ΑΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 6ο: Eπαναληπτικές ασκήσεις

ΑΛ/Μ6 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος 6ο: Eπαναληπτικές ασκήσεις

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 383

384 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα Για κινητό που κινείται ευθύγραμμα την χρονική στιγμή t 0 =0 βρίσκεται στη θέση x 0 =0 και η ταχύτητά του δίνεται στο διάγραμμα. Να βρεθεί: α. Τι κινήσεις κάνει. Να υπολογισθεί το Δx, σε κάθε κίνηση. β. Να γίνει διάγραμμα α(t), x(t). α. Από 0 έως 5s: Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη Δυ 5 5 0 α α m s α m s Δt 5 0 5 αριθ. 5 5 Δx Εμ 5m 50m Δx x x0 50m x 0 x 50m Από 5 έως 0s: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Δυ 5 5 0 α α m s α m s α 0m s Δt 0 5 5 αριθ. Δx Εμ 55m 75m Δx x x 75m x 50m x 5m - τις εξισώσεις και τα διαγράμματα των κινήσεων στην Ε.Ο.Κ. και στην Ε.Ο.Μ.Κ. - από τα διαγράμματα της υ(t) γνωρίζουμε:. η κλίση δίνει την επιτάχυνση. το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) ισούται αριθμητικά με το Δx. Πρόσεχε: το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 385 - για να σχεδιάσεις διάγραμμα α(t), και x(t) από το υ(t): - ο άξονας του χρόνου είναι ο ίδιος - στο διάγραμμα x(t) πρώτα σχεδιάζουμε το Δx μετά προσθέτουμε το Δx στο Δx και το σχεδιάζουμε, στο Δx + Δx προσθέτω το Δx 3 και το σχεδιάζω... Πρόσεχε: το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης Από 0 έως 5s: Ευθύγραμη ομαλά επιβραδυνόμενη (τη στιγμή t=5s το κινητό σταματάει υ3 0 ) τελ Δυ 0 5 5 α α m s α 3m s Δt 5 0 5 3 3 3 αριθ. 55 75 Δx3 Εμ m 37,5m Δx 3 x3 x 37,5m x3 5m x 3 6,5m Από 5 έως 0s: Ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη με αντίθετη φορά Δυ 0 0 0 α α m s α m s Δt 0 5 5 4 4 4 αριθ. 05 Δx4 Εμ m 5m Δx 4 x 4 x3 5m x 4 6,5m x 4 37,5m β.

386 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα Ποδηλάτης ξεκινά από την ηρεμία (t 0 =0, υ 0 =0) κινείται ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα και μετά από 5s αποκτά ταχύτητα 0m/s. Στην συνέχεια κινείται ευθύγραμμα ομαλά για s, μετά επιβραδύνει σταθερά με επιβράδυνση m/s, επειδή χτυπά το κινητό του και σταματάει για 5s επειδή απαντά στο κινητό του. Στη συνέχεια, επιστρέφει στην αρχική θέση που ξεκίνησε με σταθερή ταχύτητα, μέσα σε 0s. Να γίνουν τα διάγραμματα α(t), υ(t), x(t). α. η κίνηση Από 0 έως 5s: Ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Δυ 0 0 0 α m / s m s Δt 5 5 Δx υ0t αt 5 m 5m - τις εξισώσεις και τα διαγράμματα των κινήσεων στην Ε.Ο.Κ. και στην Ε.Ο.Μ.Κ. - από τα διαγράμματα της υ(t) γνωρίζουμε:. η κλίση δίνει την επιτάχυνση. το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) ισούται αριθμητικά με το Δx. - το μείον (-) στην φυσική δείχνει αντίθετη φορά από την αρχική θετική φορά Πρόσεχε: το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης η κίνηση Από 5s έως 7s: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (στο τέλος της κίνησης ο χρόνος είναι 5s +s = 7s) α 0m /s υ 0m s Η ταχύτητά του είναι υ = 0 m/s, επειδή η τελική ταχύτητα της προηγούμενης κίνησης είναι η αρχική της επόμενης. Δx υδt 0m 0m

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 387 - για να σχεδιάσεις διάγραμμα α(t), και x(t) από το υ(t): - ο άξονας του χρόνου είναι ο ίδιος - στο διάγραμμα x(t) πρώôá ó åäéüæï õì å ôï Äx μετά προσθέτουμε το Δx στο Δx και το σχεδιάζουμε, στο Δx + Δx προσθέτω το Δx 3 και το σχεδιάζω... Πρόσεχε: το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης 3η κίνηση Ευθύγραμμη ομαλή επιβραδυνόμενη Δx 3 υ α 3 0 Δx3 m 5m υ 0 t3 s 5s α3 4η κίνηση Το χρονικό διάστημα που δεν κινείται Δx 4 0, υ 0, α 0, t 4 5s 5η κίνηση Υπολογίζουμε το Δx5 Δx Δx Δx Δx Δx 5m 0m 5m 70m 5 3 4 Επειδή η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή. υ Δx 70m 5 5 Δt 5 0s 7m s x x 0 Δx 0 5m 5m x x Δx 5m 0m 45m x 3 x Δx3 45m 5m 70m x 4 x3 Δx 4 70m 0 70 m x 5 = x 4 + Δx 5 = 70 m + ( 70 m) = 0

388 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 3 Δύο κινητά ξεκινούν από δύο σημεία Α και Β που απέχουν 375m και κινούνται αντίθετα. Το κινητό Α έχει σταθερή ταχύτητα 0m / s. Το κινητό Β έχει σταθερή επιτάχυνση α Β m / s. α. Να βρεθεί το σημείο που θα συναντηθούν μεταξύ τους. β. Να γίνουν τα κοινά διαγράμματα υt, α t, x t για το χρονικό διάστημα t 0s. α. A Α Κινητό Α : x υ t Κινητό B : x B αt d υa t αβ t 375 0t t πρέπει d x x A B t 0t 375 0 t 5s. - σε αντίθετες κινήσεις δύο κινητών που απέχουν απόσταση d και συναντιούνται ισχύει ότι: d = x + x - το μείον (-) στην φυσική δείχνει αντίθετη φορά από την αρχική θετική φορά Πρόσεχε: το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης Ο χρόνος που θα συναντηθούν είναι 5 s x A = υ Α t x A = 0 5 m x A = 50 m Άρα θα συναντηθούν σε απόσταση 50 m από το Α και 375 50 = 5 m από το Β.

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 389 - για να σχεδιάσεις διάγραμμα α(t), x(t) και υ(t): - ο άξονας του χρόνου είναι ο ίδιος - στο διάγραμμα υ(t) πρώτα σχεδιάζουμε τη υ μετά τη υ... - στο διάγραμμα x(t) πρώτα σχεδιάζουμε το Δx μετά προσθέτουμε το Δx στο Δx και το σχεδιάζουμε, στο Δx + Δx προσθέτω το Δx 3 και το σχεδιάζουμε... Πρόσεχε: γιατί το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης β. Διαγράμματα ταχύτητας - χρόνου. Κινητό Α : υα 0m /s Kινητό Β : υβ αt 0m /s 40m / s Διαγράμματα επιτάχυνσης - χρόνου. Η επιτάχυνση του κινητού Α είναι α Α = 0, επειδή εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Του κινητού Β είναι α Β = m/s σε σχέση με την κίνηση του Α. Διαγράμματα θέσης - χρόνου Μέχρι τη συνάντηση στο σημείο Γ: Το κινητό Α έχει διαγράψει τροχιά 50 m προς τη θετική φορά (από το Α στο Β). Το κινητό Β έχει διαγράψει τροχιά 5 m από το Β προς το Α.

390 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 4 Δύο σώματα Α και Β με μάζες m 4kg και m 8kg αντίστοιχα, βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t 0 0 το σώμα Α είναι ακίνητο και το σώμα Β κινείται με ταχύτητα υo το Α. Η αρχική απόσταση των δύο σωμάτων είναι d 8m / s απομακρυνόμενο από 0m. Στα σώματα αρχίζουν να ενεργούν τη χρονική στιγμή t 0 0 δύο σταθερές ομόρροπες δυνάμεις με μέτρα F N και F 6N. Οι δυνάμεις είναι ομόρροπες με την υ 0 F ασκείται στο σώμα Α, ενώ η F στο σώμα B. Να βρεθεί: α. η μέγιστη απόσταση των δύο σωμάτων β. μετά από πόσο χρόνο τα σώματα συναντιούνται. και η Για τις επιταχύνσεις των σωμάτων ισχύει: α F 3m / s και α m m F m / s Τα σώματα εκτελούν ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Αρχικά το σώμα Β απομακρύνεται από το Α μέχρι τη στιγμή που τα δύο σώματα αποκτήσουν ίσες ταχύτητες. α. Για τη χρονική στιγμή t που η απόσταση των δύο σωμάτων θα γίνει d max ισχύει:, υ υ α t υ α t Αλλά 0 υ υ α t υ α t t 8s 0 - σε ομόρροπες κινήσεις δύο κινητών που απέχουν απόσταση d και συναντιούνται ισχύει ότι: d + x = x - εάν ΣF 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νε ύτω να και ΣF m α. το κινητό κάνε ι Ε.Ο.Μ.Κ. και ισχύουν οι εξισώσεις της κίνησης αυτής

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 39 Από την () υ αt 4m / s υ Επίσης, για τις μετατοπίσεις των δύο σωμάτων έως τη χρονική στιγμή t θα ισχύει: Δx αt 96m και Δx υ0t αt 8m Επομένως, dmax Δx d Δx 4m β. Στη συνέχεια το σώμα Α πλησιάζει το Β. Αν t η στιγμή συνάντησης θα έχουμε: ' Δx αt και Δx υ t α t και t ' 0 Δx Δx d α t d υ t α t t 6t 0 0 3 ' ' 0 7,7s Δεκτη 6 336,s Aπορ.

39 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 5 Σώμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ0 0m / s. Θεωρώντας την αντίσταση του αέρα αμελητέα, να υπολογιστούν: α. Το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα και ο χρόνος ανόδου. β. Ο συνολικός χρόνος μέχρι να επιστρέψει το σώμα στο έδαφος και η ταχύτητα με την οποία επιστρέφει. γ. Να βρεθεί η ταχύτητα που έχει το σώμα σε ύψος h 5m Δίνεται: g 0 m / s από το έδαφος. Το σώμα εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα επάνω και η κίνησή του είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με επιβράδυνση g 0 m / s. Οι εξισώσεις για την κίνηση του σώματος είναι: y υ0t gt υ υ gt 0 α. Στο μέγιστο ύψος έχουμε: y hmax και υ 0 υ 0 0 υ0 gtαν t αν s s g 0 υ0 υ0 h max υ0 tαν gt αν h max υ0 g g g Άρα: 0 β. Όταν επιστρέφει στο έδαφος είναι y 0 t 0 0tολ 0 t ολ tολ 0 5tολ 0 t Άρα Η ταχύτητα με την οποία επιστρέφει είναι: 0 ολ υ0 0 h max m 0 m g 0 ολ ολ 0 απορρίπτεται 4s δεκτή υ υ gt 0 0 4 m /s 0m / s, δηλαδή αντίθετή της υ 0. - το σώμα εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα επάνω και η κίνησή του είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα και επιβράδυνση g 0 m / s - στο μέγιστο ύψος του η ταχύτητα είναι 0 - εάν σε ασκήσεις η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα τότε δρά στο σώμα μόνο το βάρος - στην κάθοδο το κινητό κάνει ελεύθερη πτώση και ισχύει:. ότι η ελεύθερη πτώση είναι Ε.Ο.Επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα.. ισχύουν οι εξισώσεις της Ε.Ο.Ε.Κ. 3. η μόνη δύναμη που δρά είναι το βάρος. Άρα α = g.

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 393 - ότι για οριζόντιο επίπεδο:. όσο ύψος ανεβαίνει τόσο ύψος κατεβαίνει. όσο χρόνο ανεβαίνει τόσο κάνει και να κατέβει 3. η αρχική ταχύτητα α- νόδου είναι ίδια με την τελική ταχύτητα καθόδου γ. Για h 5m η () δίνει: h υ0t gt 5 0t 0t t 4t 3 0 Επιλύοντας την β βάθμια ως προς το χρόνο θα έχουμε: 4 t t t s 3s Τη χρονική στιγμή t το σώμα περνάει από τη θέση y 5m ανεβαίνοντας, ενώ τη χρονική στιγμή t κατεβαίνοντας. Οι ταχύτητες που θα έχει αντίστοιχα θα είναι: υ υ gt 0 m/s, κατά την άνοδο του σώματος. 0 υ υ gt 0 m/s, κατά την κάθοδο του σώματος. o

394 Παράδειγμα 6 Η ταχύτητα σώματος μεταβάλλεται σύμφωνα με το διάγραμμα. Αν το σώμα έχει μάζα m = Kg για t = 0, x 0 = 0, να γίνει το διάγραμμα x - t και F - t. Θα μελετήσουμε το διάγραμμα κατά χρονικά διαστήματα. Από 0 s: Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση Δυ 0m /s 0m / s α 0m /s Δt s 0s αρ s 0m / s x Eτριγώνου 0m και Από 4s: Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση α 0, F 0 και F m α Kg 0m / s 0Ν x E 0m /s 4s s 40m μβ ορθογωνίου ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις - τις εξισώσεις και τα διαγράμματα των κινήσεων στην Ε.Ο.Κ. και στην Ε.Ο.Μ.Κ. - από τα διαγράμματα της υ(t) γνωρίζουμε:. η κλίση δίνει την επιτάχυνση. το εμβαδόν στο διάγραμμα υ(t) ισούται αριθμητικά με το Δx 3. εάν η ταχύτητα υ είναι σταθερή η επιτάχυνση είναι 0 4. εάν η επιτάχυνση είναι 0 τότε και η δύναμη είναι 0 5. εάν η ταχύτητα μεταβάλλεται ομαλά τότε η επιτάχυνση είναι σταθερή και διαφορετική του μηδενός 6. εάν η επιτάχυνση είναι σταθερή και διαφορετική του μηδενός τότε υπάρχει δύναμη σταθερή και διαφορετική του μηδενός

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 395 - για να σχεδιάσεις διάγραμμα α(t), x(t), υ(t) και F(t): - ο άξονας του χρόνου είναι ο ίδιος - στο διάγραμμα υ(t) πρώτα σχεδιάζουμε τη υ μετά τη υ... - στο διάγραμμα x(t) πρώτα σχεδιάζουμε το Δx μετά προσθέτουμε το Δx στο Δx και το σχεδιάζουμε, στο Δx + Δx προσθέτω το Δx 3 και το σχεδιάζουμε... Πρόσεχε: γιατί το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης Από 4 5s: Ευθύγραμμη Ομαλά Επιβραδυνόμενη Κίνηση Δυ 0m /s 0m / s α3 0m /s Δt 5s 4s αρ 0m / s (5s 4s) x3 Eτριγ 0m και 3 3 F m α Kg 0m / s 40Ν

396 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 7 Αερόστατο ανέρχεται κατακόρυφα με ταχύτητα υ 0 = 0 m/s. Κάποια στιγμή που το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος H = 300 m αφήνεται από αυτό ελεύθερα να πέσει ένα μικρό σώμα. Να υπολογιστούν: α. το μέγιστο ύψος του σώματος από το έδαφος β. μετά από πόσο χρόνο το σώμα φτάνει στο έδαφος γ. η θέση του αερόστατου όταν το σώμα φτάσει στο έδαφος δ. η ταχύτητα του σώματος όταν χτυπήσει στο έδαφος. Δίνεται: g = 0 m/s Το σώμα όταν το αφήσουμε ελεύθερο έχει την ταχύτητα του αερόστατου υ 0. Επομένως, θα κινηθεί κατακόρυφα προς τα πάνω και θα φτάσει σε ύψος h: υ0 0 0 υ υ gh 0 υ gh h h 0m g υ0 ο χρόνος υπολογίζεται από υ υ0 gt 0 υ0 gt t t s g α. Άρα το μέγιστο ύψος του σώματος από το έδαφος είναι: Hoλ Η h 300m 0m 30 m β. Ο χρόνος που το σώμα φτάνει στο έδαφος είναι: t t t ολ Από το ύψος Η h το σώμα πέφτει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα σε χρόνο t, οπότε έχουμε: H h Η h gt t t 64s t 8s. Άρα tολ s 8s 0s. g γ. Το αερόστατο ανέρχεται με σταθερή ταχύτητα, επομένως σε χρόνο t ολ αυτό θα έχει ανέβει κατά h υ0 tολ 0m / s 0s h 00m. Άρα η θέση του αερόστατου από το έδαφος όταν το σώμα φτάνει σε αυτό είναι: Hαερ Η h 300m 00m Hαερ 500 m. δ. Η ταχύτητα του σώματος στο έδαφος είναι: υ g t 0m / s 8s 80m /s.

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 397 - σε αντίθετες κινήσεις δύο κινητών που απέχουν απόσταση d και συναντιούνται ισχύει ότι: h = h + h - το μείον (-) στην φυσική δείχνει αντίθετη φορά από την αρχική θετική φορά Παράδειγμα 8 Από ύψος H = 00 m αφήνουμε ένα σώμα να πέσει ελεύθερο. Από το έδαφος και στην ίδια κατακόρυφο εκτοξεύουμε ταυτόχρονα ένα άλλο σώμα προς τα πάνω με υ0 50m / s. Να βρείτε που και πότε θα συναντηθούν; Δίνεται: g = 0 m/s. Έστω ότι θα συναντηθούν στο σημείο Γ. Για το πρώτο σώμα: Για το δεύτερο σώμα: Όμως: h g t h υ0 t g t H h h H gt υ0t gt H 00m H υ0t t t s υ 50m /s 0 Οπότε: h υ0 t g t h 80m Θα συναντηθούν μετά από s σε ύψος 80m από το έδαφος.

398 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 9 Σώμα μάζας m kg αρχίζει να κινείται υπό την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F 5N πάνω σε δάπεδο που παρουσιάζει με το σώμα συντελεστή τριβής μ 0,. Αφού το σώμα διανύσει 3m, εισέρχεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κινείται για άλλα 4s. Να βρεθούν: α. Ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώματος. β. Η τελική ταχύτητα του σώματος. γ. Το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα. m Δίνεται g 0 s Αρχικά: ΣFy 0 N B 0 N m g 0N F T F μν 5 0,0 ΣFx mα α m / s 4 m / s m m ενώ από τις εξισώσεις κίνησης παίρνουμε: x x α t t 6 s t 4s α υ α t 4 4m / s 6 m / s Στο λείο επίπεδο δεν υπάρχει τριβή. Άρα: F ΣFx m α α 5m / s m - ότι η τριβή ολίσθησης είναι πάντα αντίθετη στην κίνηση - σε λείο επίπεδο η τριβή είναι 0 - στο yy βρίσκουμε με τι ισούται η αντίδραση ε- πειδή ΣF y = 0 - υπολογίζουμε την τριβή - στο xx βρίσκουμε τη σχέση του ΣF x - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νε ύτω να και ΣF m α. το κινητό κάνε ι Ε.Ο.Μ.Κ. και ισχύουν οι εξισώσεις της κίνησης αυτής - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νεύτωνα. το κινητό ισορροπεί δηλαδή ή μένει ακίνητο ή συνεχίζει και εκτελεί την ίδια αμετάβλητη κίνηση (δηλαδή Ε.Ο.Κ.)

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 399 α. t t t 4 4s 8s ολ β. υ υ α t 6 5 4 m / s 36m / s γ. x υ t α t 6 4 5 4 m 04m x x x 3 04 m 36 m ολ - στο yy βρίσκουμε με τι ισούται η αντίδραση ε- πειδή ΣF y = 0 - υπολογίζουμε την τριβή - στο xx βρίσκουμε τη σχέση του ΣF x - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νε ύτω να και ΣF m α. το κινητό κάνε ι Ε.Ο.Μ.Κ. και ισχύουν οι εξισώσεις της κίνησης αυτής - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νεύτωνα. το κινητό ισορροπεί δηλαδή ή μένει ακίνητο ή συνεχίζει και εκτελεί την ίδια αμετάβλητη κίνηση (δηλαδή Ε.Ο.Κ.) Παράδειγμα 0 ο Σώμα αφήνεται να ολισθήσει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ 30. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στο σώμα και στο επίπεδο είναι μ 0, 3. Να βρεθεί το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα μέχρι τη στιγμή που η ταχύτητά του γίνεται 0m / s. m Δίνεται: g 0 s ΣFy 0 N By 0 N mgσυνφ Τ μ Ν μ mg συνφ ΣF mα B T mα x x 3 α 0 0, 3 0 m / s m / s Όμως: και υ 0 υ α t t s 5s α s αt 5 m 5m

400 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα Δύο σώματα Σ και Σ έχουν μάζες m kg και m 9kg αντίστοιχα. Τα σώματα αρχικά ηρεμούν και συνδέονται με αβαρές νήμα μήκους 5cm. Ασκούμε στο Σ οριζόντια δύναμη F N. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του Σ και του δαπέδου είναι μ 0,, μεταξύ του Σ και του δαπέδου είναι m 0, και g 0 m / s, τότε: α. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του συστήματος. β. Να βρείτε την τάση του σχοινιού. γ. Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος μετά από t 6s δ. Τη χρονική στιγμή t 6s το σχοινί σπάει. Να βρείτε: i. μετά από πόσο χρόνο το Σ θα σταματήσει. - ότι σώματα που συνδέονται με αβαρές νήμα κάνουν την ίδια κίνηση - οι τάσεις στο νήμα μεταξύ των σωμάτων είναι αντίθετες - η κινητήρια δύναμη δρά σε όλο το σύστημα των συνδεδεμένων σωμάτων ii. πόσο διάστημα θα διανύσει το Σ μέχρι να σταματήσει. iii. πόσο διάστημα θα διανύσει το Σ μέχρι το Σ να σταματήσει. iv. πόσο θα απέχουν τότε τα δύο σώματα. α. Για το Σ ΣFy 0 N B 0 N B N m g N kg 0 m / s N 0N και T μ Ν Τ 0, 0Ν Τ Ν Για το Σ ΣFy 0 N B 0 N B N m g N 9 kg 0 m / s N 90N και T μ Ν Τ 0,90Ν Τ 9Ν

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 40 - ότι η τριβή ολίσθησης είναι πάντα αντίθετη στην κίνηση - σε λείο επίπεδο η τριβή είναι 0 - στο yy βρίσκουμε με τι ισούται η αντίδραση ε- πειδή ΣF y = 0 - υπολογίζουμε την τριβή - στο xx βρίσκουμε τη σχέση του ΣF x - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νε ύτω να και ΣF m α. το κινητό κάνε ι Ε.Ο.Μ.Κ. και ισχύουν οι εξισώσεις της κίνησης αυτής - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νεύτωνα. το κινητό ισορροπεί δηλαδή ή μένει ακίνητο ή συνεχίζει και εκτελεί την ίδια αμετάβλητη κίνηση (δηλαδή Ε.Ο.Κ.) Για τα μέτρα των τάσεων στο σχοινί ισχύουν: Τ Τ' γιατί σχοινί είναι αβαρές. Εφαρμόζω το ο Νόμο του Νεύτωνα για το σύστημα: ΣFεξ F T T ΣFεξωτ. mολα α α m m m ολ Ν Ν 9Ν α α m / s kg 9kg β. Εφαρμόζω το ο Νόμο του Νεύτωνα για το Σ. ΣFx mα Τ Τ mα Τ Ν kg m / s T 3N γ. Το συσσωμάτωμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Άρα: υ αt υ m / s 6s υ 6 m / s δ. i. Το Σ εκτελεί τότε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με υ0 6m / s. Η επιβράδυνσή του, α, θα είναι: ΣF Τ N α α α α m / s x m m kg Για το χρόνο κίνησής του, t, έχουμε: υ 6m / s υ υ α t α t υ t t t 3s υ0 0 0 0 α m / s

40 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις ii. Το ολικό διάστημα μέχρι να σταματήσει είναι 6 m / s υ0 S S S 9m α m / s iii. Το Σ, μέχρι το Σ να σταματήσει, θα εκτελέσει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ0 H επιτάχυνση του Σ είναι: ΣF m α x x 6m / s. ΣF F Τ N 9N 4 α α α α m / s m m 9kg 3 4 S υ0t αt S 6 m / s 6s m / s S 60m 3 iv. Αρχικά τα δύο σώματα απέχουν απόσταση d 0, 5m. Άρα η συνολική απόσταση είναι: ΔS S S d ΔS 60m 9m 0, 5m ΔS 5, 5m

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 403 - στο yy βρίσκουμε με τι ισούται η αντίδραση ε- πειδή ΣF y = 0 - υπολογίζουμε την τριβή - στο xx βρίσκουμε τη σχέση του ΣF x - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νε ύτω να και ΣF m α. το κινητό κάνε ι Ε.Ο.Μ.Κ. και ισχύουν οι εξισώσεις της κίνησης αυτής - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νεύτωνα. το κινητό ισορροπεί δηλαδή ή μένει ακίνητο ή συνεχίζει και εκτελεί την ίδια αμετάβλητη κίνηση (δηλαδή Ε.Ο.Κ.) Παράδειγμα Σε κιβώτιο μάζας m 0kg που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F 00N για t 5s και μετά η δύναμη καταργείται. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ 0,, να βρεθούν: α. η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που καταργείται η δύναμη β. ο ολικός κίνησης του σώματος γ. το ολικό διάστημα που διανύει. Δίνεται: g 0m / s. α. Διαδρομή ΑΓ Οι οριζόντιες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι η F και η T. Από τον ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: F μmg ΣF mα F T mα F μ Ν mα F μmg mα α m α 9m / s και υ α t υ 9m / s 5s 45m /s β. Στη διαδρομή ΓΔ η μόνη οριζόντια δύναμη είναι η T. Από τον ο νόμο του Νεύτωνα υπολογίζουμε την επιτάχυνση (επιβράδυνση) α ΣF mα T m α μmg mα α m / s x Δ ΓΔ ΓΔ ΓΔ ΓΔ α Επειδή το σώμα σταματά στο Δ έχουμε: υ υ υ α t 0 υ α t t t 45s Οπότε tολ t tγδ 5s 45s 50s γ. Για το ολικό διάστημα που διανύει το σώμα έχουμε: S αt S 9m /s 5 s S,5m υ ΓΔ ΓΔ οπότε ολ ΓΔ α S S 0,5m S S S 5m

404 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 3 Σώμα μάζας m 0 3kg κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 0m / s σε οριζόντιο δρόμο με την επίδραση δύναμης μέτρου F 00N που σχηματίζει ο θ 60 με το οριζόντιο επίπεδο προς τα πάνω. Μετά από t 0s η F καταργείται. Να βρεθούν: α. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου β. Ο χρόνος που θα σταματήσει το σώμα μετά την κατάργηση της δύναμης. Δίνεται: g 0m / s α. Διαδρομή ΑΓ: Αναλύουμε την F σε δύο συνιστώσες F x και F y με μέτρα 3 Fx Fσυνθ 00Ν 50Ν και Fy F ημθ 00Ν 50 3Ν Επειδή το σώμα κινείται με υ σταθ. Ισχύει: ΣFx 0 Fx T 0 Fx T T 50N Από την συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα έχουμε: ΣF 0 F N B 0 y y N B Fy Ν mg F ημθ Ν 50 3N Τ 50Ν 3 T μν μ μ Ν 50 3Ν 3 β. Μετά την κατάργηση της F η μόνη οριζόντια δύναμη είναι η τριβή, η οποία επιβραδύνει και τελικά σταματά το σώμα Τ ' 0 3 ΣFx mα T ' mα α α m /s m 3 υ0 όπου T' μ Ν' Τ' μ mg Τ 00N και t t 3 s α - στο yy βρίσκουμε με τι ισούται η αντίδραση ε- πειδή ΣF y = 0 - υπολογίζουμε την τριβή - στο xx βρίσκουμε τη σχέση του ΣF x - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νε ύτω να και ΣF m α. το κινητό κάνε ι Ε.Ο.Μ.Κ. και ισχύουν οι εξισώσεις της κίνησης αυτής - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νεύτωνα. το κινητό ισορροπεί δηλαδή ή μένει ακίνητο ή συνεχίζει και εκτελεί την ίδια αμετάβλητη κίνηση (δηλαδή Ε.Ο.Κ.)

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 405 Παράδειγμα 4 Σε σώμα m kg αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη F της οποίας η αλγεβρική τιμή δείχνεται στο διάγραμμα: α. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 8s β. Να γίνει το διάγραμμα υ(t) - για να σχεδιάσεις διάγραμμα α(t), x(t), υ(t) και F(t): - ο άξονας του χρόνου είναι ο ίδιος - στο διάγραμμα υ(t) πρώτα σχεδιάζουμε τη υ μετά τη υ... Πρόσεχε: γιατί το τέλος της μίας κίνησης είναι η αρχή της επόμενης α. 0 4s : Ασκείται στο σώμα σταθερή δύναμη μέτρου F 50N οπότε κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. F F mα α α 5m /s και υ αt υ 00m /s m 4 6s : F 0 και α 0 άρα το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή με υ υ 00m / s 6 8s : Ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F 0N αντίρροπη στην κίνησή του, οπότε το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ0 υ 00m / s. F Άρα F mα3 α3 α3 0m /s m υ υ α t υ 80m /s είναι η ταχύτητά του στο τέλος των 8s και 3 0 3 3 β. Διάγραμμα (υ, t)

406 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 5 Όταν το σύστημα του σχήματος αφεθεί ελεύθερο να βρεθούν: α. Το διάστημα που διανύει η m σε s β. Η ταχύτητα του m σε s γ. Η τάση του νήματος Δίνονται: m m 5kg, g 0m / s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του m με το δάπεδο μ 0,5. (Η τροχαλία θεωρείται αβαρής) Εφαρμόζουμε το ο Νόμο του Νεύτωνα για κάθε σώμα χωριστά με τις δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα: για το m : για το m : ρ ΣF m α Τ Τ m α Τ μm g m α ΣF m α Β Τ m α m g Τ m α m g μm g m α m α α 3,75m /s α. Για το διάστημα που διανύει το m σε t s έχουμε: β. υ α t υ 7,5m / s γ. T mα μmg Τ 3,5N S αt S 7,5m - ότι σώματα που συνδέονται με αβαρές νήμα κάνουν την ίδια κίνηση - οι τάσεις στο νήμα μεταξύ των σωμάτων είναι αντίθετες - η κινητήρια δύναμη δρά σε όλο το σύστημα των συνδεδεμένων σωμάτων (Επειδή τα δύο σώματα συνδέονται με τεντωμένο νήμα κάθε στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα οπότε και οι μεταβολές των ταχυτήτων τους στη μονάδα του χρόνου είναι ίσες, άρα έχουν και ίσες επιταχύνσεις α α α )

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 407 Παράδειγμα 6 Σε σώμα μάζας m 5kg ασκείται οριζόντια δύναμη F. Αν η μεταβολή της ορμής μεταβάλλεται σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, να βρεθούν: α. Ποιά η ελάχιστη και ποιά η μέγιστη ταχύτητα του σώματος; β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις υ(t), F(t). p 0kgm / s υ 0m /s m 5kg α. min min pmax 00kgm / s υmax 40m /s m 5kg β. Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση υ(t) θα πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές των ταχυτήτων τις χρονικές στιγμές 0, 5, 0, s. p0 p5 υ0 0m / s, υ5 40m /s m m, p0 p υ0 40m / s, υ 0m / s m m Για την F(t) έχουμε: Από 0-5s: Aπό 5-0s: Από 0-s: Δp 00kgm / s F 0N Δt 5s Δp 0kgm / s F 0N Δt 5s Δp 00kgm / s F 00N Δt s

408 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 7 Ένα σώμα μάζας m kg ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο έχει μ 0, 5. Ασκούμε στο σώμα δύναμη F, που η τιμή της μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη μετατόπιση x του σημείου εφαρμογής της σύμφωνα με τη σχέση F 0 5x (S.I). α. Κατά πόσο θα μετακινηθεί το σώμα, πριν εγκαταλείψει το οριζόντιο δάπεδο; β. Την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που εγκαταλείπει το οριζόντιο δάπεδο. m Δίνονται: ημθ 0,8, g 0 s α. Fy 0 N F B 0 mg F 0 0 5x0,8S.I 4x S.I Το σώμα χάνει την επαφή του, όταν β. Το συνθ ημ θ 0,8 0,6 Η τριβή είναι Τ μν 0, 5 4x 3 x N 0 4x 0 x 3m Για x 0 :T 3 x 3N Fσυνθ Τ Για x 0 :Fσυνθ 0 5x 0, 6 6 3x 6N Άρα το σώμα ξεκινά αμέσως t 0. Η ΣF Fσυνθ Τ 6 3x 3 x 3 4x (S.I.) x 0 - στο yy βρίσκουμε με τι ισούται η αντίδραση ε- πειδή ΣF y = 0 - υπολογίζουμε την τριβή - στο xx βρίσκουμε τη σχέση του ΣF x - εάν ΣFx 0 τότε:. ισχύει ο ος Νόμος του Νε ύτω να και ΣF m α. το κινητό κάνε ι Ε.Ο.Μ.Κ. και ισχύουν οι εξισώσεις της κίνησης αυτής - Το σώμα χάνει την ε- παφή του με το επίπεδο όταν η αντίδραση μηδενιστεί δηλαδή Ν = 0

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 409 Η γραφική παράσταση της Το o03 ΣFx 3 5 W 3m 7J Εφαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. 0m 3m για το σώμα. K W o 0 3 m 0 Wo 0 3 x φαίνεται στο διπλανό σχήμα: x (m) 0 3 F N x 3 5 Woλ 03 7J m m υ 7 3 3 m kg s s

40 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 8 Σώμα μάζας 5kg σύρεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο από μια σταθερή δύναμη F 70N που ασκείται με γωνία 30 ο πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα μετατοπίζεται κατά 5m και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι 0,3. Να βρείτε: α. Το έργο της F, β. το έργο της τριβής, γ. το έργο της κάθετης αντίδρασης, δ. το έργο του βάρους, ε. το συνολικό έργο στ. αν το σώμα ξεκινά από την ηρεμία, ποια θα είναι η ταχύτητά του στο τέλος των 5m; m Δίνεται g 0 s ο ο ΣFy 0 N Fημ30 Β 0 Ν Β Fημ30 Ν 5Ν Άρα Τ μ Ν 0,35Ν 34,5Ν α. Το 3 ο WF Fσυν45 x 70Ν 5m 75 3 J β. Το WT T x 34, 5N 5m 7, 5J γ. Το WN 0 γιατί είναι κάθετη στην μετατόπιση δ. Το WB 0 γιατί είναι κάθετη στην μετατόπιση ε. Το W W F W T W N W B 30,6 J στ. Εφαρμόζω το Θ.Μ.Κ.Ε. K τελ K αρχ Wολ mυ Wολ W ολ υ 4,7 m m s

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 4 Παράδειγμα 9 Μικρό σώμα μάζας m 0, kg αφήνεται από ύψος h,8m και αφού συγκρουστεί με οριζόντιο έδαφος, αναπηδά σε ύψος h 0,8m. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα που φθάνει στο έδαφος, β. την ταχύτητα που αναπηδά, γ. την απώλεια ενέργειας λόγω της κρούσης του με το έδαφος m Δίνεται g 0 s - ότι εάν είναι άγνωστο ένα από τα υ, υ 0, ΣF, x χρησιμοποιούμε το Θ.Μ.Κ.Ε. α. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. από το (Α) μέχρι το (Γ) λίγο πριν συγκρουστεί με το έδαφος: K τελ Κ αρχ Wολ m mυ 0 mgh υ gh 6 s β. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. από το (Γ) μέχρι το (Δ): K τελ Κ αρχ Wολ m 0 mυ mgh υ gh 4 s γ. Η απώλεια ενέργειας σε θερμότητα λόγω της σύγκρουσης με το έδαφος είναι Q mυ mυ J

4 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα 0 Σώμα μάζας m kg αφήνεται στο σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας ο κλίσης φ 60 που βρίσκεται σε ύψος h m από το οριζόντιο επίπεδο. Όταν το σώμα φθάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συνεχίζει σε οριζόντιο επίπεδο μέχρις ότου σταματήσει. Αν το σώμα παρουσιάζει τον ίδιο συντελεστή τριβής και στα δύο επίπεδα 3 μ = 4 να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του σώματος στη βάση Γ του κεκλιμένου επιπέδου. β. Η μετατόπιση του σώματος πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. γ. Τις μετατροπές ενέργειας που έχουμε κατά τη διάρκεια της κίνησης. δ. Το ποσοστό της αρχικής δυναμικής ενέργειας που γίνεται θερμότητα στη κίνηση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Bx Bημφ m g ημφ, Βy Βσυνφ m g συνφ h h ημφ Δx Δx ημφ α. Θ.Μ.Κ.Ε. Α Γ : ΣW F = ΔΚ W W W W K Κ Bx By T N Γ Α WB W x T KΓ Β x Δx T Δx m υγ h h m g ημφ μ m g συνφ m υ Γ ημφ ημφ h συνφ υγ (g h μ g συνφ ) υγ g h μ ημφ ημφ υγ 5m / s - ότι εάν είναι άγνωστο ένα από τα υ, υ 0, ΣF, x χρησιμοποιούμε το Θ.Μ.Κ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις 43 WN 0, WB y 0 και KA 0 ΣFy 0 Ν Βy 0 Ν Βy Ν Βσυνφ Ν m g συνφ β. Στο οριζόντιο επίπεδο ισχύει: ΚΔ 0 και WΒ 0, ΣFy 0 Ν Β 0 Ν Β Ν m g Θ.Μ.K.Ε. Γ Δ : ΣW F ΔΚ υγ WB WN WT KΔ Κ Γ Δx Δx 3m μ g γ. Η αρχική Δυναμική ενέργεια στο Α μέσω του έργου του βάρους μετατρέπεται σε κινητική στο Γ και μέσω του έργου της τριβής μετατρέπεται σε θερμότητα μέχρι το Γ. Μετά όλη η κινητική στο Γ θα μετατραπεί μέσο του έργου της τριβής σε θερμότητα έως το Δ. δ. Uβ m g h 0J, άρα K m υγ K,5J Q Uβ K 0J,5J 7,5 J, επομένως: Q U β 7,5 J 0, 75 ή 75% 0 J

44 ΦΥΣΙΚΗ: Επαναληπτικές ασκήσεις Παράδειγμα Σώμα μάζας m 4kg που ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο δέχεται δύναμη F 0N υπό γωνία φ ως προς αυτό και αφού το μετατοπίσει κατά Δx 5m παύει να ασκείται. Το σώμα συνεχίζει να κινείται και σταματάει λόγο τριβών. Αν ο συντελεστής μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ 0,, να βρεθούν: α. η ταχύτητα του σώματος όταν παύει να ασκείται η δύναμη β. η συνολική μετατόπιση του σώματος. Δίνεται: ημφ 0,8, συνφ 0,6, υ0 0 ΣFy 0 Ν Fy Β 0 Ν Β Fy Ν m g Fημφ Τ μν μm g fημφ - ότι εάν είναι άγνωστο ένα από τα υ, υ 0, ΣF, x χρησιμοποιούμε το Θ.Μ.Κ.Ε. α. Θ.Μ.Κ.Ε. ΣWf ΔΚ WF WF W W W K K x y B N0 Γ Γ A0 Fσυνφ Δx μ m g Fημφ Δx m υ υ 3 m / s β. ΣFy 0 Ν Β 0 Ν Β Ν m g Τ μν μm g. Επειδή ΣWF ΔΚ W W W K Κ T N B Δ Γ μ m g Δx m υ υ Δx 4,5m. Δx ολ Δx Δx 5m 4,5m 9,5m μ g