ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

Transcript

1 ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα κάτω, ένα στερεό σώµα µε κατανοµή µάζας συµµετρική ως προς το κέντρο του. ( Το στερεό µπορεί να είναι σαίρα, συµπαγής κύλινδρος, κούιος κύλινδρος). Να υπολογίσετε την επιτάχυνση της µεταορικής προς τα κάτω κίνησης. Διδακτικοί στόχοι Έχει ενδιαέρον να υπολογίσουµε την επιτάχυνση της µεταορικής προς τα κάτω κίνησης µε τρεις διαορετικούς τρόπους, αποδεικνύοντας έτσι ότι οι διαορετικές αυτές προσεγγίσεις παρουσιάζουν µεταξύ τους πλήρη συνέπεια. ) ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΥΡΩ ΑΠΟ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ. Στο σώµα ασκούνται το βάρος του, το οποίο έχει αναλυθεί σε χ και ψ συνιστώσα, η κάθετη αντίδραση Ν και η στατική τριβή. Εόσον το σώµα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, για τις στιγµιαίες ταχύτητες ισχύει ότι: υ = ωr ενώ για τις επιταχύνσεις α =α γων R. Η ορά της στατικής τριβής είναι προς τα πάνω, διότι πρέπει να προκαλέσει δεξιόστροη ροπή ώστε να επιταχύνει την περιστροική κίνηση. T y N x Εαρµόζοντας το θεµελιώδη νόµο της Μηχανικής για τη µεταορική κίνηση έχουµε: Σ F = T = M Mgηµϕ T = M () x x Η µόνη δύναµη που δηµιουργεί ροπή ως προς τον άξονα περιστροής που διέρχεται από το κέντρο µάζας του σώµατος είναι η στατική τριβή. Εαρµόζοντας το θεµελιώδη νόµο της Μηχανικής για την περιστροική κίνηση έχουµε: Σ τ = TR= γων TR= T = () R R όπου Ι η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του.

2 Υπενθυµίζεται ότι, ο θεµελιώδης νόµος της περιστροικής κίνησης όταν ο άξονας περιστροής µετατοπίζεται, ισχύει εόσον ο άξονας διέρχεται από το κέντρο µάζας, είναι άξονας συµµετρίας και δεν αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης. Προσθέτοντας κατά µέλη τις () και () έχουµε: gηµϕ Mgηµϕ = ( M + ) ( ) = + M = R + (3) ια συµπαγή κύλινδρο όπου = από την (3) έχουµε: gηµϕ = = gηµϕ. + 3 ια κούιο κύλινδρο όπου = από την (3) έχουµε: gηµϕ = = gηµϕ + ια σαίρα όπου = από την (3) έχουµε: gηµϕ = = gηµϕ + 7 ) ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΙΜΙΑΙΟ ΑΞΟΝΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΠΑΦΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ-ΔΑΠΕΔΟΥ Η κίνηση του στερεού µπορεί να θεωρηθεί σαν περιστροική αποκλειστικά γύρω από στιγµιαίο άξονα που διέρχεται από το σηµείο επαής () του σώµατος µε το πλάγιο επίπεδο. Η διεύθυνση του άξονα περιστροής είναι σταθερή, η θέση του όµως µετατοπίζεται προς τα κάτω στην επιάνεια του πλάγιου επιπέδου. Η επιτάχυνση της µεταορικής κίνησης µπορεί να υπολογιστεί µε χρήση του ου Νόµου του Νεύτωνα στη γενικευµένη µορή του, απαιτώντας το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών ως προς το σηµείο () να είναι ίσο µε το ρυθµό µεταβολής της στροορµής ως προς το σηµείο αυτό. T y N x Η στροορµή του σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το σηµείο () είναι ίση µε: L= ω. Η ροπή αδράνειας ως προς τον ίδιο άξονα υπολογίζεται από το θεώρηµα παράλληλων αξόνων: = +, όπου Ι η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροής. Η στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα συνδέεται µε τη στιγµιαία µεταορική ταχύτητα του κέντρου υ µάζας µε τη σχέση: υ = ωr ω=, αού το κέντρο µάζας λόγω περιστροής του R

3 στερεού εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας R γύρω από το εκάστοτε σηµείο επαής σώµατος-δαπέδου. Η µόνη δύναµη που δηµιουργεί ροπή ως προς το () είναι η συνιστώσα του βάρους στον άξονα χ, τον παράλληλο στο πλάγιο επίπεδο, αού οι ορείς όλων των άλλων δυνάµεων διέρχονται από το (): Σ τ ( ) = xr= Mgηµϕ R. Εαρµόζοντας το ο Νόµο του Νεύτωνα στη γενικευµένη µορή του, λαµβάνοντας υπόψη τα σταθερά µεγέθη έχουµε: dl d υ + dυ =Στ ( ) ( ) Mgηµϕ R ( ) Mgηµϕ R dt dt + R = = R dt ηµϕ ηµϕ ηµϕ = = = Mg R Mg R g + ( + ) + 3) ΕΝΕΡΕΙΑΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ Σαν τρίτο τρόπο υπολογισµού της επιτάχυνσης της µεταορικής κίνησης χρησιµοποιούµε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας. Η ολική-µηχανική ενέργεια του σώµατος αποτελείται από την κινητική λόγω µεταορικής κίνησης, την κινητική λόγω περιστροικής κίνησης γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και τη δυναµική ενέργεια βαρύτητας: Eολ = Kµετ + Kπερ + Uβαρ = Mυ + ω + Mgh () όπου h το ύψος πάνω από το οριζόντιο επίπεδο, το οποίο έχει εκλεγεί ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας. 3

4 Η στατική τριβή επιβραδύνει τη µεταορική κίνηση και επιταχύνει την περιστροική. Ενεργειακά η απώλεια κινητικής µεταορικής λόγω του έργου της στατικής τριβής, µετατρέπεται σε κινητική περιστροής µέσω του έργου της ροπής της τριβής. Επειδή τα έργα της στατικής τριβής στη µεταορική και στην περιστροική κίνηση είναι ίσα κατά απόλυτη τιµή, δεν υπάρχει απώλεια ενέργειας υπό µορή θερµότητας, παρά µόνο µετατροπή κινητικής µεταορικής σε κινητική περιστροικής κίνησης. Συνεπώς κατά τη διάρκεια της κύλισης χωρίς ολίσθηση η στατική τριβή δεν προκαλεί απώλεια ενέργειας υπό µορή θερµότητας, οπότε διατηρείται η µηχανική ενέργεια του στερεού. Αού η ολική ενέργεια διατηρείται σταθερή, ο ρυθµός µεταβολής της, δηλαδή η χρονική της παράγωγος, είναι ίση µε µηδέν. Παραγωγίζοντας τη σχέση () έχουµε: deολ dυ dω dh = M + + Mg = 0 dt dt dt dt ω T s υ x υ y υ Αναλύοντας την ταχύτητα της µεταορικής κίνησης σε δύο συνιστώσες, µία οριζόντια και µία κατακόρυη, για την κατακόρυη ισχύει: Άρα: dh dh υψ = = υηµϕ = υηµϕ dt dt dυ dω υ M υ + ω Mgυηµϕ = 0 Mυ+ γων = Mgυηµϕ dt dt R gηµϕ M+ ( ) = Mgηµϕ M + = Mgηµϕ = R + 4

5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν στην εκώνηση της άσκησης δεν αναέρεται ότι το σώµα εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση, τότε πρέπει να εξετάσουµε τι είδους κίνηση εκτελεί. Ας δούµε το ακόλουθο παράδειγµα: Σε πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης =30 αήνουµε σαίρα µάζας M και ακτίνας R=0,m. Αν η σαίρα κυλίεται, να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας καθώς και τη γωνιακή επιτάχυνση της σαίρας. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής που θεωρείται ίσος µε το συντελεστή τριβής ολίσθησης, µεταξύ σαίρας δαπέδου είναι µ=0,. Η ροπή αδράνειας της σαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι: = Λύση N Έστω ότι η σαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τότε: T Σ τ = γων TR= T = M M = R T y x αού: = R. Επίσης: γων T 7T Mgηµϕ T = M Mgηµϕ T = Mgηµϕ = T = Mgηµϕ 7 ια να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πρέπει η τριβή να είναι στατική, δηλαδή µικρότερη από την οριακή στατική: 3 T < Tορ Mgηµϕ < µ N = µ Mgσυνϕ µ > εϕϕ µ > = 0, Αυτό όµως είναι αδύνατο, αού µ=0,, άρα η σαίρα κυλίεται και ταυτόχρονα ολισθαίνει. Η τριβή που δέχεται είναι τριβή ολίσθησης. ια τη µεταορική κίνηση ισχύει: m x T = M Mgηµϕ µ Mgσυνϕ = M = g( ηµϕ µσυνϕ) = 4, s ια την περιστροική αντίστοιχα: µ gσυνϕ rd Σ τ = TR= γων µ MgσυνϕR= γων αγων = γων =,6. R s

6 Προανώς δεν ισχύει ότι = γων R. Η εαπτοµενική (παράλληλη στο πλάγιο επίπεδο) επιτάχυνση του σηµείου επαής σαίρας-δαπέδου είναι: m = ε = γων R = 4,,6=, 93 s Θοδωρής Παπασγουρίδης ppsgou@gmil.com 6