Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική"

Λαμία Σπηλιωτόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής 8 Αυγούστου 2012

ϕωλιά με περισσότερα από 1 περιστέρια, δηλαδή τουλάχιστον 2 περιστέρια.

2 Η Αρχή του Dirichlet ή της περιστεροφωλιάς Aν γνωρίζουμε πως σε κάποια μέτρηση στις n ϕωλιές καταμετρήθηκαν συνολικά n + 1 και πλέον περιστέρια, είναι σίγουρο πως ϑα υπάρχει ϕωλιά με περισσότερα από 1 περιστέρια, δηλαδή τουλάχιστον 2 περιστέρια. αν n αντικείμενα τοποθετήθηκαν σε m δοχεία και n > m, τότε υπάρχει δοχείο όπου τοποθετήθηκαν τουλάχιστον 2 αντικείμενα. 2

3 Γενικευμένη Αρχή του Dirichlet Αν σε κάποια συνολική καταμέτρηση των περιστεριών σε όλες τις n ϕωλιές αυτά ϐρεθούν τουλάχιστον n k + 1 σε πλήθος, τότε συμπεραίνουμε πως ϑα υπάρχει κάποια (τουλάχιστον μία) ϕωλιά με τουλάχιστον k + 1 περιστέρια. Αν σε κάποια συνολική καταμέτρηση των περιστεριών σε όλες τις n ϕωλιές αυτά ϐρεθούν τουλάχιστον n k σε πλήθος, τότε συμπεραίνουμεπως ϑα υπάρχει κάποια (τουλάχιστον μία) ϕωλιά με τουλάχιστον k περιστέρια. 3

4 Γενικευμένη Αρχή του Dirichlet Αν k αντικείμενα τοποθετηθούν σε n δοχεία τότε υπάρχει δοχείο με τουλάχιστον k n αντικείμενα. 4

5 Απλές Εφαρμογές Αν έχουμε 25 λέξεις τότε σίγουρα δυο από αυτές θα αρχίζουμε τα ίδιο γράμμα. Οι 25 λέξεις (περιστέρια) και 24 γράμματα (περιστεροφωλιες ) του ελληνικού αλφάβητου. Σε μία πόλη των κατοίκων σίγουρα υπάρχουν τουλάχιστον 4 άνθρωποι (που δεν είναι φαλακροί) οι οποίοι έχουν τον ίδιο αριθμό από τρίχες στο κεφάλι τους. Δεδομένου ότι κανένας άνθρωπος δεν έχει πάνω από τρίχες στο κεφάλι του. ( =4* ) 5

6 Απλές Εφαρμογές Αν διαλέξουμε τυχαία πέντε αριθμούς από τους ακεραίους από το 1 μέχρι το 8 τότε δυο από αυτούς πρέπει να έχουν άθροισμα 9. Κάθε αριθμός από το 1 μέχρι το 8 μπορεί σαν ζευγάρι κάποιον άλλο από τους 8 να έχει άθροισμα 9.Συνολικά είναι 4 τέτοια ζεύγη. 1, 8 2, 7 3, 6 4, 5 Ο καθένας από 5 αριθμούς πρέπει να ανήκει σε ένα από τα τέσσερα ζευγάρια, άρα από την αρχή της περιστεροφωλιας ένα ζεύγος σίγουρα ανήκει στην ομάδα των 5 οπότε έχει άθροισμα 9. 6

7 Ασκήσεις 1. Στην 6 Ο Θερινό Μαθηματικό Σχολείο της Ημαθίας παρακολουθούν 250 μαθητές. Δείξτε ότι 21 τουλάχιστον γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. 2. Σε ένα συνέδριο Μαθηματικών συμμετέχουν n άτομα. Δείξτε ότι 2 άτομα από αυτά γνωρίζουν ακριβώς το ίδιο πλήθος ατόμων. 3. Σε ένα τουρνουά σκάκι συμμετέχουν n παίχτες. Ο κάθε παίχτης παίζει με όλους τους άλλους και κερδίζει τουλάχιστον μία παρτίδα. Δείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 παίχτες με το ίδιο αριθμό νικών. 7

8 Ασκήσεις 4. Σε ένα κουτί υπάρχουν 10 μπάλες άσπρες, 10 κόκκινες, 10 μαύρες. Πόσες μπάλες πρέπει να βγάλει κάποιος (χωρίς να τις δει) έτσι ώστε να είναι σίγουρος ότι έβγαλε 2 του ίδιου χρώματος. 5. Σε ένα κουτί υπάρχουν 10 μπάλες άσπρες, 10 κόκκινες, 10 μαύρες. Πόσες μπάλες πρέπει να βγάλει κάποιος (χωρίς να τις δει) έτσι ώστε να είναι σίγουρος ότι έβγαλε 2 κόκκινες. 8

9 Ασκήσεις 6. Επιλέγουμε 5 τυχαία σημεία από το εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς 2. Δείξτε ότι 2 σημεία από αυτά (τα πέντε) έχουν απόσταση μικρότερη ή ίση του Επιλέγουμε 13 τυχαία σημεία από το εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς 1. Δείξτε ότι υπάρχουν 4 σημεία από αυτά που ορίζουν τετράπλευρο με εμβαδό ¼. 8. Σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου θα μετακινηθούν με 30 λεωφορεία (80 θέσεων) 2000 άτομα. Δείξτε ότι θα υπάρχει λεωφορείο με 14 άδειες θέσεις και άλλο με 67 επιβάτες. 9

10 Παραδείγματα 10

11 Παραδείγματα 11

12 Παραδείγματα 12

13 Παραδείγματα 13

14 14

15 15

Η λειψή σκακιέρα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία γενικευμένη σκακιέρα με Ν (αντί για 8) τετράγωνα σε κάθε πλευρά και επίσης έχουμε πλακίδια (aka κόκκαλα ή πέτρες) ντόμινο τα οποία εφαρμόζουν ακριβώς σε

16 Η λειψή σκακιέρα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία γενικευμένη σκακιέρα με Ν (αντί για 8) τετράγωνα σε κάθε πλευρά και επίσης έχουμε πλακίδια (aka κόκκαλα ή πέτρες) ντόμινο τα οποία εφαρμόζουν ακριβώς σε δύο τετράγωνα της σκακιέρας. Είναι προφανές ότι αν έχουμε ικανό αριθμό πλακιδίων μπορούμε να καλύψουμε ακριβώς τη σκακιέρα αν-ν ο Ν είναι άρτιος. Όταν λέμε "ακριβώς" εννοούμε ότι κάθε τετράγωνο της σκακιέρας καλύπτεται από κάποιο ντόμινο και ότι κάθε πλακίδιο ντόμινο καλύπτει ακριβώς δύο τετράγωνα της σκακιέρας. Ας υποθέσουμε τώρα ότι από τη σκακιέρα αφαιρούμε δύο απέναντι γωνιακά τετράγωνα. Είναι δυνατό να καλύψουμε ακριβώς τη λειψή σκακιέρα με πλακίδια ντόμινο; 16

Σχετικά έγγραφα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015