμως απαραίτητα να κατανοούν τη μαθηματική υπόσταση του προβλήματος που λύνουν. 5.3 Σύγκριση μεταξύ των δυο ομάδων Στην σύντομη αυτή ενότητα γίνεται μια προσπάθεια να καταγραφούν ομοιότητες ή διαφορές στους τρόπους προσέγγισης του προβλήματος από τις δυο ομάδες, της

9 απόδοσής τους, επιλογών, συμπεριφοράς στην επίλυση προβλήματος, κλπ. (η ίδια αρίθμηση σχετίζει στις δυο ομάδες το ίδιο θέμα) Μαθητές από Ελλάδα: (1) Γεωμετρική προσέγγιση, (2) Απουσία μετρήσεων με χάρακα, (3) Δεν αισθάνθηκαν την ανάγκη για επιμέρους επαληθεύσεις. Η γεωμετρική πραγματικότητα (πχ ο άξονας συμμετρίας διαιρεί σε δυο συμπτώσιμα σχήματα) δεν αφήνει περιθώρια για αμφιβολίες, (4) Εμφανίζουν περιορισμένη φορμαλιστική γνώση και (5) Στο τελικό ερώτημα επισημαίνουν την μέθοδο της επίλυσης προβλήματος και την μεταφορά της σε άλλες καταστάσεις όπως και το γεγονός της σύνθεσης ενός σχήματος από άλλα επιμέρους σχήματα (αυτό αν και φαίνεται να συνδέεται με την ιδέα της διατήρησης του εμβαδού δεν υπάρχει μια ρητή διατύπωση που να το δείχνει) Μαθητές από Βοσνία-Ερζεγοβίνη: (1) Αλγεβρική-Αριθμητική προσέγγιση, (2) Βασισμένοι κυρίως σε μετρήσεις, υπολογισμούς και τύπους, (3) Ο αριθμητικός τρόπος εργασίας τους «ανάγκασε» πολλές φορές να ζητούν την επαλήθευση μερικών υπολογισμών και συμπερασμάτων, (4) Λίγη ή περισσότερη φορμαλιστική γνώση (τύποι, θεωρήματα), και (5) Οι μαθητές δεν επισημαίνουν τίποτε που να σχετίζεται με τη μαθηματική γνώση (αίνιγμα, πρακτική εργασία). Μιας που η έρευνα είναι ακόμη σε εξέλιξη αυτά εξακολουθούν να είναι θέματα προς έρευνα για τα οποία μπορεί προσεχώς να δοθεί κάποια εξήγηση. Μια πρώτη πάντως απάντηση που διαφαίνεται είναι ότι σημαντικό ρόλο παίζει ο διαφορετικός προσανατολισμός των αναλυτικών προγραμμάτων. Έτσι, ο πρακτικός χαρακτήρας μαθημάτων στη φυσική της Α Γυμνασίου στη Βοσνία, με έμφαση στις βασικές μετρήσεις και μονάδες φυσικών ποσοτήτων θα μπορούσε να αποτελεί μια πιθανή εξήγηση. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2007). The illusion of linearity. From Analysis to Improvement. Springer:NY Modestou, M., Gagatsis, A., & Pitta-Pantazi, D. (2004). Students improper proportional reasoning: The case of area and volume of rectangular figures. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28 th Conference of PME (vol3, pp. 345-352). Bergen, Norway. Schoenfeld, H. A. (1985). Mathematical Problem Solving, Orlando, FL: Academic Press Inc. Van Dooren, W., De Bock, D., Hessels, A., Janssens, D., & Verschaffel, L. (2004). Remedying secondary school students illusion of linearity: a teaching experiment aiming at conceptual change. Learning and Instruction, 14(5), 485-501.