Άσκηση 3 - Κύματα Η δημιουργία κυμάτων είναι το αποτέλεσμα πολλών φυσικών διεργασιών. Κύματα εμφανίζονται στην επιφάνεια της θάλασσας, τα ηχητικά κύματα οφείλονται στις διαταραχές της πίεσης του αέρα, τα ηλεκτρομαγνητικά (ΗΜ) κύματα μεταφέρουν ηλεκτρική και μαγνητική ενέργεια είτε μέσω του κενού είτε μέσω υλικών. Όλα τα παραπάνω ονομάζονται κύματα και έχουν τις εξής κοινές ιδιότητες: μεταφέρουν ενέργεια. έχουν ταχύτητα. Η ταχύτητα των ΗΜ κυμάτων στο κενό είναι 8 3 10 m sec, ενώ η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 330 m/sec. είναι γραμμικά. Η γραμμικότητα είναι μια ιδιότητα που έχουν τόσο τα ΗΜ κύματα όσο και τα κύματα του ήχου, και σημαίνει ότι το συνολικό αποτέλεσμα από την ύπαρξη δύο γραμμικών κυμάτων είναι το άθροισμά τους. Ανάλογα με τον τρόπο που διαδίδονται τα κύματα διακρίνονται σε μονοδιάστατα, διδιάστατα και τρισδιάστατα, όπως φαίνεται στις παρακάτω εικόνες (α) Μονοδιάστατο κύμα (β) Διδιάστατο κύμα (γ) Επίπεδο και κυλινδρικό κύμα (δ) Σφαιρικό κύμα Σχήμα 1 Μορφές κυμάτων (α) Μονοδιάστατο, (β) Διδιάστατο, (γ) και (δ) Τρισδιάστατα. [1] 3.1. Ημιτονοειδή κύματα σε μέσο χωρίς απώλειες Όταν ένα κύμα δεν φθίνει ενώ κινείται σε κάποιο μέσο τότε το μέσο αυτό ονομάζεται μέσο χωρίς απώλειες. Ένα ημιτονοειδές κύμα μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά με τον εξής τρόπο 2πt yx,t Acos φ T λ όπου A είναι το πλάτος του κύματος, T είναι η περίοδος, λ είναι το μήκος κύματος και 0 φ είναι η φάση αναφοράς. Η εξίσωση (1) γράφεται και ως εξής 0 (1) 1
yx,t Acosφ x,t (2) όπου 2πt φ x,t φ0 rad T λ (3) είναι η φάση του κύματος και σε αντίθεση με τη φάση αναφοράς, μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου και του χώρου. Στο Σχήμα 2 φαίνεται η μεταβολή του y x,t για φ0 0. (α) Σχήμα 2 Μεταβολή του yx,t 2πt Acos όταν (α) T λ t 0 (β) και (β) Εάν λαμβάναμε στιγμιαίες εικόνες του κύματος σε διαφορετικές χρονικές στιγμές θα παίρναμε την εικόνα του παρακάτω σχήματος. x 0 [1] Σχήμα 3 Διαγράμματα του yx,t 2πt Acos όταν (α) 0 T λ t, (β) t T 4 και (γ) t T 2 [1] Σε όλα τα διαγράμματα που φαίνονται στο Σχήμα 3 η απόσταση μεταξύ διαδοχικών κορυφών είναι ίση με το μήκος κύματος λ. Τα τρία διαγράμματα παρουσιάζουν μια μετατόπιση επειδή αντιστοιχούν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Εάν παρακολουθήσουμε, στο χρόνο, ένα συγκεκριμένο σημείο P του κύματος μπορούμε να υπολογίσουμε τη φασική ταχύτητα u p του κύματος, που είναι λ up fλ m sec (4) T 2
όπου f 1 T Hz είναι η συχνότητα ενός ημιτονοειδούς κύματος. Η φασική ταχύτητα ονομάζεται επίσης ταχύτητα διάδοσης και είναι η ταχύτητα με την οποία κινείται η κυματομορφή. όπου Χρησιμοποιώντας τη συχνότητα, η εξίσωση (1) για rad m ω 2πf φ0 0 y x,t Acos πft Acos ωt βx m λ 2 μπορεί να γραφεί ως εξής rad sec είναι η κυκλική συχνότητα (ή γωνιακή ταχύτητα) και είναι η φασική σταθερά (ή κυματικός αριθμός) του κύματος. Η επίδραση της φάσης αναφοράς αριθμός, τότε το κύμα προηγείται χρονικά κατά ονομάζεται οδήγηση φάσης χρονικό διάστημα. Εάν το φαίνεται στο Σχήμα 4. Όταν το από αυτό με φ0 0 (5) β 2π λ είναι θετικός. Αυτή η περίπτωση είναι αρνητικός αριθμός το κύμα καθυστερεί κατά, οπότε αναφερόμαστε σε καθυστέρηση φάσης. Σχήμα 4 Διαγράμματα του 2πt y x,t Acos φ0 T για τρεις τιμές της φάσης αναφοράς φ 0. [1] 3.2. Ημιτονοειδή κύματα σε μέσο με απώλειες. Όταν ένα κύμα κινείται κατά μήκος του άξονα x σε ένα μέσο με απώλειες το πλάτος του αx μειώνεται σύμφωνα με τον παράγοντα e, που ονομάζεται παράγοντας εξασθένισης. Ο συντελεστής α ονομάζεται σταθερά εξασθένισης του μέσου και μετριέται σε Np m. Επομένως η μορφή του κύματος είναι αx Το πλάτος του κύματος είναι σε αυτή την περίπτωση y x,t Ae cos ωt βx (6) αx Ae. Ένα τέτοιο κύμα φαίνεται στο Σχήμα 5. Παρατηρήστε ότι ο φάκελος του σήματος περιγράφεται από την έκφραση αx Ae. 3
Σχήμα 5 Ημιτονοειδές κύμα σε μέσο με απώλειες ( t 0, A 10m, λ 2m, α 02. Np m ) [1] 3.3. Μήκος κύματος και αλλαγή φάσης (α) Ημιτονοειδές κύμα έχει αρχική φάση (φάση αναφοράς) 30 ο. Αν το μήκος κύματος είναι 1m, να βρεθεί η φάση του κύματος όταν θα έχει διανύσει: (i) 5m, (ii) 2.5m και (iii) 3.75m. (β) Ημιτονοειδές κύμα με μήκος κύματος 1m έχει αρχική φάση 30 ο. Να βρεθεί η απόσταση που έχει διανύσει το κύμα όταν η φάση του είναι: (i) 200 ο και (ii) 120 ο. 3.4. Έκφραση μονοδιάστατου ημιτονοειδούς κύματος (α) Ημιτονοειδές κύμα έχει πλάτος 3m, συχνότητα 5Ηz, μήκος κύματος 2m και αρχική φάση 45 ο. Να υπολογισθούν η κυκλική συχνότητα, ο κυματικός αριθμός και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Να γράψετε τη μαθηματική έκφραση που περιγράφει το κύμα (i) σε μέσο χωρίς απώλειες και (ii) σε μέσο με απώλειες, όπου η σταθερά εξασθένισης είναι 0.05Np/m. (β) Ημιτονοειδές κύμα δίνεται από την έκφραση: y(x,t)=0.4cos(3πt-0.8x). Να υπολογισθούν η συχνότητα, η περίοδος, το μήκος κύματος, ο κυματικός αριθμός και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Αν είναι γνωστό ότι, σε μέσο με απώλειες, το πλάτος του κύματος έχει πέσει στο μισό μετά από απόσταση 10m, να βρεθεί η σταθερά εξασθένισης και γραφεί η μαθηματική έκφραση που περιγράφει το κύμα. 4
Άσκηση 4 - Προσομοίωση μονοδιάστατου ημιτονοειδούς κύματος Αφού ανοίξετε τον υπολογιστή, κάνετε κλικ στο χρήστη LXX, όπου XX είναι κάποιος αριθμός από 01 έως 99. Στην επιφάνεια εργασίας ανοίξτε το φάκελο cd. Στο αρχείο start κάνετε δεξί «κλικ», «άνοιγμα με firefox». Προσοχή: αν ανοίξετε το αρχείο με άλλο τρόπο η εφαρμογή δεν θα λειτουργεί. Στην εργασία που θα παραδώσετε πρέπει να απαντήσετε γραπτά σε όλα τα ερωτήματα που εμφανίζονται παρακάτω με πλάγιους χαρακτήρες. 4.1. Ημιτονοειδής κυματομορφή Από το link CD Modules, και σύμφωνα με τις οδηγίες της άσκησης 2, ανοίξτε την εφαρμογή 1.1 Sinusoidal Waveforms. Η κόκκινη κυματομορφή που βλέπετε έχει την έκφραση y(t)=5cos(4πt). Ερώτημα 4.1 Υπολογίστε το πλάτος, τη συχνότητα, την περίοδο και τη φάση αναφοράς του κύματος και καταγράψτε τα στην εργασία σας. Κάθε μέγεθος θα αναγράφεται δίπλα στο σύμβολό του και δίπλα θα σημειώνεται η μονάδα μέτρησης. Υπολογίστε την τιμή του κύματος τις χρονικές στιγμές t= 0.XX και t=4*0.xx sec, όπου «ΧΧ» είναι τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού μητρώου σας (ΚΑΣ). Επιβεβαιώστε τις απαντήσεις σας μετακινώντας την κίτρινη κουκίδα από τη μπάρα κύλισης που βρίσκεται κάτω από την κυματομορφή. Ερώτημα 4.2 Έστω Χ το τελευταίο ψηφίο του αριθμού μητρώου σας (ΚΑΣ). Αν Χ=0, θεωρείστε ότι το Χ είναι το προτελευταίο ψηφίο του ΚΑΣ. Καταγράψτε την έκφραση της κυματομορφής με πλάτος διπλάσιο του Χ, συχνότητα (σε Hz) ίση με Χ και φάση αναφοράς της επιλογής σας. Εισάγετε τις τιμές των παραμέτρων της κυματομορφής στα αντίστοιχα κελιά και πατήστε Enter. Πρέπει να εμφανιστεί μια μπλε κυματομορφή με αυτά τα χαρακτηριστικά. 4.2. Μονοδιάστατο οδεύον κύμα Από το link CD Modules ανοίξτε την εφαρμογή 1.2 Travelling Waves. Η κόκκινη κυματομορφή y t 5cos πt πx. Εισάγοντας τιμές της επιλογής σας στα κελιά που βλέπετε είναι το κύμα f, λ, α και πατώντας Enter εμφανίζεται και μια πράσινη κυματομορφή με τα χαρακτηριστικά που έχετε εισάγει. Πατώντας το κουμπί Start μπορείτε δείτε την κίνηση των κυματομορφών, ενώ πατώντας το Stop η κίνηση σταματάει. Αφού κάνετε κάποιες δοκιμές και εξοικειωθείτε με τη εφαρμογή απαντήστε γραπτά στα παρακάτω ερωτήματα. Ερώτημα 4.3 Υπολογίστε το πλάτος, τη συχνότητα, τον κυματικό αριθμό, το μήκος κύματος και την ταχύτητα της κόκκινης κυματομορφής και καταγράψτε τα στην εργασία σας. Κάθε μέγεθος θα αναγράφεται δίπλα στο σύμβολό του και δίπλα θα σημειώνεται η μονάδα μέτρησης. 5
Ερώτημα 4.4 Έστω Χ το τελευταίο ψηφίο του αριθμού μητρώου σας (ΚΑΣ). Αν Χ=0, θεωρείστε ότι το Χ είναι το προτελευταίο ψηφίο του ΚΑΣ. Καταγράψτε την έκφραση ενός οδεύοντος κύματος με πλάτος ίσο με Χ, συχνότητα (σε Hz) ίση με Χ/2, μήκος κύματος (σε m) ίσο με Χ/4 και φάση αναφοράς ίση με 10Χ (σε μοίρες). Εισάγετε τις τιμές των παραμέτρων στα αντίστοιχα κελιά, πατήστε Enter και παρατηρείστε την πράσινη κυματομορφή που εμφανίζεται. Εισάγετε κάποια απόσβεση δίνοντας στη σταθερά εξασθένισης μια τιμή της επιλογής σας. Καταγράψτε τη νέα εξίσωση του κύματος. Ερώτημα 4.5 Έστω το κύμα του ερωτήματος 4.4 σε μέσο χωρίς απώλειες. Να βρεθεί η φάση του κύματος όταν το κύμα θα έχει διανύσει 5m. Ερώτημα 4.6 Έστω το κύμα του ερωτήματος 4.4 σε μέσο χωρίς απώλειες. Να βρεθεί η απόσταση που έχει διανύσει το κύμα όταν η φάση του είναι 220 ο. Ερώτημα 4.7 Έστω το κύμα του ερωτήματος 4.4 σε μέσο με απώλειες. Να βρεθούν το πλάτος και η φάση του κύματος όταν το κύμα θα έχει διανύσει 5m. Να βρεθούν οι αποστάσεις στις οποίες το κύμα έχει ίδια φάση με την αρχική. Αξιολόγηση Κάθε ερώτημα από τα 4.1-4.6 βαθμολογείται με μία μονάδα (1), ενώ το ερώτημα 4.7 με δύο μονάδες (2). Οι υπόλοιπες δύο μονάδες (2) μέχρι το άριστα, δίνονται στους φοιτητές από προφορική εξέταση, συμμετοχή στο μάθημα της προετοιμασίας, συμπεριφορά/ενδιαφέρον μέσα στην τάξη και συνολική εικόνα της εργασίας. 6