Παναιώτης Μόρφης Μελέτη στροφικής κίνησης µε στιµιαίο άξονα Ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης: Στ ( ) Σ ( Σ ) α ή Στ ( ) Σ ( Σ ) α ισχύει ια κάθε άξονα περιστροφής, ο οποίος περνά από το τυχαίο σηµείο Σ του σώ- µατος. Στην περίπτωση που το σηµείο Σ είναι το κέντρο βάρους του σώµατος, τότε: (Σ), αλλά στην περίπτωση που το σηµείο Σ δεν είναι το κέντρο βάρους του σώµατος, τότε η (Σ) υπολοίζεται µε βάση το θεώρηµα των παραλλήλων αξόνων (ή θεώρηµα Steine): ( Σ ) + m d ( d η απόσταση του Σ από το κ.β. ) Παραδείµατα 1. Το σώµα (Σ) εκτελεί σύνθετη κίνηση. Θεωρούµε ότι εκτελεί µόνο στροφική κίνηση ως προς στι- µιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του νήµατος µε το σώµα (Σ). Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Όπου: Στ α w α m α (1) + () O w /////////////// T α Από (1) και () προκύπτει: w ( + m ) α w ( m ) α + mg α ( m ) + () και α α ------------------------------------------------ 1
Παναιώτης Μόρφης. Ο «τροχός» (Σ) κυλίεται, προς τα κάτω, κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου, ωνίας κλίσης φ, του σχήµατος. ( Σ) Την κίνησή του µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του επιπέδου µε τον «τροχό» (Σ). Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ α wx α α (1) T w y O w w x φ α Όπου: m + () Από (1) και () προκύπτει: wx ( + m ) α α w x ( + m ) (mg ηµφ ) α ( m ) α + () και α α Σηµείωση: Τα ίδια ακριβώς ισχύουν και ια την περίπτωση που ο «τροχός» (Σ) κυλίεται προς τα πάνω, εκτελώντας οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση. -----------------------------------------------. Για τον «τροχό» του σχήµατος να δείξετε ότι ισχύει: α και + m ( ) T ( + m ) (προς τα αριστερά) O w T α -----------------------------------------------
Παναιώτης Μόρφης 4. Για τον «τροχό» του σχήµατος να δείξετε ότι ισχύει: α (1) + m ( ) [ ισχύει: υ ( Β) υ ] Να υπολοίσετε την τριβή Τ (µέτρο φορά), αν 1 m () (κύλινδρος ή δίσκος). B O w T α Την κίνησή του µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του επιπέδου µε τον «τροχό». Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ α α () Όπου: + m (4) ()... m (5) Από () και (4) προκύπτει η (1). 4 Όµως µε βάση την (4) προκύπτει: α (6) m Αλλά: α α (6)... 4 α (7) m Ο θεµελιώδης νόµος της µεταφορικής κίνησης ( Σ m α ) µε βάση την (7) δίνει: 4 Σ ( > ). Άρα: Σ + T 1 T δεξιά. -----------------------------------------------------------
Παναιώτης Μόρφης 5. Στον «τροχό» του σχήµατος δίνουµε αρχική ταχύτητα (υ ο ) και στη συνέχεια αυτός κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο. Να µελετηθεί το είδος της κίνησής του. O w Την κίνησή του µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του επιπέδου µε τον «τροχό». T Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ α 0 ( ) α α 0 α 0 Άρα ο «τροχός» συνεχίζει να κυλίεται µε τη σταθερή ταχύτητα (υ ο ). υ ο Σηµείωση: Με αυτό τον τρόπο δεν επηρεάζει η φορά της τριβής και από ότι προ- κύπτει δεν υπάρχει τριβή (;). -------------------------------------------- 4
Παναιώτης Μόρφης 6. Σε ποιο ύψος h πάνω από την επίπεδη επιφάνεια θα έπρεπε να χτυπιόταν µια σφαίρα µπιλιάρδου, α- κτίνας R, από µια οριζόντια δύναµη προκειµένου να µην υπάρξει καµία ολίσθηση στο σηµείο της ε- παφής Ο, δηλαδή η στατική τριβή στο σηµείο επαφής να είναι µηδέν. ίνεται ια τη σφαίρα: m R 5 Την κίνησή της µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Ο της σφαίρας µε το επίπεδο. Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ (O) α (O) h (O) α α (1) R K h w O ///////////////////////////////// (T 0) Όπου: m R (O) + (O) 7 5 m R () 7 Από (1) και () προκύπτει: h m R α () 5 7 Αλλά: α R α οπότε: () h m R α (4) 5 Με βάση το νόµο της µεταφορικής κίνησης έχουµε: m α (5) Από τις εξισώσεις (4) και (5) προκύπτει: 7 h R. 5 -------------------------------------------------- 5
Παναιώτης Μόρφης 7. Ο διπλός κύλινδρος («κουβαρίστρα») του σχήµατος έχει ακτίνα του «µικρού» κυλίνδρου () και ακτίνα του Γ «µεάλου» κυλίνδρου (). Ο κύλινδρος ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο. Στο «µικρό» κύλινδρο είναι τυλιµένο νήµα µε το ελεύθερο άκρο του στο πάνω άκρο Γ. Μια οριζόντια δύναµη µέτρου ασκείται στο άκρο του νήµατος και τον «τραβά». ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου, ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του, m. Να υπολοίσετε: α) Την επιτάχυνση α του κυλίνδρου, β) το µέτρο της τριβής Τ, µεταξύ κυλίνδρου και οριζοντίου επιπέδου. Την κίνησή του κυλίνδρου µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του επιπέδου µε τον «κύλινδρο». Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ α α α (1) Όπου: + m ( ) + 6m () Από (1) και () προκύπτει: 6m α α α () m Αλλά: α α οπότε: () α (4) m Σ Σχόλιο: Από τη σχέση: α (θεµελιώδης νόµος µεταφορικής κίνησης) m προκύπτει: Σ, δηλαδή η δύναµη της τριβής δεν «παίζει» ρόλο. Άρα: T 0. Αλλά, αν χρησιµοποιήσουµε τη σχέση: Σ m α ± T m α ± α (ιατί δεν «ξέρουµε» προς τα πού είναι η τριβή). Χρησιµοποιώντας τη σχέση (4), προκύπτει: T 0. ος τρόπος: Θεωρούµε ότι υπάρχει τριβή Τ (δεξιά ή αριστερά δεν το ξέρουµε) και ε- φαρµόζουµε το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ως προς το κ.β. του κυλίνδρου, οπότε προκύπτει: 6
Παναιώτης Μόρφης ± T α ± α () ± T (m ) m ± T T 0. --------------------------------------------------------- 9. Να λύσετε το παράδειµα 8, ια τις περιπτώσεις που: α) m, β) m. ------------------------------------------------------ 10. Ο διπλός κύλινδρος («κουβαρίστρα») του σχήµατος έχει ακτίνα του «µικρού» κυλίνδρου () και ακτίνα του «µεάλου» κυλίνδρου (). Ο κύλινδρος ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο. Στο «µικρό» κύλινδρο είναι τυλιµένο νήµα µε το ελεύθερο άκρο του στο κάτω άκρο Γ. Μια οριζόντια δύναµη µέτρου ασκείται στο άκρο του νήµατος και τον «τραβά». ίνεται η ροπή αδράνειγ ας του κυλίνδρου, ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του, m. Να υπολοίσετε: α) Την επιτάχυνση α του κυλίνδρου, β) τη δύναµη της τριβής T, µεταξύ κυλίνδρου και οριζοντίου επιπέδου. Την κίνησή του κυλίνδρου µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του επιπέδου µε τον «κύλινδρο». Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ α α α (1) (φορά περιστροφής δεξιόστροφη) Όπου: + m ( ) + 6m () Από (1) και () προκύπτει: 6m α α α () 6m Αλλά: α α οπότε: () α (4) m 7
Παναιώτης Μόρφης Σχόλιο: Από τη σχέση: τη σχέση (4) προκύπτει: ρόλο. Άρα: T 0 Σ α (θεµελιώδης νόµος µεταφορικής κίνησης) και m Σ, δηλαδή η δύναµη της τριβής Τ (τώρα) «παίζει» Αλλά, αν χρησιµοποιήσουµε τη σχέση: Σ m α ± T m α Αφού: ± α (ιατί δεν «ξέρουµε» προς τα πού είναι η τριβή). Σ προκύπτει ότι: Σ T Χρησιµοποιώντας τη σχέση (4), προκύπτει: T m α T (προς τα αριστερά). ος τρόπος: Θεωρούµε ότι υπάρχει τριβή Τ (δεξιά ή αριστερά δεν το ξέρουµε) και ε- φαρµόζουµε το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ως προς το κ.β. του κυλίνδρου, οπότε προκύπτει (µε φορά περιστροφής δεξιόστροφη οπότε η τριβή Τ είναι προς τα αριστερά): + α () T + T (m ) 6m + T T. Σηµείωση: Γι αυτή την περίπτωση που µελετήσαµε, θα µπορούσε η δύναµη της τριβής να είναι προς τα δεξιά; --------------------------------------------------------- 8
Παναιώτης Μόρφης 11. Ο διπλός κύλινδρος («κουβαρίστρα») του σχήµατος έχει ακτίνα του «µικρού» κυλίνδρου () και ακτίνα του «µεάλου» κυλίνδρου (). Στο «µικρό» κύλινδρο είναι Γ τυλιµένο νήµα µε το ελεύθερο άκρο του στο πάνω ά- W K x κρο Γ. Μια δύναµη, παράλληλη µε το κεκλιµένο επίπεδο και µέτρου ( mg ) ασκείται στο άκρο του νήµατος και τον «τραβά». ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου, ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του, θ m, η ωνία του κεκλιµένου επιπέδου θ 0 0 και W mg. Να υπολοίσετε: α) Την επιτάχυνση α του κυλίνδρου, β) τη δύναµη της τριβής T, µεταξύ κυλίνδρου και κεκλιµένου επιπέδου. T Την κίνησή του κυλίνδρου µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του κεκλιµένου επιπέδου µε τον «κύλινδρο». Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ ( ) α x W α (1) (φορά περιστροφής δεξιόστροφη) Όπου: + m ( ) + 6m () Από (1) και () προκύπτει: ( mg ) 0 (mg ηµ 0 ) 6m α mg 6m α α g α () Αλλά: α α () g α (4) Σ Από τη σχέση: α (θεµελιώδης νόµος µεταφορικής κίνησης) και τη σχέση m mg 0 mg (4) προκύπτει: Σ Wx mg (mg 0 ) > ηµ, δηλαδή η δύναµη της τριβής Τ υπάρχει. Άρα: T 0 και έχει τη φορά της. 9
Παναιώτης Μόρφης Άρα: 0 mg (mg ηµ 0 ) + T mg T. 6 ------------------------------------------------------------------ 1. Ο διπλός κύλινδρος («κουβαρίστρα») του σχήµατος έχει ακτίνα του «µικρού» κυλίνδρου () και ακτίνα του «µεάλου» κυλίνδρου (). Στο «µικρό» κύλινδρο είναι τυλιµένο νήµα µε το ελεύθερο άκρο του στο κάτω ά- κρο Γ. W K x Μια δύναµη, παράλληλη µε το κεκλιµένο επίπεδο και Γ µέτρου ( ⅓ mg ) ασκείται στο άκρο του νήµατος και τον «τραβά». ίνεται η ροπή αδράνειας του «κυλίνδρου», ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του, θ T(;) m, η ωνία του κεκλιµένου επιπέδου θ 0 0 και W mg. Να υπολοίσετε: α) Την επιτάχυνση α του κυλίνδρου, β) τη δύναµη της τριβής T, µεταξύ κυλίνδρου και κεκλιµένου επιπέδου. Την κίνησή του κυλίνδρου µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του κεκλιµένου επιπέδου µε τον «κύλινδρο». Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ α x W α (1) (φορά περιστροφής αριστερόστροφη) Όπου: + m ( ) + 6m () Από (1) και () προκύπτει: 0 (mg ηµ 0 ) 6m α ( ⅓ mg ) mg 6m g α α () 9 Αλλά: α α () g α (4) 9 10
Παναιώτης Μόρφης Σ Από τη σχέση: α (θεµελιώδης νόµος µεταφορικής κίνησης) και τη σχέση m mg 0 mg mg 1, 5 mg (4) προκύπτει: Σ Wx (mg 0 ) 9 > ηµ 6 9, δηλαδή η δύναµη της τριβής Τ υπάρχει. Άρα: T 0 και έχει τη φορά της W x. Άρα: 0 mg (mg ηµ 0 ) + T 9 mg T. 18 ----------------------------------------------------------- 1. Ο κύλινδρος του σχήµατος, ακτίνας και µάζας m, µπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου, ωνίας κλίσης 0 0. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου είναι τυλιµένο αβαρές νήµα, µε το ελεύθερο άκρο του στο πάνω µέρος του κυλίνδρου Γ, ε- νώ στο άκρο του νήµατος ασκείται δύναµη ( mg ), σταθερού µέτρου και παράλληλη µε το κεκλιµένο επίπεδο. Να υπολοίσετε: α) την επιτάχυνση α του κ.β. του κυλίνδρου, β) τη δύναµη της τριβής (µέτρο κατεύθυνση). ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου, ως προς άξονα που περνά από το κέντρο του, 1 m w και w mg. x Γ 0 0 T Την κίνησή του κυλίνδρου µπορούµε να τη θεωρήσουµε µόνο (περι)στροφική ως προς στιµιαίο άξονα περιστροφής το σηµείο επαφής Α του κεκλιµένου επιπέδου µε τον «κύλινδρο». Έτσι ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης ράφεται: Στ α x w α (1) (φορά περιστροφής δεξιόστροφη) Όπου: m + m () Από (1) και () προκύπτει: (mg 0 ) m 0 ηµ α 11
Παναιώτης Μόρφης ( mg ) 1 mg mg m α mg m α α g α () Αλλά: α α () α g (4) Σ Από τη σχέση: α (θεµελιώδης νόµος µεταφορικής κίνησης) και τη m 0 mg σχέση (4) προκύπτει: Σ mg > wx mg (mg ηµ 0 ), δηλαδή η δύναµη της τριβής Τ υπάρχει. Άρα: T 0 και έχει τη φορά της. Άρα: 0 mg (mg ηµ 0 ) + T mg T. ----------------------------------------------------------------- 1