α) Συµπληρώστε τα κενά γνωρίζοντας ότι: β) Αν στη κάτω σειρά χρησιµοποιούνται µονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι και διαφορετικοί µεταξύ τους τότε ποιος είναι µεγαλύτερος αριθµός που µπορεί να υπάρχει στην κορυφή; Όπως είναι τοποθετηµένα τα 7 νοµίσµατα µπορούµε να χαράξουµε 5 ευθείες που ενώνουν 3 νοµίσµατα η κάθε µία. Τοποθετείστε ακόµη 2 νοµίσµατα ώστε να υπάρχουν 10 ευθείες που η κάθε µία να ενώνει 3 µόνο νοµίσµατα. 98

ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΠΙΡΤΩΝ Μετακινήστε τέσσερα σπίρτα, χωρίς να αφαιρέσετε κανένα, ώστε η διπλανή τρίλιζα να µετατραπεί σε τρία ολόιδια τετράγωνα. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές λύσεις. Μπορείτε να τις βρείτε; Το διπλανό τετράγωνο γίνεται µαγικό όταν γεµίσεις τα τετραγωνάκια µε αριθµούς από το 1 έως το 9 ώστε το άθροισµα των αριθµών οριζοντίως, καθέτως, διαγωνίως να είναι το ίδιο. Τέτοια µπορούµε να φτιάξουµε πολλά. Να δείξετε όµως ότι στο τετραγωνάκι του κέντρου είναι πάντα ο ίδιος αριθµός. 99

Ένας πατέρας άφησε κληρονοµιά στα 4 παιδιά του ένα τετράγωνο οικόπεδο και έθαψε κατά µήκος της διαγωνίου του οικοπέδου 4 θησαυρούς για τα παιδιά του µε τον όρο να πάρει έναν ο καθένας και ίδιο οικόπεδο όλοι τους. Βοηθήστε τους να βρούνε τη λύση. Χωρίς να σηκώσετε το µολύβι από το χαρτί (µονοκονδυλιά) να φτιάξετε το διπλανό σχήµα. 100

Προσπαθήστε να φτιάξετε ένα µαγικό τετράγωνο 5X5 που εµπεριέχει ένα µαγικό τετράγωνο 3X3. Αν είστε πιο δυνατός στα µαγικά τετράγωνα φτιάξτε ένα µαγικό τετράγωνο 7X7 που εµπεριέχει ένα µαγικό 5X5 που και αυτό µε τη σειρά του ένα 3X3. Και όσο προχωράµε το παιχνίδι δυναµώνει. Στο διπλανό σχήµα ξεκινήσαµε την προσπάθεια και σας αφήνουµε να την τελειώσετε. Αν επιχειρήσετε την δική σας λύση να κάνετε γνήσια µαγικά τετράγωνα. ηλαδή για το 3X3 χρησιµοποιήστε τους αριθµούς 1 έως 9. Για το 5X5 τους αριθµούς 1 έως 25, για το 7X7 τους αριθµούς 1 έως 49 και για το 9X9 τους αριθµούς 1 έως 81. 101

Στην προσπάθεια µου να συµπληρώσω το τρίγωνο άρχισα από τη βάση µε 4 µαύρες µπάλες και 4 άσπρες ακολουθώντας κάποιο κανόνα. Για να τον αντιληφθείτε συµπληρώνω 3 γραµµές. Να βρείτε τι χρώµα είναι η µπάλα στην κορυφή του τριγώνου. Με 12 ξυλάκια να φτιάξετε: 1) 5 τετράγωνα 2) 6 τετράγωνα 3) 3 τετράγωνα και 8 τρίγωνα. 102

Τοποθετήστε 4 ξυλάκια έτσι ώστε το καθένα να ακουµπάει στα άλλα 3. Για κάτι πιο δυνατό: επιχειρήστε το µε 7 ξυλάκια ώστε το καθένα να ακουµπάει στα άλλα 6. Φανταστείτε οκτώ ίππους τοποθετηµένους στα µαύρα τετράγωνα µιας σκακιέρας διαστάσεων 4x4, όπως στο σκίτσο. είξτε ότι όλοι οι ίπποι µπορούν να κάνουν µία κίνηση. Αυτό δεν ήταν δύσκολο, αλλά το αντίστοιχο πρόβληµα µε δεκατρείς ίππους στα µαύρα τετράγωνα µιας σκακιέρας 5x5 είναι άλλη υπόθεση! Τι θα λέγατε σ αυτήν την περίπτωση; 103

Τοποθέτησε αριθµούς από το 1 έως το 9 από µία φορά τον καθένα στην θέση των κύκλων του διπλανού σχήµατος, ώστε το άθροισµα των αριθµών σε κάθε πλευρά τριγώνου να είναι το ίδιο. Κατόπιν επιχειρήστε κάτι πιο δυνατό. Να βάλετε έτσι τους αριθµούς, ώστε όχι µόνο το άθροισµά τους να είναι το ίδιο αλλά και το άθροισµα των τετραγώνων τους. Έχω µία σκακιέρα από την οποία λείπουν τα δύο κοµµάτια στα άκρα µιας διαγωνίου και 31 κοµµάτια ντόµινο που είναι βαµµένα ώστε το µισό κοµµάτι να είναι λευκό και το άλλο µισό µαύρο. Ο Γιώργος ισχυρίζεται ότι µπορούµε να τοποθετήσουµε τα 31 ντόµινο πάνω στην σκακιέρα αφού έχουµε 31+31=62 κουτάκια από τα ντόµινο και 64-2=62 από την σκακιέρα. Είναι σωστός ο ισχυρισµός του; Το ίδιο πρόβληµα να το εξετάσετε µε 8x9 σκακιέρα και 35 ντόµινο. 104

ΑΣΤΡΟ ΜΑΓΙΚΟ Συµπληρώστε µε τους κατάλληλους αριθµούς από το 1 έως το 12 τους κύκλους ώστε να προκύπτει το ίδιο άθροισµα σε κάθε πλευρά του άστρου που περιέχει 4 κύκλους. Στο διπλανό σχήµα βλέπουµε 8 ίσα τρίγωνα. Αφαιρέστε 4 σπίρτα και να µείνουν µόνο 4 από τα 8 τρίγωνα. 105

Στο φωτιστικό σχήµατος κύβου τοποθετούµε σε κάθε κορυφή του λαµπάκια λευκά και µπλε έτσι ώστε σε κάθε έδρα του να είναι ένα λαµπάκι από το ένα χρώµα και τα άλλα τρία από το άλλο χρώµα. Όταν το αγοράσαµε ο κύβος ήταν µε 4 λευκά και 4 µπλε λαµπάκια. Κάποια µέρα κάηκαν 2 µπλε λαµπάκια αλλά όταν πήγαµε να αγοράσουµε για να τα αντικαταστήσουµε βρήκαµε µόνο λευκά. Θέλουµε να βρείτε: α. πώς ήταν το φωτιστικό όταν το αγοράσαµε. β. πώς τοποθετήσαµε τις λευκές λάµπες ώστε να είναι και πάλι σε κάθε έδρα του κύβου ένα λαµπάκι από το ένα χρώµα και ένα από το άλλο. γ. αν η κάθε έδρα του φωτιστικού είναι βαµµένη έτσι ώστε κάθε λαµπάκι να µην έχει επαφή µε έδρες ίδιου χρώµατος πόσα είναι τα ελάχιστα χρώµατα που χρειαζόµαστε για να το πετύχουµε. 106

Με 24 ξυλάκια έχουµε φτιαγµένη µία δεξιόστροφη σπείρα. Μετακινήστε 4 ξυλάκια και µετατρέψτε την σε αριστερόστροφη. Παρατηρείστε ότι σε κάθε πλευρά του τετραγώνου µετράµε 5 νοµίσµατα. Να τοποθετήσετε άλλα 4 επιπλέον νοµίσµατα στις ίδιες θέσεις και να µετρώ πάλι 5 νοµίσµατα σε κάθε πλευρά. Επιτρέπονται και µετακινήσεις νοµισµάτων αλλά προσοχή στις υπάρχουσες θέσεις. 107

Α Α.. Π ΠΡΡΟ ΟΒΒΛ ΛΗ ΗΜ ΜΑ ΑΤΤΑ ΑΜ ΜΕΕ ΣΣΧΧΗ ΗΜ ΜΑ ΑΤΤΑ Α Ν ΝΟ ΟΜ ΜΙΙΣΣΜ ΜΑ ΑΤΤΑ Α κκλλππ.. Θέλουµε να ενώσουµε τα 5 κοµµάτια της αλυσίδας κάνοντας 1 αλυσίδα και ανοίγοντας µόνο 3 κρίκους. Να προσθέσετε τα κλάσµατα 1 1 1 1 + + + +... (άπειρα κλάσµατα). 2 4 8 16 εν είναι απαραίτητη η χρήση τύπων των µαθηµατικών. Τα οπτικά µαθηµατικά µπορούν να σας βοηθήσουν. Η λύση φαίνεται στο διπλανό σχήµα. 108

Ο κύκλος, το τετράγωνο, το τρίγωνο και ο ρόµβος αντιστοιχούν σε κάποιους αριθµούς. Στο διπλανό τετράγωνο αριστερά ή κάτω γράφεται το άθροισµα των αριθµών. Να συµπληρώσετε τα κενά κουτάκια και να βρείτε ποιος αριθµός αντιστοιχεί σε κάθε σχήµα. Στο διπλανό σχήµα χρησιµοποίησε τους αριθµούς 5 έως 9 από µία φορά τον καθένα στην κάτω σειρά. Κατόπιν σε κάθε κουτάκι βάζεις το άθροισµα των αριθµών των κουτιών στα οποία πατάει. Πρέπει να τοποθετήσεις έτσι τους αριθµούς 5, 6, 7, 8, 9 ώστε στην κορυφή να προκύψει διψήφιος αριθµός. 109

Με ποιο τετράγωνο µπορείτε να αντικαταστήσετε το ερωτηµατικό, έτσι ώστε όλες οι γραµµές να είναι συνεχείς; Έχουµε 11 ξυλάκια σε σχήµα σταυρού όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Παρατηρήστε ότι µετράµε 7 ξυλάκια στον κορµό του σταυρού αλλά και 7 όταν µετράµε από κάτω έως την διακλάδωση και κατόπιν ή δεξιά ή αριστερά. Αφαιρέστε δύο ξυλάκια και να µετράµε στο νέο σταυρό πάλι 7 σπίρτα και φυσικά µε τον ίδιο τρόπο. 110

Το παρακάτω σχήµα µε τα ξυλάκια παριστάνει, µε λίγη φαντασία, έναν τάρανδο. Μπορείτε, µετακινώντας ένα µόνο ξυλάκι σε άλλη θέση, να δηµιουργήσετε έναν ακριβώς ίδιο τάρανδο; Στις απέναντι έδρες ενός ζαριού σηµειώνονται αριθµοί, οι οποίοι έχουν άθροισµα 7. Έτσι, απέναντι από το 1 είναι το 6, απέναντι από το 2 είναι το 5 και απέναντι από το 3 είναι το 4. Στο σχήµα που ακολουθεί υπάρχουν 3 διαφορετικά αναπτύγµατα ζαριού. Να συµπληρώσετε τα κενά τετράγωνα. 111

α) Μπορείτε να αφαιρέσετε 4 µόνο σπίρτα από το διπλανό σχήµα έτσι, ώστε να µείνουν ακριβώς 5 ίδια τετράγωνα; β) Μπορείτε να αφαιρέσετε 8 σπίρτα από το διπλανό σχήµα έτσι, ώστε µόνο 2 τετράγωνα; Τοποθετούµε στη σκακιέρα 16 στρατιωτάκια όπως φαίνεται στο σχήµα. Αφαιρέστε 6 στρατιωτάκια έτσι ώστε µετρούµενα οριζόντια ή κάθετα να είναι άρτιος αριθµός. Αναζητήστε πολλές λύσεις. 112

Το παιχνίδι τα Πέταλα του Ρόδου λέγεται ότι παιζόταν από τους Φαραώ πριν από 5000 χρόνια. Λίγοι µπορούσαν να βρουν το καλά κρυµµένο µυστικό. Το παιχνίδι παίζεται µε έξι ζάρια. Ένας παίχτης, ο Γνώστης, που ξέρει το µυστικό, ρίχνει τα ζάρια και µετά ανακοινώνει τον αριθµό που προκύπτει βάσει του µυστικού κώδικα που µόνο αυτός ξέρει. Στο διπλανό σχήµα βλέπετε έξι ζαριές µε τα αντίστοιχα νούµερα που προκύπτουν από το µυστικό. Ποιο είναι το µυστικό; Αφού το βρείτε συµπληρώστε τα 3 τελευταία αποτελέσµατα. ΓΡΙΦΟΣ ΤΟΥ MARVIN MINSKY Ενώστε όλες τις µπάλες µε 4 µόνο γραµµές που θα χαράξετε χωρίς να σηκώσετε το µολύβι από το χαρτί. 113

Έχουµε στη σειρά τα εξής ντόµινο δηλαδή 12, 11, 10,, 2, 1, 0 το άθροισµα των τελειών. Μπορούν να µπουν και άλλα ντόµινο εκτός από τα εικονιζόµενα, αρκεί το άθροισµα να είναι 12, 11, 10,, 2, 1. Και τα τοποθετούµε ανάποδα στο τραπέζι. Και παίρνουµε 12 άλλα τυχαία ντόµινο και τοποθετούµε δεξιά από τα προηγούµενα και στην ίδια σειρά. Αν τώρα κάποιος µετακινήσει κρυφά από εσάς κάποια ντόµινο από την δεξιά πλευρά προς τα αριστερά αυτών που είναι στην σειρά, µπορείτε να βρείτε πόσα µετακίνησε. 114

ΜΑΓΙΚΟ ΑΣΤΡΟ Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς 1 έως 16 να τους τοποθετήσετε µέσα στους κύκλους έτσι ώστε σε κάθε πλευρά και στα δύο τετράγωνα να έχουµε το ίδιο άθροισµα. Το ίδιο άθροισµα θέλουµε να έχουµε προσθέτοντας τους αριθµούς των τεσσάρων κορυφών των 2 τετραγώνων. Μετακινώντας 3 µόνο σπίρτα να µετατρέψετε το διπλανό σχήµα σε σχήµα κύβου. Μετακινώντας 2 µόνο σπίρτα τα τετράγωνα που θα αποµείνουν να µην έχουν καµία κοινή πλευρά. 115

Στο διπλανο σχήµα βάλτε σε καθένα από τους 9 χώρους που δηµιουργούνται αριθµούς από το 1 µέχρι το 9, από µια φορά τον καθένα, ώστε κάθε κύκλος να περιέχει αριθµούς µε το ίδιο άθροισµα. Έχουµε στη σειρά 6 ποτήρια, 3 γεµάτα και 3 άδεια και θέλουµε να αλλάξουµε τη σειρά, ώστε τα γεµάτα και τα άδεια ποτήρια να εναλλάσσονται. Μπορείτε να πιάσετε ένα µόνο ποτήρι; 116

Μετακινώντας 3 µόνο ξυλάκια και το µάτι του ψαριού να καταφέρετε το επάνω ψάρι που κολυµπάει προς τα δεξιά, να κολυµπάει προς την αντίθετη κατεύθυνση όπως το κάτω ψάρι. Μετακινώντας 3 µόνο κέρµατα στο επάνω τρίγωνο να προκύψει το κάτω τρίγωνο. 117

ΕΝΑΣ ΠΑΛΙΟΣ ΓΝΩΣΤΟΣ ΑΛΛΑ ΟΜΟΡΦΟΣ ΓΡΙΦΟΣ. Στο σχήµα απεικονίζεται ένα φαράσι µε ένα σκουπίδι µέσα σ αυτό. Μετακινώντας 2 µόνο ξυλάκια να «βγάλετε» το σκουπίδι έξω από το φαράσι. ΕΝΑ ΠΑΝΑΡΧΑΙΟ ΠΑΙΧΝΙ Ι ΠΥΡΓΟΙ ΤΟΥ ΑΝΟΪ. Έχουµε µία κόκκινη, µία πράσινη, µία µπλε και µία µαύρη µάρκα τοποθετηµένες τη µια πάνω στην άλλη µέσα στο δίσκο Α όπως φαίνεται στο σχήµα. Έχουµε επίσης δύο άδειους δίσκους Β, Γ. Με κάθε κίνηση µεταφέρουµε µια µάρκα από τον ένα δίσκο στον άλλο. Στόχος είναι να µεταφέρουµε τις µάρκες µε την ίδια ακριβώς διάταξη µέσα στο δίσκο Β ή Γ µε τις λιγότερες κινήσεις. Μπορείτε να το πετύχετε µε 15 κινήσεις; Το πρόβληµα µπορεί να γενικευτεί µε ν µάρκες. Σ αυτή την περίπτωση ο ελάχιστος αριθµός κινήσεων είναι 2ν-1. Προσοχή! Ποτέ δεν επιτρέπει να βρεθεί µεγαλύτερη µάρκα πάνω από µικρότερη. 118

ΥΠΕΡ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Συµπληρώστε τα 16 τετραγωνάκια µε τους αριθµούς από το 1 έως το 16 ώστε το τετράγωνο εκτός από «µαγικό» να έχει και µία ακόµη «super» ιδιότητα. Όσο είναι το άθροισµα των αριθµών σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και των διαγωνίων του τόσο είναι και το άθροισµα των αριθµών σε κάθε τετραγωνάκι 2x2 του µεγάλου τετραγώνου. Στο διπλανό σχήµα βλέπουµε 3 ισόπλευρα τρίγωνα. Μετακινώντας 4 σπίρτα να σχηµατίσετε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. 119

ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΛΑΤΡΕΙΣ ΤΟΥ ΣΚΑΚΙ Σε µια σκακιέρα 6X6 ένας ίππος ξεκινάει µε σκοπό να πατήσει όλα τα κουτάκια από µια φορά το καθένα. Εµείς σας δείχνουµε τις 10 πρώτες κινήσεις. Βρείτε τις υπόλοιπες 25. Σας υποσχόµαστε µία συναρπαστική ιππασία στο «δάσος» της σκακιέρας. Αν τα καταφέρετε δοκιµάστε σε σκακιέρα 7X7. Βάλτε στους κύκλους τους αριθµούς 1 έως 8 χωρίς να υπάρχουν διαδοχικοί αριθµοί σε κύκλους που συνδέονται µε γραµµή. 120

Στο σχήµα παραπλεύρως έχουµε 27 τελείες από τρία διαφορετικά επίπεδα ενός κύβου. Την κάτω έδρα, την επάνω και τη µεσοπαράλληλη έδρα. Να ενώσετε όλες τις τελείες µε µία γραµµή χωρίς να περάσετε δύο φορές από το ίδιο σηµείο. Με γραµµές που θα χαράξετε µπορείτε να χωρίσετε ένα τετράγωνο σε δύο τετράγωνα. Μία λύση είναι αυτή που βλέπετε στο διπλανό σχήµα µε τις κόκκινες γραµµές που χαράξαµε στο µπλε τετράγωνο, έχουµε ένα το κόκκινο τετράγωνο και το άλλο που σχηµατίζουν τα 4 µπλε κοµµάτια. Κάντε εσείς τη δική σας λύση. Έχετε υπ όψιν σας ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις. 121

Έχουµε ένα κύβο του οποίου η κάθε έδρα είναι διαφορετικό χρώµα. Στο σχήµα τον έχουµε σε 3 διαφορετικές θέσεις. Ζητούµε να βρείτε τι χρώµα είναι οι έδρες που δεν φαίνονται ή αλλιώς, τι χρώµα είναι η έδρα απέναντι από την καφέ. Τι χρώµα είναι η έδρα απέναντι από την µωβ κλπ. Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο διπλανό σχήµα; 122

Στο διπλανό ορθογώνιο υπάρχουν 24 τετράγωνα. Να βάλετε σε 18 τετράγωνα το σηµάδι x ώστε σε κάθε γραµµή και κάθε στήλη να υπάρχει άρτιος αριθµός από x. σχ.1 σχ.2 Τοποθετήστε κατάλληλα τέσσερα κοµµάτια σαν αυτό στο σχ.1 ώστε να σχηµατιστεί ένα τετράγωνο. Κατόπιν επιχειρήστε το µε τέσσερα τεµάχια σαν το κοµµάτι που είναι στο σχ.2. 123