ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ Το αποτέλεσμα μιας σύγκρουσης δύο σωμάτων εξαρτάται από τις ορμές τους. Όταν δύο κριάρια συγκρούονται και μπλέκουν τα κέρατά τους, το σύμπλεγμα που δημιουργείται κινείται προς την κατεύθυνση του κριαριού με τη μεγαλύτερη αρχική ορμή. Ορμή υλικού σημείου Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα η ορμή P ενός υλικού σημείου μάζας m το οποίο κινείται με ταχύτητα υ ονομάζεται το φυσικό μέγεθος του οποίου το μέτρο ισούται με το γινόμενο της μάζας του υλικού σημείου επί το μέτρο της ταχύτητάς του. Η ορμή ενός υλικού σημείου είναι διανυσματικό μέγεθος και έχει την ίδια διεύθυνση και φορά όπως και η ταχύτητά του και σημείο εφαρμογής το ίδιο το υλικό σημείο. P = m υ Μονάδα μέτρησής της ορμής είναι το 1 kg m / s ή το 1 Ν s. Ορμή στερεού σώματος Κάθε στερεό σώμα θεωρείται ως σύστημα υλικών σημείων. Στην περίπτωση που το στερεό σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση, όλα τα υλικά σημεία τα οποία το αποτελούν έχουν την ίδια ταχύτητα με την ταχύτητα κίνησης του στερεού σώματος. Επομένως η ορμή του στερεού είναι: P = m 1 υ + m 2 υ + + m v υ = (m 1 + m 2 + + m v ) υ P = m υ Όπου m ή μάζα του σώματος. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 1
x 1 x 2 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Σύγκριση ορμής διαφορετικών σωμάτων Ένα σώμα με μικρή μάζα και μέτρια ταχύτητα, όπως ένα παιδικό καρότσι που κυλά στο δρόμο, έχει απλώς μέτρια ορμή. Από την άλλη μεριά, ένα μεγάλο φορτηγό Ορισμός και προσδιορισμός του κέντρου μάζας συστήματος δύο σημειακών σωμάτων σε μια διάσταση Κέντρο μάζας συστήματος σωμάτων ονομάζεται ένα σημείο, το οποίο αντιπροσωπεύει τη μέση θέση της συνολικής μάζας του συστήματος σωμάτων, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη συμπεριφορά του συστήματος στην επίδραση εξωτερικής δύναμης. Μερικές φορές, αντί του όρου κέντρο μάζας χρησιμοποιείται ο όρος κέντρο βάρους. Το κέντρο βάρους είναι το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης των βαρών των σωματιδίων του συστήματος. Το κέντρο βάρους συμπίπτει με το κέντρο μάζας, μόνο αν το σώμα ή το σύστημα βρίσκεται σε ομογενές βαρυτικό πεδίο. Ένα σώμα διαθέτει κέντρο μάζας, ανεξάρτητα αν βρίσκεται ή όχι σε βαρυτικό πεδίο, ενώ κέντρο βάρους έχει, μόνο αν βρίσκεται σε πεδίο βαρύτητας. x κ.μ m 1 m 2 Το κέντρο μάζας ως προς ένα σημείο αναφοράς, υπολογίζεται από τη σχέση: x κ.μ = m 1 x 1 + m 2 x 2 + + m v x n m 1 + m 2 + + m v Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 2
Άσκηση: Να υπολογίσετε τη θέση του κέντρου μάζας του συστήματος. Υπολογισμός ορμής και ταχύτητας κέντρου μάζας συστήματος σωμάτων, σε μονοδιάστατη κίνηση Εάν έχουμε ένα σύστημα σωμάτων που κινούνται με διάφορες ταχύτητες, τότε η ολική ορμή του συστήματος, είναι το άθροισμα των ορμών του κάθε σώματος του συστήματος δηλαδή: P ολ = P 1 + P 2 +. = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 +. Άσκηση: Δύο πατινέρ έχουν μάζες m 1 = 80kg και m 2 = 60kg και κινούνται με ταχύτητες ίσου μέτρου υ 1 = υ 2 = υ = 5 m/s. Να βρεθεί η ορμή του συστήματος των πατινέρ όταν: α. κινούνται ομόρροπα, β. κινούνται αντίρροπα. Θεωρούμε τη μάζα του συστήματος συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του, το οποίο κινείται με ταχύτητα υ κ.μ. Η ορμή του συστήματος θα είναι τότε P ολ = (m 1 + m 2 ) υ κ.μ ή P ολ = Μ υ κ.μ όπου Μ η ολική μάζα του σώματος. Επομένως, υ κ.μ = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 + m 1 + m 2 + Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 3
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ 2 ΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Σύμφωνα με το 2 ο νόμο του Νεύτωνα, όταν πάνω σε ένα σώμα ή υλικό σημείο ασκούνται δυνάμεις και η συνισταμένη τους είναι διάφορη του μηδενός, τότε μεταβάλλεται η ορμή του. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος ή υλικού σημείου ισούται με τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό. F = ΔP Δt Άσκηση: Χρησιμοποιώντας τον γενικευμένο 2 ο νόμο του Νεύτωνα να αποδείξετε τη σχέση, F = m a, στην περίπτωση ενός σώματος σταθερής μάζας. Ασκήσεις: 1. Ένα καρφί σφηνώνεται στο ξύλο όταν κτυπηθεί με σφυρί. Το καρφί έχει μάζα m = 10g και αποκτά ταχύτητα υ = 20 m/s κατά το κτύπημα. Αν το καρφί ακινητοποιείται σε χρόνο Δt = 0,02 sec να βρεθεί η μέση δύναμη που ασκείται σε αυτό από το ξύλο κατά την κίνηση του. Να υποθέσετε ότι το σφυρί δεν βρίσκεται σε επαφή με το καρφί καθώς αυτό σφηνώνεται στο ξύλο. 2. Μια ελαστική μπάλα πέφτει με οριζόντια ταχύτητα υ = 20 m/s σε κατακόρυφο τοίχο και ανακλάται, κινούμενη προς την αντίθετη κατεύθυνση, με ταχύτητα του ίδιου μέτρου με την αρχική. Αφού σχεδιαστούν τα διανύσματα της αρχικής ορμής, της ορμής αμέσως μετά την ανάκλαση και της μεταβολής της ορμής, να υπολογιστεί η δύναμη με την οποία αλληλεπιδρούν η μπάλα και ο τοίχος. Η δύναμη να θεωρηθεί σταθερή. Δίνονται: m = 0,1 kg και ο χρόνος επαφής μπάλας τοίχου 0,02 seс. «Μια μικρή δύναμη που ασκείται για μεγάλο χρονικό διάστημα μπορεί να προκαλέσει την ίδια μεταβολή στην ορμή όπως μια μεγάλη δύναμη που ασκείται για μικρό χρονικό διάστημα». Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 4
Άσκηση: Με την βοήθεια της πιο πάνω πρότασης να εξηγήσετε γιατί: Α. τοποθετούμε κρεβατάκια από σφουγγάρια κατά την πτώση των αθλητών. Β. οι προφυλακτήρες των αυτοκινήτων είναι στερεωμένοι με ελατήρια. Αρχή διατήρησης της ορμής Στη μελέτη της κίνησής των πλανητών του ηλιακού μας συστήματος ή της σύγκρουσης δύο μπάλων του μπιλιάρδου, είναι προτιμότερο να μελετήσουμε την κίνησή των σωμάτων θεωρώντας τα ως ένα σύνολο. Ένα τέτοιο σύνολο σωμάτων θα το ονομάζουμε σύστημα. Σύστημα σωμάτων ονομάζεται ένα σύνολο σωμάτων τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μέσω κάποιων δυνάμεων. Σε κάθε σύστημα, οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων που το αποτελούν ονομάζονται εσωτερικές δυνάμεις. Δυνάμεις που ασκούνται σε κάποιο μέρος του συστήματος από κάποιο φορέα εκτός του συστήματος λέγονται εξωτερικές δυνάμεις. Στη φυσική είναι δύσκολο να απομονώσουμε ένα σώμα από την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων του περιβάλλοντος του. Ένα τέτοιο σύστημα, που δεν υφίσταται εξωτερικές δυνάμεις, ονομάζεται απομονωμένο σύστημα. Άσκηση: Ποιες είναι οι εσωτερικές και ποιες οι εξωτερικές δυνάμεις, που ασκούνται στο σύστημα μαγνήτη σφαίρας; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 5
Θεωρούμε δύο αστροναύτες που αγγίζουν ο ένας τον άλλο καθώς αιωρούνται ελεύθερα στο διάστημα σε ένα περιβάλλον φαινομενικής ανυπαρξίας βαρύτητας. Ο κάθε αστροναύτης ασκεί μια δύναμη πάνω στον άλλο. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, οι δύο δυνάμεις είναι, σε κάθε στιγμή, ίσες σε μέγεθος και αντίθετες σε διεύθυνση. Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη που ασκείται πάνω σε κάθε αστροναύτη είναι ίση με το ρυθμό με της ορμής του. Αυτό σημαίνει ότι οι δύο ρυθμοί μεταβολής της ορμής είναι ίσοι και αντίθετοι οπότε ο ρυθμός μεταβολής της ολικής ορμής είναι ίσος με μηδέν και η ολική ορμή είναι σταθερή. Η ολική ορμή του συστήματος ως το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των ξεχωριστών σωμάτων είναι: P = P 1 + P 2 Ο ρυθμός μεταβολής της ολικής ορμής με το χρόνο είναι: ΔP = ΔP 1 + ΔP 2 Δt Δt Δt Έστω ότι F 1 και F 2 είναι οι εσωτερικές δυνάμεις που ασκούνται πάνω στα δύο σώματα λόγω της αμοιβαίας αλληλεπίδρασής τους. Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, F 1 = ΔP 1 Δt, F 2 = ΔP 2 Δt. Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, F 1 + F 2 = 0. Άρα ΔP = F1 + F2 = 0. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής με το χρόνο είναι ίσος με μηδέν. Δt Αν υπάρχουν επίσης και εξωτερικές δυνάμεις, θα πρέπει να συμπεριληφθούν στο δεξιό μέλος της πιο πάνω εξίσωσης, όπως και οι εσωτερικές δυνάμεις. Αν όμως το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίσο με μηδέν, οι δυνάμεις αυτές δεν συνεισφέρουν στο άθροισμα όλων των δυνάμεων και το ΔP Δt = 0. «Όταν το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων, ΣF εξ = 0, που ασκούνται πάνω σε ένα σύστημα είναι ίσο με μηδέν, η ολική ορμή του συστήματος είναι σταθερή». Αυτή είναι, στην απλούστερη της μορφή, η αρχή διατήρησης της ορμής. Μπορούμε να γενικεύσουμε την αρχή αυτή για ένα σύστημα που περιέχει ένα οποιοδήποτε αριθμό σωμάτων που αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ τους. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος που οφείλεται σε κάθε ζεύγος εσωτερικών δυνάμεων δράσης αντίδρασης είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής της ολικής ορμής του συστήματος είναι ίσος με μηδέν όταν το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται επάνω του είναι ίσο με μηδέν. Οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να μεταβάλουν τις ορμές των σωματίων του συστήματος, αλλά όχι και την ολική ορμή του συστήματος. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 6
Κέντρο μάζας και ταχύτητα κέντρου μάζας σε απομονωμένο σύστημα Αν το σύστημα είναι απομονωμένο, δηλαδή ΣF εξ = 0, τότε η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή, P ολ = σταθερή. Αλλά P ολ = (m 1 + m 2 ) υ κ.μ, οπότε υ κ.μ = σταθερό. Σε απομονωμένο σύστημα η ταχύτητα του κέντρου μάζας ή θα είναι μηδέν ή θα είναι σταθερή. Σε όλα τα μονωμένα συστήματα το κέντρο μάζας ή θα είναι ακίνητο ή θα κινείται με σταθερή ταχύτητα. ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ Κίνηση βάρκας με κουπιά, κίνηση πλοίου με προπέλα Κίνηση αεριωθούμενου Εκτόξευση πυραύλου Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 7
ΚΡΟΥΣΕΙΣ Οι κρούσεις αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγματα διατήρησης της ορμής και της ενέργειας. Κρούση ονομάζουμε οποιαδήποτε ισχυρή αλληλεπίδραση ανάμεσα σε δύο σώματα, η οποία διαρκεί για σχετικά μικρό χρονικό διάστημα. Παραδείγματα κρούσεων αποτελούν τα αυτοκινητικά ατυχήματα, οι μπάλες που συγκρούονται πάνω σε ένα τραπέζι του μπιλιάρδου κ.α. Αν οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης είναι πολύ μεγαλύτερες από τις όποιες εξωτερικές δυνάμεις, μπορούμε να προσομοιώσουμε το σύστημα με ένα απομονωμένο σύστημα, αγνοώντας εντελώς τις εξωτερικές δυνάμεις. Ένα καλό παράδειγμα είναι δύο αυτοκίνητα που συγκρούονται στους παγωμένους δρόμους μιας διασταύρωσης. Ακόμη και δύο αυτοκίνητα που συγκρούονται πάνω σε στεγνό οδόστρωμα μπορούν να θεωρηθούν απομονωμένο σύστημα κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης αν, όπως συχνά συμβαίνει, οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των αυτοκινήτων είναι πολύ μεγαλύτερες από τις δυνάμεις τριβής μεταξύ του οδοστρώματος και των ελαστικών των αυτοκινήτων. Διάκριση των κρούσεων ανάλογα με τη διατήρηση ή όχι της κινητικής ενέργειας του συστήματος Οι κρούσεις διακρίνονται σε: Ελαστικές, αν η κινητική ενέργεια των συγκρουόμενων σωμάτων διατηρείται κατά την κρούση. Κατά προσέγγιση ωε ελαστική μπορεί να θεωρηθεί η κρούση ανάμεσα σε δύο μπάλες του μπιλιάρδου. Μη ελαστικές, αν μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των συγκρουόμενων σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα, δηλαδή οι κρούσεις αυτές παρουσιάζουν απώλειες ενέργειας. Μια ειδική περίπτωση μη ελαστικής κρούσης είναι η πλαστική κρούση κατά την οποία τα συγκρουόμενα σώματα μετά τη κρούση συγκολλούνται και δημιουργούν ένα σύσσωμα. Κρούσεις Ελαστική Μη ελαστική Η ορμή του συστήματος διατηρείται Η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται Η ορμή του συστήματος διατηρείται Η κινητική ενέργεια του συστήματος δε διατηρείται Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 8
Ελαστική κρούση Στο σχήμα φαίνονται δύο σώματα με μάζες m 1 και m 2, που κινούνται με ταχύτητες υ 1 και υ 2 πάνω σε λείο τραπέζι χωρίς να περιστρέφονται. Μετά την κρούση τα δύο σώματα αποκτούν ταχύτητες v 1 και v 2. Σύμφωνα με τα όσα είπαμε για τις ελαστικές κρούσεις, κατά τη διάρκεια της κρούσης διατηρείται η ορμή και η ενέργεια του συστήματος. Εφαρμόζουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και της ενέργειας και χωρίζουμε τα δεδομένα του πρώτου σώματος από αυτά του δεύτερου. Διατήρηση της ορμής Διατήρηση της ενέργειας Λύση του συστήματος: Διαιρούμε κατά μέλη την εξίσωση (2) με την εξίσωση (1), θεωρώντας ότι υ 1 v 1 και υ 2 ν 2: Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 9
Η λύση του συστήματος των εξισώσεων (1) και (3) δίνει εύκολα τις τελικές ταχύτητες: Στην περίπτωση που το δεύτερο σώμα κινείται προς τα αριστερά, θα πρέπει η ταχύτητα υ 2 να πάρει αρνητικό πρόσημο. Αντίστοιχα, αν είτε η v 1 είτε η ν 2 προκύψουν αρνητικές, η φορά τους θα είναι αντίθετη απ αυτή που υποθέσαμε. Άσκηση: Να αποδείξετε ότι: υ 1 + v 1 = υ 2 + v 2 = 2υ κ.μ Ερωτήσεις: 1. Ποια θα είναι η νέα τιμή της ταχύτητάς του κάθε σώματος σε μια ελαστική κρούση, όταν οι μάζες των δύο σωμάτων είναι ίσες; Τι παρατηρείτε; 2. Η πιο κάτω συσκευή αποτελείται από πέντε μεταλλικά μπαλάκια ίσης μάζας που κρέμονται με κλωστές. Γιατί όταν μετακινήσουμε το πρώτο μπαλάκι από τη θέση του και αφεθεί ελεύθερο να συγκρουστεί με τα υπόλοιπα, παρατηρείται ότι μετακινείται μόνο το τελευταίο, ενώ τα ενδιάμεσα παραμένουν στη θέση τους; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 10
Μη Ελαστική - Πλαστική Κρούση Στο σχήμα φαίνονται δυο σώματα με μάζες και m 2 και ταχύτητες υ, και υ 2 αντίστοιχα. Μετά την κρούση τα δυο σώματα ενώνονται και κινούνται πλέον μαζί με κοινή ταχύτητα υ κ. Τα σώματα κινούνται στο τραπέζι χωρίς τριβές και χωρίς να περιστρέφονται. Σύμφωνα με όσα είπαμε πιο πάνω, στις πλαστικές κρούσεις (όπως και σε όλες τις άλλες) ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής. Αυτή η αρχή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για να υπολογίσουμε την κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος. Για το παράδειγμα του σχήματος, όπου όλες οι ταχύτητες έχουν φορά προς τα δεξιά, το μέτρο της κοινής ταχύτητας δίνεται από τη σχέση: Στις πλαστικές κρούσεις παρουσιάζεται πάντα απώλεια ενέργειας, που δίνεται από τη σχέση: Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 11
Απόδειξη: Η μεταβολή της ενέργειας του συστήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης δίνεται από τη σχέση: Αντικαθιστούμε την κοινή ταχύτητα από τη σχέση στην οποία καταλήξαμε προηγουμένως: Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η τελική ενέργεια είναι μικρότερη από την αρχική, που σημαίνει ότι κατά την πλαστική κρούση χάνεται ενέργεια ίση με που μετατρέπεται σε άλλα είδη, όπως π.χ. θερμότητα. Ερώτηση: Τι συμβαίνει με την ενέργεια στη διάρκεια της ελαστικής και πλαστικής κρούσης; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 12
Μη ελαστική κρούση ( Τα σώματα κινούνται ξεχωριστά μετά την κρούση ) Κομμάτι ξύλου μάζας Μ = 3,9 kg κρέμεται από το ένα άκρο σχοινιού μήκους l = 1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο. Βλήμα μάζας m = 0,1 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 100 m/s. Να βρείτε την ανύψωση του κέντρου μάζας του ξύλου και το ποσοστό ( % ) της κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση όταν το βλήμα, βγαίνει από την άλλη πλευρά του ξύλου με ταχύτητα μέτρου υ 2 = 22 m/s. Κίνηση επιβάτη σε αρχικά ακίνητη σανίδα σε ήρεμη επιφάνεια νερού. Μια σανίδα μάζας m 1 = 20 kg και μήκους L = 10m βρίσκεται ακίνητη στην ήρεμη επιφάνεια λίμνης. Γυναίκα μάζας m 2 = 80 kg βρίσκεται ακίνητη στη μια άκρη της σανίδας. Να βρείτε τη μετατόπιση της σανίδας σε σχέση με την αποβάθρα όταν η γυναίκα μετακινηθεί και πάει στην άλλη άκρη της. Οι αντιστάσεις από το νερό θεωρούνται αμελητέες. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 13
Θέση και ταχύτητα κέντρου μάζας Θεωρήστε δύο αμαξάκια με μάζες m 1 = 10kg και m 2 = 5kg. Το αμαξάκι μάζας m 1 κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 1 = 30 m/s, ενώ το αμαξάκι μάζας m 2 είναι ακίνητο. υ 1 υ 2 = 0 Να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητά του κέντρου μάζας του συστήματος. β. Τις ταχύτητες των αμαξιδίων μετά την κρούση. γ. Θεωρούμε ως θέση μηδέν τη θέση του κέντρου μάζας του συστήματος τη στιγμή της σύγκρουσης. Να βρείτε που βρισκόταν το κέντρο μάζας 0,1 sec πριν από τη σύγκρουση. Έκρηξη κινούμενου σώματος σε δύο θραύσματα Μια σφαίρα μάζας m = 10 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ = 50 m/s και εκρήγνυται σε δύο κομμάτια με μάζες m 1 = 6 kg και m 2 = 4 kg. Αν το κομμάτι μάζας m 1 αμέσως μετά την έκρηξη κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 100 m/s με διεύθυνση και φορά εκείνη της υ, να βρείτε την ταχύτητά του κομματιού μάζας m 2. Ερώτηση: Ένα βλήμα έχει κινητική ενέργεια Ε και ορμή Π τη στιγμή που εκρήγνυται. Α. Η ολική ενέργεια των τμημάτων στα οποία χωρίστηκε το βλήμα είναι ίση, μεγαλύτερη ή μικρότερη από Ε; Β. Η ολική ορμή των τμημάτων στα οποία χωρίστηκε το βλήμα είναι ίση, μεγαλύτερη, ή μικρότερη από P; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 14
Ανάκρουση όπλου Στο σχήμα φαίνεται ένα πυροβόλο όπλο το οποίο είναι αρχικά ακίνητο. Όταν το όπλο εκπυρσοκροτήσει, το βλήμα εκτοξεύεται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ β. Να βρείτε την ταχύτητά του πυροβόλου αμέσως μετά την Κ β εκπυρσοκρότηση. Να δείξετε ότι = m π. Τι Κ π m β συμπεραίνετε; Γενικές Ασκήσεις 1. Πάνω σε ένα τραπέζι μπιλιάρδου βρίσκονται δύο μπάλες Κ και Λ. Υποθέτουμε ότι οι κρούσεις είναι τέλεια ελαστικές. Η μπάλα Κ έχει μάζα m 1=0,5kg και κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ 1=10m/s οπότε συγκρούεται με τη μπάλα, Λ μάζας m 2 που είναι αρχικά ακίνητη. Μετά την κρούση, η μπάλα μάζας m 2 συγκρούεται μια φορά με την άκρη του τραπεζιού και ακολούθως κινείται με την ίδια ταχύτητα όπως και η μπάλα μάζας m 1. Υπολογίστε τη μάζα m 2 της μπάλας Λ και τις τελικές ταχύτητες της κάθε μπάλας. ( m 2 = 1,5kg, υ 1 = -5cm/s, υ 2 = -5cm/s ) υ 1=10m/s υ 2=0 m 1 K Λ m 2 Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 15
2. Βλήμα μάζας m = 0,1 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 0 σφηνώνεται σε αρχικά ακίνητο ξύλο μάζας Μ = 2,4 kg που κρέμεται από δύο νήματα μήκους L =2m, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σύστημα μετά την κρούση ανυψώνεται μέχρι τα νήματα να σχηματίσουν γωνία φ = 60 0 με την κατακόρυφο. Να υπολογίσετε: α. Την αρχική ταχύτητα υ 0 του βλήματος. (υ 0 = 111,8 m/s ) β. Το ποσοστό της ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση. ( 96%) 3. Τα δύο σώματα του σχήματος μάζας m 1 = 1kg και m 2 = 2 kg, συγκρατούνται στη θέση τους έχοντας ανάμεσα τους ένα συσπειρωμένο ελατήριο σταθεράς Κ = 10 4 Ν m -1. Όταν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο παρατηρείται ότι το πρώτο σώμα ανέρχεται έως ότου το νήμα σχηματίσει γωνία 60 0 με την αρχική του θέση. Αν το μήκος των νημάτων είναι L = 2m: α. Να υπολογίσετε τη μέγιστη γωνία εκτροπής του δεύτερου νήματος. ( 28,95 o ) β. Να υπολογίσετε την αρχική συσπείρωση του ελατηρίου. ( 0,0548m ) 4. Στο σχήμα φαίνονται δύο όμοια τρόλεϊ. Αρχικά τα δύο τρόλεϊ είναι σε επαφή και ακίνητα πάνω σε οριζόντιο διάδρομο στον οποίο θεωρούμε ότι οι τριβές είναι αμελητέες. Ένα αβαρές ελατήριο το οποίο είναι ενσωματωμένο στο ένα τρόλεϊ ελευθερώνεται εκτοξεύοντας τα δύο τρόλεϊ προς αντίθετες κατευθύνσεις. A B A B A 1,10 m/s B α. Να βρείτε την ολική ορμή του συστήματος των δύο τρόλεϊ καθώς απομακρύνεται το ένα από το άλλο. Να εξηγήσετε την απάντησή σας. β. Η μάζα του κάθε τρόλεϊ είναι 0,970 kg. Το τρόλεϊ Β το οποίο είναι επιπλέον φορτωμένο με 4 βαρίδια συνολικής μάζας 0,398 kg απομακρύνεται με ταχύτητα 1,10 m/s. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του τρόλεϊ Α. (-1,55 kg m/s) γ. Να βρείτε την ελαστική δυναμική ενέργεια η οποία ήταν αποθηκευμένη στο ελατήριο πριν την ελευθέρωσή του. Να γράψετε την παραδοχή που κάνετε για τον υπολογισμό αυτό. δ. Να περιγράψετε μια πειραματική διαδικασία με την οποία θα υπολογίσετε με ακρίβεια την ταχύτητα του κάθε τρόλεϊ μόλις αυτά διαχωριστούν. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 16